Учебник по олимпиадной экономике. Учебник по олимпиадной экономике для школьников
 Скачать 4.49 Mb.
|
|
Так что же мы знаем? Первое, что мы можем сказать: количество обзоров и критических обзоров на них должно быть одинаковым. Это довольно просто доказать: если обычных обзоров больше (то есть обзоры как бы простаивают), то нам выгоднее переместить обзорщика (или некоторую его часть) к критикам, и в результате общее количество критических обзоров возрастет. Теперь обозначим некоторые перемен- ные: Q o - количество обзоров L o - количество обзорщиков Q c - количество критики обзоров L c - количество критиков Тогда вот что мы знаем (каждое из равенств довольно легко понять, вы справитесь): ? ? ? ? ? ? ? Q c = 10L c Q o = K ? L o Q = Q o = Q c L = L o + L c Давайте с вами запомним интересный факт: Если в системе уравнений есть m переменных, и n уравнений (причем, уравнения несократимы, то есть нельзя получить одно уравнение через какие-либо другие уравнения), то: Если n > m, то такая система не имеет решений. Если n 6 m, то в этой системе обычно мы всегда можем выразить одну переменную через m ? n других переменных (отсюда следует, что если количество уравнений равно количеству перемен- ных, то мы сможем найти значение каждой переменной в виде числа). В нашей системе имеется 7 переменных и 5 уравнений, следовательно, мы сможем выразить одну переменную через две других, а это нам и нужно!. Мы как раз сможем найти Q = f(K, L). Попробуйте сами решить систему прежде, чем читать дальше. 42 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Q = 10KL 10 + K Вот мы и нашли нашу производственную функцию. Структура издержек фирмы Три периода В экономике принято выделять два периода: долгосрочный(LR ? LongRun) и краткосроч- ный(SR ? ShortRun). По определению краткосрочным периодом от настоящего момента времени считается тот пери- од, в котором мы можем изменить количество используемого труда, но не можем изменить количе- ство используемого капитала (здесь предполагается, что труд является более ликвидным фактором производства, как это принято считать в классических моделях, то бишь построить завод гораздо более времязатратно, чем нанять работника). Если же капитал более ликвиден, чем труд (например, капиталом могут быть обычные слесарные инструменты, которые довольно просто купить), то крат- косрочным периодом мы будем называть тот, в котором можно изменить количество используемого капитала, но нельзя изменить количество используемого труда. Долгосрочным периодом называется промежуток времени от настоящего момента, в который можно изменить количество любого фактора производства. Также есть еще один период, который не входит в классическую теорию, но иногда про него вспоминают: мгновенный период, в который мы не можем изменить ни количество используемого труда, ни количество используемого капитала. Явные и неявные издержки Прежде всего стоит научиться различать понятия явных и неявных издержек. Явные из- держки (они же называются бухгалтерскими издержками) - это те издержки, которые мы несем из своего кармана, то есть оплачиваем деньгами, которые у нас есть. К ним относятся, например, за- купка материалов, выплата зарплат и так далее. Неявные издержки (они же - издержки упущенных возможностей) - это те деньги, которые мы могли бы получить, но не получили в результате на- ших действий. Например, это потенциальная зарплата, от которой мы отказываемся ради открытия своего дела. Сумма явных и неявных издержек называется экономическими издержками. Другими сло- вами, экономические издержки - это все издержки, которые мы несем при производстве, включая все упущенные возможности. В экономике принято оперировать именно экономическими издержками. Из чего состоят издержки фирмы? Издержки фирмы складываются из оплаты факторов производства, которые она использует, а также из оплаты ресурсов. Однако, здесь стоит сделать небольшое отступление. Запоминаем очень важную идею: 43 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Все экономические блага, в том числе ресурсы и капитал, произведены с помощью труда. На- пример, если какую-то деталь делают на станке, то не стоит забывать, что сам станок сделали на заводе, который построили люди, из кирпичей, произведенными людьми, которые произвели люди в печи, построенной с помощью труда и т.д. Мы же будем считать в задачах и моделях, что затраты фирмы-производителя состоят только из оплаты труда и капитала, если не сказано иного (хотя и это тоже, если что, будет в задачах сказано). Оплата труда - это, естественно, зарплата (w ? wage), а вот с капиталом не все так просто. Оплатой за капитал мы называем стоимость его аренды (r ? rent), причем не важно, принадлежит тебе этот капитал или нет, за него все равно придется заплатить, ведь, как упоминалось ранее, мы рассматриваем экономические издержки фирмы. Получается, что даже если у фирмы есть соб- ственный капитал и она использует его в производстве, то теряет те деньги от аренды этого капитала, которые могла бы получать. Таким образом, канонический вид издержек фирмы, использующей в производстве труд и капитал, и закупающей их по фиксированным ценам, имеет следующий вид: T C = wL + rK Есть множество других вариантов структуры издержек, однако, в задачах это явно прописано. Виды издержек Важно понимать, что оплата труда и оплата капитала сильно отличаются друг от друга в плане их учета в краткосрочном периоде. Вспоминаем: в краткосрочном периоде мы не можем изменить количество используемого капитала, но можем изменить количество используемого труда. Тогда оплата капитала становится постоянными издержками фирмы, тогда как оплата труда будет переменными издержками. Постоянные издержки фирмы - это те издержки, которые мы будем нести при нулевом коли- честве продукции. Переменные издержки фирмы - это все издержки за вычетом постоянных, то есть те издержки, которые зависят от количества производимой продукции. Еще раз, постоянные издержки - это все издержки при нулевом производстве (и никак иначе): F C = T C(0) В сумме с переменными издержками они дают общие издержки: F C + V C = T C Также мы будем использовать понятие средних издержек. Средними издержками называ- ются общие издержки в пересчете на одну единицу товара, то есть: AC = T C Q AF C = F C Q AV C = V C Q Есть еще один вид издержек - предельные издержки. Это самый полезный в олимпиадной экономике вид издержек. Предельные издержки показывают, сколько стоит каждая конкретная единица товара, или какой вклад вносит каждая конкретная единица товара в общие издержки. Предельные издержки вычисляются как производная функции общих издержек, или 44 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике же производная функции переменных издержек, так как фиксированные издержки являются кон- стантой и имеют производную, равную нулю: M C = T C 0 = (V C + F C) 0 = V C 0 Допустим, наши постоянные издержки равны 100 д.е., и на каждую произведенную единицу товара тратится дополнительно 10 д.е. Тогда при производстве пяти единиц товара: T C = 100 + 10 ? 5 = 150 F C = 100 , так как фиксированные издержки не меняются при изменении выпуска. AC = 150 5 = 30 - в среднем мы потратили 30 д.е. на производство 1 единицы. V C = T C ? F C = 50 AF C = F C Q = 20 - можно заметить, что чем больше мы производим, тем меньше AF C. AV C = V C Q = 10 - в среднем мы тратим 10 д.е. на производство каждого товара за вычетом постоянных издержек. M C = 10 - мы потратили 10 д.е. на производство пятой единицы товара. Вывод функции издержек Получение функции издержек Задачи на вывод функции издержек довольно популярны на олимпиадах и очень важны в понимании всей олимпиадной экономики. В реальном же бизнес-плане получение функции издержек является одным из самых сложных и важных пунктов, в котором всегда возникают трудности. В общем, каждый производитель хочет понять, сколько будет ему стоить производство конкретного количества продукции. Итак, давайте для начала посмотрим на фирму, использующую в своем производстве только труд. Допустим, 1 человек может сделать 3 единицы товара. Каждому работнику мы платим зар- плату w = 5. Задача - вывести функцию издержек в зависимости от количества товара, которое мы хотим произвести, то есть функцию T C = f(Q). Наша производственная функция будет иметь вид Q = 3L (Количество товара в 3 раза больше количества используемого труда). Функция наших издержек в свою очередь имеет вид T C = wL = 5L Далее существует два основных способа выражения функции издержек. 1. Замена факторов производства сразу в функции. Это основной метод, который интуитивно понятен, но не всегда подходит в некоторых сложных задачах. Идея состоит в том, что мы просто получаем зависимость фактора производства от Q, и заменяем его в функции издержек. Из производственной функции находим, что L = Q 3 . Подставим в издержки: T C = 5L = 5Q 3 2. Второй способ по сути - то же самое, только наоборот. Мы выражаем фактор производства из функции издержек и подставляем в производственную функцию, а затем переворачиваем ее: L = T C 5 . Тогда Q = 3L = 3T C 5 , откуда T C = 5Q 3 В любом случае, мы получили искомую функцию издержек. Решим еще одну простую задачу данными способами. Теперь производственная функция фир- мы будет иметь вид Q = ? L , причем w = 10. Однако, дополнительно фирма тратит по 2 д.е. на обработку каждой единицы продукции. Решаем: 1. Из производственной функции L = Q 2 . Издержки выглядят сейчас как T C = wL + 2Q = 10Q 2 + 2Q 45 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике 2. Из издержек выразим L: L = T C?2Q 10 , подставим в производственную функцию Q = q T C?2Q 10 , откуда, выражая, получаем ту же функцию T C = 10Q 2 + 2Q Теперь, когда мы научились выводить простые функции издержек, перейдем к более сложным примерам. Оптимизация функции издержек Здесь мы рассмотрим ситуацию, когда товар производится с помощью более чем одного факто- ра производства, что дает производителю выбор, как именно ему производить товар, на что тратить деньги и т.д. Таким образом, производитель может прооптимизировать свои издержки, то есть выбрать такую стратегию распределения средств на факторы производства, чтобы произвести как можно больше с наименьшими издержками. Вспоминаем, что есть три основных способа оптимизации, и сейчас мы рассмотрим каждый из них на примере различных задач. Решение с помощью основной функции (в лоб) Рассмотрим следующую задачу: производственная функция товара имеет вид Q = 16 ? K + L , w = 1 , r = 4 (напомню r - это стоимость аренды единицы капитала, а w - зарплата), нам необходимо получить функцию издержек фирмы. Суть оптимизации в лоб заключается в том, что мы выписываем функцию и оптимизируем ее. Осталось только понять, какую именно функцию мы собираемся оптимизировать. Интуитивный ответ: мы собираемся минимизировать наши издержки для каждого конкретного Q . Выпишем издержки (сейчас мы тратимся только на труд и капитал): T C = wL + rK = L + 4K Далее заметим, что издержки должны зависеть только от Q, а не от L и K. Получить в этой функции Q можно из производственной функции (как мы уже делали раньше): Q = 16 ? K + L L = Q ? 16 ? K T C = Q ? 16 ? K + 4K Еще раз, сейчас мы пытаемся понять, как с наименьшими издержками произвести какое-либо фиксированное количество Q, выбирая, сколько каждого фактора нам стоит закупить. Тогда мы можем проминимизировать наши издержки, выбрав оптимальное количество K, и L тогда выразится автоматически из соотношения L = Q ? 16 ? K . Итак: T C = Q ? 16 ? K + 4K K ? ? min Заметим, что данная функция - парабола ветвями вверх по ? K (это можно увидеть, сделав замену ? K = t ). Тогда минимум достигается в вершине: ? K = 2 K = 4 Как и любой оптимум, его нужно проверить на ограничения K > 0 и L > 0. Если первое ограничение очевидно выполняется, то из второго следует, что L = Q ? 16 ? K > 0. Проверим: 46 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Q ? 16 ? 4 = Q ? 32 > 0 Получается, ограничение верно только при Q > 32. В противном случае мы возьмем макси- мально близкую к вершине доступную точку. Это как раз будет точка нашего ограничения L = Q ? 16 ? K = 0 , то есть K = Q 2 256 Тогда наш оптимум: K = 4 Q > 32 K = Q 2 256 Q < 32 Теперь подставим найденное оптимальное значение K в нашу функцию T C = Q ? 16 ? K + 4K и получим нашу оптимальную функцию издержек: T C = Q 2 64 Q < 32 T C = Q ? 16 Q > 32 Однако, данный способ не всегда может сработать даже в оптимизации с двумя переменными. Рассмотрим такую задачу: Q = KL + ? KL, w = 1, r = 4 , нужно вывести функцию издержек фирмы. В данной ситуации довольно проблематично пытаться выразить один фактор производства из производственной функции, а тем более затем минимизировать издержки по этому фактору. По- этому нам на помощь приходит второй способ лобовой оптимизации: максимизация произведенного количества при фиксированных издержках. Напомню, в прошлый раз мы минимизировали издержки при фиксированном количестве. Заметим, что функция Q = KL + ? KL является монотонным преобразованием функции f = KL (про монотонные преобразования есть заметка в матаппарате), то бишь, чтобы максимизировать Q достаточно промаксимизировать KL. Делаем все наоборот: выражаем фактор из издержек и подставляем в KL: T C = L + 4K L = T C ? 4K KL = (T C ? 4K)K = T C ? K ? 4K 2 K ? ? max Это парабола ветвями вниз, максимум - в вершине: K = T C 8 Проверим ограничения: K > 0 выполняется, L = T C ? 4K = T C 2 > 0 тоже выполняется, так как T C > 0. Получается, мы нашли оптимум. Подставим обратно: KL = T C ? K ? 4K 2 = T C 2 16 Q = KL + ? KL = T C 2 16 + T C 4 Решаем квадратное уравнение Q = T C 2 16 + T C 4 относительно T C, чтобы найти функцию T C = f (Q) (то есть переворачиваем функцию): T C = 2 p 4Q + 1 ? 2 47 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Решение с помощью предельных функций Рассмотрим следующую задачу на выведение функции издержек: Q = K 2 + L 2 , w = 1, r = 4 Производная производственной функции по количеству какого-либо фактора производства на- зывается Предельным продуктом фактора производства и обозначается как MP . В этих же обозначениях общее количество товара называется общим продуктом и обозначается как T P На- пример, MP K = T P 0 K = Q 0 K = 2K , MP L = Q 0 L = 2L В оптимизации же нас будут интересовать величины M P K M C K и M P L M C L , где T C K = rK , T C L = wL а MC K и MC L - предельные издержки на капитал и труд. Данные отношения показывают, сколько товара мы получим, если вложим дополнительную денежную единицу в капитал и труд соответственно. Можно заметить, что сейчас MC K = r и MC L = w , так как r и w являются константами (MC K = T C 0 K (K) = (rK) 0 K = r ). Тогда M P K M C K = 2K 4 = K 2 , M P L M C L = 2L 1 = 2L Приступим к решению: пусть мы купили какое-либо количество труда и капитала так, что M P K M C K > M P L M C L . Тогда нам выгодно перебросить денежную единицу с труда на капитал, ведь таким образом мы увеличим количество товара, не изменяя издержки. Вследствие этого M P K M C K = K 2 увели- чится, а M P L M C L = 2L упадет, и нам станет еще выгоднее перебрасывать деньги с труда на капитал. Таким образом, мы будем перекидывать деньги на капитал до тех пор, пока мы не придем в точку, где покупается только капитал. Аналогично можно сказать про ситуацию, когда M P K M C K 6 M P L M C L , только здесь все сойдется к тому, что мы будем покупать только труд. Итого, у нас есть два вероятных оптимума: производить только с помощью капитала или только с помощью труда. Если мы производим только с помощью капитала, то: Q = K 2 K = p Q T C = rK = 4K = 4 p Q Если мы производим только с помощью труда, то: Q = L 2 L = p Q T C = wL = L = p Q 6 4 p Q Получается, что если производить с помощью труда, то издержки всегда меньше. Значит ито- говую функцию издержек можно выразить как T C = ? Q Решение с помощью линий уровня Решим следующую задачу на вывод функции издержек: Q = KL, w = 1, r = 4. Построим необходимые нам линии уровня: линии уровня издержек (изкокосты), и линии уровня количества (изокванты). Сначала запишем их аналитически. Изокосты выводятся из функции издержек T C = wL+rK = L+4K , откуда L T C = T C ?4K . Изокванты выводятся из производственной функции Q = KL, откуда L Q = Q K Теперь построим данные линии уровня на графике: 48 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 30: Изокосты (синие) и Изокванты (зеленые) При каждой фиксированной изокосте мы хотим найти как можно более высокую изокванту, имеющую с изокостой хотя бы одну точку пересечения. Из графика видно, что это будет точка их касания: 49 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Рис. 31: Оптимум - точка касания Тогда в точке касания должно быть выполнено свойство касательной: производная изокосты должна быть равна производной изокванты. Производная изокванты называется предельной нормой замещения (MRS ? M arginal Rate of Substitution ), и показывает, сколько единиц одного фактора производ- ства нужно, чтобы заместить единицу другого фактора производства. Например, если мы возьмем производную изокванты L 0 Q (K) , то эта величина будет равна ?M RS K и будет показывать, сколько труда нам придется использовать, чтобы при отказе от одной единицы капитала итоговое количество продукции осталось тем же с точностью до знака (так как мы заменяем один фактор другим, то производная будет отрицательна). Производная же изокосты - это всегда относительная цена фактора производства. Например, производная изокосты L 0 T C (K) покажет, сколько труда мы сможем купить вместо одной единицы капитала, то есть при фиксированной стоимости труда и капитала верно, что наклон изокосты равен L 0 T C |