Учебник по олимпиадной экономике. Учебник по олимпиадной экономике для школьников
 Скачать 4.49 Mb.
|
|
= (?3) ? 2 10?3?2 = (?3) ? 2 4 = ? 3 2 Итак, если для расчета даны две точки, мы используем формулу точечной эластичности, если дана функция - то формулу коэффициента эластичности. Также, характеризовать эластичость принято по модулю: например, говорят, что эластичность высокая (а функция, соответственно, является эластичной), если она по модулю выше 1. Если же эластичность меньше 1 по модулю, то функция является неэластичной. Например, если спрос обладает эластичностью по цене (-2) в какой-то точке, то в этой точке спрос будет эластичным. Геометрический смысл эластичности для линейных функций Решение эластичности через геометрию - самый полезный прием в данной теме. Здесь мы рас- смотрим, какую геометрическую интерпретацию имеет эластичность спроса и предложения, что по- может вам значительно сокращать время на решения задач по этой теме, на которую действительно есть очень много задач. Начнем с линейного спроса. Геометрический смысл эластичности линейного спроса Посмотрим на следующую картинку, на которой изображен такой спрос: 157 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 98: Геометрический смысл эластичности спроса Нашей задачей будет высчитать эластичность данного спроса по цене в точке C. Так как для линейной функции все равно, что использовать: точечную эластичность или коэффициент эластич- ности (потому что касательная совпадает с графиком функции, следовательно ?Q ?P будет одинаково как для удаленных, так и для максимально близких точек), я буду использовать самую простую формулу: E P D = ?Q ?P ? P Q В качестве второй точки (чтобы высчитать ?Q и ?P ), я возьму точку A. Итак, у нас есть две точки, C и A. Выпишем для них отрезки, соответствующие переменным в формуле (Не забываем, нам нужна эластичность в точке C, значит, Q и P подставляются из точки C): ?Q = ?|OE| ?P = |AD| Q = |OE| P = |DO| Подставим это все в формулу: E P D = ?Q ?P ? P Q = ?|OE| |AD| ? |DO| |OE| = ? |DO| |AD| 158 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Мы получили геометрический смысл эластичности спроса для линейного спроса: это отношение нижнего отрезка по оси цен (который равен, собственно, цене в необходимой точке), к верхнему отрезку (который равен разнице между максимальной ценой и ценой в точке). Также хочу заметить, что по теореме Фалеса выполняются эластичность можно выражать и через отношение других отрезков: E P D = ? |DO| |AD| = ? |BC| |CA| = ? |BE| |EO| Также отношение отрезков можно получить и аналитическим методом. Запишем функцию спроса как P = a ? bQ (Таким образом, максимальная цена спроса - a). Перевыразим Q, чтобы можно было найти производную функции: Q = a b ? 1 b P Выразим эластичность в точке с помощью коэффициента эластичости: E P D = Q 0 P ? P Q = ? 1 b ? P Q = ? 1 b ? P a b ? 1 b P = ? 1 b ? bP a ? P = ? P a ? P Таким образом, мы получили, что эластичность линейного спроса по цене по модулю равна отношению цены к разнице макмальной цены и цены в точке (то же самое, что мы и получили раньше). Из всего вышеперечисленного можно вывести несколько следствий: 1. Чем выше точка на линейном спросе, тем большей эластичностью она обладает. 2. В середине спроса эластичность в точности равна (-1). 3. На концах спроса эластичность равна 0 и ?? соответственно. Геометрический смысл эластичности линейного предложения Теперь найдем похожее соотношение отрезков для предложения. Посмотрите на график: 159 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 99: Геометрический смысл эластичности спроса Нашей задачей является рассчитать эластичность данного предложения по цене в точке C. Выразим все компоненты эластичости в виде отрезков. В качестве второй точки возьмем точку A : ?Q = |OE| ?P = |AD| Q = |OE| P = |OD| E P S = ?Q ?P ? P Q = |OE| |AD| ? |OD| |OE| = |OD| |AD| Получается, что эластичность предложения по цене оказалась равна отношению цены к разнице между ценой и минимальной ценой предложения. Обратите внимание на несколько следствий из полученного утверждения: 1. Если линейное предложение выходит выше начала координат, то оно эластично в любой точке (E P S > 1 ), так как |OD| > |AD|. 2. Если линейное предложение выходит ниже начала координат, то оно неэластично в любой точке (E P S < 1 ), так как |OD| < |AD|. 3. Если линейное предложение выходит из начала координат, то оно обладает единичной эластич- ностью в любой точке (E P S = 1 ). 160 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике 4. Чем выше точка на эластичном предложении, тем меньше значение эластичности в этой точке. Чем выше точка на неэластичном предложении, тем больше значение эластичности в этой точке. Этот факт является следствием того, что если мы увеличиваем координату точки по оси цен, то в дроби, обозначенной выше (там это было |OD| |AD| ) и к числителю, и к знаменателю прибав- ляется одно и то же число, из-за чего дробь становится ближе к единице. Если предложение эластично (E P S > 1 ), то эластичность уменьшается, так как становится ближе к единице. Ес- ли предложение неэластично (E P S < 1 ), то эластичность увеличивается при приближении к единице Если вам все еще непонятно, посмотрите на следующий график, это ваш последний шанс: Рис. 100: Эластичности линейных предложений Интересные факты про эластичность Эластичность по цене и налоговое бремя При введении любого налога из трех (потоварный, акциз, НДС) на рынок совершенной конку- ренции с линейными функциями спроса и предложения, отношение налогового бремени потребителя и производителя обратно пропорционально отношению модуля эластичности предложения и спроса про цене в точке изначального равновесия. Здесь нужно вспомнить, что налоговое бремя потреби- теля - это то, на сколько увеличилась цена потребителя в результате введения налога, а налоговое бремя производителя - то, на сколько снизилась цена производителя. То же самое в виде формулы: t d t s = | E P S E P D | Этот факт уже несколько раз использовался в задачах на различных этапах ВСОШ, так что настоятельно советую запомнить. 161 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Для особо интересующихся приведу аналитическое доказательство: Зададим спрос и предложение аналитически: Q d = a ? bP d Q s = c + dP s Так как налоги эквивалентны, рассмотрим на примере и введем потоварный налог. Он изменит функцию предложения, после чего найдем равновесную цену потребителя и производителя. P s = P d ? t Q s = c + dP s = c + d(P d ? t) a ? bP d = c + d(P d ? t) a ? c + dt = bP d + dP d P d = a ? c + dt b + d P s = P d ? t = a ? c ? bt b + d Изначальное равновесие было при t = 0. Найдем равновесную цену до налога: P ? = a ? c b + d Тогда найдем t s и t d - на сколько уменьшилась цена производителя и увеличилась цена потре- бителя при введении налога соответственно: t s = P ? ? P s = a ? c b + d ? a ? c ? bt b + d = bt b + d t d = P d ? P ? = a ? c + dt b + d ? a ? c b + d = dt b + d Тогда можно получить соотношение налогового бремени потребителя и производителя: t d t s = dt b+d bt b+d = d b Теперь рассмотрим эластичности. Если P ? и Q ? - равновесные значения цены и количества до введени налога. Тогда: E P S E P D = Q 0 s (P ? ) ? P ? Q ? Q 0 d (P ? ) ? P ? Q ? = Q 0 s (P ? ) Q 0 d (P ? ) = d ?b Наконец, получаем: | E P S E P D | = | d ?b | = d b = t d t s Что мы и хотели получить. 162 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Эластичность спроса по цене и эластичность выручки по цене Сейчас мы с вами посмотрим на то, как эти эластичность количества по цене и эластичность выручки по цене соотносятся между собой и что из этого следует (тут вспоминаем, что T R = P Q). Данное соотношение будет верно для любой функции спроса Q = f(P ). E P T R = T R 0 (P ) ? P T R = (P ? Q(P )) 0 P ? P P Q = (P ? Q(P )) 0 P Q Так как у нас и P зависит от P , и Q зависит от P , применим формулу производной произведе- ния: E P T R = (P ? Q(P )) 0 (P ) Q = Q(P ) + P ? Q 0 (P ) Q = 1 + P ? Q 0 (P ) Q = 1 + Q 0 (P ) ? P Q = 1 + E P D Таким образом, мы получили, что эластичность выручки по цене всегда на 1 больше эластиности спроса по цене. Из этого следует довольно много всего. Итак, по порядку: 1. Если спрос эластичен (эластичность по модулю больше 1, а по факту меньше -1), то эластич- ность выручки по цене будет отрицательна (E P D < ?1 ? E P T R = E P D + 1 < 0 ). Это значит, что если спрос эластичен, то при повышении цены выручка уменьшится. 2. Аналогично, если спрос неэластичен, то при увеличении цены выручка увеличится. 3. Монополист всегда будет работать на эластичном участке спроса. Если он работает на неэла- стичном участке, он может увеличить цену, уменьшив продаваемое количество. Таким образом он увеличит выручку (так как спрос неэластичен) и уменьшит издержки (так как уменьшит количество) и в результате его прибыль вырастет. Получается, никакая точка на неэластичном участке спроса не будет оптимумом. Эластичность нелинейных функций Есть одно простое, но очень полезное правило: Эластичность функции в точке равна эластичности касательной к этой функции в этой точке, так как у функции и у касательной по определению совпадают и f 0 x , и f, и x (В случае эластичности количества от цены у них совпадают и Q 0 P , и Q, и P ). Например, так можно определять эластичные и неэластичные участки некоторых функций. В том числе, вот этого странного предложения, представленного в виде графика: 163 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 101: Эластичность нелинейного предложения Функции с постоянной эластичностью Как вы могли уже много раз заметить, в различных точках функция может иметь различные значения эластичности. Однако, существует один класс функций, для которых эластичность посто- янна на всей области определения. Другими словами, какую бы точку на такой функции вы бы не взяли, эластичность будет всегда одинакова. Для удобства я буду писать функции в терминах Q = f(P ), однако, это распространяется вооб- ще на все функции f(x). Собственно, функции следующего вида обладают постоянной эластичность: Q = a ? P n Здесь a и n - некоторые параметры. a обычно называют наклоном функции, а n - степенью. Чему же равна эластичность такой функции? Посчитаем: E P Q = Q 0 P ? P Q = a ? n ? P n?1 ? P a ? P n = a ? n ? P n a ? P n = n Да, эластичность таких функция всегда равна показателю степени и не зависит ни от наклона функции (a), ни от того, какую точку мы выберем. Например, предложение Q = 6P будет обладать постоянной эластичностью, равной 1. Или же спрос вида Q = 100 P 2 = 100 ? P ?2 будет обладать постоянной эластичностью, равной -2. Эластичность в теории потребителя и классификация товаров Мы уже ознакомились с эластичностью на рынке совершенной конкуренции, на которую дают большинство задач в олимпиадной экономике. Теперь мы с вами посмотрим на эластичность в теории потребителя, на которую любят давать тестовые вопросы. 164 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Эластичность спроса по доходу Эластичность спроса по доходу (E I D ) помогает нам определить, каким именно товаром для индивида является какое-то конкретное благо. Всего выделяют 3 вида товаров: 1. Инфериорные товары, они же товары низкого качества. Это такие товары, потребление которых мы уменьшаем при увеличении нашего дохода, то есть эластичность нашего спроса по доходу на которые меньше 0 (E I D < 0 ). К таким товарам можно отнести, например, дешевые консервы, а также другие некачественные и дешевые продукты. Чем выше доход индивида, тем меньше он их покупает. 2. Товары первой необходимости. Это товары, эластичность спроса по доходу на которые неотрицательна, но меньше 1 (0 6 E I D < 1 ). То есть это такие товары, потребление которых мы не сильно увеличиваем с ростом дохода. Например, сюда можно отнести зубную пасту, хлеб и другие повседневные вещи. 3. Товары роскоши. Эта группа товаров характеризуется высокой эластичностью спроса по доходу (E I D > 1 ). К таким товарам можно отнести квартиры, машины и множество других вещей. Товары первой необходимости и Товары роскоши называются нормальными товарами. Давайте, для примера, попробуем определить, к какой категории товаров относится какое-либо благо в конкретной задаче. Допустим, мы рассматриваем индивида, обладающего функцией полезности U = xy + 10x, и располагающего бюджетом в I = 100 д.е. Цены товаров равны P x = 10 , P y = 2 . Нашей задачей будет определить, к какой категории товаров относится для нашего индивида товар x. Для этого нам необходимо понять, как именно потребление товара x зависит от нашего дохода I , то есть решить задачу, принимая I за параметр. Итак, индивид максимизирует полезность при бюджетном ограничении 10x+5y = I (равенство достигается, так как полезность строго возрастает по x, то есть индивид точно будет тратить все деньги). Сократив, получим y = I 5 ? 2x Будем решать задачу через максимизацию основной функции: U = xy + 10x = x( I 5 ? 2x) + 10x = ( I 5 + 10)x ? 2x 2 x ? ? max Это парабола ветвями вниз, ищем вершину: x ? = I 5 + 10 4 = I + 50 20 Проверяем на ограничения x > 0 и x 6 I 10 : I+50 20 > 0 при любых I. Проверяем второе. I + 50 20 6 I 10 I + 50 6 2I 50 6 I Нас удовлетворяет такое соотношение, так как нужно узнать эластичность в точке I = 100. Таким образом, мы нашли зависимость x от I: x ? = I+50 20 = I 20 + 5 2 . Теперь высчитаем эластичность спроса по доходу: E I x = x 0 I ? I x = 1 20 ? 100 100 20 + 5 2 = 5 15 2 = 2 3 Получается, что E I x < 1 , следовательно, x - товар первой необходимости. 165 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Перекрестная эластичность спроса Другая классификация товаров основана на их взаимосвязи друг с другом. Эту взаимосвязь позволяет выявить перекрестная эластичность спроса - эластичность спроса на один товар по цене другого товара. Всего в такой классификации также существует 3 вида товаров: 1. Товары-комплементы - это дополняющие друг друга товара. Например, зубная щетка и зубная паста. Такие товары характеризуются отрицательной перекрестной эластичностью: чем дороже один из товаров-комплементов, тем меньше нам хочется потреблять второй. 2. Товары-субституты, или товары-заменители. Они отличаются положительной перекрест- ной эластичностью, так как при увеличении цены на один товар мы увеличиваем потребление второго. 3. Нейтральные товары - это те товары, которые никак между собой не связаны. Их перекрест- ная эластичность равняется 0. Рассмотрим пример задачки на перекрестную эластичность: Допустим, нам нужно определить, как связаны между собой два товара, которые потребляет индивид. Его полезность от этих товаров описывается функцией U = 10x ? x 2 + y , P x = 5 , P y = 1 , I = 40. Для того, чтобы понять, какие это товары, нам нужно посчитать либо перекрестную эластичность x по цене y, либо наоборот. Я буду считать перекрестную эластичность x по цене y. Для того, чтобы посчитать данную эластичность, нам необходимо принять P y за константу. Бюджетное ограничение имеет вид yP y + 5x = 20 , или же y = 40 P y ? 5 P y x . Равенство выполняется так как полезность возрастает по y. Промаксимизируем полезность методом основной функции: U = 10x ? x 2 + y = 10x ? x 2 + 40 P y ? 5 P y x = (10 ? 5 P y )x ? x 2 + 40 P y x ? ? max Это парабола ветвями вниз. Ищем вершину: x ? = 10 ? 5 P y 2 = 5 ? 5 2P y Проверим на ограничения x > 0 и x 6 40 5 . Можно сразу же проверять в нашей точке, подставив P y = 1 . Тогда x ? = 5 ? 5 2P y = 5 2 . Оба ограничения выполняются: 0 6 5 2 6 8. Значит, мы правильно нашли зависимость. Теперь высчитаем нужную нам перекрестную эла- стичность: E P y x = x 0 P y ? P y x = 5 2P 2 y ? P y x = 5 ? 1 2 ? 1 ? 5 2 = 1 Получили, что перекрестная эластичность положительна, значит, x и y - товары-субституты. Товары Гиффена Товары Гиффена - особая категория инфериорных товаров. Это такие товары, спрос на которые имеет положительную эластичность по цене. Другими словами, чем больше цена товара, тем больше величина спроса на данный товар. Графически, в присутствии эффекта Гиффена, наклон спроса становится положительным. Данный парадокс имеет место в условиях довольно низкого дохода индивида, когда на кону стоит не благополучие, а выживание. Практически всегда в качестве иллюстрации товаров эффекта Гиффена приводят доступную еду (хлеб, чай, рис) в условиях экономического кризиса. Эффект наблюдается из-за того, что эффект замещения оказывается слабее эффекта дохода: при росте цены на жизненно необходимый продукт людям в условиях нищеты приходится отказы- ваться от других, более качественных продуктов, заменяя их этиим самым жизненно необходимым продуктом. 166 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Альтернативные издержки и КПВ Итак, мы с вами переходим к последней, довольно объемной теме в олимпиадной экономике. Практически на каждой олимпиаде есть задача на КПВ, и эта тема является одной из самых важных во всем курсе. Несмотря на то, что задачи на КПВ самые разнообразные, между ними существует много общего. Здесь я постараюсь разобрать базовую теорию по всем темам. Понятия альтернативных издержек и КПВ Для начала ознакомимся с некоторыми ключевыми определениями. Альтернативные издержки какого-либо блага - это то, что можно получить, отказавшись от этого блага. Альтернативные издержки никогда не выражаются в денежных единицах. Стандарт- ное сокращение - OC (Opportunity Costs). В качестве иллюстрации рассмотрим магазин, в котором ручка стоит 10 рублей, а карандаш - 5 рублей. Тогда в этом магазине вместо одной ручки можно купить 2 карандаша. Другими словами, отказавшись от покупки ручки, мы сможем приобрести 2 карандаша. В таком случае говорят, что альтернативные издержки ручки равны двум карандашам. и наоборот, альтернативные издержки карандаша составляют половину ручки. Или же один рабочий за смену может изготовить 3 гайки или 4 шурупа. В таком случае аль- тернативные издержки 3 гаек равны 4 шурупам, а альтернативные издержки одной гайки равны 4 3 шурупа. МПВ - Множество Производственных Возможностей. Обычно это именно Производственные возможности, но могут быть и Покупные (например, сколько ручек и карандашей мы можем купить), Утилизационные, Вытащенные, Принесенные - в общем, любые. Но исторически мы будем говорить "Производсвтенные возможности"для любых возможностей. Например, рассмотрим ситуацию, в которой мы пришли в магазин со 100 рублями, а там ручки стоят по 10 рублей, а карандаши - по 5 рублей. Набор из 5 ручек и 10 карандашей будет входить в наше МПВ, набор из 15 карандашей также будет туда входить, а вот набор из 10 ручек и 1 каран- даша туда входить уже не будет, так как нам не хватит денег. КПВ - Кривая Производственных (Покупных, Утилизационных, Вытащенных, Принесенных и т.д.) Возможностей. С этим понятием есть небольшая проблема, так как в различных олимпи- адах жюри давало различные определения КПВ, в результате чего различные ответы считались правильными. Чтобы не запутать вас, я советую использовать официальное определение жюри му- ниципального этапа города Москвы 2017 года: КПВ - множество наборов товаров, которые можно получить (произвести, купить и т.д.), полно и максимально эффективно используя все до- ступные ресурсы. Под эффективностью подразумевается, что мы не можем увеличить количество одного товара, не уменьшив количества другого. Практически во всех задачах на КПВ вам придется рисовать графики, собственно, этих самых КПВ. Все графики КПВ рисуются в координатах товаров, которые мы можем получить. Рассмотрим на примере, что это вообще за графики. Допустим, в рассматриваемой нами задаче, где у нас есть 100 рублей, ручка стоит 10, а ка- рандаш - 5, нашим ограничением является 10 ? r + 5 ? k 6 100, где r - количество ручек, а k - 167 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике количество карандашей. КПВ же будет иметь уравнение 10 ? r + 5 ? k = 100, так как КПВ показыва- ет наборы при полном распределении ресурсов. Нарисуем получившиеся множества в координатах ручки-карандаши: Рис. 102: МПВ и КПВ. Для более точной демонстрации свойства КПВ как полного и максимально эффективного использования ресурсов, рассмотрим следующее МПВ, которое вполне могло бы получиться при решении одной из не очень простых задач: 168 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 103: Неочевидное КПВ. Теперь немного о том, как альтернативные издержки связаны с КПВ и как определить их, имея только график. Альтернативные издержки товара x (OC x ) показывают, сколько единиц товара y мы можем получить, отказавшись от 1 единицы x. Так как товары в экономике бесконечно делимы, то OC |