матан. Теория вероятностей кажется не совсем обычной математической дисциплиной, так как имеет дело с особой категорией со случайностью. Роль случая в нашей жизни, как известно, весьма значительна
 Скачать 3.15 Mb.
|
|
Пример 2.5. В читальном зале 6 учебников по теории вероятностей, из них 3 в переплете. Взято два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете. Обозначим: А – первый взятый учебник в переплете, В – второй учебник в переплете. Тогда:  ,  .Вероятность события В найдена при условии, что произошло событие А (т.е. условная вероятность). Событие: АВ – оба учебника в переплете. Тогда по теореме умножения:  .Пример 2.6. В отделе 7 менеджеров и 3 экономиста. Какова вероятность того, что выбранные наугад три сотрудника окажутся экономистами? Решение. Первый способ. События: А – первый сотрудник окажется экономистом, В – второй сотрудник окажется экономистом, С – третий сотрудник окажется экономистом. События А, В, С – зависимые, тогда по теореме умножения:  .Второй способ. Событие А – выбранные наугад три сотрудника окажутся экономистами.  .Пример 2.7. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами. Решение. Событие А – первым отобран мужчина; В – вторым отобран мужчина, С – третьим отобран мужчина. Вероятность того, что первым будет отобран мужчина:  .Вероятность того, что вторым отобран мужчина, при условии, что первым уже был отобран мужчина, т. е. условная вероятность события В следующая:  .Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, т. е. условная вероятность события С:  .Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами находится по теореме умножения:  .Пример 2.8. Фирма получает заказ на поставку товара от двух магазинов. Определить вероятность того, что ни один из магазинов не сделает заказ, если вероятность того, что один магазин сделает заказ – 0,43, два магазина сделают заказ – 0,48. Решение. События: А – один магазин не сделает заказ, В – два магазина сделают заказ, С – ни один из магазинов не сделает заказ. А, В, С – образуют полную группа несовместных событий, поэтому:  Пример 2.9. Определить вероятность поломки трех компьютеров, если вероятность поломки каждого из них 0,3. Решение. Событие А – поломка трех компьютеров.  Пример 2.10. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания при одном выстреле. Решение. Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из трех выстрелов (событие А) равна:  , где q — вероятность промаха. По условию, Р(А) = 0,875. Следовательно, 0,875=1 – q3, или  = 1 – 0,875 = 0,125.Отсюда  . Искомая вероятность  .Пример 2.11. Вероятность попадания при одном выстреле 0,4. Какова вероятность получения хотя бы одного попадания при трех выстрелах? Решение. В задаче рассматривается вероятность появления события хотя бы один раз. Тогда  ,  , Пример 2.12. Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами. Решение. Для вручения приза достаточно, чтобы хотя бы одна из четырех попыток была успешной. Вероятность успешной попытки р=0,5, а неуспешной  . Искомая вероятность: .Пример 2.13. Из 30 вопросов, предложенных на экзамене, первый студент знает ответы на 20 из них, второй на 25 и третий на 15 вопросов. Найти вероятность того, что на предложенный наудачу вопрос: а) ответит хотя бы один из этих студентов, б) ответят только двое из этих студентов. Решение. Рассмотрим события: А – на предложенный наудачу вопрос ответит первый студент, В – на предложенный наудачу вопрос ответит второй студент, С – на предложенный наудачу вопрос ответит третий студент. а) Чтобы найти вероятность того, что на предложенный наудачу вопрос ответит хотя бы один из этих студентов, нужно найти вероятность события А+В+С. Первый способ.  ; т.к. события А, В, С – совместные. ,  ,  и события А, В, С – независимые, то  .Второй способ. Т.к.  противоположные события, то   .б) Чтобы найти вероятность того, что на предложенный наудачу вопрос ответят только двое из этих студентов, нужно найти вероятность события  .Т.к.  несовместные события, то  .Пример 2.14. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков? Решение. Введем обозначения событий: А – ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков; Ai– на выпавшей грани i-й кости (i=1, 2 . . . , n) не появится 6 очков. Интересующее нас событие А состоит в совмещении событий А1, А2,…, Аn, т.е. А= А1, А2,…, Аn. Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна Р(Аi) = 5/6. События Aiнезависимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:  .По условию,  . Следовательно,  . Отсюда, учитывая, что  , найдем: п > 6,6.Таким образом, искомое число игральных костей n≥ 7. Пример 2.15. Для поражения цели достаточно одного попадания. Определить расход снарядов для выполнения упражнения с вероятностью 75%, если вероятность попадания при одном выстреле 5%. Решение. По формуле вероятности появления события хотя бы один раз:  ,  ,  .По условию  , тогда  =>  . .Пример 2.16. Три студента производят по одному выстрелу в мишень с вероятностью попадания 0,7, 0,8 и 0,9. Какая вероятность того, что в мишени окажется: а) три пробоины, б) одна пробоина, в) хотя бы одна пробоина, г) не менее двух пробоин. Решение. События: А1 – попадание первого студента, А2 – попадание второго студента, А3 – попадание третьего студента.   .а)   б)  , .в)  , .г)  , .Пример 2.17. Электрическая цепь между точками М и N составлена по схеме изображенной на рисунке. Различные элементы этой цепи работают независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы элементов А1, А2, А3, А4 за время t соответственно равна: 0,6, 0,8, 0,7, 0,9. Определить вероятность безопасной работы всей системы за время t.  Решение. Участок MN будет пропускать ток, если работают элементы А1, А4 и либо А2, либо А3, т.е.:  А2 и А3 – совместные события.  Пример 2.18. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны:  =0,1;  = 0,15;  = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.Решение. Элементы включены последовательно, поэтому тока в цепи не будет (событие А), если откажет хотя бы один из элементов. Искомая вероятность  .Пример 2.19. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). Решение. Обозначим через А событие – извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: H1–белых шаров нет, H2 – один белый шар, H3–два белых шара. Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е.  .Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров,  .Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар,  .Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара  .Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:  Пример 2.20. По танку производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле 0,4; при втором – 0,5; при третьем – 0,7. Для вывода танка из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании танк выходит из строя с вероятностью 0,2; при двух попаданиях – с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов танк будет выведен из строя. Решение. Обозначим через А – событие, состоящее в том, что в результате трех выстрелов танк будет выведен из строя. Рассмотрим четыре гипотезы: Н0 – в танк не попало ни одного снаряда, Н1 – в танк попал один снаряд, Н2 – в танк попало два снаряда, Н3 – в танк попало три снаряда. Найдем вероятность гипотез:  Условные вероятности события А при этих гипотезах:  ,  ,  ,  .Применяя формулу полной вероятности, получим:  |