Лекции статистика. Учебнометодическое обеспечение курса
![]()
|
4.3. СредниепоказателирядадинамикиКаждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность n меняющихся во времени показателей, которые можно обобщить в виде средних величин. Такие обобщенные (средние) показатели особенно необходимы при сравнении динамики изменений того или иного показателя ВЭД в разные периоды, в разных странах и т.д. Обобщенной характеристикой ряда динамики служит прежде всего средний уровень ряда ![]() ![]() ![]() Таблица 0. Виды средних величин, применяемых при расчете среднего уровня ВидрядадинамикиНазваниесреднейвеличиныФормуласреднейвеличиныНомерформулыРавномерный интервальныйАрифметическая простая ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Кроме среднего уровня ряда рассчитываются и другие средние показатели:
Каждый из этих показателей может рассчитываться базисным и цепным способом. Базисноесреднееабсолютноеизменение– это частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений уровней (34) Ц = (35); цепноесреднееабсолютноеизменениеуровней ряда – это частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений (34) Ц = (35): ![]() ![]() ![]() По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Очевидно, что числители формулы (34) Ц = (35) и (34) Ц = (35) равны между собой по формуле ( ), значит, среднее абсолютное изменение не зависит от способа расчета (базисный или цепной), так как результат получится одинаковый. В нашей задаче по формуле (34) Ц = (35) или (34) Ц = (35): ![]() Наряду со средним абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное. Базисноесреднееотносительноеизменениеопределяется по формуле (36) Ц= (37), а цепноесреднееотносительноеизменение– по формуле (36) Ц= (37): ![]() ![]() ![]() ![]() Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. В нашем примере про ВО: ![]() ![]() Вычитанием 100% из среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темпизменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики. В нашем примере про ВО: ![]()
Одна из основных задач изучения рядов динамики – выявить основную тенденцию (закономерность) в изменении уровней ряда, именуемую трендом. Закономерность в изменении уровней ряда в одних случаях проявляется наглядно, в других – может маскироваться колебаниями случайного или неслучайного характера. Поэтому, чтобы сделать правильные выводы о закономерностях развития того или иного показателя, надо суметь отделить тренд от колебаний, вызванных случайными кратковременными причинами. На основании выделенного тренда можно экстраполировать (прогнозировать) развитие явления в будущем. С этой целью (устранить колебания, вызванные случайными причинами) ряды динамики подвергают обработке. Существует несколько методов обработки рядов динамики, помогающих выявить основную тенденцию изменения уровней ряда, а именно: метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней и аналитическое выравнивание. Во всех методах вместо фактических уровней при обработке ряда рассчитываются иные (расчетные) уровни, в которых тем или иным способом взаимопогашается действие случайных факторов и тем самым уменьшается колеблемость уровней. Последние в результате становятся как бы «выравненными», «сглаженными» по отношению к исходным фактическим данным. Такие методы обработки рядов динамики называются сглаживанием или выравниванием рядов динамики. Простейший метод сглаживания уровней ряда – укрупненияинтервалов, для определяется итоговое значение или средняя величина исследуемого показателя. Этот метод особенно эффективен, если первоначальные уровни ряда относятся к коротким промежуткам времени. Например, если имеются данные о ежесуточном производстве мороженого на предприятии за месяц, то, естественно, в таком ряду возможны значительные колебания уровней, так как чем меньше период, за который приводятся данные, тем больше влияние случайных факторов. Чтобы устранить это влияние, рекомендуется укрупнить интервалы времени, например до 5 или 10 дней, и для этих укрупненных интервалов рассчитать общий или среднесуточный объем производства (соответственно по пятидневкам или декадам). В ряду с укрупненными интервалами времени закономерность изменения уровней будет более наглядной. По своей сути методскользящейсредней похож на метод укрупнения интервалов, но в данном случае фактические уровни заменяются средними уровнями, рассчитанными для последовательно подвижных (скользящих) укрупненных интервалов, охватывающих m уровней ряда. Например, если принять m=3, то сначала рассчитывается средняя величина из первых трех уровней, затем находится средняя величина из 2-го, 3-го и 4-го уровней, потом из 3-го, 4-го и 5-го и т.д., т.е. каждый раз в сумме трех уровней появляется новый уровень, а два остаются прежними, что и обусловливает взаимопогашение случайных колебаний в средних уровнях. Рассчитанные из m членов скользящие средние относятся к середине (центру) каждого рассматриваемого интервала. Сглаживание методом скользящей средней можно проводить по любому числу членов m, но удобнее, если m – нечетное число, так как в этом случае скользящая средняя сразу относится к конкретной временнОй точке – середине (центру) интервала. Если же m – четное, то скользящая средняя относится к промежутку между временнЫми точками: например, при сглаживании по четырем членам (m=4) средняя из первых четырех уровней будет находиться между второй и третьей временной точкой, следующая – между третьей и четвертой и т.д. Тогда, чтобы сглаженные уровни относились непосредственно к конкретным временнЫм точкам, из каждой пары смежных промежуточных значений скользящих средних находят среднюю арифметическую, которую относят к временной точке, находящейся между смежными. Такой прием двойного расчета сглаженных уровней называется центрированием. Недостатком метода скользящей средней является то, что сглаженный ряд укорачивается по сравнению с фактическим с двух концов: при нечетном m на (m-1)/2, а при четном m – на m/2 с каждого конца. Применяя этот метод, надо помнить, что он сглаживает (устраняет) лишь случайные колебания. Если же, например, ряд содержит сезонную волну (см. 6.6), она сохранится и после сглаживания методом скользящей средней. Кроме того, этот метод сглаживания, как и метод укрупнения интервалов не позволяет выражать общую тенденцию изменения уровней в виде математической модели. Наиболее совершенным методом обработки рядов динамики в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда является выравниваниеуровнейрядапоаналитическимформулам (или аналитическоевыравнивание). Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических, исходных) уровней yi теоретическими ![]() ![]() При этом каждый фактический уровень yi рассматривается обычно как сумма двух составляющих: ![]() где f(t) = ![]() ![]() Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:
В аналитическом выравнивании наиболее часто используются простейшие функции, представленные в табл. 0, где обозначено ![]() Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динамики осуществляется на основании графического изображения эмпирических данных. Если по тем или иным причинам уровни эмпирического ряда трудно описать одной функцией, следует разбить анализируемый период на отдельные части и затем выровнять каждую часть по соответствующей кривой. Таблица 0. Виды математических функций, используемые при выравнивании НазваниефункцииВидфункцииФормулаПрямая линия ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Та функция, при которой эта сумма минимальна, считается наиболее адекватной, приемлемой. Однако сравнивать непосредственно суммы квадратов отклонений можно в том случае, если сравниваемые уравнения имеют одинаковое число параметров. Если же число параметров kразное, то каждую сумму квадратов делят на разность (n–k), выступающую в роли числа степеней свободы, и сравнивают уже квадраты отклонений уровней, рассчитанные на одну степень свободы (т.е. остаточные дисперсии на одну степень свободы). Параметры искомых уравнений (a0, a1, a2, ...) при аналитическом выравнивании могут быть определены по-разному, но наиболее распространенным методом является методнаименьшихквадратов (МНК). При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней y от теоретических уровней ![]() ![]() В частности, при выравнивании по прямой вида (39) параметры ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные: ![]() Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений: ![]() где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда. Эта система и, соответственно, расчет параметров ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) ![]() ![]() Как видим, при такой нумерации периодов параметр ![]() Таблица 0. Вспомогательные расчеты для линейного тренда Годytt2yt ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 0. Эмпирические и трендовые уровни ряда динамики ВО России |