Учебник по олимпиадной экономике. Учебник по олимпиадной экономике для школьников
 Скачать 4.49 Mb.
|
|
y и имеющая наклон ? P x P y . Соот- ветственно, чем больше выручка (T R), тем выше будет прямая: Рис. 119: Линии уровня цен. Само же соотношение P x P y называется относительной ценой товара x, и показывает, сколько 187 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике товара y можно купить на одну единицу товара x. По сути, P x P y - это альтернативные издержки товара x при торговле. При определении относительной цены Всегда стоит ставить цену горизонтальной оси (x) наверх в дроби, так как это показывает нужный наклон линии цен. Наклон линии цен к оси Y , соответственно, равен P y P x В простых случаях при торговле мы просто сравниваем альтернативные издерджки товара и его относительную цену ( P x P y ) . Если относительная цена x выше альтернативных издержек, то это значит, что за один товар x мы можем купить больше y, чем могли бы произвести вместо него. Следовательно, в таком случае выгоднее производить x и продавать его. Если же, наоборот, альтер- нативные издержки больше относительной цены, то производить выгоднее y. Линия цен будет нами использоваться для того, чтобы определять, что именно выгодно про- изводить. Посмотрим на то, как это работает. Рассмотрим КПВ, задающееся функцией y = 18 ? 2x. Для данной КПВ определим, какой именно набор товаров выгоднее всего производить, с помощью линии цен. Так как мы хотим наибольшую выручку, нас интересует наивысшая линия цен, имеющая хотя бы одну точку пересечения с нашими производственными возможностями. В таком случае точка пересечения и будет оптимальной точкой производства. Пусть P x = 3 , P y = 2 , то есть P x P y = 3 2 . Тогда наклон линии цен ( 3 2 ) положе наклона КПВ (2). В таком случае у нас получится следуюшая картина: Рис. 120: Определение оптимальной точки производства. Как вы видите, в таком случае мы будем производить только y. Точно также можно определять 188 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике оптимальные точки производства на других, более сложных КПВ, просто поднимая линию цен и рассматривая наклоны (например, если КПВ имеет вид окружености, мы будем поднимать линию цен, пока она не станет касательной к окружности). Оптимизация основной функцией Конечно же, выручку при постоянных ценах можно оптимизировать и в лоб. Рассмотрим этот метод оптимизации на примере следующей задачи: У нас в распоряжении имеется завод с КПВ, задающейся уравнением y = 16 ? x 2 . Мы можем произвести любое доступное нам количество товара, все издержки уже понесены. Товары мы продаем по следующим ценам: P x = 8 , P y = 2 . Нужно определить, какое количество x и y выгоднее всего произвести, чтобы максимизировать выручку. Чтобы решить задачу, выпишем нашу целевую функцию (выручку): T R = P x ? x + P y ? y = 8x + 2y Теперь нужно сказать, что мы будем полностью использовать наши ресурсы, так как выруч- ка возрастает по каждому товару (то есть мы будем производить строго на КПВ, а не под ней). Следовательно, в оптимизации будет верно уравнение нашего КПВ (y = 16 ? x 2 ), которое мы мо- жем использовать, подставив в нашу функцию. Далее у нас останется только одна переменная, по которой мы можем промаксимизировать нашу выручку: T R = 8x + 2y = 8x + 2(16 ? x 2 ) = 8x ? 2x 2 + 32 x ? ? max Это парабола ветвями вверх, значит, нам нужна вершина: x ? = 2 Проверяем: мы можем произвести x = 2 (y не становится отрицательным). Следовательно, оптимальной точкой производства является x = 2 и y = 16 ? x 2 = 12 Данный способ выглядит довольно просто на этом примере, однако я настоятельно советую пользоваться линией цен для решения задач при фиксированных ценах. Например, в случае с ку- сочной КПВ метод прямой оптимизации значительно усложняется, тогда как решение с помощью линии цен все еще остается довольно простым. Вывод функции предложения в КПВ Точно также можно находить предложение фирмы, обладающей определенной КПВ. Допустим, наша КПВ задается уравнением y = 25 ? x 2 25 . P y = 1 , и нашей задачей будет построить функцию предложения товара x данной фирмы. Делать это можно любым из вышеописанных способов, просто проведя оптимизацию с P x в виде параметра (собственно, как мы и выводим предложение любого совершенного конкурента). Я буду делать это простой оптимизацией: T R = P x ? x + P y ? y = P x ? x + 25 ? x 2 25 x ? ? max Это парабола ветвями вниз, нам нужна вершина: x ? = 25P x 2 Проверяем ограничение: максимальный x, который фирма может произвести найдем, прирав- няв y к 0: 0 = 25 ? x 2 25 189 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике x = 25 Теперь проверим вершину на это ограничение (x 6 25): 25P x 2 6 25 P x 6 2 Иначе (при P x > 2 ) нам придется взять ограничение, которое, нас выбило, то есть x = 25. Теперь мы можем построить функцию предложения фирмы: x = 25P x 2 P x 6 2 25 P x > 2 Оптимизация монополиста на КПВ Вместо задачки просто рассмотрим, чем оптимизация монополиста отличается от оптимизации при фиксированных ценах: 1. Вместо цен в функцию выручки мы подставляем не числа, а функции спроса. Например, если монополист работает на двух рынках с функциями спроса x = 5 ? P x и y = 10 ? P y , то, выразив цены из функций спроса, его выручку мы можем записать как T R = P x ? x + P y ? y = (5 ? x)x + (10 ? y)y 2. Всегда существует оптимум выручки, то есть такой набор x и y, при которых выручка макси- мальна. Эта точка в некоторых задачах может находиться под КПВ. Таким образом, чтобы промаксимизировать выручку монополиста на КПВ, необходимо: 1. Найти максимум выручки. 2. Проверить, не находится ли он под КПВ. Если он под или на КПВ, то ответ задачи найден. Если точка над КПВ, то мы говорим, что в таком случае мы будем использовать все наши возможности (уравнение КПВ будет выполняться в оптимуме). 3. Если точка максимума выручки над КПВ, максимизируем выручку, подставляя в нее функции спроса и функцию КПВ (таким образом, у вас получится функция от одной переменной). Взаимовыгодная торговля стран Рассмотрим те же страны, что были в самом начале темы: 190 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 121: Те самые две страны. Для начала нашей задачей будет найти условия взимовыгодной торговли, то есть такие уровни относительных цен P x P y , при которых обе страны согласятся на торговлю друг с другом. Есть несколько способов, как это сделать, но я советую один универсальный: найти, когда страны не торгуют, и сказать, что при всех остальных P x P y торговля возможна. Торговля между странами невозможна, если они производят один и тот же товар. Сначала найдем, когда обе страны будут производить только y, то есть когда линия цен кос- нется каждой КПВ в самой верхней точке. Здесь я делаю ставку на ваше воображение, чтобы не загромождать эту тему еще большим количеством графиков. Для того, чтобы линия цен коснулась КПВ в самой верхней точке, ее наклон должен быть положе, чем наклон самого верхнего участка. То есть P x P y < 0.5 для страны А и P x P y < 1 для страны Б. То есть если выполняются оба условия (это происходит при P x P y < 0.5 ), обе страны делают только y и не торгуют друг с другом. Аналогично, если P x P y > 2 , то обе страны делают только x и также не торгуют. Следоватльно, при 0.5 6 P x P y 6 2 торговля возможна. Другим вопросом будет кто что экспортирует, а кто что импортирует при различных уровнях цен от 0.5 до 2. Для начала стоит сказать, что при 0.5 < P x P y < 2 линия цен будет касаться КПВ страны А в точке (10;10), так как будет иметь наклон круче, чем на верхнем участке, но положе, чем на нижнем, то есть страна А будет производить и x, и y. Вопрос остается только в том, что будет производить страна Б. При P x P y < 1 линия цен положе, чем наклон КПВ в стране Б, следовательно, она коснется ее в верхней точке, и страна Б будет производить y. В таком случае, при торговле со страной А страна Б будет экспортировать y и импортировать x. При P x P y > 1 все наоборот: линия цен касается КПВ в точке x = 10, и при торговле со страной А страна Б будет экспортировать x и импортировать y. Если же P x P y = 1 , то линия цен просто совпадет с КПВ страны Б, то есть стране Б будет вообще безразлично, какую точку производить. В таком случае торвголя может идти в любую сторону: страна может как импортировать, так и экспортировать любой товар. Построение КТВ Теперь мы будем учиться строить КТВ - кривую торговых возможностей. КТВ - это кривая, отражающая полное и эффективное использование ресурсов при производстве и торговле. КТВ 191 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике не может быть ниже КПВ ни в какой точке, так как торговля увеличивает возможности, иначе страна (или любой другой агент) не согласится на торговлю. В качестве примера я также буду использовать две страны, которые мы рассматривали ранее: Рис. 122: Две страны, которые сейчас будут торговать друг с другом. Нашей задачей будет построить КТВ каждой страны при условии, что P x P y = 4 и страны торгуют только друг с другом. Для начала найдем, кто чем будет торговать. Для этого проведем линию цен с наклоном 4 и определим оптимальные точки производства. Этот наклон положе, чем 5, значит, в стране А линия цен коснется КПВ сверху и она будет делать только y. Аналогично, оптимальной точкой производ- ства в стране Б будет самая правая точка, и она будет производить только x. (Иллюстрация будет немного позже). После того, как мы определили оптимальные точки производства, мы начинаем из них торго- вать. То есть мы можем менять из этих точек x на y или наоборот в соотношении 4 единицы y за одну единицу x (исходя из уровня относительных цен). Таким образом, из оптимальной точки про- изводства мы можем торговать с наклоном 4. Чтобы это изобразить, мы строим прямую с наклоном 4 прямо из этой точки (а это и есть линия цен, которая проходит через эту точку). Таким образом, данная прямая и будет являться КТВ страны. Посмотрите на иллюстрацию на примере страны А: 192 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 123: КТВ страны А Так как страны торгуют только друг с другом, нам нужно дополнительно проверить, все ли точки на КТВ нам доступны. Максимальное количество x, которое страна А имеет возможность купить - 250 ( 1000 4 ). Страна Б в оптимуме производит 500 единиц y, то есть 250 она продать может. Значит, полученная нами КТВ является итоговой. Со страной Б будет немного сложнее. Проделав те же самые манипуляции, мы понимаем, что, так как она производит 500 единиц x, то имеет возможность купить 2000 единиц y (500*4). Одна- ко, страна А может продать ей только 1000 единиц, и на этом торговля закончится. Получается, торговать из своей точки с наклоном 4 страна Б сможет только до того момента, пока не купит 1000 единиц y. После этого у нас останется 500 ? 1000 4 = 250 единиц x. Далее, если страна Б хочет получить большее, чем 1000 единиц y, они может это сделать только произведя их. Страна Б будет допроизводить y по вектору производства из ее оптимальной точки производства. А теперь, чтобы осознать все это, внимательно посмотрите на иллюстрацию ниже: 193 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 124: КТВ страны Б Ну вот мы и научились строить КТВ. 194 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Неравенство В данной теме мы разберем актуальную экономико-популистскую проблему неравенства в рас- пределении доходов между населением стран. Неравенство в доходах - неотъемлемая часть рыночной экономики, и важная социальная проблема в некоторых странах. Экономика особый упор делает на измерение уровня неравенства, а также на предсказание вляния различных событий, которые могут произойти в обществе, на этот уровень. Кривая Лоренца и коэффициент Джини Кривая Лоренца и коэффициент Джини являются основными метриками неравенства в эконо- мике. Кривая Лоренца - это кривая, строящаяся в координатах {доля в населении ; доля в доходе} по следующему принципу: каждая точка на кривой Лоренца с координатами (x,y) показывает, какую долю дохода y получает доля x беднейшего населения страны. Базовые факты про кривую Лоренца: 1. Так как x и y - доли, то они не могут превышать значения 1. 2. Кривая Лоренца обязательно проходит через точки (0;0) и (1;1), так как 0% населения точно обладают 0% дохода, а 100% населения гарантированно обладают 100% доходов. 3. Никакая точка на кривой Лоренца не может быть выше прямой y = x. Докажем: Пусть N - население страны, а I - суммарный доход населения. В таком случае средний доход человека в стране равен I N Теперь рассмотрим точку выше кривой y = x в координатах Лоренца (то есть y > x). Это значит, что беднейшие x ? N человек обладают доходом в y ? I. Тогда их средний доход равен y?I x?N = y x ? I N > I N , так как y > x. Следовательно, беднейшая группа людей имеет средний доход больший, чем средний доход по стране. Получается, что эта группа людей не может быть беднейшей. Таким образом, точка не может лежать выше прямой y = x. 4. Прямая y = x называется прямой абсолютного равенства. Действительно, если вся кривая Лоренца лежит на прямой y = x, то какую бы точку мы не взяли, средний доход группы всегда будет равен y?I x?N = x?I x?N = I N . То есть любая группа людей получает доход, равный среднему доходу в стране. Получается, все имеют одинаковый доход. 5. Кривая абсолютного неравенства задается прямыми y = 0 и x = 1. Посмотрите на графическую иллюстрацию, чтобы все осознать (я буду откладывать обозначе- ния на оси x = 1, так как так удобнее всего дальше с ними работать): 195 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 125: Кривая Лоренца На данном графике вы можете увидеть, что в стране, которую описывает данная кривая Ло- ренца, 20% беднейшего населения получают лишь 4% дохода страны (точка А), а 60% буднейшего населения получают 36% дохода страны (точка В). Например, это значит, что 40% богатейших людей обладают 64% дохода. Теперь перейдем к тому, как можно "измерить" неравенство в стране в численном выражении. Самая распространенная мера (и единственная, используемая в задачах по олимпиадной экономике) - это коэффициент Джини. Коэффициент Джини (G) - это отношение площади над кривой Лоренца, но под прямой абсолютного равенства (на графике площадь S 1 ) к площади всего треугольника (которая равна S = 1 ? 1 ? 1 2 = 1 2 ). Таким образом, коэффциент Джини равен 2S 1 Так как площадь S 1 не может быть больше площади треугольника, то коэффициент Джи- ни может принимать лишь значения 0 6 G 6 1. Чем выше значение коэффициента, тем большее неравенство в доходах достигается в стране (тем дальше кривая Лоренца от прямой абсолютного равенства и тем она ближе к кривой абсолютного неравенства). Если кривая Лоренца совпадает с прямой абсолютного равенства, то коэффициент Джини равен 0. Если кривая Лоренца совпадает с кривой абсолютного неравенства, то коэффициент Джини равен 1. Доход в конкретной точке 196 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Как вы могли заметить, по оси X на графике располагаются люди от самого бедного к самому богатому. Кривая Лоренца позволяет нам посчитать доход человека, находящегося в конкретной точке на этой оси (то есть человека, имеющего какую-то координату x 0 ). В таком случае доход человека можно задать как y 0 (x 0 ) ? I N , где y(x) - функция кривой Лорен- ца (соответственно, y 0 (x) - это производная кривой Лоренца). Данное утверждение верно, так как y 0 (x) = ?y ?x , то есть производная кривой Лоренца обозначает прирост доли дохода группы при добавлении дополнительной точки населения в эту группу, то есть, по сути, долю дохода этой конкретной точки. Если умножить эту величину на средний доход в стране ( I N ), то как раз получится доход конкретного человека в этой точке. Из данного факта следует, что производная кривой Лоренца не может убывать, то есть доход каждого следующего человека не может быть меньше дохода предыдущего, так как они рас- положены по возрастанию дохода. Равномерное распределение доходов внутри групп населения Обычно в задачах встречаются страны, в которых присутствуют несколько различных групп населения, причем эти группы называются "однородными". Другими словами, в таких группах до- ходы разделены равномерно. Так как все члены группы получают одинаковый доход, то производ- ная кривой Лоренца на протяжении всей группы оказывается одинаковой, поэтому участок кривой Лоренца для группы оказывается прямым отрезком. Соответственно, если все группы являются од- нородными, то кривая Лоренца принимает вид ломаной кривой. Как именно это выглядит смотрите в следующей теме. Подсчет коэффициента Джини Существует два способа подсчета Джини в задачах. Хочу заметит, что в олимпиадных задачах не будут просить посчитать коэффициент Джини ни для каких структур населения, кроме однород- ных. Если кривая Лоренца не является ломаной (а задается какой-либо другой функцией), то подсчет Джини будет включать в себя вычисление интегралов, что не включается школьную программу 10 классов, а, следовательно, не должно включаться в олимпиадные задачи. Таким образом, здесь будут разобраны основные способы вычисления коэффициента Джини для однородных групп населения. Разберем их: Вычисление коэффициента Джини по определению Для вычисления коэффициента Джини по определению нам нужно будет высчитывать площа- ди и делить их друг на друга. Сразу же разберем процесс вычисления на примере задачи. Допустим, нам необходимо вычислить коэффициент Джини для страны, в которой проживает три одинаковых по численности группы населения: бедные, средние и богатые. Каждый бедный зарабатывает 1 монету, каждый средний - 3 монеты, а каждый богатый - 5 монет. Для подсчета коэффициента Джини нам необходимо построить кривую Лоренца. Сейчас она будет состоять из трех звеньев, и нам достаточно найти точки перелома. Первая точка - ( 1 3 ; 1 9 ), так как бедные получают 1 1+3+5 = 1 9 долю дохода. Второй точкой перелома будет переход между средними и богатыми. Вместе, бедные и средние получают 1+3 1+3+5 = 4 9 . Тогда вторая точка перелома - ( 2 3 ; 4 9 ). Между этими точками расположены прямые отрезки, так как группы однородны. Теперь мы можем построить кривую Лоренца: 197 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 126: Кривая Лоренца для трех однородных групп На графике вы можете заметить, что посчитать площадь S 1 сразу не так уж и просто, поэтому мы высчитаем нижнюю площадь, которая состоит из треугольника T 1 и трапеция T 2 и T 3 , а затем вычтем их из площади большого треугольника, чтобы получить S 1 Рассчитаем нижние площади: T 1 = 1 3 ? 1 9 ? 1 2 = 1 54 T 2 = ( 1 9 + 4 9 ) ? 1 3 ? 1 2 = 5 54 T 3 = ( 4 9 + 1) ? 1 3 ? 1 2 = 13 54 Так как площадь большого треугольника равна S = 1 2 , то мы можем найти площадь S 1 : S 1 = S ? (T 1 + T 2 + T 3 ) = 1 2 ? 19 54 = 8 54 Теперь мы можем найти коэффициент Джини по определению как отношение S 1 к площади большого треугольника: G = S 1 S = 8 54 1 2 = 8 27 198 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Вычисление коэффициента Джини через таблицу Решим ту же самую задачу другим способом, для которого нам все равно необходимы точки перелома кривой Лоренца. Этот способ будет работать только для однородных групп населения. В таблице будут находится два столбца, в которых необходимо выписать подряд точки на кривой Лоренца: слева - доли в населении, справа - доли в доходе. Таблица в случае нашей задачи будет выглядеть следующим образом: Рис. 127: Таблица для вычисления коэффициента Джини Теперь можем считать коэффициент Джини: он будет равен сумме зеленых диагональных про- изведений за вычетом суммы красных диагональных произведений. Посчитаем: G = 1 3 ? 4 9 + 2 3 ? 1 ? 1 9 ? 2 3 ? 4 9 ? 1 = 8 27 Этот способ имеет за собой громоздкое доказательство, которое я здесь приводить не буду. Данный метод можно использовать без доказательства на олимпиаде. Не забывайте, что если в задаче меняется доход групп, то они могут поменяться местами (напри- мер, богатые могут стать средними или бедные могут стать самыми богатыми). В таком случае группы поменяются местами по оси X, и необходимо будет пересчитывать все точки. 199 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Построение кривой Лоренца для определенной группы В последнее время довольно часто в олимпиадных задачах требуют построить кривую Лоренца не для всего населения, а для какой-либо его части. Рассмотрим пример такой задачи: Кривая Лоренца в стране описывается функцией y = x 2 . В стране существует три группы населения: бедные (25% беднейшего населения), богатые (25% богатейшего населения) и средние (все остальные). Нашей задачей является построить кривую Лоренца распределения доходов для средней группы населения. Изобразим графически условие задачи: Рис. 128: Графическое изображение условия Задачей является изобразить жирную линию, отражающую неравенство среди средних, как отдельную кривую Лоренца, и задать ее функцией. Для этой цели существует довольно незамысловатый способ: Возьмем случайную точку на изначальной кривой Лоренца (у меня она имеет координаты x b и y b ). Этой точке будет соответствовать какая-то точка на новой кривой Лоренца (дадим ей координаты x a и y a ). Известно, что человек, нраходящийся в этой точке, не изменит свое положение относительно других людей. Следовательно, слева и справа будет находится одинаковое количество людей. 200 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике На изначальной кривой Лоренца слева от этого человека среди средних была x b ? 1 4 доля насе- ления, а справа - 3 4 ? x b доля населения. На новой кривой Лоренца, где средние растянутся не от 1 4 до 3 4 , а от 0 до 1, слева будет x a ? 0 = x a доля населения, а справа - 1 ? x a Так как данный человек не поменял место относительно других, то соотношения доли людей слева от него и доли людей справа должны не измениться, то есть верно будет следующее равенство: x b ? 1 4 3 4 ? x b = x a 1 ? x a x b = x a 2 + 1 4 То же самое будет верно и для оси дохода: y b ? 1 16 9 16 ? y b = y a 1 ? y a y b = y a 2 + 1 16 Нашей задачей является составить кривую Лоренца для средних, то есть функцию y a = f (x a ) , которая будет говорить о том, какую долю доходов получают средние среди средних. Мы знаем зависимость y b от x b : y b = x 2 b . Используя эту зависимость и ранее полученные зависимости, можем составить интересующую нас функцию: y b = x 2 b y a 2 + 1 16 = ( x a 2 + 1 4 ) 2 y a = x 2 a 2 + x a 2 Вот мы и получили функцию, описывающую кривую Лоренца среди средних. Сложение кривых Лоренца Один из самых сложных видов задач на неравенство - это сложение кривых Лоренца в случае, например, объединения стран. Допустим, в мире существует две страны с равными численностями населения и равными до- ходами. В первой стране наблюдается абсолютное равенство, тогда как во второй стране кривая Лоренца описывается уравнением y 2 = x 2 2 . Необходимо найти кривую Лоренца в случае объединения данных стран в одну. На самом деле, такая задача является задачей оптимизации, так что у нее существует два классических метода решения: через предельные и через основные функции. Решение через предельные функции (доходы людей) Для решения такой задачи нам необходимо выстроить население стран в порядке возрастания дохода. Для этого нам нужно понять, сколько получает каждый конкретный человек по формуле дохода из начала главы: y 0 (x) ? I N . Так как и I, и N по условию задачи между странами равны, можем их сократить без потери общности. Нам нужно расчитать производные кривых Лоренца, чтобы понять доходы каждого человека. Так как в первой стране полное равенство, то кривая Лоренца описывается функцией y 1 = x 1 , то есть y 0 1 = 1 . Получили, что каждый человек в первой стране зарабатывает 1 условную д.е. 201 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Во сторой стране y 2 = x 2 2 , то есть y 0 2 = 2x 2 . Таким образом, каждый человек зарабатывает по-разному, в зависимости от его положения по оси X. Так как 0 6 x 2 6 1, то каждый человек во второй стране зарабатывает от 0 до 2 условных д.е. Найдем, в какой точке доход во второй стране равен доходу в первой: 2x 2 = 1 x 2 = 1 2 Таким образом, ровно половина населения второй страны получает меньше, чем жители первой страны, а половина - больше. Следовательно, на суммарной кривой Лоренца по оси X (по оси доли в населении), будет идти сначала половина населения второй страны (чей доход меньше, чем доход каждого человека в первой стране), затем все население первой страны, а затем вторая половина второй страны. На графике это будет выглядеть следующим образом: Рис. 129: Суммарная кривая Лоренца Точки на оси Y находим следующим образом: Рассчитаем, какие доли дохода получала бедная половина второй страны: подставим их в урав- нение изначальной кривой Лоренца: y 2 = x 2 2 = ( 1 2 ) 2 = 1 4 . Таким образом, раньше бедная половина 202 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике получала лишь 1 4 от общей доли доходов, имея долю 1 2 в населении. В суммарной КПВ суммарные население и доход увеличилось в 2 раза, следовательно, теперь они будут иметь 1 8 доли в доходе и 1 4 доли в населении. Вторая точка перехода между группами: Мы прибавляем к первой точке 1 2 долю населения (все населения первой страны), которые будут иметь 1 2 долю нового суммарного дохода, получая, соответственно, 3 4 по населению и 5 8 по доходу. Теперь, чтобы выполнить задание построения кривой Лоренца, нам осталось построить уравне- ния каждого участка (их у нас 3). Это построение можно выполнить довольно большим количеством способов, здесь я приведу самый универсальный. Проще всего построить уравнение прямой по двум точкам: y = x ? 1 8 Найдем производную этой прямой: y 0 = 1 Соответственно, на суммарной КПВ каждый житель первой страны также получает 1 у.е. Так- же известно, что столько же получает самый богатый из первой группы ( красной ), и столько же получает самый бедный из третьей группы ( синей ), то есть производные их функций в точках 1 4 и 3 4 также равны 1. Найдем уравнение красной группы: Мы знаем, что это парабола (так как изначально распределение имело форму параболы). За- дадим ее как y = ax 2 + bx + c . Параболу можно построить по трем фактам. У нас они есть: 1) Она проходит через (0; 0) 2) Она проходит через ( 1 4 ; 1 8 ) 3) В точке x = 1 4 ее производная равна 1 Производная нашей параболы выглядит как y 0 = 2ax+b . Запишем наши знания в виде системы: ? ? ? 0 = a ? 0 + b ? 0 + c 1 8 = a ? ( 1 4 ) 2 + b ? 1 4 + c 1 = 2a ? 1 4 + b Решив систему, получаем, что a = 2, b = 0, c = 0. Значит, уравнение этого участка имеет вид y = 2x 2 То же самое проделаем для второго ( синего ) участка, Выпишем три факта: 1) Точка (1; 1) 2) Точка ( 3 4 ; 5 8 ) 3) Производная в точке x = 3 4 равна 1. Выписываем систему: ? ? ? 1 = a ? 1 + b ? 1 + c 5 8 = a ? ( 3 4 ) 2 + b ? 3 4 + c 1 = 2a ? 3 4 + b Решив, получаем a = 2, b = ?2, c = 1. Тогда уравнение имеет вид y = 2x 2 ? 2x + 1 Таким образом, мы нашли все нужные нам уравнения. Теперь запишем целиком получившееся уравнение кривой Лоренца: ? ? ? y = 2x 2 0 6 x 6 1 4 y = x ? 1 8 1 4 < x 6 3 4 y = 2x 2 ? 2x + 1 3 4 < x 6 1 203 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Решение через основную функцию (в лоб) Данный метод сложения кривых Лоренца базируется на том, что для каждой конкретной доли в населении нужно найти минимальный доход, который может получать эта группа (в таком случае, мы по определению получим кривую Лоренца). Для этого возьмем долю населения x 1 из первой страны и x 2 из второй страны. В суммарном населении это будет доля x = x 1 ?N +x 2 ?N 2N = x 1 +x 2 2 Вспоминаем, что изначальные кривые Лоренца в задаче имели вид y 1 = x 1 и y 2 = x 2 2 . Тогда доля в доходе выбранных нас групп будет равна y = x 1 ?I+x 2 2 ?I 2I = x 1 +x 2 2 2 Так как мы должны получить функцию y = f(x), добавим в формулу x, подставив его из соотношения x = x 1 +x 2 2 : x = x 1 + x 2 2 x 1 = 2x ? x 2 y = x 1 + x 2 2 2 = 2x ? x 2 + x 2 2 2 Теперь нам осталось проминизировать данную функцию по x 2 , так как для каждой доли y мы выбираем минимальный уровень дохода, который она может получать. y = 2x ? x 2 + x 2 2 2 x 2 ? ? max ?x 2 + x 2 2 x 2 ? ? max x ? 2 = 1 2 Проверяем оптимум на следующие ограничения: 0 6 x 1 6 1 и 0 6 x 2 6 1. Переведем первое ограничение на x 2 : 0 6 x 1 6 1 0 6 2x ? x 2 6 1 2x ? 1 6 x 2 6 2x Проверяем по порядку: ограничения 0 6 x 2 6 1 выполняются при x 2 = 1 2 . Проверяем остальные: 1 2 > 2x ? 1 3 4 > x Получается, при x > 3 4 оптимум неверен, следовательно, мы берем выбившее нас ограничение x 2 = 2x ? 1 Проверяем последнее ограничение: 1 2 6 2x 1 4 6 x Тогда при x < 1 4 мы также возьмем выбившее нас ограничение: x 2 = 2x Вот так выглядит оптимальный x 2 с учетом всех ограничений: 204 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике x 2 = ? ? ? 2x x < 1 4 1 2 1 4 6 x 6 3 4 2x ? 1 x < 3 4 Подставив полученную функцию x 2 в изначальную функцию y = 2x?x 2 +x 2 2 2 , получим итоговую формулу кривой Лоренца: ? ? ? y = 2x 2 x < 1 4 y = x ? 1 8 1 4 6 x 6 3 4 y = 2x 2 ? 2x + 1 3 4 < x 205 |