Учебник по олимпиадной экономике. Учебник по олимпиадной экономике для школьников
 Скачать 4.49 Mb.
|
|
. Бюджетное ограничение: y = 10 ? 1 4 x , значит, y 0 = ? 1 4 . Тогда ? U x 2 = ? 1 4 x = 2 ? U 34 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике y = U x = ? U 2 Тогда, из бюджетного ограничения: x + 4y = 2 ? U + 2 ? U = 40 U = 100 Мы получили, что максимальная полезность, которую можно получить, равна 100. Найдем, сколько каждого товара нужно для этого купить: x = 2 ? U = 20 y = ? U 2 = 5 Можете проверить этот оптимум двумя другими способами, чтобы потренироваться. Данный способ значительно лучше остальных для оптимизации кусочных функций и используется только в задачах с двумя переменными (так как работа с трехмерными координатами не изучается на достаточном уровне). Вывод спроса потребителя Довольно часто производители решают задачу нахождения оптимальной цены своего твоара. Для этого необходимо понимать, сколько товара будет куплено, в зависимости от установленной цены. Эта зависимость количества покупаемого товара от цены этого товара называется спросом потребителя. Его можно (и нужно) через анализ функции полезности потребителя. Так как нам нужно получить зависимость, описывающую, сколько единиц товара купит по- требитель при каждом значении цены, то мы должны задать цену как параметр. Получается, что задача на вывод спроса из полезности представляет собой ни что иное, как оптимизацию функции с параметром. Давайте разберем пример задачи, в которой нужно найти спрос на товар x: U = 10x ? x 2 + y, P y = 5, I = 100 Так как нам нужно найти спрос на x, то в ответе должна оказаться функция x = f(P x ) . P x нам не задана в условии, поэтому примем ее как параметр. Будем решать эту задачу в лоб. Бюджетное ограничение является равенством, потому что полезность строго возрастает по y: P x x + 5y = 100 y = 20 ? P x 5 x Подставим в полезность: U = 10x ? x 2 + y = 10x ? x 2 + 20 ? P x 5 x x ? ? max Это парабола ветвями вниз. Вершина: x ? = 10? Px 5 2 = 50?P x 10 Проверим на ограничения: x > 0 и x 6 100 P x . Второе ограничение берется из y = 20 ? P x 5 x > 0. Нас выбивает первое ограничение при P x > 50 . Значит, при P x > 50 x = 0 (взяли ограничение, которое нас выбило). Проверим второе: 50 ? P x 10 6 100 P x 35 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике 50P x ? P 2 x 6 1000 Данное неравенство верно при любых P x . Тогда наш спрос выглядит следующим образом: x = 50?P x 10 P x 6 50 x = 0 P x > 50 Подставив любое значение цены, мы теперь можем узнать, сколько единиц товара данный по- требитель захочет по этой цене купить. Заметьте, если поставить слишком высокую цену, он вообще не будет покупать товар x. Сложение функций спроса Довольно часто в задачах встречаются сразу несколько потребителей, имеющих различные функции спроса, и требуется вывести их суммарный спрос. Это довольно просто сделать, но здесь есть одна особенность. Давайте разберемся. Рассмотрим двух потребителей, имеющих соответствующие функции спроса: Q 1 = ? ? ? 0 P > 10 10 ? P 5 < P < 10 5 P 6 5 Q 2 = ? ? ? 0 P > 20 20 ? P 8 < P < 20 16 ? P 2 P 6 8 Чтобы получить функцию суммарного спроса, главное не запутаться в ограничениях. Когда Q < 5 , мы складываем нижние строчки, когда 5 < Q < 8, мы складываем первую верхнюю со второй нижней и так далее. Таким образом, получаем следующий суммарный спрос: Q = Q 1 + Q 2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 + 0 P > 20 0 + 20 ? P 10 6 P < 20 10 ? P + 20 ? P 8 < P < 10 10 ? P + 16 ? P 2 5 < P 6 8 5 + 16 ? P 2 P 6 5 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 P > 20 20 ? P 10 6 P < 20 30 ? 2P 8 < P < 10 26 ? 3P 2 5 < P 6 8 21 ? P 2 P 6 5 Заметьте, что на некоторых олимпиадах вам могут давать неполные функции спроса (часто в них пропускают нулевые значения). Например, если в условии спрос имеет следующий вид: Q = 100 ? P То вам необходимо понимать, что, так как количество товара не может быть отрицательным, на самом деле полная запись такого спроса будет иметь немного другой вид: Q = 100 ? P P < 100 0 P > 100 Например, вам нужно сложить два спроса, имеющих следующий вид: Q 1 = 120 ? P Q 2 = 60 ? P Писать, что суммарный спрос равен Q = Q 1 + Q 2 = 180 ? 2P будет ошибкой. Сначала нужно расписать спросы полностью: Q 1 = 120 ? P P < 120 0 P > 120 36 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Q 2 = 60 ? P P < 60 0 P > 60 А затем уже сложить их со всеми ограничениями: Q = Q 1 + Q 2 = ? ? ? 120 ? P + 60 ? P P 6 60 120 ? P + 0 60 < P < 120 0 + 0 P > 120 = ? ? ? 180 ? 2P P 6 60 120 ? P 60 < P < 120 0 P > 120 Максимизация полезности с комплектами Задачи на максимизацию полезности с комплектами относятся к довольно сложной категории. Однако, здесь есть несколько приемов, с помощью которых решение можно значительно упростить. Рассмотрим пример такой задачи: U = xy, P x = 2, P y = 5, I = 100 Звучит несложно, но есть небольшое дополнение: мы можем, помимо покупки отдельно x и отдельно y, приобрести комплект, состоящий из трех единиц y и двух единиц x по какой-то цене. Данные комплекты также абсолютно делимы, то есть можно купить половину комплекта за половину цены. Дискретную оптимизацию полезности мы обсудим чуть позже. Нашей задачей будет найти спрос покупателя на вышеописанные комплекты, то есть зависимость количества комплектов, которое купит потребитель, от цены этих комплектов (назовем ее P k ). Какие интересные случаи могут быть в данной задаче? Для начала заметим, что три y стоят 15, а два x стоят 4. Тогда, если P k 6 4, то покупать комплекты дешевле, чем каждый из товаров по отдельности. Тогда мы будем покупать только комплекты. Следовательно, наш спрос на них при P k 6 4 выглядит как k = 100 P k (это максимальное количество, которое мы можем купить). Если 4 < P k 6 15, то покупать x отдельно уже выгоднее, чем в комплекте, но y все еще нет. Получается, что в данном случае мы не будем покупать y как отдельный товар (ведь в комплекте он дешевле). Тогда мы будем покупать только x и комплекты. Давайте определим, сколько комплектов мы купим. Бюджетное ограничение имеет вид равенства, так как полезность возрастает по обоим товарам (x и k): 2x + P k k = 100 Но в полезности у нас стоят другие переменные! Там даже x стоит тот, который мы потре- бим, а в бюджетном ограничении - тот, который мы купим отдельно (а это сейчас - разные вещи). Нам необходимо выразить полезность через переменные, которые стоят в бюджетном ограничении. Сколько x мы в итоге потребим? Вот столько: x U = x + 2k , где x -купленный, а x U - потребленный. Соответственно, y U = 3k . Тогда: U = x U y U = (x + 2k)3k Теперь решим задачу, выразив x из бюджетного ограничения и подставив его в полезность: 2x + P k k = 100 x = 50 ? P k 2 k U = (50 ? P k 2 k + 2k)3k 37 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Эта функция - парабола ветвями вниз. Вершина: k ? = 25 Pk 2 ?2 = 50 P k ?4 . Проверим на ограничения k > 0 и k 6 100 P k . Певрое ограничение выполняется всегда, так как мы рассматриваем P k > 4. Второе: 50 P k ? 4 6 100 P k 50P k 6 100P k ? 400 Получается, что оно выполняется только при P k > 8. Тогда при P k < 8 мы берем ограничение, которое нас выбило: k = 100 P k Следующий, довольно простой случай - когда P k > 19. В этом случае покупать товары по- отдельности выгоднее, чем покупать их в комплекте. Здесь спрос будет таким: k = 0. Остался последний, и самый сложный случай: 15 < P k < 19 . В этом случае покупка товаров x и y по-отдельности выгоднее, чем в комплекте. Но если потребителю нужна комбинация этих товаров, то лучше брать комплект. Здесь нам на помощь приходит одно правило: мы не будем покупать одновременно и x , и y по-отдельности, так как можем заменить любую их комбинацию комплектом, и это будет дешевле. (Допустим, невыгодно покупать 3 x и 8 y, так как дешевле будет купить 1.5 k и 3.5 y). Из этого следует, что мы будем покупать либо комплекты и x, либо комплекты и y. Давайте сравним эти два варианта. Для x мы уже проводили оптимизацию: там получалось, что k = 50 P k ?4 при полезности U = (50 ? P k 2 k + 2k)3k = 3?50 2 2(P k ?4) (так как мы рассматриваем P k > 4 ). Аналогичную максимизацию сделаем для y и k: 5y + P k k = 100 y = 20 ? P k 5 U = x U y U = 2k(y + 3k) = 2k(20 ? P k 5 k + 3k) k ? = 50 P k ? 15 Ограничения: k > 0 верно всегда, так как P k > 15 . Проверим k 6 100 P k : 50 P k ? 15 6 100 P k 50P k 6 100P k ? 1500 P k > 30 А это, оказывается, неверно, так как мы рассматриваем 15 < P k < 19 . Тогда мы всегда берем выбившее нас ограничение: k = 100 P k , то есть покупаем только комплекты. Получается, что y U = 3k , x U = 2k , U = 6k 2 = 60000 P 2 k . Сравним эту полезность с полезностью, которую мы получаем, если покупаем k и x (U = 3?50 2 2(P k ?4) ), и окажется, что вторая полезность всегда больше, то есть выгоднее покупать k = 50 P k ?4 (можете самостоятельно удостовериться). А что если мы можем покупать только комплекты? Допустим теперь, что мы не можем покупать товары по-отдельности, а только в комплектах. Если существует всего два комплекта, то все довольно просто. Допустим, наша полезность имеет вид U = xy. Также допустим, что наш доход равен I = 100. У нас есть выбор из двух комплектов: 38 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике 1. 2 единицы x и 1 единица y, стоимостью P 1 = 10 2. 2 единицы y и 1 единица x, стоимостью P 2 = 15 Здесь мы можем выписать бюджетное ограничение (которое выполняется в виде равенства, так как полезность возрастает по каждому товару) и полезность, выраженные через нужные нам переменные, зная что x = 2k 1 + k 2 и y = k 1 + 2k 2 : 10k 1 + 15k 2 = 100 U = (2k 1 + k 2 )(k 1 + 2k 2 ) Мы свели задачу к самой обычной максимизации по двум товарам. Ее даже решать неинтерес- но, так что делать я этого не буду (а вы можете потренироваться). Гораздо интереснее, когда нам на выбор дают более двух комплектов. Допустим, при U = xy и I = 300 мы можем покупать следующие комплекты: 1. 1 единица x и 4 единицы y по цене P 1 = 10 2. 2 единицы x и 3 единицы y по цене P 2 = 15 3. 3 единицы x и 1 единица y по цене P 3 = 20 Оптимизация здесь будет идти уже по трем переменным, и решение даже через предельные функции будет довольно сложным. Но и тут нам может помочь один интересный факт! Если нам дано более двух комплектов из двух товаров, то мы всегда можем собрать один комплект в виде комбинации из двух других. Это утверждение является следствием теории векторов и линейной алгебры (скорее всего, оно здесь будет немного позже), но фишка в том, что доказывать его и не нужно! Нужно просто сделать. Как же понять, какой комплект мы можем собрать из двух других? Тот, в котором отношение количества x к y лежит между двумя другими. Давайте посчитаем: в первом комплекте x y = 1 4 , во втором - x y = 2 3 , в третьем - x y = 3 . Посерединке лежит второй комплект, значит, его можно собрать из первого и третьего. Если просто сложить первый и третий комплекты, мы получим 4 единицы x и 5 единиц y, что не равно второму комплекту. Поэтому нам нужно дать каждому комплекту какой-то вес, так, чтобы в итоге получился второй комплект. Пусть вес первого комплекта равен ?, а третьего - ?. Теперь попробуем собрать из них второй комплект. Тогда количество x и y должны совпасть: x = ? + 3? = 2 y = 4? + ? = 3 Отсюда, ? = 7 11 , ? = 5 11 . То есть, купив 7 11 первого комплекта и 5 11 второго комплекта, мы получим в точности второй комплект (можете проверить). Для чего мы все это делали? Чтобы теперь проверить, что выгоднее: купить второй комплект отдельно, или же собирать его из первого и третьего. Если мы купим его отдельно, то потратим на это 15 д.е.. Если мы скомбинируем его из первого и третьего, то тратим на это 7 11 ? 10 + 5 11 ? 20 = 170 11 > 15 . Получается, что собирать второй комплект из первого и третьего не выгодно. Из этого следующее утверждение: мы не будем покупать одновременно и первый, и тре- тий комплекты, так как мы можем всегда заменить их комбинацию вторым комплектом и это будет дешевле. Получается, что мы будем покупать только первый и второй или второй и третий комплекты. Остается рассмотреть эти два случая и сравнить полезности в каждом из них (потренируйтесь сами). 39 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Дискретная оптимизация полезности Рассмотрим следующую задачу максимизации полезности: U = xy, P x = 2, P y = 5, I = 30 Отличие от предыдущих задач состоит в том, что x и y могут выражаться только целыми числа- ми. В чем же проблема такой оптимизации? В том, что бюджетное ограничение здесь не принимает вид равенства. Давайте поймем почему. Ранее бюджетное ограничение выполнялось как равенство, так как мы всегда могли докупить товар на оставшиеся средства. Таким образом мы тратили все наши деньги. Здесь же это правило не работает, потому что оставшихся средств может не хватить на покупку дополнительной единицы товара, так как товары целочисленны. В контексте рассматриваемой задачи, если у нас осталась 1 д.е., то мы больше ничего не сможем больше купить, и наш бюджет будет израсходован не полностью. Классические методы решения, оказывается, не работают из-за того, что бюджетное ограниче- ние не выполняется как равенство. Рассмотрим один из способов решения данной проблемы. Он основан на утверждении, что в оптимуме мы потратим либо 30, либо 29 д.е.. Это утверждение верно, так как если мы потратим меньше 29 д.е., то у нас останется больше 2 д.е., и на эти деньги мы точно сможем купить единицу x , увеличив нашу полезность. В общем случае это будет выглядеть так: в оптимуме мы потратим (I ? min(P x ; P y ); I] д.е. Таким образом, нам нужно рассмотреть два случая. 1. Если мы тратим все наши деньги, I = 30. Тогда бюджетное ограничение имеет вид: 2x + 5y = 30 Откуда x = 15 ? 2.5y Так как x - целый, то y должно быть четным (простейшая теория чисел). Посмотрим на по- лезность: U = xy = 15y ? 2.5y 2 Оптимум на этой параболе с ветвями вниз достигается при y ? = 3 . Ближайшие четные числа - 2 и 4, в них полезности будут равны по свойству параболы. Если y = 2, x = 10, U = 20. Если y = 4 , x = 5, U = 20. 2. Рассмотрим второй случай с другим бюджетным ограничением: 2x + 5y = 29 x = 14.5 ? 2.5y Отсюда получаем, что y - нечетный. Найдем вершину полезности U = 14.5y ? 2.5y 2 : y ? = 2.9 Ближайшее нечетное число y = 3, тогда x = 7, U = 21. Полезность во втором случае оказалась больше, чем в первом, так что нам выгодно потратить не все наши деньги (29 д.е.) Данный способ хоть и завязан на переборе, что не очень хорошо, но все же помогает довольно быстро решать такие непростые на первый взгляд задачи. 40 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике Теория производителя и процесс производства В данном разделе мы рассмотрим другую сторону рынка - производителей товара. Здесь мы рассмотрим именно процесс производства и связанные с ним задачи, без освещения рынков сбыта и процесса продажи. Так как речь идет о рыночной экономике, во всех задачах производители товара нацелены на получение максимальной прибыли. Любое дело в экономике начинается с бизнес-плана, состоящего из двух основных позиций: сколько я потрачу (издержки) и сколько я получу (выручка). В данном разделе мы сконцентрируемся именно на издержках. В реальности расчитать издержки оказывается довольно трудно, так как они формируются из множества факторов. В этом разделе мы постараемся понять, что это за факторы и как они формируют функцию издержек фирмы. Факторы производства и производственная функция Скорее всего, вы слышали на обществознании, что такое факторы производства, но давайте еще раз: Факторы производства - это все блага, с помощью которых производятся товары и услуги, и которые не полностью расходуются в процессе производства. В обществознании выделяют множество факторов производства: и информация, и личные спо- собности человека, и земля. В экономике же принято выделять два фактора производства: труд(L) и капитал(K). Отличить их друг от друга довольно просто: труд - это человеческие усилия (в том числе и умственные), задействованные в процессе производства. Капитал - это какие-либо вещи, использующиеся в процессе производства и не полностью расходующиеся в этом процессе. Вещи, которые полностью расходуются в процессе производства, называются сырьем. Также до- вольно часто в капитал включают и землю, хотя в обществознании она выступает как отдельный фактор производства. С помощью труда и капитала мы производим некоторые товары. Процесс производства товара с помощью данных факторов можно отразить некоторой зависимостью. Эта зависимость называется производственной функцией данного товара. Рассмотрим пример: В процессе производства банок участвуют люди и роботы. Каждый человек за день может произвести 20 банок, а каждый робот - 100 банок. Тогда дневная производственная функция банок будет выглядеть как Q = 20L + 100K, где Q - итоговое количество банок, L - количество людей, а K - количество роботов. Рассмотрим пример задачи на вывод производственной фукнции: У фирмы есть некий штат работников (L), а также некоторое количество арт-объектов (K). Фирма производит Критические Обзоры (Q). Фирма может распределять своих работников на две должности: обзорщики и критики. Если фирма назначает работника обзорщиком, то он пишет обзор на каждый арт-объект, который есть у фирмы. Если фирма назначает работника критиком, то он критикует ровно 10 обзоров, написанных обзорщиками, в результате получая 10 Критических Обзоров (напомню вам, что все люди, обзоры и т.д. абсолютно делимые величины, то есть половина 41 Бахарев Рэм Учебник по олипиадной экономике критика напишет 5 критических обзоров и т.д.). Необходимо сформулировать производственную функцию Критических Обзоров в зависимости от L и K. Существует метод, позволяющий решать такие задачи на вывод производственной функции: метод равенств. То есть нам достаточно выписать все известные равенства и все решится само собой. |