Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью

• Название: Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
• Анкор: Углирж.pdf
• Дата: 27.12.2017
• Размер: 5.93 Mb.
• Имя файла: Углирж.pdf
• Тип: Учебное пособие; #13192
• страница: 3 из 17

√
r; аргументы же получаются из аргумента одного из них последовательным прибавлением угла 360 Замечание. Последние две формулы называют первой и второй формулами Муавра (Moivre Абрахам де (1667-1754) – англ.
математик, нац. – француз

Пример 15. Возвестив двадцатую степень число z =
1 2
−
√
3 Решение. Запишем заданное число в тригонометрической форме. Воспользуемся первой формулой Муавра:
cos(−60 0
) + i sin(−60 0
)
20
= cos(−1200 0
)+
+i sin(−1200 0
) = cos(−120 0
) + i sin(−120 0
) = −
1 2
−
√
3 Пример 16. Найти все значения. Решение. Запишем число в тригонометрической форме −8 = 8(cos π+i sin π). Применяя вторую формулу Муавра, имеем k
= 2
cos
π
3
+
2π
3
k
+ i sin
π
3
+
2π
3
k
, k = 0, 1, Следовательно 2 cos
π
3
+ i sin
π
3
= 1 +
√
3 i,
z
1
= 2 (cos π + i sin π) = −2,
z
2
= 2
cos
5π
3
+ i sin
5π
3
= 1 −
√
3 Замечание. Точки, соответствующие числам z
0
, z
1
, z
2
, находятся в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса 2 с центром в точке z = 0 (см. рис. Рис. 9 33

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Даны комплексные числа a, b, c, d, e. Построить данные числа на комплексной плоскости. Вычислить а) a + c + e; б) c − d; в · d · e; где ж)
|a+e|·|b+c+d|
|d|
,
если:
1.
a = 1 − 2i, b = 3 − i, c = 2 + 3i, d = −4 + 5i, e = −3i;
2.
a = 6 − 2i, b = −1 − 3i, c = −9i, d = −3 − 3i, e = −6 + i;
3.
a = 5 + 5i, b = −2 + 4i, c = 1 + i, d = −i, e = 2 − 3i;
4.
a = 3 + 4i, b = −6 + i, c = 1 − i, d = −4i, e = −2 − i;
5.
a = −1 − 2i, b = 4 + 3i, c = −2 + i, d = 3i, e = −1 + 5i;
6.
a = 1 + 2i, b = 6 + 4i, c = −1 − 3i, d = −7 − 5i, e = −1 + 2i;
7.
a = 1 − i, b = −2 + 2i, c = 3 + 2i, d = −4 + 6i, e = −2 + 4i;
8.
a = 6 − 8i, b = 10i, c = 1 − 2i, d = 3 + i, e = 2 + 4i;
9.
a = 1 + i, b = 3i, c = 3 − i, d = 1 + 5i, e = −2 + 4i;
10.
a = −1 + i, b = 2i, c = 1 − i, d = 6 − i, e = −4 + 4i;
11.
a = 2 + i, b = −i, c = −2 + i, d = −4 − 2i, e = 5 − 8i;
12.
a = −2 − i, b = 6i, c = 2 − 3i, d = 6 + 3i, e = −2 + 7i;
13.
a = −3 + i, b = −3i, c = −6 + i, d = −5 − 10i, e = −1 + 2i;
14.
a = 8 − i, b = 4i, c = −6 − 2i, d = −5 − i, e = 3 − 6i;
15.
a = 9 − 3i, b = 6 − 9i, c = −12i, d = 15 − 2i, e = −4 + 8i;
16.
a = 2 + 2i, b = 6 + 2i, c = 4i, d = 3 + 3i, e = −1 + 5i;
17.
a = 1 − 2i, b = 4 + i, c = −i, d = −4 + 3i, e = 1 + 3i;
18.
a = 4 + i, b = 1 − 4i, c = 3i, d = 1 + 3i, e = −2 + 4i;
19.
a = −2 + i, b = −1 − 2i, c = 4i, d = 8 − i, e = −1 + 7i;
20.
a = 2 + 7i, b = 1 + 3i, c = 8i, d = −1 + 2i, e = 2 + 3i;
21.
a = 2 − i, b = −3 − i, c = −3i, d = −7 − 3i, e = 2 + 2i;
22.
a = 7 + 6i, b = −2 + 5i, c = −7i, d = −1 + 2i, e = −3 + i;
23.
a = −3 + 4i, b = −5 + 3i, c = −6i, d = 9 + 3i, e = 6 + 12i;
24.
a = 3 + 3i, b = −3 + 3i, c = −1 + 5i, d = 1 − 2i, e = 4 + i;
25.
a = −3 − 2i, b = 1 + i, c = 2 + 3i, d = −2i, e = 3 + i;
26.
a = 4 + i, b = −2 + 4i, c = −5 + 8i, d = 4i, e = 1 + 2i;
27.
a = 1 + i, b = 2 − 4i, c = 4 − i, d = 6i, e = 7 + i;
34

28.
a = 1 + 9i, b = −2 + 4i, c = −6 + 2i, d = −4i, e = −6 + 8i;
29.
a = −7 + i, b = 1 + i, c = −1 + 10i, d = i, e = 7 − 3i;
30.
a = 5 + 4i, b = −3 + i, c = 3 + 10i, d = −10i, e = 4 − 3i.
2. Даны числа a, b, c, d. Записать эти числа в тригонометрической форме, и найти а) a · b, б) (c · d · a) : b, в) b
12
, г, если = 2 + 2
√
3 i, b = −10 − 10i, c = 5i, d = −25;
2.
a = −2 − 2
√
3 i, b = 10 + 10i, c = −5i, d = 25;
3.
a = 2 − 2
√
3 i, b = −10 + 10i, c = 6i, d = −23;
4.
a = −2 + 2
√
3 i, b = 10 − 10i, c = −6i, d = 23;
5.
a = 3 + 3
√
3 i, b = −9 − 9i, c = 7i, d = −24;
6.
a = −3 − 3
√
3 i, b = 9 + 9i, c = −7i, d = 24;
7.
a = 3 − 3
√
3 i, b = −9 + 9i, c = 8i, d = −22;
8.
a = −3 + 3
√
3 i, b = 9 − 9i, c = −8i, d = 22;
9.
a = 4 + 4
√
3 i, b = −8 − 8i, c = 9i, d = −21i;
10.
a = −4 − 4
√
3 i, b = 8 + 8i, c = −9i, d = 21;
11.
a = 4 − 4
√
3 i, b = −8 + 8i, c = −10i, d = −26;
12.
a = −4 + 4
√
3 i, b = 8 − 8i, c = −10i, d = 26;
13.
a = 5 + 5
√
3 i, b = −7 − 7i, c = 11i, d = −30;
14.
a = −5 − 5
√
3 i, b = 7 + 7i, c = −11i, d = 30;
15.
a = 5 − 5
√
3 i, b = −7 + 7i, c = 12i, d = −29;
16.
a = −5 + 5
√
3 i, b = 7 − 7i, c = −12i, d = 29;
17.
a = 6 + 6
√
6 i, b = −5 − 5i, c = 13i, d = −28;
18.
a = −6 − 6
√
3 i, b = 5 + 5i, c = −13i, d = 28;
19.
a = −6 + 6
√
3 i, b = 5 − 5i, c = 14i, d = −27;
20.
a = 6 − 6
√
3 i, b = −5 + 5i, c = −14i, d = 27;
21.
a = 7 + 7
√
3 i, b = −6 − 6i, c = 15i, d = −33;
22.
a = −7 − 7
√
3 i, b = 6 + 6i, c = −15i, d = 33;
23.
a = −7 + 7
√
3 i, b = 6 − 6i, c = 16i, d = −32;
24.
a = 7 − 7
√
3 i, b = −6 + 6i, c = −16i, d = 32;
25.
a = 8 + 8
√
3 i, b = −4 − 4i, c = 17i, d = −31;
26.
a = −8 − 8
√
3 , b = 4 + 4i, c = −17i, d = 31;
27.
a = −8 + 8
√
3 i, b = 4 − 4i, c = 18i, d = −35;
28.
a = 8 − 8
√
3 i, b = −4 + 4i, c = −18i, d = 35;
29.
a = 9 + 9
√
3 i, b = −3 − 3i, c = 19i, d = −34;
35

30.
a = −9 − 9
√
3 i, b = 3 + 3i, c = −19i, d = 34.
§4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ. Принцип математической индукции. Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность математических утверждений A(n), зависящих от натурального параметра n. Доказательство истинности утверждения) для всех значений n часто удается провести методом,
который основан наследующем принципе.
Утверждение A(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены два условия. Предложение A(n) верно для n = 1.
2. Для любого натурального числа k из допущения, что верно для n = k, вытекает, что оно верно и для n = k + Этот принцип называется принципом математической индукции (в дальнейшем ММИ). Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом арифметики и, следовательно, принимается без до- казательства.
Доказательство A(1) для n = 1 составляет первый шаг (или базис) индукции, а доказательство A(k + 1) для n = k + 1 в предположении, что верно A(k) для n = k, называется индукционным переходом. При этом n называется параметром индукции, а предположение) при доказательстве A(k + 1) называется индуктивным предположением.
Таким образом, при использовании ММИ доказательства утверждений проводятся в два этапа на первом – устанавливается истинность утверждения для n = 1;
– на втором – в предположении, что утверждение A(n) справедливо для n = k, доказывается его справедливость длят. е. доказывается, что при переходе от каждого шага к следующему утверждение остается справедливым.
ММИ широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, некоторых геометрических и многих других задач. Задачи по теме Метод математической индукции».
Задача 1. Доказать, что при всех n ∈ N выполняется равенство 2
+ 2 2
+ 3 2
+ . . . + n
2
=
n(n+1)(2n+1)
6
Доказательство:
Способ 1. Проверим справедливость этого утверждения для n = 1: 1 2
=
1·2·3 6
. Предположим, что исходное равенство справедливо для n = k, те. верно 2
+ 2 2
+ 3 2
+ . . . + Докажем, что в этом случае равенство справедливо и длят. е. является верным равенство 2
+ 2 2
+ 3 2
+ . . . + k
2
+ (k + По предположению, сумма квадратов первых k натуральных чисел равна k(k+1)(2k+1)
6
. Тогда k(k+1)(2k+1)
6
+ (k + 1)
2
=
=
k(k+1)(2k+1)+6(k+1)
2 Значит, исходное равенство справедливо и для n = k + 1. Убедившись ранее с помощью вычислений, что рассматриваемая формула верна для n = 1, можем теперь утверждать, что она верна длят. е. для n = 2. Из справедливости этой формулы для n = 2 вытекает ее справедливость длят. е. для n = 3, и т. д. Ясно, что, строя такую цепочку рассуждений, можно в конце концов дойти до любого натурального числа. Значит, можно сделать вывод, что сумма первых n членов последовательности квадратов натуральных чисел может быть найдена по формуле
S
n
=
n(n+1)(2n+1)
6
Способ 2. Обозначим 1 2
+ 2 2
+ 3 2
+ 4 2
+ ... + n
2
= и n(n+1)(2n+1)
6
= P (n). При n = 1 имеем

S(1) = 1, P (1) =
1·(1+1)·(2·1+1)
6
= 1, те (Предполагаем теперь, что исходное равенство верно длят. е. S(k) = P (Рассмотрим разности + 1) − S(k) = (1 2
+ 2 2
+ 3 2
+ ... + k
2
+ (k + 1)
2
)−
−(1 2
+ 2 2
+ 3 2
+ ... + k
2
) = (k + и (k + 1) − P (k) =
(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)
6
−
k(k+1)(2k+1)
6
=
=
(k+1)(2k
2
+7k+6−2k
2
−k)
6
=
6(k+1)
2 6
= (k + Итак, нам удалось доказать, что) = P (1) и S(k + 1) − S(k) = P (k + 1) − P (Тогда по принципу математической индукции исходное равенство справедливо для всех Задача 2. Доказать неравенство Бернулли (1 + α)
n
≥ 1 + для α > −1, n ∈ Доказательство При n = 1 неравенство верно, так как + α ≥ 1 + α. Допустим, что неравенство верно для некоторого, те. Умножив обе части неравенства на 1 + α (это можно сделать, так как α > −1), получим + α)
k+1
≥ (1 + kα)(1 + α) = 1 + (k + 1)α + Учитывая, что kα
2
≥ 0, приходим к неравенству + α)
k+1
≥ 1 + (k + Таким образом, неравенство верно для n = 1, и из допущения,
что неравенство Бернулли верно для n = k, следует, что оно верно для n = k + 1. Согласно принципу ММИ, неравенство верно для всех n ∈ Задача 3. Доказать, что при всех n ∈ N число 11
n+1
+ 12 делится на 133.
38

Доказательство При n = 1 утверждение, очевидно, верно.
Допустим, что оно верно для некоторого n = k, те. предположим,
что 11
k+1
+ 12 делится на Тогда, т. к. 11
(k+1)+1
+ 12 2(k+1)−1
= 11 · 11
k+1
+ 144 · 12 2k−1
=
= 11 · 11
k+1
+ 11 · 12 2k−1
+ 133 · 12 2k−1
= 11 · (11
k+1
+ 12 2k−1
)+
+133 · 12 2k−1
, то утверждение верно и для n = k + 1. Действительно, первое слагаемое преобразованной суммы делится на по индуктивному предположению, второе слагаемое также делится, поскольку содержит множитель 133. Согласно принципу ММИ
утверждение доказано.
Задача 4. Пусть последовательность (a n
) задана рекуррентным способом a
1
= 2, a n+1
= a n
+ 2n + 1. Докажем, что эту последовательность можно задать формулой a n
= n
2
+ Доказательство Если n = 1, тот. е. для n = 1 формула верна. Из допущения, что формула верна для n = k (a k
= k
2
+ 1), докажем справедливость утверждения для n = k + 1, те. a k+1
= (k + 1)
2
+ По условию, a k+1
= a k
+ 2k + 1. Заменив a на k
2
+ 1, получим k+1
= (k
2
+ 1) + 2k + 1 = (k
2
+ 2k + 1) + те. a k+1
= (k + 1)
2
+ Доказано, что данную последовательность можно задать формулой+ ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Докажите, что при любом n ∈ N выполняется равенство:
а) 1 · 3 + 2 · 5 + . . . + n(2n + 1) б) 4 · 2 + 7 · 2 3
+ 10 · 2 5
+ . . . + (3n + 1) · 2 2n−1
= n · 2 в 1·5
+
1 3·7
+ . . . +г 2·3
+
2·5 3·4
+ . . . +д 1
3!
+
2·2 2
4!
+
3·2 3
5!
+ . . . +
n·2
n
(n+2)!
= 1 −
2
n+1
(n+2)!
16. Применяя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа справедливо равенство 3
+ 2 3
+ . . . + +n
3
= (1 + 2 + . . . + n)
2 39

17. Методом математической индукции докажите, что при n ∈ N а) n
3
+ 5n кратно б) 9
n
+ 3 кратно в) 5 · 2 3n−2
+ 3 кратно 19.
18. Последовательность (c n
) задана рекуррентно: c
1
=
6,
c n+1
= 2c n
− 3n + 2. Докажите, что c n
= 2
n
+ 3n + 1.
19. Найдите сумму:
а)
1 1·2
+
1 2·3
+ ... +б 5·11
+
1 11·17
+ ... +
1
(6k−1)·(6k+5)
20. Докажите неравенство Бернулли + x
1
)(1 + x
2
) . . . (1 + x n
) ≥ 1 + x
1
+ x
2
+ . . . + x n
, где x
1
, x
2
, . . . , x n
– числа одного итого же знака, большие –1.
21. Докажите неравенство:
а) 4
n
> 7n − 5, если n ∈ N; б) 3
n−1
> 2n
2
−n, если n ∈ N, n ≥ 5.
§5. БИНОМ НЬЮТОНА. Формула Ньютона. Xорошо известные формулы + b)
2
= a
2
+ 2ab + и (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ можно записать таки В данных выражениях C
m Возникает естественная гипотеза не будут ли справедливы аналогичные формулы для четвертой, пятой и вообще любой натуральной степени двучлена (бинома)?
Теорема. Для произвольных чисел a и b и произвольного натурального числа n справедлива формула + b)
n
= C
0
n a
n
+ C
1
n a
n−1
b + . . . + C
k n
a n−k b
k
+ . . . + C
n n
b Используя знак суммы, ее можно записать короче + b)
n
=
n k=0
C
k n
a n−k b
k
(2)
40

Доказательство Для n = 1 формула (1) имеет вид + b)
1
= C
0 1
a + C
1 итак как C
0 1
= C
1 1
= 1, она, очевидно, верна. Допустим, что формула справедлива длят. е + b)
m
=
m k=0
C
k m
a m−k Тогда (a + b)
m+1
= (a + b)
m k=0
C
k m
a m−k b
k
=
m k=0
C
k m
a m+1−k b
k
+
+
m k=0
C
k m
a m−k b
k+1
= C
0
m a
m+1
+
m k=1
C
k m
a m+1−k b
k
+
m k=1
C
k−1
m a
m+1−k b
k
+
+C
m m
b m+1
= C
0
m a
m+1
+
m k=1
(C
k m
+ C
k−1
m
)a m+1−k b
k
+ C
m m
b Учитывая, что C
0
m
= C
0
m+1
, C
k m
+ C
k−1
m
= C
k m+1
, C
m m
= получаем + b)
m+1
=
m+1
k=0
C
k m+1
a m+1−k Таким образом, из допущения, что формула (1) верна для n = m, следует, что она верна для n = m + 1, итак как формула верна и притона основании принципа математической индукции ее справедливость установлена для всех натуральных значений n. Теорема доказана.
Формула (1) носит имя английского физика и математика
И. Ньютона. Правая часть ее называется разложением натуральной степени бинома. Коэффициенты C
k называются биномиаль- ными.
Отметим некоторые особенности формулы Ньютона) Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, те. равно n + 1.
41

2) Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, те) Общий член разложения (обозначим его T
k+1
) имеет вид C
k n
a n−k b
k
, k = 0, 1, . . . , n.
(3)
T обозначает член разложения, а k +1 – его порядковый номер в разложении бинома, считая слева направо. Целесообразность представления порядкового номера разложения в виде k + 1 вытекает из того, что при изменении k от 0 до n получаются все члены разложения, при этом в (k + м члене разложения число k – степень второго слагаемого (числа b), и согласно свойству разложения, число n − k – степень первого слагаемого a. Так,
1-й член (T
1
) получим при k = 0: T
1
= T
0+1
= C
0
n й член (T
2
) получим при k = 1: T
2
= T
1+1
= C
1
n и т. д.;
m-й член (T
m
) получим при k = m − 1:
T
m
= T
(m−1)+1
= C
m−1
n a
n−(m−1)
b и т. д.;
n-й член (T
n
) получим при k = n − 1:
T
n
= T
(n−1)+1
= C
n−1
n a
n−(n−1)
b n−1
;
(n + й член (T
n+1
) получим при k = n: T
n+1
= C
n n
a n−n b
n
4. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой. Это следует из правила симметрии C
m n
= C
n−m для m = 0, 1, ..., n.
5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна см. задачу 4).
6. Сумма биномиальных коэффициентов членов разложения,
стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих начетных местах, и равна 2
n−1 5.2. Задачи по теме Бином Ньютона».
Задача 1. Возвестив шестую степень двучлен x
2
− Решение Положив в формуле (2) a = x
2
, b = −y, n = получим y)
6
=
6
k=0
C
k
6
(x
2
)
6−k
(−y)
k
=
42

= C
0 6
x
12
− C
1 6
x
10
y + C
2 6
x
8
y
2
− C
3 6
x
6
y
3
+ C
4 6
x
4
y
4
− C
5 6
x
2
y
5
+ C
6 6
y
6
=
= x
2
− 6x
10
y + 15x
8
y
2
− 20x
6
y
3
+ 15x
4
y
4
− 6x
2
y
5
+ Задача 2. Найти пятый член разложения степени бинома +
1 Решение Положим в формуле (3) n = 9, k = 4, a =
3
√
x,
b =
1 3
√
x
, получим T
4+1
= C
4 9
· (
3
√
x)
5
·
1 3
√
x
4
=
9·8·7·6 4·3·2·1 3
√
x = 126 Задача 3. Найти член разложения степени бинома
1
x
+
√
x
12
,
не зависящий от Решение Положив в формуле (3) n = 12, a =
1
x
, b получим C
k
12
·
1
x
12−k
· (
√
x)
k
= C
k
12
x
−12+
3 Для того, чтобы член разложения не зависел от x, необходимо и достаточно, чтобы −12 +
3 2
k = 0, откуда k = Следовательно, девятый член разложения не зависит от x. Вычислим его T
8+1
= C
8 12
= C
4 12
=
12 · 11 · 10 · 9 4 · 3 · 2 · 1
= Задача 4. Найти сумму всех биномиальных коэффициентов+ +C
1
n
+ C
2
n
+ ... + C
n Решение Положим в формуле (2) a = 1, b = 1. Тогда получим + 1)
n
=
n k=0
C
k Таким образом k=0
C
k n
= C
0
n
+ C
1
n
+ C
2
n
+ ... + C
n n
= Задача 5. Записать комплексное число (в алгебраической форме

Решение Полагая в формуле (2) n = 6, a = 2, b = i, получим + i)
6
=
6
k=0
C
k
6 2
6−k i
k
=
= C
0 6
2 6
+ C
1 6
2 5
i + C
2 6
2 4
i
2
+ C
3 6
2 3
i
3
+ C
4 6
2 2
i
4
+ C
5 6
2i
5
+ C
6 6
i
6
=
= 64 + 192i − 240 − 160i + 60 + 12i − 1 = −117 + Задача 6. Найти пятый член разложения бинома +
1
√
3a если отношение биномиального коэффициента четвертого члена к биномиальному коэффициенту третьего члена равно Решение Используем формулу (3) для записи условия отношения биномиальных коэффициентов 1