Учебник по олимпиадной экономике. Учебник по олимпиадной экономике для школьников
 Скачать 4.49 Mb.
|
|
Подставим наши критические точки (1 и ? 12 5 ): y 00 (1) = 20 + 42 ? 144 ? 207 3(1 + 3 + 4.5) 3 ? ?1.57 < 0 y 00 (? 12 5 ) ? 1.21 > 0 Следовательно, x = 1 - это максимум нашей функции, а x = ? 12 5 - минимум. Собственно, вот как выглядит наша функция: 20 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 21: График функции y = 10x + 7 3x 2 + 9x + 13.5 Таким образом можно анализировать абсолютно любые функции. Запомните одно очень важное правило: в олимпиадах для оптимизации функции ОБЯЗАТЕЛЬ- НО необходимо указывать, как она выглядит. Данный пункт есть во всех критериях. Если вы оптимизируете функцию и не указываете, как выглядит ее график, то у вас в любом случае снимут баллы! Так и пишите: графиком данной функции является парабола ветвями вниз или графиком функции является прямая с положительным наклоном или рисуй- те небольшую картинку как выглядит функция. Одним словом вы ОБЯЗАТЕЛЬНО должны хоть как-то указать, что вы понимаете, как она выглядит. Ограничения в оптимизации Чаще всего встречаются задачи на оптимизацию с ограничениями. Как выводить ограничения из условия задачи мы поговорим чуть позже, а сейчас посмотрим на задачи оптимизации с уже полученными ограничениями. Допустим, наша задача - максимизировать следующую функцию с ограничениями: y = 6x + 10 s.t. 0 > x > 5 Графиком данной функции является прямая. Оптимизация прямой с ограничениями довольно проста: максимум всегда достигается на одном из ограничений (либо в x = 0, либо в x = 5). Данная функция возрастает по x, следовательно, для ее максимизации мы возьмем максимальное значение x . Тогда максимум функции y = 6x + 10 достигается при x ? = 5 и равен y ? = 40 . Посмотрите на графическую интерпретацию: 21 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 22: Оптимум линейной функции с ограничениями Точно так же, например, будет максимизироваться парабола ветвями вверх. Максимум всегда будет на одном из ограничений, как бы они ни были расположены: Рис. 23: Оптимум всешда на одном из ограничений То есть для максимизации параболы ветвями вверх достаточно посмотреть на значения функ- ции в каждом ограничении и посмотреть, какое из них больше. Альтернативный вариант - посмот- реть, какая точка дальше от вершины (чем дальше точка от вершины параболы, тем больше значение функции). Однако, второй метод работает только на параболе.. Максимум на одном из ограничений будет достигаться и во всех остальных функциях, име- ющих один локальный минимум. Например, функция y = x + 1 x будет максимизироваться точно так же (нужно рассмотреть значения в каждом ограничении и выбрать наибольшее). Пусть наши ограничения будут следующими: 1 3 > x > 5. Данная функция имеет вид Галочки и имеет один локальный минимум. Значит, нужно посмотреть на значения на ограничениях: y( 1 3 ) = 1 3 + 3 = 3 1 3 y(5) = 5 + 1 5 = 5 1 5 . 5 1 5 > 3 1 3 , значит, максимум функции достигается в точке x ? = 5 и равен y ? = 5 1 5 : 22 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 24: Максимум на галочке Все сказанное выше верно также для минимизации функций, чьи ветви направлены вниз. Далее мы рассмотрим максимизацию функций с ветвями вниз. (Все нижесказанное будет также верно для минимизации функций с ветвями вверх). Начнем с параболы. У параболы ветвями вниз максимум вершины находится в точке x ? = ?b 2a , однако, не стоит забывать про ограничения. Промаксимизируем, допустим, вот эту параболу с ограничением: y = ?x 2 + 6x + 10, s.t. 0 6 x 6 5 Это парабола ветвями вниз, а, следовательно, имеет максимальное значение в вершине. x ? = ?b 2a = ?6 ?2 = 3 . Вершина удовлетворяет нашему ограничению, значит, максимум достигается при x = 3. Теперь посмотрим на следующую параболу: y = ?2x 2 ? 24x ? 145 s.t. 0 6 x 6 5 Вершина данной параболы находится в точке x ? = ?6 , однако, вершина параболы лежит вне наших ограничений. Получается, мы рассматриваем нашу параболы только на следующем промежутке: Рис. 25: Максимум в нуле Соответственно, максимум достигается в точке x = 0. Получается, можно применять следующее правило при максимизации параболы ветвями вниз: если вершина параболы недоступна, то максимум достигается в ближайшей точке к вершине. Но есть еще одно более употребимое в решении задач правило: 23 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Для функций с одним экстремумом верны следующие утверждения: Если оптимум не удовлетворяет одному из ограничений, то оптимумом является это ограничение. Если оптимум не удовлетворяет нескольким ограничениям, то оптимумом является одно из этих ограничений и их просто нужно сравнить. Все эти утверждения основаны на том факте, что ограничение, выбивающее наш оптимум, будет к нему ближе всего. Например, оптимумом нашей прошлой функции являлся x ? = 6 , но он не удовлетворял огра- ничению x > 0. Следовательно, оптимумом является это самое ограничение: x = 0. Теперь рассмотрим максимизацию следующей функции: y = ?4x ? 16 x + 20 s.t. 0 < x 6 1 Предположим, мы не знаем, как она выглядит, так что немного ее проанализируем. Приравняем первую производную к 0: y 0 = ?4 + 16 x 2 = 0 4 = 16 x 2 x 2 = 4 x = ±2 Нас интересуют только положительные значения x, так что будем анализировать только корень x = 2 (у функции есть разрыв в точке x = 0, так как она там не определена, но при x > 0 функция непрерывна). Проверим, что точка x = 2 является максимумом функции с помощью второй производной: y 00 = (?4 + 16 x 2 ) 0 = (16x ?2 ) 0 = ?32x 3 = ?32 x 3 = ?4 < 0 Так как вторая производная отрицательная, то в точке x = 2 функция имеет максимум. Далее проверяем ограничения, и оказывается, что x = 2 не удовлетворяет ограничению x 6 1. Следовательно, оптимум достигается на ограничении: x = 1. Посмотрите на графическую интерпре- тацию: Рис. 26: Максимум галочки с ограничениями Более сложные случаи coming soon 24 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Оптимизация с параметром В этом разделе я покажу один пример оптимизации функции с параметром. Вообще, параметры - довольно продвинутая область в школьной математике, для которой требуются хорошие навыки и значительные умственные усилия. Задачи с параметрами бывают настолько разноплановые, что нет никакого универсального метода их решения. Разберем пример одной такой задачи: Будем максимизировать функцию с ограничениями и параметром: y = ax 2 ? 10x + 5 s.t. 0 6 x 6 4 Здесь a - это параметр, который может принимать любые вещественные значения. Так что задача сводится к тому, чтобы найти оптимальное (максимизирующее y) значение x для любого значения a . Приступим. Первым делом при оптимизации функции всегда нужно сказать, как выглядит ее график (если сказать не можете - придется проводить матанализ с помощью первой и второй производной). Ока- зывается, что при различных значениях параметра график функции может выглядеть по-разному. Так, при a < 0 график - парабола с ветвями вниз, при a > 0 - с ветвями вверх, а при a = 0 график - вообще прямая с отрицательным наклоном. Так что нам придется рассмотреть все 3 случая. 1) a < 0 Наша функция - парабола с ветвями вниз. Максимум - в вершине. Вершина параболы находится в точке x ? = ?b 2a = 5 a . Заметим, что так как a < 0, то вершина отрицательна, следовательно, не удовлетворяет ограничению x > 0. Значит, оптимум в точке x = 0. 2) a > 0 Наша функция - парабола с ветвями вверх. Максимум - на одном из ограничений. Подставим их и сравним: y(0) = 5, y(4) = 16a ? 35 Найдем, при каких значениях x = 0 дает большее значение функции: 5 > 16a ? 35 40 > 16a a < 2.5 Соответственно, при a = 2.5 два значения равны (то есть оба x = 0 и x = 4 являются оптимумами), а при a > 2.5 оптимумом является x = 4. Тогда оптимум: ? ? ? x = 0 a < 2.5 x = 4 a > 2.5 x ? {0; 4} a = 2.5 3) a = 0 Тогда y = ?10x+5. y убывает по x, следовательно, чтобы максимизировать y, нужно взять наименьший x: x = 0. Таким образом, общий оптимум выглядит следующим образом (при всех a 6 0 оптимумом явля- ется x = 0): ? ? ? x = 0 a < 2.5 x ? {0; 4} a = 2.5 x = 4 a > 2.5 Оптимизация кусочных функций Оптимизация кусочных функций довольно часто встречается на продвинутых этапах олимпиад, хотя, на самом деле, в ней нет ничего сложного. Запоминайте алгоритм: 25 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Чтобы прооптимизировать кусочную функцию, необходимо отдельно прооптимизировать каждый участок данной функции, найдя соответствующие оптимумы, а затем сравнить значения участков в этих оптимумах. То есть оптимум будет только на одном из участков функции, в какой-то конкретной точке. Для этого нам нужно понять, какое значение аргумента мы выберем, если окажемся на каждом отдельном участке. Исходя из этого мы и будем выбирать участок. Давайте посмотрим на примере. Мы будем максимизировать следующую функцию: y = 10x ? x 2 x < 6 y = 16x ? x 2 ? 36 x > 6 Прооптимизируем каждый участок. Начнем с первого: y = 10x?x 2 . Функция - парабола ветвя- ми вниз, значит, максимум в вершине. Вершина находится в точке x ? = ?b 2a = 5 . x ? = 5 удовлетворяет ограничению x < 6. Значит максимальное значение функции на этом участке равно y ? = 25 Рассмотрим второй участок. Он также является параболой с ветвями вниз, следовательно, оптимум - в вершине. Найдем вершину: x ? = ?b 2a = 8 . x ? = 8 удовлетворяет ограничению x > 6. Значит, максимальное значение функции на этом участке равно y ? = 28 Так как 28 > 25, то максимум функции достигается на втором участке. Следовательно оптимум функции достигается при x = 8. Оптимизация функций нескольких переменных Такое тоже иногда встречается, но все реже и реже, так как прослеживается тенденция к дематематизации олимпиадной экономики. И все же, задачи на оптимизацию нескольких переменных все еще можно встретить на заключительных этапах олимпиад. Если вам стало страшно, то, несмотря на то, что такие задачи считаются довольно сложными, у них также присутствует алгоритм решения: Для оптимизации функции с несколькими переменными необходимо прооптимизировать функ- цию сначала по одной переменной, представив другие переменные параметрами, подставить оп- тимум обратно в функцию, затем прооптимизировать по следующей переменной и так далее по всем переменным. То есть мы по очереди выбираем оптимальные значения переменных, начиная с последней. Ведь когда мы будем выбирать значение последней переменной, все остальные будут уже выбраны, и оптимизация будет действительно похожа на оптимизацию с параметром. Давайте проминимизируем следующую функцию с ограничениями: f = x 2 + y 2 ? 3xy s.t. ? 3 6 x 6 3; ?1 6 y 6 2 Найдем оптимум сначала по x. Относительно x это парабола с ветвями вверх, следовательно, оптимум находится в вершине. x ? = ?b 2a = 3y 2 . Проверим оптимум на ограничения: ?3 6 3y 2 6 3 ?2 6 y 6 2 Выполняется всегда, так как ?1 6 y 6 2 из условия. Подставим оптимум обратно. Тогда наша функция будет иметь вид: f = 9 4 y 2 + y 2 ? 9 2 = ? 5 4 y 2 Данная функция является параболой ветвями вниз, значит максимум - на одном из ограниче- ний. Заметим, что вершина нашей параболы находится в точке y ? = 0 . Ограничение y = 2 дальше от 26 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике вершины, чем y = ?1, следовательно, минимум достигается при y = 2. Тогда оптимальный x равен x = 3y 2 = 3 Довольно частая ошибка - считать оптимум сразу по двум переменным. Например, данная функ- ция является параболой ветвями вниз сразу по двум переменным. Тогда в минимуме для каждой переменной оптимум выглядит следующим образом: y = 3x 2 , x = 3y 2 . Решив систему из этих двух оптимумумов, получим x = 0 и y = 0, что не является минимумом данной функции, хотя и удовлетворяет всем ограничениям (можете подставить и проверить). Это так называемая седловая точка, критическая точка первого порядка. Она даже не является экстремумом. Так что максимизируйте функции по каждой переменной по очереди и будет вам счастье. Дискретная (целочисленная) оптимизация Иногда в олимпиадах по экономике можно встретить задачки, которые вас просят решать в целых числах. Оптимизация в таких задач немного отличается для нецелочисленных. Все довольно просто для линейных функций и парабол: на линейных функциях все вообще остается как раньше, а чтобы найти, например, целочисленный максимум на параболе ветвями вниз, достаточно найти вершину и взять ближайшую к ней целочисленную точку. Сложнее обстоят дела с другими функциями. Для их анализа в целочисленной оптимизации нам понадобится дискретная производная. Для примера рассмотрим минимизацию галочки f(x) = x+ 21 x на множестве x > 0. Дискретной производной в экономике мы называем следующую функцию: f 0 d = f (x) ? f (x ? 1) То есть дискретная производная - это значение функции в точке x минус значение функции в точке x ? 1 . Таким образом, дискретная производная показывает, на сколько увеличил функцию каждый конкретный x. Нам будет интересен знак этой производной. Рассмотрим дискретную производную нашей функции: f 0 d = f (x) ? f (x ? 1) = x + 21 x ? ((x ? 1) + 21 x ? 1 ) f 0 d = 1 + 21 x ? 21 x ? 1 = x 2 ? x ? 21 x(x ? 1) Заметим, что мы рассматриваем x > 1, так как иначе наша дискретная производная просто не имеет смысла (мы будем вычитать что-то, не входящее в область x > 0). Тогда знаменатель дроби положителен. Рассмотрим числитель. Он является параболой с ветвями вверх и вершиной в точке x ? = 1 2 . Получается, для наших зна- чений x > 1 числитель возрастает, причем сначала он отрицателен. Тогда существует единственная точка его пересечения с 0 на x > 1. Найдем ее: x 2 ? x ? 21 = 0 x = 1 + ? 85 2 ? 5.1 Следовательно, если x < 5.1, то дискретная производная отрицательная. Это значит, что функ- ция в любой целой точке, где x < 5.1 будет меньше, чем значение в предыдущей точке. Если же x > 5.1 , то функция для этой точки будет иметь большее значение, чем в предыдущей. Так что же мы имеем? Для точек 1,2,3,4,5 функция все время становится меньше и меньше, но если мы возьмем x = 6, то оказывается, что значение функции больше чем в предыдущей, и так будет верно и для любых x > 6. Получается, что свое минимальное значение функция принимает при x = 5. Обратите внимание на то, что ближайшая точка к нецелочисленному оптимуму не работает, так как другие функции (помимо параболы) не симметричны относительно вершины! 27 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Монотонные преобразования в оптимизации Монотонное преобразование - это такая функция, применение которой не меняет промежутки монотонности функции, то есть те участки, на которых функция возрастает либо убывает. Моно- тонное преобразование всегда выполняется с помощью строго возрастающей функции. Например, если прибавить к функции константу, то она не изменит участки, на которых убывает или возрастает. Это значит, что прибавление к функции константы является монотонным преобразованием. В общем случае, если нам нужно промаксимизировать функцию g(f(x)) (с любыми ограничени- ями), то, если g(f) является возрастающей функцией, то нам достаточно просто промаксимизировать функцию f(x). Вот вам простой и непростой варианты. Простой: чтобы промаксимизировать функцию ?x 2 +x 2 , нам достаточно промаксимизировать ?x 2 + x Непростой: если нам нужно промаксимизировать функцию y = (78234758x 2 ?7863x+67122345) 3 , то здесь можно увидеть f(x) = 78234758x 2 ?7863x+67122345 и g(f) = f 3 . Так как g(f) = f 3 является строго возрастающей функцией, то нам достаточно просто промаксимизировать f(x) = 78234758x 2 ? 7863x + 67122345 . Более того, и эту функцию можно разбить на две: f ? (x) = 78234758x 2 ? 7863x и g ? (f ? ) = f ? + 67122345 . Так как g ? (f ? ) - строго возрастающая функция, то нам достаточно просто промаксимизировать f ? (x) = 78234758x 2 ? 7863x ВНИМАНИЕ ! Здесь описаны методы оптимизации по одной переменной. Другие вспомогательные методы оптимизации, без которых невозможно будет решать задачки, будут описаны в разделе Полезность, так как их разумнее всего изучать уже на практике при решении задач. 28 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Теория потребителя и Полезность Данный раздел относится к категории индивидуальной оптимизации. Здесь мы рассмотрим алгоритм принятия решений конкретным потребителем и то, на основании чего строится этот алго- ритм. ВНИМАНИЕ! Здесь и далее мы будем довольно много обсуждать индивидуальную оптимизацию. Сущетву- ет три основных способа оптимизации: метод основной функции (в простонародье - в лоб), метод предельных функций и метод линий уровня. Эти три метода применяются не только в теории по- требителя, но и во всех остальных разделах индивидуальной оптимизации. Однако, описывать эти методы я буду только здесь! Классическая максимизация полезности Главное понятие в теории потребителя в олимпиадной экономике - это функция полезности. Потребитель получает некоторое удовольствие от потребляемых товаров. Полезностью потребителя мы называем степень счастья потребителя. Естественно, нам сложно измерить каким-либо образом эту самую степень счастья, но мы считаем, что можно сравнить нашу полезность от различных наборов товаров. Таким образом, мы сможем найти оптимальный набор товаров, максимизирующий нашу полезность. Рассмотрим самую простую функцию полезности: U = x + y, где x и y - количества каких-либо благ, доступных нам для покупки. Например, приобретение 10 товаров y и 10 товаров x принесет нам полезность 20, а приобретение 15 единиц товара y принесет 15 единиц полезности и т.д. Также у потребителя имеется бюджетное ограничение (если бы никаких ограничений не было, то экономика не была бы наукой). Оно чаще всего (за исключением каких-то супернавороченных случаев), возникает из ограниченного бюджета потребителя и цен товаров, которые тот хочет купить. В общем случае бюджетное ограничение выглядит следующим образом: X x?X xP x 6 I Здесь X - все множество товаров, x - какой-то конкретный товар из этого множества, P x - цена этого товара (стандартное обозначение от P rice), I - доход потребителя (Income), которым он располагает для покупки этих товаров. Для тех, кому страшно, держите следующее бюджетное ограничение для двух товаров (обычно оно и используется в задачах): yP y + xP x 6 I Методы максимизации полезности Теперь, наконец приступим к обещанным методам оптимизации. В каждом методе, для разно- образия, будем решать разные задачки. Здесь будут приведены максимально развернутые объясне- ния этих методов, чтобы вы с большей вероятностью их поняли. Приводить все эти объяснения на олимпиадах не нужно. Метод основной функции (в лоб) 29 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Будем решать следующую задачку: U = xy; P x = 2, P y = 5, I = 100 Один раз переведу: Нам необходимо получить как можно большую полезность от покупки товара x и товара y, если наша полезность задается функцией U = xy, то есть количества двух товаров домножаются друг на друга (например, если это хлеб и масло), при условии, что x стоит 2 д.е. за штуку, а y - 5 д.е. за штуку, а всего у нас 100 д.е. Сначала разберемся с бюджетным ограничением. Изначально оно выглядит следующим обра- зом: 2x + 5y 6 100 Здесь необходимо сказать, остается ли в ограничении неравенство или же оно заменяется ра- венством. Запоминаем правило: Если функция полезности нестрого возрастает (не убывает) хотя бы по одной переменной, то в бюджетном ограничении выполняется строгое равенство. Этот факт необходимо обязательно указывать в решении олимпиадных задач, он прописан во всех критериях. Это правило выполняется потому, что на любые оставшиеся деньги мы покупаем тот товар, по которому наша полезность возрастает. Таким образом, мы потратим все наши деньги. В нашем случае видно, что полезность возрастает и по x, и по y. Можно посмотреть также по производным: U 0 (x) = y > 0, U 0 (y) = x > 0. Следовательно, наше бюджет принимает вид строгого равенства: 2x + 5y = 100 Метод прямой оптимизации основной функции заключается в том, что мы будем просто мак- симизировать нашу полезность. Заметим, что в полезности U = xy есть две переменных, которые мы выбираем. Однако, эти две переменные связаны строгим равенством, которым мы можем вос- пользоваться. Выразим из бюджетного ограничения x и подставим в полезность: x = 100 ? 5y 2 U = xy = 100y ? 5y 2 2 Здесь все же можно было провести максимизацию по двум переменным с ограничением. Про- максимизируем сначала по x. U = xy является возрастающей линейной функцией по x, так как y > 0. Следовательно, возьмем максимальное значение x, используя ограничение 2x + 5y 6 100, из которого x 6 100?5y 2 . Следовательно, максимально возможное значение x = 100?5y 2 . Подставив, получим точно такую же функцию U = xy = 100y?5y 2 2 У нас получилась функция одной перемнной, которую мы можем легко прооптимизировать. Заметим, что для максимизации функции мы можем убрать константы и множители. То есть мак- симизировать функцию U = xy = 100y?5y 2 2 то же самое, что и максимизировать функцию 100y ? 5y 2 Это - парабола ветвями вниз, следовательно, максимум в вершине. Вершина: y ? = 10 . Проверяем на ограничения y > 0 и x > 0. Второе ограничение сводится к x = 100?5y 2 > 0. Подставив y = 10, получаем, что оба ограничения выполняются. Следовательно, наш оптимум: y = 10, x = 100?5y 2 = 25 30 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Метод предельных функций Предельные функции - это производные функции от основных функций (они так называются из-за того, что производная является пределом). Данный метод немного сложнеее в плане обосно- вания, зато значительно проще в задачах с тремя и более товарами, которые другими методами практически невозможно решить. Другими словами, крайне советую пользоваться данным ме- тодом в любых задачах на оптимизацию с 3 и более переменными. В чем же состоит метод? Так как производная - это скорость роста функции, то производная полезности по какому-либо товару показывает, сколько полезности принесет каждая конкретная единица товара. Другими словами, производная функции показывает вклад каждого конкретного аргумента в значение функции (то есть на сколько увеличится полезность, если мы купим дополнительную единицу товара). Рассмотрим следующую задачу: U = 4 ? y + x; P x = 2, P y = 4, I = 80 Предельная функция в экономике обозначается добавлением буквы M к функции (от слова M arginal ). Например, MU x - предельная полезность товара x, то есть производная функции полез- ности по x. Сейчас у нас: M U x = 1, M U y = 2 ? y Но, на самом деле, нас интересуют не эти величины, а следующие: M U x M C x и, соответственно, M U y M C y Давайте сначала разберемся, что такое MC x и MC y . Мы знаем, что MC x = T C 0 x . А что такое T C x ? Если вы хорошо ознакомились с обозначениями, это общие затраты на покупку X. Их можно записать следующим образом: T C x = P x x = 2x . Тогда MC x = P x = 2 . По сути, предельные затраты на x как раз равны его цене. Ведь предельные затраты - это на сколько увеличатся наши общие затраты, если мы приобретем еще одну единицу x. Теперь, наконец, разберемся, что такое M U x M C x . Если MU x показывает, сколько полезности нам приносит каждая единица x, то M U x M C x показывает, сколько полезности нам приносит каждая денежная единица, вложенная в x. Следовательно, анализируя именно эту величину для каждого товара, мы поймем, куда выгоднее вкладывать деньги. Найдем эти величины: M U x M C x = 1 2 M U y M C y = 1 2 ? y Существует два способа оптимизации функции через предельные полезности. Решение с нулевого случая Рассмотрим ситуацию, когда мы ничего не покупаем, то есть x = 0 и y = 0. Тогда M U x M C x = 1 2 , а M U y M C y - бесконечность (делим на 0). То есть для первой маленькой денюжки, вложенной в y, отдача в виде полезности будет практически бесконечной. Даже если мы купим какое-нибудь маленькое количество y (например, 0.01), то отдача от вложенных средств будет довольно большой. Получается, что сначала выгоднее вкладывать наши деньги в y. Но, покупая y, мы снижаем его отдачу ( 1 2 ? y уменьшается),и в какой-то момент она сравняется с отдачей от x (которая является константой и не зависит от количества купленных товаров). Давайте посчитаем, когда это произойдет: 1 2 = 1 2 ? y 31 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике y = 1 То есть как только мы купим 1 единицу y, далее выгодно будет покупать только x (так как если мы купим еще y, отдача от него окажется меньше). Купим ли мы 1 единицу y? Да, на это требуется 4 д.е., а их у нас 80. Тогда у нас останется 76 д.е., на которые мы купим 38 единиц x. Итого, наш оптимум - купить y = 1 и x = 38. Этот метод решения через предельные полезности довольно популярен, но пользоваться им нужно с осторожностью. Не советую вам решать предельные функции через нулевой случай, так как он может приводить к ошибочным результатам при решении некоторых задач (мы скоро разберем одну из таких). И, тем не менее, это довольно понятный способ, и стоит посмотреть его на различных задачках, чтобы понять, как работает процесс поиска оптимального набора товаров. Решение через сравнения предельных функций Данный способ является универсальным и более строгим, чем предыдущий. Пусть мы уже купили сколько-то x и сколько-то y. Тогда мы попадем в одну из ситуаций: либо M U x M C x > M U y M C y , либо M U x M C x 6 M U y M C y Если M U x M C x > M U y M C y , то, получается, мы что-то сделали неправильно: сейчас мы можем забрать денюжку с покупки y и потратить ее на покупку x, причем, так как отдача у x больше, то наша общая полезность от этого действия вырастет. Последнее, на что нужно посмотреть, - это что произойдет, когда мы перекинем эту денежку. Итак, мы теперь купим меньше y и больше x, чем раньше. Тогда M U x M C x = 1 2 не изменится, а M U y M C y = 1 2 ? y увеличится. Таким образом, эти две величины станут ближе друг к другу (т.к. изначально M U x M C x > M U y M C y , и вторая величина растет, приближаясь к первой). Получается, что мы будем перекидывать деньги стовара y на товар x либо до того момента, когда у нас закончатся y, либо до того момента, когда две отдачи сравняются: M U x M C x = M U y M C y . Две отдачи сравняются при y = 1, следовательно, все y у нас не закончатся. Тогда у нас останется 76 д.е., на которые мы купим 38 единиц x. Тогда оптимум: y = 1 и x = 38. Аналогично для ситуации M U x M C x 6 M U y M C y (можете проделать то же самое и убедиться, что един- ственный оптимум - когда две отдачи равны). Давайте решим еще одну задачу через два вышеописанных способа: U = x 2 + 5y, P y = 2, P x = 3, I = 30 Сразу говорим, что бюджетное ограничение имеет вид равенства, так как полезность возрастает и по x, и по y: 2y + 3x = 30. Найдем наши предельные отдачи: M U x M C x = 2x 3 M U y M C y = 5 2 Сначала попробуем решить эту задачу с нулевого случая. Когда мы ничего не покупаем, M U x M C x = 2x 3 = 0 , а M U y M C y = 5 2 , то есть вначале нам выгодно вкладываться в y, так как у x нулевая отдача. Когда мы вкладываемся в y, обе отдачи не изменяются, следовательно, нам и дальше выгодно вкладываться в y. Получается, что оптимум: y = 15. Ииии. . . это неправильный ответ, так как мы не учли, что отдача от x является возрастающей и может превысить значение в 5 2 , если мы начнем закупать "невыгодные"x. Давайте теперь попробуем решить через сравнения: 32 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Пусть M U x M C x < M U y M C y , тогда нам выгодно перекинуть денежку с x на y. То есть теперь y увеличится, а x уменьшится. Тогда M U x M C x = 2x 3 уменьшится, а M U y M C y = 5 2 не изменится. Получается, теперь нам тем более выгодно перекидывать денежки с x на y, ведь отдача от x теперь еще меньше. Таким образом, мы все перекинем на y, то есть купим y = 15, как мы и получили в предыдущем способе. НО! мы не расмотрели второй вариант. Если M U x M C x > M U y M C y , то нам выгодно перекидывать денежки уже с y на x. (В случае равенства нам все равно, так что можно и перекинуть). Но тогда все происходит наоборот: так как мы увеличиваем количество x, отдача от него возрастает и нам дальше выгодно также перекидывать на его покупку денежки! Тогда оптимум в этом случае достигается, когда мы тратим все деньги на покупку x, то есть x = 10. Оказывается, у нас в задаче два возможных оптимума. Остается только сравнить их: U x=0,y=15 = 75 U x=10,y=0 = 100 Получается, что глобальный оптимум - приобрести 10 единиц x. Первый способ с нулевого случая не показал нам этот оптимум. Именно поэтому, в решении через предельные полезности я советую пользоваться вторым способом (через сравнения). Метод линий уровня В этом методе мы разберем еще один очень важный в экономике инструмент, который любят современные экономисты, - линии уровня. Давайте рассмотрим пример, а после попробуем дать определение. Допустим, функция полез- ности имеет вид U = xy. Зафиксируем значение U ? . Тогда в координатах (x; y) функция имеет вид y = U ? x , то есть вид гиперболы. Причем заметим, что чем больше значение U ? , тем выше будет наша гипербола. Таким образом, вот так выглядят линии уровня для нашей функции полезности: Рис. 27: Линии уровня функции полезности U = xy. 33 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Линия уровня - это множество значений аргументов функции, при которых эта функция имеет одно и то же значение. Так как мы хотим, чтобы наша полезность была как можно больше, то мы хотим оказаться на наиболее высокой из доступных нам линий уровня. Какие же линии уровня нам доступны? Для этого изобразим на том же графике наше бюджетное ограничение. Пусть у нас будет P x = 1, P y = 4, I = 40 Тогда бюджетное ограничение можно записать как x + 4y 6 40. Оно выглядит следующим образом: Рис. 28: Бюджетное ограничение с линиями уровня полезности. Теперь мы должны выбрать точку внутри нашего треугольника, но так, чтобы оказаться на как можно более высокой линии уровня. Заметим, что чем выше линия уровня, тем меньше ее точек лежит внутри нашего треугольника. То есть мы будем подниматься все выше и выше по линиям уровня, пока у нас не останется всего одна общая точка с бюджетным ограничением. Получается, что в таком случае наша оптимальная линия уровня будет являться касательной к бюджетному ограничению (или, наоборот, бюджетное ограничение - касательная к линии уровня): Рис. 29: Оптимум - точка касания. Осталось найти точку касания. Известно, что в ней производные функций должны быть равны. Линия уровня: y = U x , значит, y 0 = ? U x 2 |