тест по статистике. Гладун И. В_Статистика СКАН. Учебника для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы спо

• Название: Учебника для использования в учебном процессе образовательных учреждений, реализующих программы спо
• Анкор: тест по статистике
• Дата: 27.09.2022
• Размер: 1.13 Mb.
• Имя файла: Гладун И. В_Статистика СКАН.docx
• Тип: Учебник; #699128
• страница: 19 из 50

6.2. Средняя арифметическая и средняя гармоническая

В практике экономических расчетов чаще всего используется средняя арифметическая величина. В таблице 6.1 представлены основные форму- лы расчета средней арифметической и средней гармонической величин.

Таблица 6.1

Расчет средней арифметической и средней гармонической величин

Вид средней величины	Формула расчета
Средняя арифметиче- ская простая	Х X, n где Х— значение осредняемого признака у отдельных единиц совокупности; n— количество единиц в исследуемой совокупности или ко- личество значений осредняемого признака
	Используется в том случае, если: данные несгруппированы; веса всех вариантов (f) равны друг другу; ничего не известно о весах
Средняя арифмети- ческая взве- шенная	Х Xf,  f где f— количество единиц, обладающее данным значением осредняемого признака, вес, соизмеритель

98_•глава 6. средние величины

Окончание

Вид средней величины	Формула расчета
	Х Xd, d где d— доля единиц, обладающая определенным значением осредняемого признака, вес
Средняя гар- моническая простая	Х n 1 X
Средняя гар- моническая взвешенная	Х M,  M X где М— вес, соизмеритель

В таблице 6.2 дана характеристика определенных свойств средней арифметической величины, которые широко используются для кон- троля и упрощения расчетов.

Таблица 6.2

Свойства средней арифметической величины

Свойство средней арифметической	Формула
1. Любая средняя величина не может быть меньше наименьшего значения осредняе- мого признака и больше наибольшего зна- чения в совокупности	xmin  x xmax
2. Если каждое значение признака увели- чить или уменьшить на одно и то же число, то средняя величина изменится соответ- ственно	x a x a; x a x a
3. Если каждоезначение признака увели- чить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя величина изменится соот- ветственно	x a x a; x a x a
4. Если веса всех вариантов умножить или разделить на одно и то же число, то средняя величина не измениться	Х Xf  Xfa Xfa  f f a f a
Следствие: при расчете средней в качестве весов можно использовать удельные веса	d fiвместо f i f i Х Xf Xd  fd

6.2. средняя арифметическая и средняя гармоническая_•99

Окончание

Свойство средней арифметической	Формула
5. Сумма отклонений отдельных вариантов от их средней равна нулю	(x x)  0; (x x) f 0

Свойства средней арифметической позволяют упростить расче- ты средних величин, особенно для дискретных вариационных рядов, а также для интервальных рядов с равными интервалами. Проиллю- стрируем это на примере.

Пример 1. Рассчитать средний стаж работы у рабочих предприятия упро- щенным способом — способом моментов (табл. 6.3).
Таблица 6.3

Расчет среднего стажа способом моментов

Стаж рабочих, лет	Середина интер- вала x	Количество рабочих f, человек	x – х0, х0 = 12,5	x  xx0 h	x' f
А	1	2	3	4	5
До 5 [0—5]	2,5	9	–10	–2	–18
5—10	7,5	29	–5	–1	–29
10—15	12,5	32	0	0	0
15—20	17,5	23	5	1	23
20 и больше [20—25]	22,5	7	10	2	14
Итого:	Х	100	Х	Х	–10

Решение. В таблице 6.3 представлен интервальный вариационный ряд с равными интервалами. В качестве значения признака (x) примем середину каждого интервала.

Условимся, что ширина открытого интервала будет равна ширине соседне- го с ним закрытого интервала.

Средний стаж работы у рабочих предприятия равен:

_x ^{Суммалетстажавсехрабочихпредприятия} _ ^xf_ ^1222,5 _{ 12,2 года.}

Количество рабочих предприятия

_ f100

В дальнейших вычислениях воспользуемся свойствами средней арифмети- ческой величины.

1. 
   В расчетах в качестве значения осредняемого признака (x) возьмем пре- образованные варианты:
   

где х₀ и h — любые числа.

x  ^xx0 ,

h

100_•глава 6. средние величины

Самого большого упрощения можно добиться, если в качестве х₀ принять середину центрального интервала (х₀ = 12,5), а в качестве h — ширину интер- вала (h = 5).

Расчеты представлены в графах 3 и 4 табл. 6.3.

2. 
   Рассчитаем условную среднюю (среднюю из преобразованных вари- антов):
   

x  ^xf ^10  0,1.

_ f100

Расчеты представлены в графе 5 табл. 6.3.

3. 
   Перейдем от условной средней к фактической, для чего в обратном по-
   

рядке выполним операции, которые мы сделали с x<sup> x  xx0  :

</sup> h^

x x h x₀  0,1 5 12,5  12 лет.