Учебник по олимпиадной экономике. Учебник по олимпиадной экономике для школьников
 Скачать 4.49 Mb.
|
|
= 120 ? P = 30 ? t 2 Здесь я не пишу участок при t > 60, так как там налоговые сборы будут равны 0. Теперь, зная как рынок отреагирует на введение потоварного налога, промаксимизируем нало- говые сборы: T = tQ = t ? (30 ? t 2 ) = 30t ? t 2 2 t ? ? max Налоговые сборы имеют вид параболы ветвями вниз, так что нам нужна вершина: t ? = 30 Таким образом, мы нашли оптимальную ставку потоварного налога. Теперь поймем, какую точку мы попадем: P d = P m = 180 + t 2 = 105 P s = P d ? t = 105 ? 30 = 75 Осталось найти соответствующие ставки акциза и НДС, с помощью которых мы попадем в ту же точку. Оптимальная акцизная ставка: чтобы попасть в ту же точку, нужно изъять какую-то часть из P d , а именно 30 из 105. Следовательно, оптимальная акцизная ставка будет равна t ? = 30 105 = 2 7 Оптимальная ставка НДС: забираем 30 из 75, то есть t ? = 30 75 = 2 5 Точно также можно не только максимизировать налоги, но и получать конкретную сумму налоговых сборов. Для этого также находим соответствующую ставку потоварного налога, а далее выводим ставку интересующего нас налога из P s и P d в новой точке равновесия. Хочу заметить, что эквивалентность работает только на рынке совершенной конкуренции, оптимизировать налоги в других рыночных структурах с помощью эквивалентности не выйдет. Влияние на общественное благосостояние Посмотрим на то, какие излишки и DW L образуются при введении процентных налогов. Рас- смотрим график: 133 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 83: Излишки с единицы товара при процентном налоге Здесь будет показан еще один вариант расположения излишков на графике. С излишком по- требителя опять все просто: он отмечен зеленым отрезком. Излишек производителя здесь отмечен красным отрезком и равен разнице между ценой производства товара, которое показывает значение изначального предложения, и ценой P s , которую в итоге получит производитель за свой товар. Излишек государства с единицы товара будет одинаков для каждой единицы (ведь они все продаются по одинаковой цене), и равен разнице между P d и P s в точке равновесия. На графике излишек государства отмечен коричневым отрезком. Теперь мы суммируем отрезки для всех торгуемых единиц товара и получаем площади излиш- ков, а также потерю в суммарном благосостоянии: 134 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 84: Общественное благосостояние при процентном налоге Таким образом, DW L будет точно таким же, как если бы мы попали в данную точку с помощью потоварного налога. Налоги и субсидии в международной торговле на рынках совершенной конкуренции Задачи по налогам в международной торговле относятся к довольно сложным, так что их дают только на потоварные ставки, чтобы не усложнять итак довольно нагроможденные системы. Мы будем рассматривать именно экспортные и импортные пошлины. Как обычно, международная торговля делится на торговлю малой и крупной страны. Налоги в торговле малой страны Малая страна отличается тем, что не может влиять на мировую цену товара и воспринимает ее как заданную. В случае, когда страна является импортером, на нее не будет действовать экспортная пошлина и наоборот. Рассмотрим ситуацию, в которой страна-экспортер облагает своих производителей экспортной пошлиной, на примере задаче. Допустим, спрос, предложение и мировая цена выглядят следующим образом: 135 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Q d = 180 ? P Q s = P ? 60 P w = 150 Найдем цену автаркии: Q d = Q s 180 ? P = P ? 60 P = 120 Цена внутри страны ниже, чем на мировом рынке, следовательно, страна действительно будет экспортировать товар. В случае введения экспортной пошлины на таком рынке производители, которые изначально экспортировали товар по цене P w , теперь получают по факту P w ? t . Таким образом, можно пред- ставить, что мировая цена просто сместилась вниз на t и далее решать задачу используя эту цену. Таким образом, цена в стране уже будет отличаться от мировой цены: производители будут прода- вать товар таким образом, чтобы получать одинаковую цену и с внутренних и с внешних продаж, то есть установят внутри цену P w ? t Например, можно найти ставку экспортной пошлины, максимизирующую налоговые сборы. Для этого найдем объем экспорта при введении налога: Ex = Q s ? Q d = P ? 60 ? 180 + P = 2P ? 240 = 2(P w ? t) ? 240 = 2(150 ? t) ? 240 = 60 ? 2t T = Ex ? t = (60 ? 2t)t = 60t ? 2t 2 t ? ? max График - парабола ветвями вниз. Ищем вершину: t ? = 15 Здесь я опустил участок t > 30, так как при введении такой пошлины цена экспорта P w ? t будет ниже равновесной и экспорт прекратится. Посмотрим на то, как это выглядит на графике, и как влияет на общественное благосостояние: 136 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 85: Экспортная пошлина в малой экономике Соответственно, в случае импорта и ипортной пошлине будет то же самое (и точно также будет возникать DW L). Налоги в торговле крупных стран Торговля крупных стран отличается тем, что они могут влиять на мировую цену товара. Таким образом, экспортные и импортные пошлины также могут повлиять на их поведение, и, соответствен- но, на мировую цену. Рассмотрим две страны, торгующие друг с другом: A Q d = 90 ? P a Q s = P a B Q d = 150 ? P b Q s = P b ? 30 Сначала найдем, какая из стран будет экспортером, а какая - импортером: 90 ? P a = P a P a = 45 150 ? P b = P b ? 30 137 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике P b = 90 P a < P b , следовательно, A - экспортер, а B - импортер. Теперь рассмотрим, что произойдет, если страна A введет экспортную пошлину. Экспортной пошлиной облагаются все экспортные товары, следовательно, ее можно вводить только на функцию экспорта (такая пошлина меняет цену экспорта). Найдем функции экспорта страны A и импорта страны B (не забываем, что у нас есть участки, на которых спрос или предложения становятся равны 0): Ex a = Q s ? Q d = 2P ? 90 P 6 90 P P > 90 Im b = Q d ? Q s = 180 ? 2P P > 30 150 ? P P < 30 По сути, экспорт и импорт являются соответственно предложением и спросом на мировом рын- ке. В таком случае введение экспортной пошлины будет по сути являться введение потоварного налога на таком рынке. Давайте изобразим это на графике: Рис. 86: Экспортная пошлина в торговле крупных стран 138 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Соответственно, далее можно решать задачу точно также, как и задачу с потоварным налогом внутри страны. Найдем новое равновесие при введении какой-либо ставки экспортной пошлины t ex (Заметим, что пересечение идет на верхних участках функция экспорта и импорта): 2(P ? t ex ) ? 90 = 180 ? 2P 4P ? 2t ex = 270 P = 135 2 + t 2 Таким образом, мы нашли реакцию мировой цены на введение страной А экспортной пошлины. Заметьте, что в стране А установится цена, ниже мировой на величину налога, то есть P a = 135 2 + t 2 ? t = 135 2 ? t 2 Самый интересный факт состоит в том, что цена внутри страны уменьшается на величину, меньшую, чем ставка налога (в данном случае при введении пошлины t ex цена уменьшается только на t ex 2 ) (в случае малой страны, вспомним, цена внутри страны уменьшается ровно на величину налога). Из-за этого оказывается, что крупная страна, имеющая влияние на мировую цену, может увеличить свое благосостояние путем введения пошлины на торговлю (то же самое может сделать страна-импортер с помощью импортной пошлины). Для иллюстрации нам опять потребуется график с излишками, описывающий одну страну. Я покажу соответствующие изменения на примере страны А и вводимой ей экспортной пошлины. Заметим, что без налога цена на мировом рынке сложится на уровне P w = 135 2 : 139 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 87: Влияние экспортной пошлины на благосостояние страны Здесь черные заштрихованные области - это потери благосостояния в результате введения по- шлины. Однако, зеленая заштрихованная область - это прибавление в площади засчет того, что цена упала на величину, меньшую, чем ставка налога. Если сравнить эти площади, то видно, что итоговое благосостояние выросло в результате введения пошлины. Натуральный налог Задачи на натуральный налог всегда считались и считаются самыми сложными в олимпиадной экономике. Однако, если знать алгоритм их решения, оказывается, что не все так уж и печально. Сейчас мы с вами разберем, как именно следует решать такие задачи. Натуральный налог - это налог, взымаемый не в денежных единицах, а в единицах товара. Разберем, как натуральный налог влияет на рынок. Влияние на оптимизацию фирмы Влияние на оптимизацию фирмы - довольно простой случай натурального налога. Здесь нужно просто внимательно записать соотношение товара. 140 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Например, если сказано, что государство требует себе половину от проданного количества товара, то в итоге нам необходимо произвести в полтора раза больше, чем требуется продать (На- пример, если будет продано 10 единиц, то 5 единиц нужно отдать государству, и в итоге придется произвести 15 единиц). А если сказано, что отдать придется половину от произведенного количества, то произвести нужно будет уже в два раза больше, чем требуется продать (например, мы произвели 10 единиц, из них 5 отдали государству, а остальное продали). Разберем пример задачи с натуральным налогом: Монополист, имеющий функцию издержек T C = Q 2 работает на спросе Q d = 120 ? P (P = 120 ? Q ). Государство вводит на него натуральный налог в виде 50% от проданного количества товара. Так как теперь произведенное количество (Q p ? produced ) не равно проданному (Q s ? sold ), выпишем прибыль фирмы, разделив эти два количества: ? = T R ? T C = P ? Q s ? Q 2 p = (120 ? Q s )Q s ? Q 2 p Теперь нам осталось только записать соотношение между Q s и Q p . Сейчас произвести нам нужно в полтора раза больше, чем мы хотим продать. Тогда Q p = 1.5Q s = 3 2 Q s . Подставим это соотношение в прибыль фирмы: ? = 120Q s ? Q 2 s ? ( 3 2 Q s ) 2 = 120Q s ? Q 2 s ? 9 4 Q 2 s = 120Q s ? 13 4 Q 2 s Q s ?? max Это парабола ветвями вниз. Ищем вершину: Q ? s = 240 13 Следовательно, произвести нужно Q d = 3 2 Q s = 360 13 , а государство получит Q g = 1 2 Q s = 120 13 Влияние на рынок совершенной конкуренции Теперь мы разберем, как натуральный налог может влиять на предложение и спрос (ведь он может собираться не только с производителей, но и с потребителей). Допустим, спрос и предложения в стране описываются следующими функциями: Q s = 3P ? 60 Q d = 180 ? 3P Государство вводит 50% налог с покупок, а именно: половину от всего купленного товара потре- бители обязаны отдавать государству. Чтобы понять, как налог повлияет на рынок, нужно понять, как он изменит функцию спроса. Есть два способа это сделать. Первый - это восстановить функцию полезности, из которой был получен данный спрос, и заново прооптимизировать ее, заменив количество Q c = Q b 2 , где Q c - это потребленное количество товара, а Q b - купленное количество. Проблема данного способа состоит в том, что одну и ту же функцию спроса могут задавать несколько функций полезности, и по сути этот способ не является правильным и тем более строгим. Что уж говорить о том, что восстанавливать функцию полезности из функции спроса довольно сложно. Для начала поймем, что значит изначальная функция спроса Q = 180 ? 3P . Она показывает зависимость количества товара, который мы хотим, чтобы у нас по итогу оказался от цены которую мы по итогу заплатим за каждую оказавшуюся у нас по итогу единицу товара. Обозначим их индексом 1, то есть Q 1 = 180 ? 3P 1 . Мы же должны получить новую функцию спроса, то есть зависимость товара, которое потребитель хочет купить в зависимости от цены за единицу 141 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике купленного товара. Эти цена и количество будут обозначаться инндексом 2. То есть наша задача получить функцию Q 2 = f (P 2 ) . Это и будет новая функция спроса. Итак, мы будем менять спрос в два этапа. Первоначально скажем, что цена, которую потреби- тель заплатит за единицу товара, которая у него по итогу останется (за Q 1 ), в 2 раза выше, чем цена единицы купленного товара (Q 2 ), так как чтобы в итоге обладать единицой товара, ему необходимо приобрести на рынке 2 единицы (так как одну он отдаст государству). То есть верно, что P 1 = 2P 2 То же самое можно сказать про количество: у него останется ровно в 2 раза меньше товара, чем он купит, то есть Q 1 = Q 2 2 Теперь просто подставим их в изначальную функцию спроса и получим изменившийся спрос, так как Q 2 и P 2 - это рыночные цена и количество товара: Q 1 = 180 ? 3P 1 Q 2 2 = 180 ? 3(2P 2 ) Q 2 = 360 ? 12P 2 Вот мы и получили итоговую функцию спроса на товар после введения налога. Теперь мы можем, например, пересечь ее с предложением и получить равновесные цену и количество: 360 ? 12P = 3P ? 60 P ? = 28 Q ? = 3P ? 60 = 24 Другие налоги Существуют также другие налоги, развернуто рассказывать про которые я не буду, а приведу лишь короткий список их особенностей. Налог на прибыль Налог на прибыль взымается в процентах от прибыли фирмы. Особенностью этого налога является то, что он никак не влияет на оптимизацию фирмы, так как максимизировать часть прибыли -то же самое, что максимизировать и целую прибыль. Аккордный (паушальный) налог Это разовый налог, то есть фиксированная сумма, один раз взымающаяся с фирмы. Обычно не влияет на оптимизацию, кроме того случая, при котором в результате введения налога фирма уходит с рынка. Пол и потолок цен Пол и потолок цен - отдельные виды вмешательства государства в экономику. В отличии от налогов и субсидий, при таком вмешательстве государство не имеет никаких излишков, а лишь регулирует рынок. Пол цен - это такое число, ниже которого фирмы не имеют права назначать цену. Потолок цен - это такое число, выше которого фирмы не имеют права назначать цену. Если потолок цен вводится на уровне выше равновесной цены, он никак не влияет на рынок, ведь равновесная цена все еще может быть назначена фирмами. То же самое происходит при назна- чении пола цены ниже равновесного уровня. 142 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Влияние на рынок совершенной конкуренции Как обычно, мы рассмотрим один из двух симметричных вариантов. Посмотрим на то, как пол цен влияет на рынок совершенной конкуренции. Для этого проанализируем, как пол повлияет на спрос и предложение. Естественно, мы будем анализировать ситуацию, в которой пол цены вводится на уровне выше равновесной цены (иначе, он не окажет на рынок никакого влияния). Рассмотрим следующий график, показывающий, как пол цены влияет на функции спроса и предложения: Рис. 88: Влияние пола цены на спрос и предложение Как мы можем увидеть, спрос просто обрывается, когда доходит до пола цены: по более низ- кой цене покупать нельзя. Предложение же меняется немного другим образом. Теперь все единицы товара, которые фирма раньше готова была продавать подешевле, она продаст по цене пола. Теперь пересечем получившиеся спрос и предложение и найдем равновесие: 143 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 89: Введение пола цены на рынок совершенной конкуренции Здесь уже изображены излишки и DW L в результате такого вмешаетльства. Также вы можете заметить, что при данном поле цены производители готовы производить больше товара, чем готовы покупать потребители. Такую ситуацию на рынке называют профицитом товара. При введении пола цены на рынке совершенной конкуренции практически всегда равновесное количество уменьшается, а цена увеличивается (и становится равна установленному полу). Соответственно, при потолке цены образуется дефицит товара, количество уменьшается, а цена становится равна установленному потолку: 144 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 90: Введение потолка цены на рынок совершенной конкуренции Влияние на монополиста Гораздо интереснее скалдывается ситуация с монополистом при введении потолка цены. Если ввести для монополиста пол цены выше равновесия, то все довольно просто: так как из-за этого "обрубается"спрос, то обрубается и MR. Более того, MR становится всегда выше MC монополиста, следовательно, монополист просто назначает максимальное количество товара, так как с каждого товара он получает положительную прибыль, а, значит, и цену, равную полу цены: 145 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 91: Пол цены при монополии А вот при потолке цены не все так однозначно. Из-за введения потолка цены спрос делится на два участка. Соответственно, функция MR тоже становится кусочной. На горизонтальном участке M R совпадает с функцией спроса (вспоминаем: MR показывает, на сколько увеличится выручка при продаже дополнительной единицы товара. На горизонтальном участке для того, чтобы продать дополнительную единицу не нужно снижать цену товара, следовательно, выручка при продаже до- полнительной единицы увеличится ровно на цену этой единицы. Проще говоря, если P = const, то M R = (T R) 0 Q = (P Q) 0 Q = P ). На втором же участке функция MR остается равна изначальной. Посмотрите на графическую иллюстрацию функции MR при потолке цены: 146 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 92: MR при введении потолка цены Теперь, при введении потолка цены на монополиста ниже цены, которую он хотел бы назна- чить, могут произойти две ситуации: В первом случае потолок устанавливается ниже оптимальной цены монополиста, но выше пе- ресечения MC со спросом. Нарисуем такую ситуацию и изобразим площади убытков и прибылей между MR и MC, как в обычном решении проблемы монополиста с помощью предельных функций: 147 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 93: Введение на монополиста потолка цен выше пересечения спроса и MC Здесь мы видим, что Q 1 является оптимумом монополиста. Следовательно, из-за введения по- толка цены монополист увеличил количество продаваемого товара, параллельно снизив цену до уровня установленного потолка! Более того, на рынке не возникает никакого дефицита товара, а общественное благосостояние повышается (я не буду его изображать из-за нагроможденности гра- фиков, но вы попробуйте сравнить изначальное благосостояние и благосостояние после введения потолка. Оно должно увеличиться). Однако, если установить потолок ниже точки пересечения MC и спроса, ситуация поменяется: 148 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 94: Введение на монополиста потолка цен ниже пересечения спроса и MC В таком случае MR и MC уже пересекаются. Как раз в точке их пересечения фирма перестает получать прибыль, и дальше идет убыток (заметьте, что после окончания горизонтального участка спроса MR резко становится отрицательным). Теперь точка равновесия оказывается не на изна- чальной функции спроса, а под ней (на MC). Получается, что при данном потолке цены продавать готовы больше, чем покупать. Следовательно, в таком случае на рынке возникает дефицит товара. Далее, при снижении потолка цены, точка оптимума будет двигаться по MC вниз. В этом случае общественное благосостояние будет уменьшаться. В общем виде, при снижении потолка цены, монополист сначала увеличивает объем товара, а затем уменьшает его. Посмотрите на то, как двигается оптимальная точка монополиста при сниже- нии потолка цены: 149 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 95: Движение точки потимума по мере снижения потолка цены Если бы фирма, которую мы рассматриваем, вела бы себя как совершенный конкурент, то ее функция предложения совпала бы с ее функцией MC (почему это так смотрите в оптимизации со- вершенного конкурента). Следовательно, при совершенной конкуренции равновесие сложилось бы ровно в точке пересечения данного MC и спроса. Однако, точно такое же равновесие сложится, если государство введет потолок цены на уровне пересечения спроса и MC. Получается, если будет вве- ден такой потолок, то на на монополистическом рынке может быть достигнут уровень совершенной конкуренции! В реальной практике пол цены практически всегда устанавливается на товары, потребление ко- торых государство стремится ограничить. Например, в России пол цены введен на некоторые виды алкоголя. Потолок же цены вводится с целью сделать доступными для населения некоторые кате- гории товаров. например, в России потолок цен введен на многие жизненно необходимые лекарства. 150 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Квоты Квоты - еще один вид государственного вмешательства, при котором у него не образуется никакого излишка. Квота - ограничение на максимальное количество товара, доступное для торговли. В плане квот очень важно, на кого они вводятся, то есть какую именно функцию они изменят. Влияние на рыночные структуры Совершенная конкуренция Введение квоты всегда "обрубает" функцию спроса (если введена квота на покупку) или пред- ложения (если введена квота на продажу). Может быть введена квота сразу на всю торговлю, и в таком случае возможны множественные равновесия, так как полученные в результате введения квоты спрос и предложение будут пересекаться на целом отрезке. Ниже приведена графическая иллюстрация этих случаев и равновесий, которые получаются в итоге: Рис. 96: Варианты введения квоты на рынке совершенной конкуренции Как вы можете заметить, в каждом случае равновесное количество равно вводимой квоте. Если квота вводится на уровне выше равновесного количества товара, то она никак не повлияет на рынок. Остальные структуры Вне зависимости, какого типа квота введена, фирмы, имеющие рыночную власть (например, монополсит или олигополисты), будут просто работать на "обрубленной" функции спроса. Дальней- шая оптимизация сводится к максимизации с ограничениями. 151 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике В качестве примера рассмотрим монополиста с функцией издержек T C = 20Q, работающего на спросе Q d = 80 ? P , и на которого вводится квота на торговлю в размере Q quote = 20 Сначала найдем оптимум без квоты: ? = P Q ? T C = (80 ? Q)Q ? 20Q = 60Q ? Q 2 Q ? ? max График - парабола ветвями вниз. Ищем вершину: Q ? = 30 Так как Q ? > Q quote , то монополист уже не может продать 30 единиц. Однако, он будет брать близжайшее доступное к вершине количество, а это Q = 20. Тогда он установит P = 80 ? Q = 60. Квоты в международной торговле Обычно задачи на квоты встречаются по отношению к экспорту или импорту товара (экспорт- ные и импортные квоты). По сути, они ничем не отличаются от квот на обычном рынке, только вводятся на функции экспорта и импорта. Точно также, как экспортные и импортные пошлины похожи на обычный потоварный налог. То есть экспортная пошлина будет "обрубать" фукнцию экспорта, а импортная - функцию импорта. Косвенное государственное вмешательство При косвенном вмешательстве в экономику государство не говорит фирмам что делать, какие цены и количества назначать и так далее, а ведет себя как один из участников рынка. В таких случаях считается, что государство ведет себя как совершенный конкурент: воспринимает рыночную цену как заданную. Существует множество варинтов того, как государство может закупать или продавать товары на рынок. Мы рассмотрим один из них, чтобы вы поняли принцип. Рассмотрим следующий рынок совершенной конкуренции: Q d = 100 ? P Q s = P Государство планирует поддержать производителя, объявив, что потратит 2500 д.е. на закупку товара. Таким образом, государство будет предъявлять дополнительный спрос. Найти его довольно просто: если государство фиксирует количество денег, которое оно должно потратить, то должно быть выполнено равенство Q g ? P = 2500 , где Q g - количество товара, которое приобретет государство. Следовательно, спрос государства будет выглядеть как Q g = 2500 P Теперь нам нужно найти суммарный спрос. Вспоминаем, что при P > 100 изначальный спрос равен 0, и выводим суммарную функцию: Q d = 2500 P P > 100 100 ? P + 2500 P P < 100 Осталось приравнять спрос к предложению и найти равновесие. Так как функция спроса убы- вающая, а предложения - возрастающая, равновесие должно быть только одно. Попробуем пересечь сначала с верхней функцией: P = 2500 P P = 50 152 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Не угадали, так как P = 50 не подходит под ограничение участка спроса. Значит, пересечение на другом участке: 100 ? P + 2500 P = P P ? = 25 + 25 ? 3 Таким образом, мы нашли, как повлияет на рынок косвенное вмешательство государства. 153 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Эластичность Сразу предупрежу, существует большая вероятность, что эта тема вам не понравится и будет бесить, потому что так происходит почти со всеми, кто изучает олимпиадную экономику. На самом деле, в ней нет особо ничего сложно, нужно просто выучить несколько правил и лайфхаков. Эластичность - величина, которую в экономике очень любят высчитывать. В реальном мире расчет эластичности нужен для составления правильной ценовой политики. В олимпиадной эконо- мики нам нужно просто уметь расчитывать эластичность различных функций и пользоваться ее свойствами. Вообще, эластичность - это математическое понятие, которое используется в основном только в экономике. Итак, познакомьтесь: Эластичностью называют изменение значения функции в процентах при увеличении аргу- мента на 1 процент. По определению, эластичностью функции f(x) называется следующая величина: E x f = ?f % ?x% Пример простейшей задачки на подсчет эластичности: Допустим, на неизменном спросе объем продаж снизился с 300 до 270, и при этом цена увели- чилась с 5 до 6. Давайте расчитаем эластичность спроса по цене при этом изменении. Процентное изменение количества: ?Q% = 270?300 300 ? 100% = ?10% (Заметьте, так как количе- ство уменьшилось, то ?Q% будет отрицательной величиной). Также найдем процентное изменение цены: ?P % = 6?5 5 ? 100% = 20% . Тогда эластичность спроса при данном изменении будет равняться E P D = ?Q d % ?P % = ?10% 20% = ? 1 2 В большинстве случаев (Порядка 90 % задач), у вас будут задачи про эластичность количества по цене (E P Q ), например, эластичность спроса по цене (E P D ) или эластичность предложения по цене (E P S ). Заметьте, что закон спроса и закон предложения говорит о том, что спрос обладает отрица- тельной эластичностью по цене, а предложение - положительной. Из определения эластичности выводятся различные ее формулы, использующиеся в различных ситуациях. Давайте сначала посмотрим на эти формулы и как правильно их применять. Формулы эластичности В данном разделе мы будем рассматривать эластичность количества по цене, однако формулы будут верны для эластичности любых других функций. Итак, сначала распишем, что такое процент- ные изменения и немного посокращаем: E P Q = ?Q% ?P % = ?Q Q ? 100% ?P P ? 100% = ?Q ?P ? P Q Здесь обычные P и Q - это изначальные значения цены и количества. Так как в различных участках спроса может быть различная эластичность, то по данной формуле расчитывается эластич- ность в конкретной начальной точке. Например, на спросе при увеличении количества с 50 до 60 цена уменьшилась с 55 до 50. То есть у нас есть, по сути, две точки на спросе: при цене 55 продается 50 единиц, а при цене 50 продается 60 единиц. 154 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Чтобы посчитать эластичность в точке (55;50), нужно представить, что мы попадаем из нее в точку (50;60). Тогда получается, что ?Q = 10, ?P = ?5, а вместо P и Q подставляем значения точки, в которой мы хотим посчитать эластичность (Q = 50, P = 55) Тогда E P D = ?Q ?P ? P Q = 10 ?5 ? 55 50 = ? 11 5 Если в точно таких же обстоятельствах нам нужно посчитать эластичость во второй точке (где Q = 60 , а P = 50), то она будет другой: E P D = ?Q ?P ? P Q = ?10 5 ? 50 60 = ? 5 3 Пример эластичности, который мы с вами сейчас посмотрели, называется точечной эластич- ностью, так как рассчитывается с помощью двух точек. В явном виде точечную эластичность можно посчитать по следующей формуле: E P Q = ?Q ?P ? P Q = Q 1 ? Q 2 P 1 ? P 2 ? P 1 Q 1 Здесь P 1 и Q 1 обозначают координаты точки, в которой вы хотите посчитать эластичность, а P 2 и Q 2 - координаты второй (вспомогательной) точки. Данную формулу точеченой эластичности обычно применяют при незначительных изменени- ях цены и количества, так как при увеличении расстояния между точками точность такого измерения снижается. Для более точного подсчета точечной эластичности при значительных изменениях цены и ко- личества между точками используется формула дуговой эластичности. Дуговая эластичность вы- считывает значение ровно посередине отрезка между двумя данными точками. Тогда на место точки нужно подставить середину отрезка (а ее координаты равны среднему арифметическому двух данных точек): E P Q = Q 1 ? Q 2 P 1 ? P 2 ? P Q = Q 1 ? Q 2 P 1 ? P 2 ? P 1 +P 2 2 Q 1 +Q 2 2 = Q 1 ? Q 2 P 1 ? P 2 ? P 1 + P 2 Q 1 + Q 2 Посмотрите на следующий график какой-то случайной функции спроса и двух точек на ней: 155 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 97: Эластичность по двум точкам Как вы могли заметить, для расчета эластичности по двум точкам используются только их координаты, то есть форма самого спроса не берется в расчет. Таким образом, чем дальше точки находятся друг от друга, тем меньше отрезок, соединяющий их, похож на оригинальную функцию спроса, и тем хуже эластичность описывает спрос. Чем более нелинейный спрос, тем большую по- грешность будет давать точечная эластичность. Однако, если для расчетов мы сможем взять две бесконечно близкие точки, то точность расчета эластичности будет максимальна, потому что отрезок будет бесконечно близко напоминать функцию спроса! (Если вы ничего не поняли, попробуйте посмотреть раздел Производная в ма- таппарате, где объяснятеся похожий принцип). Вспомним, как мы изначально выразили формулу эластичности: E P Q = ?Q ?P ? P Q В случае, если две точки находятся максимально близко друг к другу, ?Q ?P по определению является производной функции Q = f(P )! Например, если Q = 10 ? 3P , то ?Q ?P = Q 0 (P ) = ?3 В таком случае формула эластичности преобразовывается в: E P Q = ?Q ?P ? P Q = Q 0 P ? P Q Эта формула называется коэффициентом эластичности, и для ее расчета нужна всего одна точка! Однако, нам нужна еще и функция, чтобы мы могли взять производную. 156 |