Учебник по олимпиадной экономике. Учебник по олимпиадной экономике для школьников
 Скачать 4.49 Mb.
|
|
Бахарев Рэм Учебник по олимпиадной экономике для школьников Версия от 09.09.2020 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Содержание Вступление и общая информация о подготовке к олимпиадам по эконо- мике 2 Обозначения и определения 5 Математический аппарат 7 Теория потребителя и Полезность 29 Теория производителя и процесс производства 41 Рыночные структуры 65 Совершенная конкуренция 68 Монополия 92 Олигополия 106 Государственное вмешательство и общественное благосостояние 118 Эластичность 154 Альтернативные издержки и КПВ 167 Неравенство 195 1 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Вступление и общая информация о подготовке к олимпиадам по экономике ВНИМАНИЕ! Данный раздел является самым важным в этом учебнике. Здесь не будет каких-то общих слов, а только полезная сконцентрированная информация. Настоятельно советую прочитать вступление до конца. Обо мне Меня зовут Бахарев Рэм. Я являюсь победителем Заключительного этапа Всероссийской Олим- пиады Школьников по Экономике 2016 года, а также выпускником программы совместного бака- лавриата РЭШ и ВШЭ. Уже 6 лет я профессионально занимаюсь подготовкой школьников к олимпиадам по экономи- ке в качестве репетитора и преподавателя в школах и курсах. За это время я успел проработать ассистентом и преподавателем в нескольких выездных школах (на постоянной основе являюсь пре- подавателем в Выездной Экономической Школе - о ней напишу немного дальше), преподавал экономику на вечерних факультативах во множестве школ Москвы, вел лекции и семинары в Цен- тре Педагогического Мастерства в Москве для московской команды олимпиадников, входил в состав жюри Муниципального и Регионального этапов ВсОШ в Москве. Я постоянно нахожусь в контакте с людьми и образовательными площадками, напрямую свя- занными с проведением олимпиад и подготовкой к ним. Поэтому, если есть какие-либо вопросы, связанные с процессом подготовки к олимпиадам по экономике, занятий со мной или моими колле- гами, а также по поводу данного учебника, вы всегда можете связаться со мной через Вконтакте, Telegram или Whatsapp. Прошу писать, а не звонить, так как на звонки я не отвечаю. Контакты для связи: vk.com/remzaza - Вконтакте +7(915)4834134 - Для связи через Telegram или Whatsapp. Об учебнике Данный учебник является бесплатным и свободно распространяемым носителем информации. При использовании материалов в целях проведения образовательных программ ссылка на первоис- точник является обязательным условием. Учебник по своей сути является пособием по решению большинства олимпиадных задач по эко- номике. Здесь вы сможете найти практически полное собрание теории по олимпиадной экономике, иллюстрированной примерами решения различных задач. Данный учебник пока еще находится в разработке, поэтому он будет постоянно пополняться новыми разделами и новой теорией. В насто- ящий момент здесь содержится вся базовая теория по Микроэкономике, позже будет добавлена Макроэкономика. Также, учебник сейчас находится в бета-разработке, то есть в нем могут при- сутствовать арифметические и орфографичекие опечатки, а также некоторые неточности. Если вы заметите какую-либо ошибку, сразу же напишите мне, чтобы я исправил ее в будущих версиях. Конечно, я мог бы выпустить учебник уже без случайных опечаток, но на это потребовалось бы зна- чительное время, а готовиться пора начинать уже сейчас. Обновления планируются к проведению примерно раз в месяц, так что не забывайте всегда иметь при себе актуальную версию учебника. Она всегда будет размещена в официальной группе Вконтакте https://vk.com/econbook Хочу заметить, что некоторые темы довольно сложно объяснить словами или графиками, так что советую читать учебник очень вдумчиво и медленно. Если по-вашему объяснения оказываются 2 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике совершенно непонятными, можете написать мне и я подумаю над тем, как сделать данный материал более доступным. Некоторые темы в учебнике будут отмечены бежевым цветом. Это значит, что они либо очень сложные, либо не особо сложные, но слишком продвинутые и для их понимания потребуется хорошее знание экономики. Крайне не советую изучать эти темы тем, кто впервые начал изучать олимпадную экономику. По поводу места данного учебника в подготовке к олимпиадам Процесс подготовки к олимпиадам всегда состоит из двух частей: изучение теории и решение задач с последующим их разбором. Вторая часть подготовки, а именно нарешивание задач и их проверка компетентными преподавателями, является самой важной частью процесса подготовки. Цель данного учебника - дать вам всю теорию решения данных задач, но практика всегда была, есть и будет важнее. Советую рассматривать данный учебник не как единственное средство подготовки к олимпиадам, а дополнение к вашей основной подготовке. Олимпиады по экономике Олимпиады в России делятся на две важные части. Первая часть - это перечневые олимпиады. Такие олимпиады дают льготы при поступлении в вузы. Некоторые дают автоматическое поступ- ление без ДВИ, некоторые - 100 баллов ЕГЭ по предмету олимпиады. Перечень олимпиад, дающих преимущество для поступления в 2020/2021 учебном году на момент выпуска первой версии учебника не опубликован, но его стоит ожидать в ближайшее время. Второй вид олимпиады - это Всероссийская Олимпиада Школьников (ВсОШ, в простонаро- дье Всерос). Победа или призерство на последнем этапе данной олимпиады дает гарантированное поступление на бюджет в любой вуз страны по профилю олимпиады. Заключительный этап Все- роса - это то, к чему стоит стремиться при подготовке. Для этого вам придется пройти школьный, муниципальный и региональный этапы. Очень важно понимать, что олимпиадная экономика - это точная наука. Большими преиму- ществами для вас будут хорошая математическая подготовка или опыт участия в математических олимпиадах. Начинать подготовку к олимпиадной экономике советую как можно раньше. Идеальный вари- ант - с начала 9 класса. В таком случае у вас будет достаточно времени, чтобы постараться завоевать пъедестал уже в 10 классе. Начинать заниматься с начала 10 класса тоже довольно здравая идея: при приложении должных усилий подготовиться к заключительным этапам олимпиад, которые про- ходят весной, вполне реально, а тем более реально будет победить уже весной 11 класса. Начинать готовиться в 11 классе уже немного опасно. С одной стороны, у вас будет преимущество засчет хо- рошего матаппарата, а с другой - давление неопределенности, ведь это последний класс, и если не олимпиада, то ЕГЭ. Совмещать подготовку и к олимпиаде, и к ЕГЭ довольно трудозатратно, но все же осуществимо. Если вы планируете готовиться к олимпиадам по экономике с 11 класса, вы должны понимать, что вам придется уделять этому довольно много времени. Так как готовиться-то??? Как я говорил ранее, учебником сыт не будешь - нужно как можно больше практики. В боль- шинстве школ нет такого предмета, как экономика, а экономика в обществознании не имеет ничего общего с олимпиадной. Самый популярный способ подготовки - это занятия с репетитором, кото- рые дадут вам и более точную теорию, и море практики. Но, помимо индивидуальных занятий, существуют и другие способы подготовки. Очень хочу посоветовать ВЭШ - Выездную Экономическую Школу. Уже более трех лет я преподаю практически во всех ее сменах. Преподавателями в ВЭШ являются призеры и победители 3 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Всероссийской олимпиады по экономике и множества других олимпиад. Всю интересующую инфор- мацию про данную школу вы можете посмотреть в группе Вконтакте ( https://vk.com/v_e_sh ) или на сайте ( https://vesh.education ). Формат выездной школы в принципе довольно хорош для подготовки: там вас ждет непрекра- щающийся с утра до вечера процесс обучения, очень много задач и хорошая атмосфера, благодаря которой я в свое время очень сильно полюбил олимпиадную экономику. Сейчас ВЭШ открыла набор на свой онлайн-курс, похожий по структуре на смену выездной школы. Все про этот курс вы сможете узнать на их сайте или в группе! В принципе, на этой ноте пора заканчивать со вступлением и переходить к тому, ради чего вы скачали этот учебник: к олимпиадной экономике! 4 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Обозначения и определения Здесь мы посмотрим на общепринятые обозначения, которые используютсяв экономике, при- сутствуют в официальных критериях и использование которых существенно упростит вам жизнь. Я дополнительно приведу небольшие пояснения к этим обозначениям. Если вы новички в олимпиадной экономике, советую выписать данные обозначения, или распе- чатать их, потому что я буду повсеместно использовать их в данном учебнике. Однако, вы все равно можете пропустить этот раздел и учить обозначения по ходу дела. Микроэкономика C - издержки (Costs) P - продукт (P roduct) R - выручка (Revenue) ? - прибыль T - общая функция (T otal) A - средняя функция (Avarage) M - предельная функция (Marginal) F - фиксированная функция (F ixed, обычно применяется с издержками) V - переменная функция (V ariable, обычно применяется с издержками) I - доход, количество доступных денег (Income) P - цена (P rice) Q - количество (Quantity) Например, AF C - средние фиксированные издержки, а M? - предельная прибыль. Заметьте, что P может обзначать как цену, так и продукт, но это будет довольно очевидно из контекста. Макроэкономика Y - ВВП Y ? - потенциальный ВВП Y n - номинальный ВВП (nominal) Y r - реальный ВВП (real) P - уровень цен (P rice) C - потребление (Consumption) I - инвестиции (Investitions) G - госзакупки (Government) T - налоги (T axes) T r - трансферты (T ransferts) E - количество работающего населения (Employed) U - количество безработных, ищущих работу (Unemployed) 5 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике LF - рабочая сила (LaborF orce) u - уровень безработицы (unemployment) e - уровень естественной безработицы 6 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Математический аппарат В данном разделе я разберу всю существующую математическую базу для олимпиадной эконо- мики. Однако, этот раздел не является обязательным: нынешняя тенденция состоит в том, что любые задачи можно решить, зная базовый курс школьной математики и не зная, например, производной функции и ее свойств. Тем не менее, хорошее понимание математики (особенно тех ее аспектов, что будут разобраны в данном разделе) ЗНАЧИТЕЛЬНО поможет вам в понимании олимпиадной эконо- мики и ЗНАЧИТЕЛЬНО упростит решение некоторых задач. Однако, вы можете смело переходить к следующим разделам, не разбираясь в этих математических аспектах. Тангенс Тангенс угла - очень важная вещь в экономике (и единственное, что вам вообще нужно здесь из тригонометрии). Что такое тангенс угла? Это отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. Если у вас нет прямоугольного треугольника, вы можете сами построить любой прямоугольный треугольник на этом углу и посчитать нужное отношение: Рис. 1: Тангенс угла Функции В экономике в целом (и в олимпиадной экономике в особенности) немного искажено само поня- тие функции. Мы привыкли из курса математики к тому, что функция - это преобразование значений множества, в котором каждому элементу из изначального множества (из области определения функции) соответствует ОДИН элемент из итогового множества (из области значений фунции). В олимпиадной экономике мы используем более общее понятие функции: одному элементу из области определения может соответствовать НЕСКОЛЬКО элементов из области значений, то есть одному элементу мо- жет соответствовать множесто других элементов. Например, здесь вы можете легко встретить такой кусок функции Q = f(P ): Q ? [0; ?]; P = 10 Здесь при P = 10 значением функции будет целое множество чисел. В общем, вы поняли. Еще одно важное уточнение: в олимпиадной экономике мы оперируем (за редким исключением) положительными значениями переменных, так как цена, количество, издержки и выручка неотрица- тельны. Таким образом, большинство графиков будут иметь лишь первую координатную четверть, а функции будут в большинстве своем рассматриваться только на своих положительных участках. 7 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Стандартные функции Очень важно знать, как выглядят некоторые стандартные функции, которые часто использу- ются в задачах. Так как многие задачи в экономике связаны с оптимизацией, самое важное для нас - понимать, как значение функции зависит от аргумента. Линейные функции Стандартная линейная функция имеет вид y = kx + b. Сущестувет три ситуации линейной функции: положительный наклон, отрицательный наклон, и горизонтальная прямая. Рис. 2: Линейные функции Степенные функции Такие функции имеют вид y = a 1 x n + a 2 x n?1 + · · · + a n?1 x + a n (кстати, линейные функции тоже к ним относятся). Стандартный пример: парабола (y = ax 2 + bx + c ). С ней вы, скорее всего, знакомы: Рис. 3: Параболы Вид параболы зависит от коэффициента a: при a < 0 парабола будет иметь ветви, направленные вниз, а при a > 0 - вверх. Важно понимать, как ведут себя функции больших степеней. Если наибольшая степень функции равна n, то у такой функции в общем виде будет n?1 "изгиб". Например, у функции первой степени (линейной) - 0 изгибов. У функции второй степени (параболы) - 1 изгиб. И так далее. Экстремумы 8 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике (локальные минимумы и максимумы) могут как присутствовать, так и отсутствовать, в зависимости от конкретной функции. Приведу в пример несколько вариантов: Рис. 4: Уравнения третьей степени: с экстремумами и без них (у серого явно видны локальный минимум и максимум, тогда как у синего их нет). В любом случае, у обоих графиков видно два "изгиба". Вот еще несколько примеров уравнений других степеней: Рис. 5: Стандартные графики 4 и 5 степени. Вы можете заметить: у графика 5-ой степени 4 экстре- мума, у графика 4-ой степени - 3 экстремума. Гипербола Гиперболами я буду называть функции вида y = a x n , n ? 0 С такими функциями многие из вас знакомы. Все они выглядят вот так: 9 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 6: Гиперболы разных степеней. "Галочка" Еще одна часто встречаемая в олимпиадной экономике функция (Я называю ее "Галочкой") образуется из гиперболы первой степени и линейной функции и имеет общий вид y = ax + b x (на- пример, y = x + 20 x ). При значениях x, близких к 0, линейная часть обнуляется, и такая функция ведет себя, как гипербола. Если же x достаточно велик, то, наоборот, гиперболическая часть прак- тически обнуляется, и функция начинает стремиться к прямой. На следующем графике я изображу гиперболу и прямую, образущие вышеописанную "галочку", а также саму фукнцию: Рис. 7: "Галочка"между гиперболой и прямой. Функции min и max Данные функцие обычно не изучаются в школьном курсе математики, зато повсеместно ис- пользуются в экономике, как олимпиадной так и всей остальной. Определение данных функций: min(x, y) = ( x, x < y y, x > y Аналогично для функции максимума: max(x, y) = ( y, x < y x, x > y 10 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Данные функции требуют наличия двух и более аргументов. Как вы могли заметить, функция max принимает максимальное значение из своих аргументов, а функция min принимает минималь- ное значение из своих аргументов. Вот вам пример: y = min(x 2 , 16) У данной функции два аргумента - x 2 и 16. По-отдельности две данные функции выглядят следующим образом: Рис. 8: y = x 2 и y = 16 Теперь, для каждого x функция выбирает наименьшее значение. Если x 2 > 16 , то функция равна 16, а если x 2 < 16 , то функция равна x 2 . В итоге, функция выглядит следующим образом: Рис. 9: min(x 2 , 16) Соответственно, функция y = max(x 2 , 16) выглядит вот так: Рис. 10: max(x 2 , 16) 11 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Производная Актуальный вектор развития олипиадной экономики таков, что все задачи теперь можно ре- шить без знания производной. Более того, это может даже быть прописано в преамбуле заданий или же постулировано составителями. Огромный совет: не верьте всему этому. Понимание производ- ной, ее свойств и функций ускоряет решение задач в несколько раз и хорошо структурирует ваше мышление. Более того, для понимания большей части теории вам будет необходима производная. Что такое производная? Довольно часто можно услышать следующую интерпретацию производной: "это скорость роста функции". На мой взгляд, это самая лучшая интерпретация. Чтобы проанализировать функцию, необходимо понять, как она себя ведет и как выглядит ее график, и для всего этого нам необходимо понятие скорости роста функции. Не пугайтесь того, что будет происходить дальше, а внимательно вчитайтесь. Так что мы называем скоростью роста? Посмотрите на график: Рис. 11: Интерпретация производной функции. Здесь находятся две точки: A и B, лежащие на одной функции. Значения функции в этих точ- ках отличаются на ?f, а значения аргумента - на ?x. Так вот, скоростью роста функции мы будем называть частное ?f ?x , то есть то, насколько быстро растет значение функции по сравнению с аргу- ментом функции. Заметим, что это отношение равно тангенсу угла ?. Посмотрите на иллюстрацию ниже: там, где функция растет "быстро"(левый рисунок), это отношение довольно велико, а там, где она растет "медленно"(правый рисунок), это отношение небольшое. 12 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 12: Большая и маленькая производная функций. Также, на участке, где функция убывает, скорость ее роста будет отрицательной, так как ?f и ?x разнонаправлены (если рассматривать изменение от левой точки к правой, ?x положителен, а ?f отрицателен): Рис. 13: Отрицательная скорость роста (?f < 0). После того, как мы поняли, что такое скорость роста функции, перейдем к определению произ- водной. Производная функции f(x) обозначается как f 0 (x) и строгое математическое ее определение таково: f 0 (x) = lim ?x?0 f (x + ?x) ? f (x) ?x Для тех, кто не знаком с пределами, объясню: с помощью него мы обозначаем, что хотим взять как можно меньший, но не нулевой ?x. Сами пределы не нужны для решения олимпиадных задач, не 13 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике волнуйтесь. Заметим, что сверху стоит как раз разница между двумя значениями функции, от x и от x + ?x, то есть f(x + ?x) ? f(x) = ?f. Получаем, что эту формулу можно выразить как. f 0 (x) = lim ?x?0 f (x + ?x) ? f (x) ?x = (x) = lim ?x?0 ?f ?x Что же это у нас получилось? Знакомая формула скорости роста функции, только в пределе, где изменение аргумента стремится к 0. Получается, для того, чтобы посчитать производную, мы берем точку A и начинаем бесконечно приближать ее к точке B, постоянно уменьшая ?x и устремляя его к нулю: Рис. 14: Уменьшение ?x. Таким образом, в точке B у нас образуется бесконечно малый треугольник с бесконечно ма- ленькими ?f и ?x, и мы хотим посчитать ?f ?x уже именно для этого треугольника. А теперь я предлагаю вам напрячь свое воображение и представить себе этот бесконечно малень- кий треугольник и его гипотенузу. Так как треугольник этот, по сути, - точка, то и гипотенуза его будет лежать в этой точке. А теперь проведем к точке B (в которой лежит наша гипотенуза) каса- тельную. Тогда получается, что гипотенуза нашего треугольника будет лежать на этой касательной, а, следовательно, иметь наклон, равный наклону этой касательной. - Получается, скорость роста функции конкретно в этой точке будет равна скорости роста касательной в этой точке и будет равна тангенсу угла наклона касательной. Таким образом, производная в каждой конкретной точке функции определяется наклоном касательной (в дальнейшем вместо "тангенса угла наклона"я буду говорить просто "наклон") в этой точке. Другими словами, наклон касательной в точке показывает скорость роста функции в этой точке (и эта скорость роста и называется производной функции). Ниже представлена графическая иллюстрация: 14 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 15: Тангенс угла ? равен производной функции (она же скорость роста функции) f в точке B. Чем "быстрее"растет функция, тем "круче"будет ее касательная (то есть тем больший наклон она будет иметь). Если функция убывает, то тангенс ее угла наклона с положительным направлением оси аргумента будет отрицательным (т.к. угол будет тупым): Рис. 16: Различные наклоны касательныx к различным точкам. Чем круче касательная, тем больше наклон. Касательная к точке, в которой функция убывает, имеет отрицательный наклон. Кстати, почему-то многие не знают правильного определения касательной. Касательная - это НЕ прямая, имеющая одну общую точку с графиком функции. Она может иметь сколько угодно точек пересечения. Касательная - это прямая, которая в точке пересечения с функцией имеет наклон, равный производной этой функции. 15 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Вычисление и свойства производной Вычисление производной Для курса олимпиадной экономики вам понадобится лишь формула для вычисления производ- ной степенных функций (многочленов). Она выглядит следующим образом: (ax n ) 0 = anx n?1 Например, (4x 3 ) 0 = 4 ? 3 ? x 3?1 = 12x 2 . Отсюда можно понять, что наклон касательной к функции 4x 3 в точке x = 2 равен 12 ? 2 2 = 48 (если рисовать такой наклон, то касательная будет выглядеть почти вертикальной), а, например, в точке x = 0 касательная будет иметь наклон 0, то есть будет являться горизонтальной: Рис. 17: Касательные к графику y = 4x 3 Базовые свойства производной 1. c 0 = (c ? x 0 ) 0 = c ? 0 ? x ?1 = 0 , например, 10 0 = 0 (Так как функция, являющаяся константой, никогда не изменяется, то и скорость ее роста в каждой точке равна 0). 2. (f(x) + g(x)) 0 = f 0 (x) + g 0 (x) Например, (4x 2 + 3x) 0 = (4x 2 ) 0 + (3x) 0 = 8x + 3 3. (f(x) ? g(x)) 0 = f 0 (x) ? g(x) + g 0 (x) ? f (x) . Например, (4x ? 5x) 0 = (4x) 0 ? 5x + (5x) 0 ? 4x = 4 ? 5x + 5 ? 4x = 40x . (То же самое можно было посчитать, сразу же перемножив две функции: (4x ? 5x) 0 = (20x 2 ) 0 = 40x ). 4. ( f (x) g(x) ) 0 = f 0 (x) ? g(x) ? g 0 (x) ? f (x) g 2 (x) . Например, ( 8x x 2 + 5x ) 0 = 8 ? (x 2 + 5x) ? (2x + 5) ? 8x (x 2 + 5x) 2 5. (f(g(x))) 0 = f 0 (g) ? g 0 (f ) . Например, ((6x + 3) 2 ) 0 . Здесь g = 6x + 3, а f = g 2 . Значит g 0 (x) = 6 , f 0 (g) = 2g . Тогда ((6x + 3) 2 ) 0 = 2g ? 6 = 2(6x + 3) ? 6 = 72x + 36 16 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Оптимизация функций В олимпиадной (и не только) экономике большинство задач сводятся к проблемам оптими- зации. Оптимизация функции - это ее минимизация (например, минимизация издержек или обще- ственных потерь), или же максимизация (например, прибыли или полезности). Оптимизационные задачи встречаются во всех разделах олимпиадной экономики, так что оптимизировать вам придется довольно много. Глобальные и локальные минимумы/максимумы Данные термины обязательно должны присутствовать в вашем словарном запасе. Глобальным максимумом(минимумом) мы называем значение функции, значение больше(меньше) которого функция принимать не может. Локальным максимумом(минимумом) мы называем значение функции, до которого функция возрастает(убывает), а после которого - убывает(возрастает). Посмотрите на следующий график: Рис. 18: График какой-то функции. Здесь имеется точка глобального максимума при x ? 2 (имеется ввиду, что функция убывает далее и вправо и влево). Также имеется локальный максимум в точке x = 0 и локальный минимум в точке x ? 0.9. Оптмизация функций одной переменной Это самый базовый раздел, в котором мы разберем оптимизацию обычных функций. 17 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Параболы Чаще всего в оптимизационных задачах вам будут встречаться параболы. Их оптимизация довольно проста. Посмотрим на следующую функцию: y = 4x 2 ? 48x + 36 График этой функции - парабола ветвями вверх. Значит, у нее нет глобального максимума, но есть глоабльный минимум, который достигается в ее вершине. Следовательно, нам нужно просто най- ти вершину параболы. Это можно сделать по школьной формуле x ? = ?b 2a , где a и b, соответственно, коэффициенты при квадратичной и линейной части параболы. В нашем случае, a = 4, b = ?48, зна- чит x ? = ?(?48) 2 ? 4 = 6 . Следовательно, минимальное значение функции это y ? = 4?6 2 ?48?6+36 = 324 Также вершину можно найти, зная, что в вершине параболы производная равна нулю (каса- тельная является горизонтальной). Производная данной функции y 0 = 8x ? 48 = 0 , откуда x ? = 6 Если x ? является вершиной параболы y = ax 2 +bx+c , то парабола имеет значение в вершине, рав- ное y ? = ?a(x ? ) 2 + c . Данный факт значительно упрощает подстановку вершины в саму параболу в случаях, если в уравнении есть параметры, и в дальнейшем я буду его использовать. Другие функции Допустим, нам встретилась следующая функция: y = 10x + 7 3x 2 + 9x + 13.5 Нам нужно найти минимум этой функции. С первого взгляда мы не можем сказать, как вы- глядит ее график, то есть не можем сказать, имеет ли она вообще минимум, и если и да, то где он. В таких случаях придется проводить математический анализ функции. Сейчас посмотрим, из чего он состоит. (Я сразу взял довольно сложную функцию, чтобы вы увидели, что таким образом прооптимизировать можно практически все. Обычно функции оказываются значительно проще) О том, как выглядит функция, очень хорошо говорит ее производная. Так что математический анализ всегда заключается в анализе производной. Возьмем ее, вспомнив производную частного: y 0 = 10(3x 2 + 9x + 13.5) ? (6x + 9)(10x + 7) (3x 2 + 9x + 13.5) 2 y 0 = ?30x 2 ? 42x + 72 (3x 2 + 9x + 13.5) 2 Найдем критические точки функции (такие точки, в которых производная равна 0, то есть касательная к которым является горизонтальной): ?30x 2 ? 42x + 72 = 0 5x 2 + 7x ? 12 = 0 x = 1 x = ? 12 5 Критические точки - потенциальные кандидаты на оптимум. Но чтобы проверить, как ведет себя функция в критических точках, нам нужно посмотреть еще и на вторую производную f 00 Вторая производная - это, соответственно, скорость роста первой производной функции (То есть производная производной). Если вторая производная положительная, то функция на этом участке называется вогнутой. Если вторая производная отрицательная, то этот участок функции называет- ся выпуклым. Если же вторая производная равна 0, то функция в данной точке не изменяет свою 18 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике скорость роста. То есть либо это прямая (у которой постоянная скорость роста), либо это точка перегиба. Посмотрите на график: Рис. 19: Критические точки Точки A и B - критические точки (в них горизонтальная касательная, и, соответственно, ну- левая производная). Точка C - точка перегиба функции (точка с нулевой второй производной). По- смотрим на точку A. До нее функция возрастает, но все медленнее и медленнее. Это значит, что ее скорость роста уменьшается. Значит скорость роста скорости роста отрицательная (так как ско- рость роста уменьшается). Это и есть отрицательная вторая производная. Можно заметить, что и после точки A функция все быстрее и быстрее падает, значит, вторая производная продолжает быть отрицательной. (Скорость роста все меньше и меньше, так как она отрицатльная и все дальше и дальше от нуля.) Но после точки C все меняется, и функция начинает замедлять падение, то есть ее производная начинает расти. Это значит, что вторая производная стала положительной. Вот таким образом выглядят вогнутая(слева, f 00 > 0 ) и выпуклая(справа, f 00 < 0 ) функции: 19 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 20: Выпуклый и вогнутый участки Довольно просто можно их различать: если f 00 < 0 , то это грустный смайлик, а если f 00 > 0 , то веселый. Соответственно, если вы нашли критические точки, то вы нашли максимум функции, если в этой точке вторая производная отрицательна и минимум, если вторая производная положительна. Если же вторая производная равна 0, то вы нашли точку перегиба (например, так будет у функции y = x 3 в точке x = 0. y 0 = 3x 2 = 0 , y 00 = 6x = 0 ) Итак, вернемся к нашей функции и ее производной: y = 10x + 7 3x 2 + 9x + 13.5 y 0 = ?30x 2 ? 42x + 72 (3x 2 + 9x + 13.5) 2 Возьмем вторую производную функции (здесь я воспользовался производной частного и немно- го упростил): y 00 = 20x 3 + 42x 2 ? 144x ? 207 3(x 2 + 3x + 4.5) 3 |