Учебник по олимпиадной экономике. Учебник по олимпиадной экономике для школьников
 Скачать 4.49 Mb.
|
|
x обозначают, во сколько раз больше y мы получим, чем x, которое мы потратим, то есть величину ? ?y ?x . "Минус" перед дробью стоит потому что мы теряем товар, чтобы произвести новый, а альтернативные издержки положительны. Теперь, если вы знаете математическое определение производной, то можете заметить, что мы получили просто отрицательную производную, то есть: OC x = ? ?y ?x = ?y 0 x Что же такое y 0 x ? Это производная зависимости y от x, то есть нашего КПВ. Таким образом, мы можем воспользоваться геометрическим свойством производной и считать тангенс наклона с осью X. Так как тангенсы смежных углов противоположны, то OC x нам покажет угол, смежный с положительным направление оси. Все это также будет верно и в другую сторону, то есть для y и его альтернативных издержек, то есть OC y = ?x 0 y Рассмотрим иллюстрацию всего того, что я сейчас понаписал: 169 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 104: Геометрический смысл альтернативных издержек. Как вы можете заметить, для разных точек наклоны касательных разные, так что в каждой точке будет свое значение альтернативных издержек. Отсюда же следует, что, так как линейная КПВ в каждой имеет одинаковую касательную, то и альтернативные издержки на линейной КПВ будут всегда постоянными. В общем, если в задаче написано, что альтернативные издержки постоянны, то это обозначает линейную КПВ. Построение КПВ Первое, чему мы научимся - это строить КПВ. Запоминаем самое главное правило в построении: КПВ всегда получается из какого-то ограничения. Если ограничения нет, то, в принципе, возможно все. Это довольно важное правило, которым мы всегда будем пользоваться в построении КПВ. Например, в предыдущей задаче с ручками и карандашами нашим ограничением были 100 рублей, имеющиеся в наличии, и, выписав наше ограничение в явном виде, мы тут же получили функцию КПВ. Рассмотрим стандартный пример построения КПВ. Допустим, у нас есть 2 товара: X и Y . Для производства данных товаров нам требуется труд. Соответственно, известно, как именно производят- ся товары, то есть производственные функции данных товаров: x = 4 ? L x , y = 2L y . Соответственно, L x - количество труда, которое используется в производстве x, а L y - количество труда, использу- емое в производстве y. Всего в наличии имеется 200 единиц труда, то есть L = 200. Задачей будет построить наше КПВ в координатах x ? y. Для того, чтобы построить КПВ необходимо понять, что нам нужно получить. Нам нужно по- лучить какое-то уравнение, связывающее x и y, а также отражающее наше ограничение. Собственно, 170 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике задачей будет преобразовать ограничение L = 200 так, чтобы оно не содержало L и содержало x и y Будем расписывать наше ограничение, пока не добъемся результата: L = 200 L x + L y = 200 Далее, мы можем выразить L x и L y через x и y с помощью производственных функций: x = 4 p L x L x = x 2 16 y = 2L y L y = y 2 Заменим все слагаемые в ограничении: L x + L y = 200 x 2 16 + y 2 = 200 Мы получили связь между нашими товарами. Эта зависимость уже описывает нужную нам КПВ. Чтобы мы могли построить данную зависимость на графике, стоит выписать ее в виде функ- ции, то есть выразить y в зависимости от x: x 2 16 + y 2 = 200 y = 400 ? x 2 8 Это стандартная парабола ветвями вниз. Можем изобразить ее на графике: 171 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 105: Итоговая КПВ. Построение КПВ с несколькими ограничениями Процесс построения КПВ с несколькими ограничениями не особо отличается от обычного по- строения. Разница лишь в том, что эти ограничения нужно в итоге правильно учесть. Сразу же рассмотрим пример задачи: У строителей имеется 320 досок (d) и 350 кирпичей (k). Строители умеют изготавливать три продукта. Для кирпичной печи (p) им необходимо 20 кирпичей. Для одноэтажного дома (x) им необходимы печь, 40 кирпичей и 40 досок. Для двухэтажного дома (y) им необходимы печь, 50 кирпичей и 80 досок. Нам необходимо построить их КПВ в координатах одноэтажный дом (x) - двухэтажный дом (y). Итак, вспоминаем, что любая КПВ берется из ограничений. У нас их два: d 6 320 k 6 350 Как и с прошлой задаче, нам нужно в этих ограничениях избавиться от d и k и внести туда x и y. Попробуем это сделать. Сначала разберемся с первым ограничением. Итак, на что мы расходуем доски? Только на дома. Нам нужно в 40 раз больше досок, чем у нас будет одноэтажных домов, да еще и в 80 раз больше досок, чем у нас будет двухэтажных домов. Итого всего досок d = 40x + 80y. Подставим это в наше ограничение и получим первое ограничение, выраженное строго черех x и y: d = 40x + 80y 6 320 172 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Теперь то же самое сделаем со вторым ограниченичением: Кирпичи мы расходуем на печи и оба типа домов. Необходимое нам количество кирпичей можно выразить следующим образом: k = 20p + 40x + 50y Подставим в ограничение: k = 20p + 40x + 50y 6 350 Однако, здесь остались еще и печи, от которых нужно избавиться, выразив через x и y. Мы знаем сколько печей нам нужно: по одной в каждый дом. Итого, p = x + y. Заменим, и получим второе ограничение: 20p + 40x + 50y 6 350 20x + 20y + 40x + 50y 6 350 60x + 70y 6 350 Теперь мы можем, например, выразить эти ограничения в виде функций, чтобы их было проще построить: 40x + 80y 6 320 y 6 4 ? x 2 60x + 70y 6 350 y 6 5 ? 6 7 x Так как оба ограничения должны одновременно выполняться, то мы будем брать их пересе- чение. На графике это выглядит как наложение МПВ. В таком случае говорится, что КПВ будет являться нижней огибающей наших ограничений, то есть линией, огибающей итоговое МПВ. По- смотрите на иллюстрацию: 173 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 106: КПВ с двумя ограничениями. Сложение КПВ Иногда в распоряжении агента может быть несколько полей/заводов/магазинов, каждый из которых обладает своим КПВ, а агенту интересно знать его общие возможности. Сложение КПВ - довольно популярная тема в олимпиадных задачах. По привычке я буду называть КПВ, которые мы складывем, полями. Задачи на сложение КПВ являются оптимизационными задачами, так в них всегда нужно выбирать, какой товар и в каком количестве производить на каждом поле для того, чтобы эффектив- но использовать эти поля.Как и все остальные оптимизационные задачи в олимпиадной экономике, задачи на сложение КПВ имеют несколько методов решения (включая один уникальный для данной темы способ). Рассмотрим их все по очереди. Сложение КПВ прямой оптимизацией основной функции (в лоб) Допустим, нам нужно сложить две следующие КПВ: 174 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 107: Сложение КПВ. Для сложения с помощью максимизации, нам нужно записать функции обеих КПВ: y 1 = 5 ? 5 8 x 1 y 2 = 8 ? 2x 2 Теперь, мы произведем y 1 на первом поле и y 2 на втором. Тогда выпишем суммарное количество товара y: y = y 1 + y 2 = 5 ? 5 8 x 1 + 8 ? 2x 2 Так как КПВ отражает максимальное количество одного товара при фиксированном значении второго, мы будем максимизировать y при фиксированном значении x (можно и наоборот, конечно же). Сейчас мы должны выбрать такие x 1 и x 2 в зависимости от x, чтобы итоговый y оказался максимальным. Так как все эти переменные связаны (x = x 1 + x 2 ), заменим одну переменную: x 2 = x ? x 1 y = 5 ? 5 8 x 1 + 8 ? 2x 2 = 5 ? 5 8 x 1 + 8 ? 2(x ? x 1 ) = 13 ? 2x + 11 8 x 1 x 1 ? ? max Выбрав, какое количество x отправить на первое поле, мы получим оптимальное распределение x по полям. Данная функция возрастает по x 1 . Следовательно, для ее максимизации нам просто нужно взять максимальный x 1 . А для этого нам нужно знать все ограничения на x 1 . Выпишем все ограничения из условия: 0 6 x 1 6 8 0 6 x 2 6 4 Так как мы выражали x 2 через x 1 (x 2 = x ? x 1 ), то ограничения на x 2 переходят и на x 1 : 175 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике 0 6 x ? x 1 6 4 x ? 4 6 x 1 6 x Так как нас интересует максимальный x 1 , то нам нужны только ограничения сверху: x 1 6 8 x 1 6 x Теперь, если x > 8, то верхнее ограничение оказывается строже, а если x 6 8 - то нижнее. Так как нужен максимальный x 1 , мы возьмем одно из этих ограничений (в зависимости от того, какое строже): x 1 = 8 x > 8 x 1 = x x 6 8 Подставим найденный оптимальный x 1 его обратно в функцию: y = 13 ? 2x + 11 8 x 1 = 13 ? 2x + 11 8 ? 8 x > 8 13 ? 2x + 11 8 ? x x 6 8 = 24 ? 2x x > 8 13 ? 5 8 x x 6 8 Изобразим данную кусочную функцию на графике и готово: Рис. 108: Суммарная КПВ. 176 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Оптимизация с помощью альтернативных издержек Данный метод похож на оптимизацию предельными функциями, однако имеет некоторую спе- цифику. Допустим, нам нужно сложить две КПВ, имеющие следующие функции: y 1 = 20 ? 4x 1 y 2 = 16 ? x 2 2 Их графики выглядят следующим образом: Рис. 109: Два поля. Решение с помощью альтернативных издержек представляет из себя решение с нулевого случая: выберем какой-то крайний случай и начнем от него отталкиваться. Советую брать за нулевой случай нулевое количество x. Если мы производим x = 0, то максимальное количество y = y 1 + y 2 = 36 . То есть мы начнем нашу КПВ из точки (0;36). Теперь нам нужно определиться, где мы начнем производить x: на первом или на втором поле. При решении через альтернативные издержки действует одно простое правило: мы будем производит x там, где дешевле, то есть там, где ниже OC x . Найдем альтернативные издержки на каждом поле: OC x 1 = ?(20 ? 4x 1 ) 0 x 1 = 4 OC x 2 = ?(16 ? x 2 2 ) 0 x 2 = 2x 2 177 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Как вы можете заметить, на первом поле альтернативные издержки постоянны, а на втором возрастают. Если мы не производим x, то на втором поле альтернативные издержки равны 0. Сле- довательно, начнем мы производить x на втором поле. В таком случае альтернативные издержки на нем будут возрастать, пока не достигнут значения 4. В этот момент выгоднее производить становится на первом поле, так как далее на втором издержки будут уже выше 4. Теперь нам нужно найти момент, в который OC x 2 станут равны 4: 2x 2 = 4 x 2 = 2 Таким образом, второе поле можно разделить на 2 участка: на одном из них альтернативные издержки меньше, чем на первом, а на другом больше. Посмотрите на графическую иллюстрацию: Рис. 110: Альтернативные издержки на втором поле. Теперь, когда мы знаем, как соотносятся альтернативные издержки между полями, мы можем приступить к построению суммарной КПВ. Для этого из точки (0;36) мы сначала пойдем по техно- логии второго поля, пока альтернативные издержки не станут равны 4. Далее мы будем производить x по технологии первого поля, пока оно не закончится (то есть сделаем 5 единиц x, итого будет уже 7 единиц x). И далее нам ничего не останется, кроме как продолжить производить по оставшейся части второго поля. Отложив все нужные отрезки, получим нашу суммарную КПВ: 178 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 111: Суммарная КПВ. Далее мы можем задать ее аналитически. Естественно, состоять кравнение этой КПВ будет из 3 участков. 1 участок ( зеленый ) - это сдвинутый наверх участок второго поля. Соответственно, сдвинем его функцию и получим y = 16 ? x 2 + 20 = 36 ? x 2 Второй участок (черный) - это перое поле, сдвинутое на 12 вверх и на 2 вправо. Сдвинем его функцию: y = 20 ? 4(x ? 2) + 12 = 40 ? 4x. Третий участок ( красный ) - сдвинутый на 5 вправо красный участок второго поля. Сдивнем: y = 16 ? (x ? 5) 2 = ?9 + 10x ? x 2 Итого, получаем полное уравнение нашей КПВ: y = ? ? ? 36 ? x 2 x 6 2 40 ? 4x 2 < x 6 7 ?9 + 10x ? x 2 x > 7 С помощью альтернативных издержек довольно просто складывать линейные КПВ. Так как на них альтернативные издержки постоянны, то мы всегда сначала производим товар на том поле, где они самые низкие (то есть на том, где КПВ имеет самый низкий наклон), затем - на следующем и т.д. Посмотрите как этой выглядит: 179 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 112: Сложение линейных КПВ. Также хочется сказать, что сложение с помощью альтернативных издержек не работает при сложении КПВ с возрастающей отдачей от масштаба. Это происходит из-за того, что мы не можем расположить участки по возрастанию альтернативных издержек, так как на возрастающей отдаче они убывают. Сложение КПВ векторным методом Данный метод является уникальным и применяется только в теме КПВ и нигде более. Для этого нам нужно понять, что любой набор двух товаров из нашего МПВ является вектором. (Если вы проходиле вектора, то знаете, что вообще любая точка является вектором). При векторном сложении нашей задачей будет сложить все вектора одного МПВ со всеми векторами другого МПВ. Таким образом, мы получим все доступные суммарные комбинации и суммарную КПВ. Лучше всего данный метод работает для сложения КПВ с возрастающей отдачей от масштаба. Лучше всего, как обычно, рассмотреть данный метод на примере. Мы возьмем как раз пример с возрастающей отдачей. Допустим, нам нужно сложить две следующие КПВ: 180 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 113: Сложение двух КПВ. Как вы можете заметить, у первой КПВ наблюдается положительная отдача от масштаба: изначально x производится с "крутым" наклоном (тангенс угла большой ? большие альтернативные издержки), а затем с "пологим", то есть сначала x имеет высокие издержки производства, а затем низкие. Приступаем к решению с помощью векторного метода Нам нужно выбрать, какая КПВ будет "базой", а какая - "надстройкой" (авторские термины). Советую брать за "базу" самую простую КПВ из предложенных. "Базой" у меня будет вторая КПВ. Как же это работает: для начала сложим первую КПВ с вертикальным вектором "базы". Вы- глядит это следующим образом: 181 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 114: Сложение "надстройки" с вертикальным вектором "базы". Вспоминаем нашу задачу: сложить все вектора одной КПВ со всеми векторами другой КПВ. Сейчас мы сложили все вектора "надстройки" только с одним вектором "базы", а нужно со всеми. Далее, для примера, возьмем один из векторов "надстройки", и сложим его со всеми векторами "базы". Как же нам это сделать? Без иллюстрации здесь не обойтись: 182 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 115: Векторное сложение. Допустим, у нас есть уже сложенный ветор "надстройки" ( красный ) с вертикальным вектором "базы" (черный). Теперь мы хотим сложить ( красный ) вектор не с черным "базы", а с оранжевым Так как оранжевый вектор является суммой черного и синего, то, чтобы сложить красный вектор не с черным, а с оранжевым , нам нужно просто прибавить к нему синий . Таким образом, получится зеленый вектор и мы попадем в точку A. Эта точка будет в нашем итоговом МПВ. Как вы могли заметить, синий вектор лежит на КПВ "базы". Значит, любой вектор "надстрой- ки" может быть сложен с любым вектором "базы", и для этого нужно отложить вектор, лежащий на "базе", от каждого вектора "надстройки". Все точки, лежащие на таких векторах и под ними, будут нам доступны. Изобразим на графике прибавление к "надстройке" всех векторов "базы", и отметив получившуюся КПВ: 183 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 116: Итоговая КПВ при векторном сложении. Торговля в КПВ Естественно, мы производим товары не просто так, а чтобы их продавать или ими обмениваться. Сейчас мы с вами посмотрим, какие варианты взаимодействия с рынками есть в теме "КПВ". Абсолютное и сравнительное преимущества Здесь и вдальнейшем я буду рассматривать торговлю на примере двух стран, обладающих соответствующими КПВ: 184 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 117: КПВ двух стран с подписанными OC x Для начала выучим концепции аболютного и сравнительного преимуществ, так как про них много спрашивают в тестах. Страна обладает абсолютным преимуществом по сравнению с другой страной в производ- стве товара, если она имеет меньшие издержки производства данного товара. Очень важно то, что в нашем случае при данных КПВ мы не можем сказать, какая страна обладает преимуществом по какому товару, так как мы не знаем, с какими издержками данные страны производят товары. Допустим, если добавить к условию, что в стране А работает 200 человек, а в стране Б - 500 человек, то говорить об абсолютном преимуществе уже можно. Давайте по очереди разберем товары: В стране А при полной специализации (ситуация, в которой страна производит только один вид товаров) 200 человек будут делать 1000 единиц товара. Получается, издержки на один товар равны 1 5 человека. В стране Б 500 человек делают 1000 единиц товара, значит, издержки на 1 товар равны 1 2 человека. Получается, что в стране А товар y производится с меньшими издержками, значит, страна А обладает абсолютным преимуществом в производстве товара y. Точно также можно рассуждать о производстве товара x. В данном случае получается, что в каждой стране товар x делает с издержками в 1 рабочую силу. Так как товар производится с одина- ковыми издержками в каждой стране, то ни одна страна не обладает абсолютным преимуществом 185 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике в производстве товара x. Заметьте, что "никто не обладает абсолютным преимуществом" и "мы не можем сказать, кто обладает абсолютным преимуществом" - разные вещи. Страна обладает сравнительным преимуществом по сравнению с другой страной в про- изводстве товара, если она имеет меньшие альтернативные издержки производства данного товара. В нашем случае альтернативные издержки x в стране А равны 5, а в стране Б равны 2. Зна- чит, страна Б обладает сравнительным преимуществом в производстве x. Интересный факт: так как альтернативные издержки y всегда обратны альтернативным издержкам x, то если одна страна обладает сравнительным преимуществом в одном товаре, то вторая страна всегда обладает сравни- тельным преимуществом в другом товаре. То есть в нашем случае страна А обладает сравнительным преимуществом в производстве товара y. Может так оказаться, что ни одна страна не обладает сравнительным преимуществом ни по какому товару. Это может произвойти в двух случаях: если у стран одинаковые альтернативные издержки, или же если у стран непостоянные, а потому несравнимые друг с другом аль- тернативные издержки. Если с первым случаем все понятно (если КПВ стран имеют одинаковый наклон, то ни одна из них не обладает сравнительным преимуществом), то вот вам иллюстрация для второго: Рис. 118: Ни у одной страны нет сравнительного преимущества. Как вы видите, на одном участке у страны А альтернативные издержки выше, чем у страны Б, а на втором - ниже. Таким образом, нельзя сказать, у какой страны меньше альтернативные издержки по какому-либо товару. Запоминаем еще одно важное правило, касаемое сравнительного преимущества: Если страна обладает сравнительным преимуществом в производстве некоторого товара по срав- нению с другой страной, то при торговле данных стран она будет экспортировать этот товар. Соответственно, другая страна будет экспортировать другой товар, в котором у нее также будет сравнительное преимущество. Уровень относительных цен и оптимизация на КПВ В большиснтве своем предприятия, фирмы и вообще все производят товары для того, чтобы их продавать. Сейчас мы с вами посмотрим, как именно происходит торговля в теме КПВ. Начнем с основного инструмента оптимизации: линии цен. 186 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Линии уровня относительных цен Начнем с того, что же такое эти линии уровня относительных цен (или же просто линия цен). По определению, линией цен называются все наборы товаров, за каждый из которых мы получаем одинаковую выручку. Теперь к тому, как выглядит линия цен. Попробуем записать ее функцию. Пусть мы произвели какое-то количество y и x и все продали. Тогда наша выручка составит T R = P x ? x + P y ? y . Зафик- сируем T R как постоянный уровень выручки и выразим y из данного уравнения, чтобы получить линию уровня: T R = P x ? x + P y ? y y = T R P y ? P x P y x Как вы можете заметить, это прямая, выходящая из точки T R P |