Учебник по олимпиадной экономике. Учебник по олимпиадной экономике для школьников
 Скачать 4.49 Mb.
|
|
которые я привел выше. Почему же MR = MC все же довольно часто является оптимумом прибыли? Да потому что это условие является экстремумом прибыли (Точкой, где производная равна 0): ? = T R ? T C ? 0 = T R 0 ? T C 0 = M R ? M C = 0 M R = M C Однако, нулевая производная прибыли не гарантирует вам, что вы нашли максимум. Это вполне может оказаться минимум или вообще какая-то случайная точка. Так что, рисуйте графики, господа. Дискриминация До этого момента мы рассматривали ситуацию, в которой монополист обязан ставить одну цену для всех (например, как в магазине). Однако, сущестувуют облтоятельства, при которых он может дискриминировать своих покупателей по цене. Запоминаем, что такое дискриминация: Дискриминация - ситуация, в которой за абсолютно одинаковые блага платиться различная цена. Например, если продавец на рынке продаст Пете штаны за 400 рублей, а Васе те же самые штаны за 300, то это будет являться дискриминацией. Также, любые скидки пенсионерам также являются дискриминацией: в итоге пенсионеры и не-пенсионеры платят различную цену за одно и то же благо. Очень часто дискриминацию путают с дифференциацией товара. Например, если разные зуб- ные щетки (даже от одного производителя) продаются по разной цене, то это не является дискри- минацией, так как товары различаются. В экономике принято разделять дискриминацию на три типа. Мы разберем теорию решения задач для каждого из них. Дискриминация 3 рода Дискриминацией третьего рода называется ситуация, в которой монополист может выделить среди потребителей несколько различных групп и назначать этим группам различные цены. На- пример, все те же самые скидки пенсионерам, в результате которых различные группы населения покупают один и тот же товар по разным ценам. При дискриминации 3 рода задачи можно разделить на сложные и простые на основании того, какой вид имеет функция издержек. Предельные издержки постоянные Допустим, монополист выделил две группы потребителей, предъявляющих спрос на его товар. Функции их спросов имеют следующих вид: 95 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Q 1 = 160 ? 2P Q 2 = 90 ? P Задачей будет определить, какую цену он назначит для каждой группы. В нашем случае мо- нополист будет иметь функцию издержек с постоянными предельными издержками: T C = 30Q M C = T C 0 = 30 В чем прелесть такой ситуации: мы можем разделить ее на две независимых оптимизации, так как Издержки на продажу товара одной группе не зависят от количества товара, которое мы продали второй группе (чтобы произвести каждую единицу товара нам просто требуется потратить 30 д.е.) Таким образом, максимизируем просто две отдельные прибыли: P 1 = 80 ? Q 1 2 ? 1 = P 1 Q 1 ? T C = (80 ? Q 1 2 )Q 1 ? 30Q 1 Q 1 ?? max Q ? 1 = 50 P 1 = 80 ? Q 1 2 = 55 P 2 = 90 ? Q 2 ? 2 = P 2 Q 2 ? T C = (90 ? Q 2 )Q 2 ? 30Q 2 Q 2 ?? max Q ? 2 = 30 P 2 = 90 ? Q 2 = 60 Задача решена. Предельные издержки не постоянные Гораздно сложнее решается ситуация, в которой издержки товара, продаваемого одной группе, зависят от количества товара, которое продается другой группе. Мы рассмотрим уже привычные нам два метода оптимизации для решения задач. Метод основной функции (в лоб) Рассмотрим задачу с двумя группами и функцией издержек монополиста: P 1 = 90 ? Q 1 P 2 = 60 ? Q 2 T C = Q 2 2 = (Q 1 + Q 2 ) 2 2 Так как мы решаем в лоб, просто выпишем нашу прибыль: 96 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике ? = P 1 Q 1 +P 2 Q 2 ?T C = (90?Q 1 )Q 1 +(60?Q 2 )Q 2 ? (Q 1 + Q 2 ) 2 2 = 90Q 1 ? 3Q 2 1 2 +60Q 2 ? 3Q 2 2 2 ?Q 1 Q 2 Q 1 ,Q 2 ???? max Здесь мы выбираем две независимые переменные: Q 1 и Q 2 , так что будем максимизировать функцию по двум переменным. Как это делать я уже объяснял в Матаппарате, но все же, давайте для закрепления полностью это проделаем. Будем максимизировать сначала по Q 1 , а затем по Q 2 По Q 1 данная функция имеет вид параболы ветвями вниз. Значит, оптимум в вершине: Q ? 1 = 90 ? Q 2 3 Проверяем на ограничение: Q 1 > 0 90 ? Q 2 3 > 0 Q 2 6 90 Однако, заметим, что мы не будем продавать Q 2 > 90 , так как по спросу ограничены Q 2 6 60 . Тогда Q 1 = 90?Q 2 3 всегда будет являться оптимумом. Подставим найденный оптимум обратно в функцию: ? = (90 ? Q 2 ) 2 6 + 60Q 2 ? 3Q 2 2 2 = 1350 ? 30Q 2 + Q 2 2 6 + 60Q 2 ? 3Q 2 2 2 = 1350 + 30Q 2 ? 4Q 2 2 3 Данная функция также является параболой ветвями вниз. Найдем вершину по Q 2 : Q ? 2 = 90 8 Мы нашли оптимум, так как 0 6 90 8 6 90. Найдем тогда оставшееся количество и, соответствен- но, цены: Q 1 = 90 ? Q 2 3 = 90 ? 90 8 3 = 630 24 = 105 4 P 1 = 90 ? Q 1 = 90 ? 105 4 = 255 4 P 2 = 60 ? Q 2 = 60 ? 90 8 = 195 4 Метод предельных функций Это решение, как вы может быть уже догадываетесь, заключается в построении функций MR и MC монополиста. Данный метод довольно эффективен, если есть более двух групп потребителей. Рассмотрим предыдущую задачу: P 1 = 90 ? Q 1 P 2 = 60 ? Q 2 T C = Q 2 2 Итак, с функцией MC здесь все ясно: 97 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике M C = T C 0 = Q Теперь нам нужна общая функция MR(Q). Для начала выведем функции MR для каждого спроса: M R 1 = T R 0 1 = P 1 Q 0 1 = (90Q 1 ? Q 2 1 ) 0 = 90 ? 2Q 1 M R 2 = T R 0 2 = P 2 Q 0 2 = (60Q 2 ? Q 2 2 ) 0 = 60 ? 2Q 2 Теперь нам нужно найти оптимальное распределение общего Q на Q 1 и Q 2 с помощью предель- ных функций. Для удобства в таких случаях очень подойдет график, который я рисую следующим образом: Рис. 61: MR на двух рынках Как вы можете увидеть, при Q = 0 MR 1 > M R 2 . Следовательно, сначала мы будем продавать наш товар первой группе потребителей, пока он не дойдет до уровня второй группы. Давайте найдем этот момент. Так как Q 2 = 0 в этом случае, то нам нужно дайти до MR 2 = 60 ? 2Q 2 = 60 . Найдем этот момент: M R 1 = 90 ? 2Q 1 = 60 Q 1 = 15 Таким образом, первые пятнадцать единиц мы продадим первой группе и наш общий MR будет совпадать с MR первой группы: M R = 90 ? 2Q, Q < 15 98 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Что же делать дальше? Пусть мы произвели какое-то количество Q > 15. Посмотрим обе ситуации, которые могут произойти (данный прием является стандартным и довольно строгим, такой же пример можете посомтреть в разделе Несколько заводов в секции Производство). Пусть MR 1 > M R 2 . Тогда мы можем перебросить ?Q со второй группы на первую, в итоге увеличив выручку. В результате, так как MR орицательно зависит от Q для каждой группы, MR 1 уменьшится, а MR 2 увеличиться: ? MR 1 > M R 2 ? . Таким образом, мы будем перекидывать наше количество до тех пор, пока оба MR не сравняются. Аналогично говорим и про ситуацию MR 1 < M R 2 Найдем точку, в которой MR 1 = M R 2 : 90 ? 2Q 1 = 60 ? 2Q 2 15 + Q 2 = Q 1 Заметьте, что в итоге для ситуации Q > 15 тогда будет верно, что MR = MR 1 = M R 2 в оптимуме, так как наша выручка с единицы товара будет равна выручке с единицы товара первой и второй группе (если мы можем продать яблоко одному человеку за 10 рублей и второму человеку за 10 рублей это значит, что мы можем продать яблоко за 10 рублей). Таким образом, если мы найдем зависимость Q 1 (Q) , то, подставив его в MR 1 , мы сможем найти функцию MR(Q), что нам, собственно, и нужно. Q 2 = Q 1 ? 15 Q 1 + Q 2 = Q Q 1 + Q 1 ? 15 = 2Q 1 ? 15 = Q Q 1 = Q + 15 2 M R = M R 1 = 90 ? 2Q 1 = 90 ? Q ? 15 = 75 ? Q Мы нашли MR для участка Q > 15. Тогда наш общий MR выглядит следующим образом: M R = 90 ? 2Q; Q 6 15 75 ? Q Q > 15 Нарисуем теперь функции MR и MC, чтобы найти оптимум: 99 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 62: Итоговые MR и MC Теперь заштрихуем площади прибылей и убытков: 100 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 63: Прибыли и убытки Как мы можем видеть, оптимум - точка пересечения F , так как до нее фирма получает прибыль, а после - убыток. MC пересекает второй учаток MR. Найдем точку пересечения: 75 ? Q = Q Q = 75 2 Теперь найдем все необходимые нам количества и цены, которые монополист выберет для каж- дой группы: Q 1 = Q + 15 2 = 105 4 Q 2 = Q 1 ? 15 = 45 4 P 1 = 90 ? Q 1 = 90 ? 105 4 = 255 4 P 2 = 60 ? Q 2 = 60 ? 45 4 = 195 4 Дискриминация 2 рода Данный вид дискриминации заслуженно считается самым сложным для решения родом дис- криминации, а также одной из самых сложных тем в олимпиадной экономике. Суть дискриминации второго рода в том, что различные количества товара продаются по раз- ным ценам за единицу товара. У данной дискриминации есть множество эквивалентных интерпре- таций. Например, три товара по цене двух в магазине (можно купить 1 шампунь за 30 рублей или 101 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике 3 шампуня за 60 (то есть по цене 20 за штуку)). Также сюда относится двухчастный тариф: напри- мер, плата за вход в парк аттракционов, а затем отдельная оплата каждого аттракциона (при плате 1000 за вход и по 1000 за аттракцион мы заплатим в итоге 2000 за один аттракцион, но 3000 за 2 аттракциона (по 1500 за каждый)). Ну а задачи coming soon. . . Дискриминация 1 рода Дискриминация первого рода считается самой выгодной для фирмы и заключается в том, что фирма назначает каждому покупателю отдельную цену, или же, в более мягком случае, может назначать разным покупателям разные цены, не разделяя их на группы. Абсолютная дискриминация Чтобы вы поняли, что к чему, рассмотрим сначала задачу на абсолютную дискриминацию (когда каждому потребителю назначается своя цена). Пусть спрос и издержки монополиста заданы следующими функциями: Q d = 100 ? P T C = 20Q Для абсолютной дискриминации есть один интересный факт: так как для продажи дополни- тельной единицы продукции теперь не нужно снижать цену на предыдущие, то функция спроса ста- новится тождественна функции MR (так как за каждый товар мы как раз получаем цену, которую конкретный потребитель готов за нее заплатить). Таким образом, довольно легко найти оптимум, учитывая, что MC = T C 0 = 20 : Рис. 64: Оптимум - точка С Таким образом, оптимум находится в точке С. Найдем ее: 102 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике 100 ? Q = 20 Q = 80 Соответственно, наша прибыль будет равна зеленой площади, то есть 3200 д.е. Неполная дискриминация Также бывает ситуация, при которой монополист по какой-либо причине может назначать раз- ные цены одной и той же группе потребителей, но не может полностью их дискриминировать. Самый частый пример: дискриминация по времени покупки. Допустим, годовой спрос на товар имеет вид Q d = 120 ? P , а монополист не несет издержек на производство товара. Здесь мы довольно просто можем посчитать, что в таком случае монополист установит цену 60, произведет 60 единиц товара и получит прибыль, равную 3600 (мы научились считать это ранее). Однако, в данной задаче у монополиста есть возможность провести рекламную кампанию, которая ускорит продажи в 2 раза. То есть все, кто хотел купить данный товар по опре- деленной цене, купят его за полгода. Такая рекламная кампания даст монополисту возможность снизить цену, и за следующие полгода продать товар тем, кто не хотел покупать его по прежней цене. Вопросом является то, сколько он готов заплатить за данную рекламную акцию. Давайте посмотрим на то, как это будет выглядеть на графике: Рис. 65: Порядок действий при двухпериодной дискриминации Так как издержки монополиста нулевые, то после первого периода (после первых шести меся- цев) он получит прибыль, равную S 1 , а после второго периода - S 2 . Итого, он получит всю закра- шенную область (S 1 + S 2 ). Задачей монополиста в таком случае, естественно, является максимизация данной прибыли. Для решения нам нужно выписать ее в явном виде. 103 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике ? = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 Здесь P 1 и P 2 - цены в первом и втором периоде, а Q 1 и Q 2 , соответственно, количества, про- данные в этих периодах. Естественно, эти величины связаны между собой, и нам нужно найти эту связь. Во-первых, мы знаем, что Q 1 = 120 ? P 1 . Как же найти связь P 2 и Q 2 ? Для этого нам нужно уравнение остаточного спроса. Остаточный спрос - это спрос на товар после того, как часть потребителей его уже приобрела. В нашем случае остаточным спросом будет являться следующая часть основного спроса: Рис. 66: Остаточный спрос Чтобы найти функцию остаточного спроса, нам нужно сместить ось ординат до начала остаточ- ного спроса. Таким образом, мы получим новую функцию оставшегося нам после первого периода спроса и сможем с ней работать. Теперь можно довольно просто найти ее функцию: прямая выходит из точки P 1 по оси ординат и имеет наклон ?1, следовательно, выражается функцией Q = P 1 ? P В нашем случае будет верно, что Q 2 = P 1 ? P 2 Подставим обе найденные зависиомсти Q 1 и Q 2 обратно в прибыль: Q 1 = 120 ? P 1 Q 2 = P 1 ? P 2 ? = P 1 Q 1 + P 2 Q 2 = (120 ? P 1 )P 1 + (P 1 ? P 2 )P 2 = 120P 1 ? P 2 1 + P 1 P 2 ? P 2 2 Далее мы отдельно выбираем P 1 и P 2 . Таким образом, нам остается максимизировать нашу прибыль по двум переменным, учитывая ограничение P 2 6 P 1 . Сначала будем максимизировать 104 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике по P 2 . Относительно этой переменной функция является параболой ветвями вниз, следовательно, оптимум находится в вершине: P ? 2 = ?b 2a = P 1 2 Вершина подходит под все ограничения: 0 6 P 1 2 6 P 1 . Подставим найденный оптимум обратно в функцию: ? = 120P 1 ? P 2 1 + P 1 P 2 ? P 2 2 = 120P 1 ? P 2 1 + P 2 1 2 ? P 2 1 4 = 120P 1 ? 3P 2 1 4 Теперь промаксимизируем по P 1 . Опять же, функция является параболой ветвями вниз с мак- симумом в вершине: P ? 1 = ?b 2a = 240 3 = 80 P 2 = P 1 2 = 40 Таким образом, мы нашли две оптимальные цены, которые установит монополист в каждом периоде. Теперь найдем нашу прибыль: ? = 120P 1 ? 3P 2 1 4 = 4800 Сравним полученную прибыль с той, которую монополист бы получал без рекламной акции: 3600. Таким образом, рекламная акция увеличила прибыль на 1200. Следовательно, монополист готов заплатить любую сумму X 6 1200 за проведение данной акции. В таких задачах обязательно обращайте внимание на порядок действий, который дан в задаче. Выше мы разобрали ситуацию, в которой монополист заранее знал о возможности проведения рекламной акции. Однако, в другой задаче может попасться ситуация, в которой монополист узнает о том, что может поработать на остаточном спросе только после того, как товар внезапно раскупят за полгода по назначенной им цене (то есть в самом начале он думал, что будет только 1 период). Такое условие в корне меняет ход решения. Будьте внимательны! 105 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Олигополия Олигополия - рыночная структура, при которой на рынке присутствуют несколько крупных фирм, осознающих свою рыночную власть. Такие фирмы конкурируют друг с другом стремясь заработать максимальную прибыль. Есть множество вариантов взаимодействий между фирмами, и в данной секции мы рассмотрим большинство из них. Во всех моделях предполагается, что фирмы знают о существовании и возможностях друг друга. Также каждая фирма по умолчанию знает функции издержек ее конкурентов. Модель Курно Модель названа в честь французского экономиста, предложившего данный вариант взаимодей- ствия фирм на олигополистическом рынке. В данной модели все фирмы, присутствующие на рынке, одновременно выбирают объем своего выпуска, после чего цена устанавливается исходя из функции спроса и суммарного количества товара. Например, если спрос на рынке задан как Q d = 10 ? P , и на нем есть всего две фирмы, которые произвели соответственно 2 и 3 единицы товара, то цена сложится на уровне P = 10 ? Q = 10 ? (2 + 3) = 5 Сразу хочется сказать, что первые две модели - модель Курно и модель Штаккельберга - по- всеместно используются в олимпиадной экономике. Все остальные модели используются довольно редко, на все же встречаются в задачах. Понятие равновесия Данная модель пользуется понятием равновесия по Нэшу. Рановесие по Нэшу - концепция равновесия, предложенная Джоном Нэшом, за которую он получил Нобелевскую премию по экономике. Равновесием по Нэшу называется такой набор дей- ствий или стратегий, при котором ни одному действующему лицу не выгодно отклониться от выбранной стратегии при неизменных стратегиях других действующих лиц. Далее я буду называть равновесие по Нэшу просто равновесием (как это принято делать в эко- номике). Например, в игре камень-ножницы-бумага не существует равновесия: какой бы знак не вы- кинули два игрока, одному из них точно будет выгодно отклониться, чтобы победить. Например, если Петя выкинул Камень, а Саша - бумагу, то Пете выгодно отклониться и выки- нуть ножницы. Собственно, задача Как обычно, будем разбирать модель на примере конкретной задачи. Нам дан рыночный спрос и две фирмы, которые характеризуются своими функциями издержек: Q d = 180 ? P T C 1 = 150Q 1 T C 2 = 100Q 2 106 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Задачей будет найти равновесие на данном рынке, то есть то количество товара, которое произ- ведет каждая фирма, причем никакой из них не будет выгодно в одиночку изменить свое количество. У задач на равновесия есть два способа решения: Первый состоит в том, чтобы найти (угадать, как-то обнаружить и т.д.) равновесие (равнове- сия) и доказать, что других равновесий не существует. Этот способ я рассматривать не буду, так как для него требуется очень сильная экономическая и математическая интуиция и он не является универсальным. Второй способ заключается в нахождении линий реакции и их пересечений. Линией реак- ции называется функция нашей оптимальной стратегии в зависимости от стратегий других игроков. В нашем случае, линией реакции, например, первой фирмы будет являться зависимость ее произ- веденного количества от произведенного количества другой фирмы, то есть Q 1 = f (Q 2 ) . Соответ- ственно, у второй фирмы тоже будет своя линия реакции. Выводить линии реакции достаточно просто: как и в любой рыночной структуре, нам нужно максимизировать прибыль любым удобным нам способом. Здесь я буду делать это в лоб. Итак, сначала посмотрим на максимизацию прибыли первой фирмы. Так как нам нужно найти линию реакции, то мы будет искать оптимальное Q 1 при каждом фиксированном Q 2 (по сути, это оптимизация прибыли с параметром). Выпишем прибыль первой фирмы (помним, что она знает о существовании второй и реагирует на ее количество), и промаксимизируем ее. Также, помним о том, что в олигополии фирмы осознают свою рыночную власть, то есть дейтвуют исходя из функции спроса: Q = 180 ? P P = 180 ? Q ? 1 = P Q 1 ? T C 1 = (180 ? Q)Q 1 ? T C 1 = (180 ? (Q 1 + Q 2 ))Q 1 ? 150Q 1 = 30Q 1 ? Q 2 Q 1 ? Q 2 1 Q 1 ?? max Первая фирма выбирает Q 1 при фиксированном Q 2 . По Q 1 данная функция является параболой ветвями вниз с максимумом в вершине: Q ? 1 = 30 ? Q 2 2 Не забываем проверить ограничение Q 1 > 0. Оно выполняется только при Q 2 6 30. Иначе, вершина отрицательна и первая фирма произведет Q 1 = 0 . Таким образом, получаем следующую зависимость Q 1 от Q 2 : Q 1 = 30?Q 2 2 Q 2 6 30 0 Q 2 > 30 Это и есть линия реакции первой фирмы, то есть оптимальный выпуск при любой фиксиро- ванном выпуске ее конкурента. Аналогично, находим линию реакции второй фирмы: Q 2 = 80?Q 1 2 Q 1 6 80 0 Q 1 > 80 А теперь нам нужно найти те Q 1 и Q 2 , для которых выполняются обе линии реакции, то есть их пересечение. Другими словами, нам нужно найти решение системы ? ? ? ? ? ? ? Q 2 = 80?Q 1 2 Q 1 6 80 0 Q 1 > 80 Q 1 = 30?Q 2 2 Q 2 6 30 0 Q 2 > 30 107 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Выглядит довольно устрашающе (особенно если будет больше участков), так что настоятельно советую пересекать линии реакции с помощью графика. Действительно, если вы нарисуете обе линии реакции в координатах Q 1 и Q 2 , то все станет довольно просто: Рис. 67: Линии реакции в модели Курно Сразу же видим, что пересечение одно и находится оно при Q 1 = 0 И Q 2 = 40 . Таким образом решаются все задачи в модели Курно. Модель Штаккельберга Модель также названа в честь своего основателя - Генриха фон Штаккельберга. Отличие его модели от модели Курно состоит в том, что фирмы выбирают свои выпуски не одновременно, а по очереди. Рассмотрим алгоритм решения таких задач на конкретном примере. Пусть у нас есть следующие исходные данные о спросе и издержках двух фирм: Q d = 30 ? P T C 1 = 15Q 1 T C 2 = 10Q 2 Однако теперь сначала первая фирма выбирает свой уровень выпуска, а затем вторая фирма, зная выпуск первой, принимает свое решение об объеме производства. 108 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Чем же отличается решение от предыдущего? Для этого давайте рассмотрим прибыль первой фирмы. Она будет выглядеть точно так же, как и раньше: ? 1 = P Q 1 ? T C 1 = (30 ? Q)Q 1 ? T C 1 = (30 ? (Q 1 + Q 2 ))Q 1 ? 15Q 1 = 15Q 1 ? Q 2 Q 1 ? Q 2 1 Q 1 ?? max Однако, теперь выпуск второй фирмы не является константой. Это происходит из-за того, что первая фирма понимает, что выпуск второй фирмы будет зависеть от ее выпуска, и, таким образом, выпуск второй фирмы является переменной, зависящей от Q 1 . Пока мы не поймем зависимость Q 2 от Q 1 , мы не можем максимизировать прибыль первой фирмы. Зато мы можем максимизировать прибыль второй фирмы! Ведь для второй фирмы выпуск первой фирмы будет являться константой, так как она будет наблюдать выпуск первой фирмы, когда будет принимать решение об объеме производства. Таким образом, мы можем найти линию реакции второй фирмы при Q 1 в качестве константы: ? 2 = P Q 2 ? T C 2 = (30 ? Q 1 ? Q 2 )Q 2 ? 10Q 2 = 20Q 2 ? Q 1 Q 2 ? Q 2 2 Q 2 ?? max Q ? 2 = 20 ? Q 1 2 Проверяем на ограничение Q 2 > 0 и получаем полную линию реакции второй фирмы: Q 2 = 20?Q 1 2 Q 1 6 20 0 Q 1 > 20 Теперь мы (вместе с первой фирмой) знаем зависимость Q 2 от Q 1 и можем максимизировать прибыль первой фирмы. Для этого необходимо подставить найденную зависимость в функцию при- были: ? 1 = 15Q 1 ? Q 2 Q 1 ? Q 2 1 = 15Q 1 ? 20?Q 1 2 Q 1 ? Q 2 1 Q 1 6 20 15Q 1 ? Q 2 1 Q 1 > 20 = 5Q 1 ? Q 2 1 2 Q 1 6 20 15Q 1 ? Q 2 1 Q 1 > 20 Q 1 ?? max Вспоминаем, как максимизировать кусочную функцию: Сначала максимизируем первый участок (парабола ветвями вниз), и находим оптимум Q ? 1 = 10 , затем второй, и находим Q ? 1 = 15 2 , что не подходит под ограничение участка, следовательно, там оптимумом является Q 1 = 20 (ближайшая точка). Теперь сравниваем значение функции в точках Q 1 = 10 и Q 1 = 20 и понимаем, что в точке Q 1 = 10 значение больше. Таким образом, Q 1 является глобальным максимумом. Теперь можно найти и оптимальное Q 2 : Q 2 = 20?Q 1 2 = 5 . Мы решили задачу в модели Штак- кельберга. Последовательное принятие решений также рассматривается не только в плане модели Штак- кельберга в олигополии, но и во многих других темах. Алгоритм решения всех таких задач одинаков: мы максимизируем целевую фукнцию последнего принимающего решение агента, затем предпослед- него и так далее (если их больше, чем два). Модель Бертрана Теперь мы с вами переходим к менее популярным, но все же важным моделям. Модель Бертрана была разработана Жозефом Бертраном. Она качественно отличается от предыдущих рассмотрен- ных моделей: здесь фирмы будут выбирать не количества товара, а цены, которые они установят. Выбирать цены в модели Бертрана они будут одновременно. Таким образом, модель Бертрана также оперирует понятием равновесия. 109 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Модель Бертрана в основном используется для анализа поведения фирм с постоянными пре- дельными издержками, так как любой другой вид издержек значительно усложняет решение. Также есть множество других вариаций данной модели. Мы рассмотрим нахождение равновесия в одной из них, где фирмы будут иметь постоянные, но не симметричные предельные издержки. Суть соревнования по цене состоит в том, что фирма, назначившая цену меньше своего конку- рента, получает себе весь спрос, а вторая фирма не получает ничего. Мы также будем считать, что в случае, когда две фирмы назначат одинаковые цены, спрос будет делиться ровно пополам (то есть каждая фирма будет иметь право удовлетворить ровно половину от величины спроса при данной цене). Итак, нам даны спрос и издержки двух фирм: Q d = 10 ? P T C 1 = 2Q 1 T C 2 = 8Q 2 Так как мы ищем равновесия, делать мы это будем с помощью линий реакции. Найдем линию реакции первой фирмы. Пусть вторая фирма назначили какую-то цену P 2 . Мы примем ее за кон- станту (параметр), и будем думать, какую P 1 нам нужно назначить, чтобы получить максимальную прибыль. Для начала найдем, какую вообще максимальную прибыль мы можем получить, если все скла- дывается идеально (то есть когда вторая фирма ничего не получает, и мы, являясь монополистом, назначаем монопольную цену). Для этого промаксимизируем нашу прибыль при отсутствии второй фирмы: ? 1 = P Q ? T C 1 = (10 ? Q)Q ? 2Q = 8Q ? Q 2 Q ? ? max График - парабола ветвями вниз. Максимум в вершине: Q ? = 4 P ? = 10 ? 4 = 6 Итак, первая фирма получит максимальную прибыль из всех возможных, если установит цену P = 6 и если вторая фирма не перебьет эту цену. Таким образом, если P 2 > 6 , то первая фирма установим P 1 = 6 , заберет весь спрос у второй фирмы и получит максимальную монополистическую прибыль! Осталось определить, какую цену первая фирма установит при P 2 6 6. Заметим, что если P 2 < 2 , то у первой фирмы проблемы, ведь MC 1 = 2 (то есть первая фирма не сможет перебить цену второй, так как цена ниже ее предельных издержек). В таком случае первая фирма либо ставит цену выше P 2 |