Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
 Скачать 5.93 Mb.
|
|
; б) lim в) lim x→ π 2 ln sin x; г) lim x→ π 2 e sin x ; д) lim x→2 (x 2 + cos πx). 86 Решение а) Так как x → 4, то числитель дроби стремится к числу 5 · 4 + 2 = 22, а знаменатель – к числу 2 · 4 + 3 = 11. Следовательно, значение заданного предела равно lim x→4 5x+2 2x+3 = 22 11 = б) lim x→1 x 2 −2x+5 x 2 +7 = 1−2+5 1+7 = 4 8 = 1 в) lim x→ π 2 ln sin x = ln sin π 2 = ln 1 = г) lim x→ π 2 e sin x = e sin π 2 = e 1 = д) lim x→2 (x 2 + cos πx) = 2 2 + cos 2π = 4 + 1 = Задача 3. Найти пределы а x→∞ 3x+5 2x+7 ; б x→∞ x 4 +2x−1 в) lim x→∞ x 3 −2x+1 x 4 −1 ; г) lim x→∞ x 5 +2x Решение а) Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при x → ∞. В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида. Разделив на x числитель и знаменатель дроби, получаем lim x→∞ 3x+5 2x+7 = lim x→∞ 3+ 5 x 2+ 7 x = 3 2 , так как при x → ∞ каждая из дробей и стремится к нулю. б) lim x→∞ x 4 +2x−1 3x 4 +1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 1+ 2 x3 − 1 x4 3+ 1 x4 = 1 в) lim x→∞ x 3 −2x+1 x 4 −1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 1 x − 2 x3 + 1 x4 1− 1 x4 = 0 1 = г) lim x→∞ x 5 +2x x 3 +3x−1 = ∞ ∞ = lim x→∞ 1+ 2 x4 1 x2 + 3 x4 − 1 x5 = Данный результат получен потому, что в знаменателе дроби алгебраическая сумма трех бесконечно малых величина предел числителя равен единице. Следовательно, заданная дробь величина, обратная бесконечно малой. Задача 4. Найти пределы а) lim б) lim Решение а) Здесь имеет место неопределенность вида Разложим на множители числитель и знаменатель дроби x→1 x 3 −x 2 −x+1 x 3 +x 2 −x−1 = lim x→1 (x−1) 2 (x+1) (x−1)(x+1) 2 = lim x→1 x−1 x+1 = 0 2 = 0. 87 Сокращение дробина выражение (x − 1) возможно, так как x → 1, а не x = б) В данном пределе имеет место неопределенность вида Умножим числитель и знаменатель дробина сумму + 4 + тогда lim x→0 √ x+4−2 x = 0 0 = lim x→0 ( √ x+4−2)·( √ x+4+2) x( √ x+4+2) = lim x→0 x+4−4 x( √ x+4+2) = = lim x→0 1 √ x+4+2 = 1 Задача 5. Найти пределы а) lim x→0 sin б) lim x→0 1−cos 5x Решение а) Для вычисления данного предела воспользуемся свойством первого замечательного предела. Тогда lim x→0 sin x 5 x = lim x→0 sin x 5 x 5 ·5 = 1 · 1 5 = 1 б) При вычислении данного предела будем пользоваться следствием из первого замечательного предела lim x→0 sin kx x = k. Тогда имеем x→0 1−cos 5x x 2 = lim x→0 2 sin 2 ( 5x 2 ) x 2 = 2 lim x→0 ( sin( 5x 2 ) x ) 2 = 2 · ( 5 2 ) 2 = 25 Задача 6. Найти пределы а) lim б) lim x→0 (1−3 tg x) 1 Решение а) Для вычисления данного предела проведем следующие преобразования x→∞ x+3 x−2 2x+4 = [1 ∞ ] = lim x→∞ (x−2)+2+3 x−2 2x+4 = = lim x→∞ 1 + 1 x−2 5 x−2 5 (2x+4)·5 x−2 = e lim x→∞ (2x+4)·5 x−2 = б) lim x→0 (1 − 3 tg x) 1 2x = [1 ∞ ] = lim x→0 (1 + (−3 tg x)) 1 −3tgx −3tgx 2x = = e lim x→0 −3tgx 2x = e lim x→0 −3x 2x = e − 3 2 88 Задача 7. Найти пределы, используя эквивалентность бесконечно малых переменных: а) lim x→0 sin б x→0 tg 3x sin в) lim x→0 ln(1+sin г) lim x→0 ln(1+sin 4x) e sin Решение атак как sin б) lim x→0 tg 3x sin 5x = 0 0 = lim x→0 3x 5x = 3 5 , так как tg 3x ∼ 3x, sin 5x в) lim x→0 ln(1+sin 2x) x = 0 0 = lim x→0 sin 2x x = 0 0 = lim x→0 2x x = 2, так как ln(1 + sin 2x) ∼ sin 2x, а sin 2x г) lim x→0 ln(1+sin 4x) e sin 5x −1 = 0 0 = lim x→0 sin4x sin5x = lim x→0 4x 5x = 4 5 , так как ln(1 + sin 4x) ∼ sin 4x, а e sin 5x − 1 ∼ sin 5x, при x → ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Используя первое определение предела функции, найти пре- делы: а) lim x→−1 (4x + 3); б) lim x→2 (x 2 − 4x + 8); в) lim x→ 1 2 √ 1 − x 2 ; г) lim x→ √ 3 x 2 +5 x 2 −1 54. Используя второе определение предела функции, доказать, что: а) lim x→0 (3x − 2) = −2; б) lim x→1 (−x + 4) = 3; в) lim x→3 x 2 = г) lim x→ √ 3 1 x = 1 Найти пределы. lim x→−2 (5x 2 + 2x − 1). 56. lim x→1 5x+1 x 3 −2x+3 . 57. lim x→0 x x 2 −x . 58. lim x→3 2 x −8 2 x +8 59. lim x→5 x 3 +x+2 x 3 +1 60. lim x→−1/2 2x 2 −x−1 −6x 2 +5x+4 61. lim x→1 x 2 +7x+6 x 3 +6x 2 +3x+18 62. lim x→5 x 2 −6x+5 x 2 −25 63. lim x→0 4x 3 −3x 2 +x 2x 64. lim x→1 x 3 −x 2 +3x−3 2x 3 −2x 2 +x−1 65. lim x→0 √ x+25−5 x 2 +2x . 66. lim x→2 x 2 −2x √ x 2 +6x−4 . 67. lim x→3 √ 2x+3−3 √ x−2−1 . 68. lim x→1 √ 2−x−1 √ 5−x−2 69. lim x→0 3 √ 8−x−2 x 70. lim x→4 x 2 −16 3 √ 5−x− 3 √ x−3 71. lim x→∞ x+5x 2 −x 3 2x 3 −x 2 +7x 72. lim x→∞ 1−3x 2 x 2 +7x−2 73. lim x→∞ x 5 −2x 2x 3 +x 2 +1 74. lim x→∞ x 3 +x x 4 −3x 2 +1 89 75. lim x→+∞ ( √ x 2 + 4 − x). 76. lim x→∞ ( x 3 x 2 −3 − x). 77. lim x→0 sin 2 3x sin 2 2x 78. lim x→0 tg 2x sin 5x . 79. lim x→0 1−cos x x 2 . 80. lim x→0 x tg x . 81. lim x→0 cos 5x−cos 3x x 2 82. lim x→1 sin 6πx sin πx . 83. lim x→π/2 sin 2x tg 4x . 84. lim x→∞ ( x−5 x+4 ) x . 85. lim x→0 ( 3+5x 3+2x ) 1 x 86. lim x→∞ ( 5−x 6−x ) x+2 . 87. lim x→0 (1 − sin x) 1 sin x . 88. lim x→∞ x(ln(x + 3) − ln Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые x→0 tg 5x 2x . 90. lim x→0 ln(1+2x) arcsin 3x . 91. lim x→0 e 2x −1 ln(1−6x) . 92. lim x→0 7 x −1 3 x −1 93. lim x→0 √ 1+7x−1 x . 94. lim x→2 arctg(x−2) x 2 −2x . 95. lim x→0 arctg 2x x . 96. lim x→0 2x √ 1 + 3x. 97. lim x→2 e x −e 2 x−2 . 98. lim x→e ln ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ» Вариант 1 1. lim x→4 x 2 −5x+6 x 2 −12x+20 2. lim x→−3 2x 2 +11x+15 3x 2 +5x−12 3. lim x→∞ 3x 3 −5x 2 +2 2x 3 +5x 2 −x 4. lim x→∞ x 5 −2x+4 2x 4 +3x 2 +1 5. lim x→∞ 2x 2 +3x−5 7x 3 −2x 2 +1 6. lim x→3 x 2 +x−12 √ x−2− √ 4−x 7. lim x→∞ √ x 2 + 3x − x . 8. lim x→0 3( √ 1+3x 2 −1) (x+x 2 )( √ 6x+1−1) 9. lim x→0 x 3 sin x 4(1−cos x) 2 10. lim x→0 sin 2x tg 3x . 11. lim x→0 arcsin 5x sin 2x . 12. lim x→0 x+4 4 1 −3x . 13. lim x→∞ 3x−4 3x−5 2x+3 Вариант 2 1. lim x→3 x 2 −x+2 x+1 . 2. lim x→1 2x 2 +5x−7 x 3 −1 . 3. lim x→∞ 4x 3 +7x 2x 3 −4x 2 +5 . 4. lim x→∞ 3x 4 +2x−5 2x 2 +x+7 5. lim x→∞ 3x 2 −7x+2 x 4 +2x−4 6. lim x→−4 √ x+12− √ 4−x x 2 +2x−8 7. lim x→∞ ( √ x 4 + 1 − x 2 ). 8. lim x→0 (1− √ 1−x 2 )(x−1) x 2 ( √ x−1) 9. lim x→0 tg x−sin x 3x 3 10. lim x→0 tg 2x sin 15x 11. lim x→0 sin x arcsin 2x 12. lim x→0 1 − x 2 3 x 13. lim x→∞ 2x+3 2x+1 x+1 90 Вариант 3 1. lim x→3 6+x−x 2 x 3 −27 . 2. lim x→−1 x 3 −3x+2 x 2 −4x+3 . 3. lim x→∞ 5x 4 −3x 2 +7 x 4 +2x 3 +1 . 4. lim x→∞ 3x 2 +7x−4 x 5 +2x−1 5. lim x→∞ 7x 4 −3x+4 3x 2 −2x+1 6. lim x→−3 √ x+10− √ 4−x x 2 +x−6 7. lim x→−2 1 x+2 − 12 x 3 +8 8. lim x→5 ( √ 5x−x)(x+5) (x−5)( √ x− √ 5) 9. lim x→0 cos x−cos 3 x x 2 10. lim x→0 tg 2x sin 7x 11. lim x→0 arcsin 2x 3x 12. lim x→0 x 2 +2 2 1 4x 13. lim x→∞ 3x+4 Вариант 4 1. lim x→1 2x 2 −x−1 3x 2 −x−2 . 2. lim x→1 3x 2 +2x+1 x 3 −8 . 3. lim x→∞ 7x 3 −2x 2 +4x 2x 3 +5 . 4. lim x→∞ 3x−x 6 x 2 −2x+5 5. lim x→∞ 2x 2 −x+7 3x 4 −5x 2 +10 6. lim x→−2 √ 2−x− √ x+6 x 2 −x−6 7. lim x→0 √ 1+x 2 − √ 1−x 2 x( √ 1+3x−1) 8. lim x→1 1 x−1 − 2 x 2 −1 9. lim x→0 1−cos 2x 4x 2 10. lim x→0 sin 4x sin 3x 11. lim x→0 arcsin 3x 2x 14. lim x→0 x 2 +3 3 1 5x 13. lim x→∞ x+1 x−2 Вариант 5 1. lim x→2 2x 2 −7x+6 x 2 −5x+6 2. lim x→(−1) x 4 −x 2 +x+1 x 4 +1 3. lim x→∞ x 3 −4x 2 +28x 5x 3 +3x 2 +x−1 4. lim x→∞ 2x 3 +7x−1 3x 4 +2x+5 5. lim x→∞ 4x 3 −2x 2 +x 3x 2 −x 6. lim x→1 √ 3+2x− √ x+4 3x 2 −4x+1 7. lim x→−2 x x+2 − 8 x 2 −4 .8. lim x→0 √ 1+x− √ 1−x √ 1−x−1 .9. lim x→0 sin 2 x 4 x 2 .10. lim x→0 1−cos x 5x 2 11. lim x→0 tg 2x 3x 12. lim x→0 x 2 +4x 4x 1 2x 13. lim x→∞ 2x+3 Вариант 6 1. lim x→3 12−x−x 2 x 3 −27 2. lim x→−1 2x 2 −3x−1 x 4 −1 3. lim x→∞ 3x 2 +10x+3 2x 2 +5x−3 4. lim x→∞ 2x 3 +7x 2 +4 x 4 +5x−1 5. lim x→∞ 3x 2 +5x+7 x 3 +2x+3 6. lim x→2 x 2 −3x+2 √ 5−x− √ x+1 7. lim x→∞ √ x 2 + 3x − x .8. lim x→7 2− √ x−3 √ x−6−1 . 9. lim x→0 1−cos 3x x 2 .10. lim x→0 sin 2 x 2 x 2 11. lim x→0 tg 3x 5x 12. lim x→0 x 4 +3 3 2 −5x 13. lim x→∞ x 2 +1 x 2 −2 x 2 91 Вариант 7 1. lim x→1 3x 2 +2x−1 −x 2 +x+2 2. lim x→(−1) x 2 −x−2 5x 2 +2x−3 3. lim x→∞ 3x 4 +x 2 +x x 2 +3x−2 4. lim x→∞ 2x 2 −5x+2 x 4 +3x 2 −9 5. lim x→∞ 3x 3 +1 x 3 +5x+6 6. lim x→−1 3x 2 +4x+1 √ x+3− √ 5+3x 7. lim x→2 1 x−2 − 12 x 3 −8 . 8. lim x→6 √ x−2−2 √ x− √ 6 . 9. lim x→0 1−cos 2x x sin x . 10. lim x→0 x sin 3x 11. lim x→0 arctg x x 12. lim x→0 x 2 +x x 1 12x 13. lim Вариант 8 1. lim x→1 x 2 −4x−5 x 2 −2x−3 2. lim x→−2 x 2 +2x x 2 −2x−8 3. lim x→∞ 2x 2 +7x+3 5x 2 −3x+4 4. lim x→∞ x 7 +5x 2 −4x 3x 2 +11x−7 5. lim x→∞ 5x 2 −4x+2 4x 3 +2x−5 6. lim x→4 2x 2 −9x+4 √ 5−x− √ x−3 7. lim x→3 1 x−3 − 6 x 2 −9 8. lim x→5 √ x− √ 5 2− √ x−1 9. lim x→∞ √ x 2 + 6x + 5 − x . 10. lim x→0 arctg 3x 5x . 11. lim x→0 sin 3x sin 2x . 12. lim x→0 1 − x 3 1 x . 13. lim x→∞ 2x−1 Вариант 9 1. lim x→1 3x 2 +2x−1 −x 2 +x+2 2. lim x→−1 x 2 −1 x 2 +3x+2 3. lim x→∞ −x 2 +3x+1 3x 2 +x−5 4. lim x→∞ 7x 2 +5x+9 1+4x+x 3 5. lim x→∞ 2x 3 −3x 2 +2x x 2 +7x+1 6. lim x→5 √ 2x+1− √ x+6 2x 2 −7x−15 7. lim x→∞ ( √ x 2 − 1 − x). 8. lim x→0 √ 1+x−1 √ 4−x−2 . 9. lim x→0 cos 3x−1 x tg 2x . 10. lim x→0 sin x 5 x 11. lim x→0 tg 2x x 12. lim x→0 2x−3x 2 2x 1 3x 13. lim x→∞ 1 +Вариант 10 1. lim x→3 3x 2 −11x+6 2x 2 −5x−3 2. lim x→−1 2x 2 +7x−4 x 3 +64 3. lim x→∞ x 3 −3x 2 +10 7x 3 +2x+1 4. lim x→∞ 3x 4 +x 2 −6 2x 2 +3x+1 5. lim x→∞ 3x 2 −7x+5 4x 5 −3x 3 +2 6. lim x→−5 √ 3x+17− √ 2x+12 x 2 +8x+15 7. lim x→2 1 x−2 − 4 x 2 −4 8. lim x→0 √ 1+x− √ 1−x √ 7x+1−1 9. lim x→0 cos x−cos 2x x 2 . 10. lim x→0 sin 2 x 3 x 2 . 11. lim x→0 x arctg x 12. lim x→0 x+7 7 1 2x 13. lim x→∞ x−1 x+3 x+2 92 Вариант 11 1. lim x→−2 x 3 −8 x 2 +x−6 2. lim x→−5 4x 2 +19x−5 2x 2 +7x−15 3. lim x→∞ 4x 2 +5x−7 2x 2 −x−10 4. lim x→∞ 2x 2 +5x+7 3x 4 −2x 2 +x 5. lim x→∞ 7x 5 +6x 4 −x 3 2x 2 +6x+1 6. lim x→0 √ x 2 +2− √ 2 √ x 2 +1−1 7. lim x→−4 1 x+4 − 8 16−x 2 . 8. lim x→1 √ x−1 x−1 9. lim x→0 sin 3 x 2 x 3 . 10. lim x→0 1−cos x 5x 2 11. lim x→0 tg 2x 3x 12. lim x→∞ x−1 x+4 3x+2 13. lim x→0 2x 2 +3 Вариант 12 1. lim x→1 x 2 −x−2 x 3 +1 2. lim x→1 x 3 −x 2 +x−1 x 3 +x−2 3. lim x→∞ 3x 4 +2x+1 x 4 −x 3 +2x 4. lim x→∞ 3x 3 +4x 2 −7x 2x 2 +7x−3 5. lim x→∞ 4−3x+2x 2 3x 4 +5x 6. lim x→0 √ 7−x− √ 7+x √ 1+x−1 7. lim x→∞ x 3 x 2 +1 − x . 8. lim x→0 √ x + 2 − √ x . 9. lim x→0 √ 1−cos 2x x 10. lim x→0 sin 3 x 4 x 3 . 11. lim x→0 tg 5x x . 12. lim x→∞ 2x+1 2x−1 x+2 . 13. lim x→0 5x 2 +3 3 1 Вариант 13 1. lim x→4 x 2 −16 x 2 +x−20 2. lim x→2 x 2 −2x+1 2x 2 −7x+5 3. lim x→∞ 3x 2 +2x+9 2x 2 −x+4 4. lim x→∞ 5x 3 −3x 2 +7 2x 4 +3x 2 +1 5. lim x→∞ 7+3x 4 2x 3 +3x 2 −5 6. lim x→∞ 1 1−x − 3 1−x 3 7. lim x→0 3( √ 1+x 3 −1) ( √ 1+x− √ 1−x)x 2 .8. lim x→0 √ 2x+1−1 2x . 9. lim x→0 x 3 sin x 4(1−cos x) 2 . 10. lim x→0 x sin 3x 11. lim x→∞ (1 − cos x) · ctg x. 12. lim x→∞ x−2 x+1 2x−3 13. lim x→0 x+2 2 1 Вариант 14 1. lim x→3 4x 2 +11x−3 x 2 +2x−3 2. lim x→2 x 3 −8 2x 2 −9x+10 3. lim x→∞ 3x 2 +5x−7 3x 2 +x+1 4. lim x→∞ 5x 2 −3x+1 1+2x+x 4 5. lim x→∞ 8x 4 +7x 3 −3 3x 2 −5x+1 6. lim x→4 √ 2x+1−3 √ x−2− √ 2 7. lim x→−3 1 x+3 − 6 9−x 2 .8. lim x→3 √ 2x+3−3 3−x .9. lim x→0 1−cos x x sin x .10. lim x→0 x · ctg 3x. 11. lim x→0 1−cos x 1−cos x 2 12. lim x→0 x 2 +3x 3x 1 x3 16. lim x→∞ 1 + 1 x x+1 5 93 Вариант 15 1. lim x→1 3x 2 −7x−6 2x 2 −7x+3 2. lim x→−2 9x 2 +17x−2 x 2 +2x 3. lim x→∞ 2x 3 +7x−2 3x 2 −x−4 4. lim x→∞ 2x 3 +3x 2 +5 3x 4 −4x+1 5. lim x→∞ 2x 3 +7x−1 3x 3 −5x+6 6. lim x→−1 √ 5+x−2 √ 8−x−3 7. lim x→−2 1 x+2 − 12 x 3 +8 8. lim x→4 x− √ 3x+4 16−x 2 9. lim x→0 sin 2x · ctg 3x. 10. lim x→0 sin 2x sin 5x . 11. lim x→0 1−cos x x sin x . 12. lim x→0 3x−x 3 3x 1 2x .13. lim x→∞ x+1 x−2 Вариант 16 1. lim x→2 4x 2 +7x−2 3x 2 +8x+4 2. lim x→1 x 3 +x−2 x 3 −2x 2 +1 3. lim x→∞ 18x 2 +5x 8−3x+9x 2 4. lim x→∞ 6x 2 −5x+2 4x 3 +2x−1 . 5. lim x→∞ x 2 +x+5 7x 3 +2x+1 . 6. lim x→5 √ x+4−3 √ x−1−2 .7. lim x→∞ x 2 x+3 − x . 8. lim x→∞ √ x + 1 − √ x . 9. lim x→0 tg 6x sin 13x 10. lim x→0 arcsin 5x tg 2x 11. lim x→0 sin 2 3x 1−cos 5x 12. lim x→∞ 2x−1 2x+4 3x−1 13. lim x→0 x+10 10 Вариант 17 1. lim x→−1 5x 2 +4x−1 3x 2 +x−2 2. lim x→1 4x 2 −2x+5 3x+7 3. lim x→∞ 3x 4 −6x 2 +2 x 4 +4x−3 4. lim x→∞ 11x 3 +3x 2x 2 −2x+1 5. lim x→∞ 10x−7 3x 4 +2x 3 +1 6. lim x→7 √ x−3−2 √ x+2−3 7. lim x→∞ √ x 2 + 6x − x . 8. lim x→0 √ 1+3x 2 −1 x 2 +x 3 9. lim x→0 x 3 sin x (1−cos x) 2 10. lim x→0 sin 7x tg 3x 11. lim x→0 arcsin 9x sin 7x 12. lim x→0 3x+10 10 1 −3x 13. lim x→∞ 3x−4 3x−5 2x+3 Вариант 18 1. lim x→−1 x 2 −4x−5 3x 2 +x−2 2. lim x→2 4x 4 −5x 2 +1 x 2 −1 3. lim x→∞ 8x 2 +4x−5 4x 2 −3x+2 4. lim x→∞ 8x 2 +3x+5 4x 3 −2x 2 +1 5. lim x→∞ 5x 4 −3x 2 1+2x+3x 2 6. lim x→0 x( √ 3x+1−1) 1− √ 1−x 2 7. lim x→0 √ 4x−3−3 x 2 −9 8. lim x→∞ ( √ x 4 + 1 − x 2 ). 9. lim x→0 sin x−sin x cos x x 3 cos x 94 10. lim x→0 tg 2x sin 15x 11. lim x→0 sin x arcsin 2x 12. lim x→∞ 1 − x 2 3 x4 13. lim x→∞ 2x+3 Вариант 19 1. lim x→−1 7x 2 +4x−3 2x 2 +3x+1 2. lim x→1 3x 2 +5x−12 x 2 −5x+6 3. lim x→∞ 8x 4 −4x 2 +3 2x 4 +1 4. lim x→∞ 6x 3 +5x 2 −3 2x 2 −x+7 5. lim x→∞ 5x+3 x 3 −4x 2 −x 6. lim x→3 √ 5x+1−4 x 2 +2x−15 7. lim x→−2 1 x+2 − 12 x 3 +8 8. lim x→4 √ 3x−8−2 √ x−2 9. lim x→0 cos x−cos 3 x x 2 10. lim x→0 tg 2x sin 7x . 11. lim x→0 arcsin 2x 3x . 12. lim x→∞ x−7 x+1 4x−2 . 13. lim x→0 4+x 2 Вариант 20 1. lim x→4 3x 2 −x−44 x 2 −x−12 2. lim x→−4 x 2 −x−30 x 3 +125 3. lim x→∞ 3x 2 −4x+2 6x 2 +5x+1 4. lim x→∞ 3x 2 +4x−7 x 4 −2x 3 +1 5. lim x→∞ 3x 4 +5x 2x 2 −3x−7 6. lim x→0 2− √ x 2 +4 √ 1+x 2 − √ 1−x 2 7. lim x→0 x √ 1+3x−1 . 8. lim x→1 1 x−1 − 2 x 2 −1 . 9. lim x→0 1−cos 2x x sin x . 10. lim x→0 sin 4x sin 3x 11. lim x→0 arcsin 3x 2x 12. lim x→0 x 2 +2x 2x 1 −2x 13. lim x→∞ x+1 x−2 Вариант 21 1. lim x→2 2x 2 −9x+10 x 2 +3x−10 2. lim x→3 x 2 +3x−28 x 3 −64 3. lim x→∞ 7x 3 +4x x 3 −3x+2 4. lim x→∞ 8x 5 −4x 3 +3 2x 3 +x−7 5. lim x→∞ 2x 2 −5x+3 3x 4 −2x 2 +x 6. lim x→0 √ x 2 +4−2 √ x 2 +16−4 7. lim x→0 √ 1+x− √ 1−x x 8. lim x→3 9−x 2 √ 3x−3 9. lim x→0 sin 2 x 4 x 2 10. lim x→0 1−cos x 8x 2 11. lim x→0 tg 2x 3x 12. lim x→0 5−3x 5 1 x 13. lim x→∞ x+5 x+2 Вариант 22 1. lim x→1 4x 2 +x−5 x 2 −x+1 2. lim x→ 1 2 8x 3 −1 x 2 − 1 4 3. lim x→∞ 1+4x−x 4 x+3x 2 +2x 4 4. lim x→∞ 2x 2 −7x+1 x 3 +4x 2 −3 5. lim x→∞ 2x 5 −x 3 4x 2 +3x−6 6. lim x→0 2− √ x 2 +4 x( √ 1+x− √ 1−x) 95 7. lim x→∞ √ x 2 + 8x − x .8. lim x→12 3− √ x−3 x 2 −144 . 9. lim x→0 1−cos 7x x 2 . 10. lim x→0 sin 2 x 6 x 2 11. lim x→0 tg 3x 5x 12. lim x→0 −2+3x −2 1 3x 13. lim Вариант 23 1. lim x→2 −5x 2 +11x−2 3x 2 −x−10 2. lim x→2 x 2 +3x−28 x 2 −4x 3. lim x→∞ 2x 3 +7x 2 −2 6x 3 −4x+3 4. lim x→∞ 5x 4 −2x 3 +3 2x 3 +x−7 5. lim x→∞ 3x+1 x 3 −5x 2 +4x 6. lim x→9 √ 2x+7−5 3− √ x 7. lim x→2 x 4 −16 √ x− √ 2 . 8. lim x→−3 √ 18+x 2 −3 √ 2x+9 x+3 . 9. lim x→0 1−cos 2x x sin x . 10. lim x→0 x sin 3x 11. lim x→0 arctg x x 12. lim x→∞ 4x−1 4x+1 2x+1 13. lim x→0 1 + x 4 Вариант 24 1. lim x→7 x 2 −5x−14 2x 2 −9x−35 2. lim x→−1 3x 2 +11x+10 x 2 −5x+14 3. lim x→∞ 3x+14x 2 1+2x+7x 2 4. lim x→∞ 8x 3 +x 2 −7 2x 2 −5x+3 5. lim x→∞ 2−x+3x 2 x 3 −16 6. lim x→4 2− √ x √ 6x+1−5 7. lim x→∞ 1 x+3 + 6 x 2 −9 . 8. lim x→5 x 2 −25 2− √ x−1 . 9. lim x→∞ √ x 2 + 6x + 5 − x . 10. lim x→0 arctg 3x 5x .11. lim x→0 sin 3x sin 2x . 12. lim x→∞ 1 + 4 3x −2x . 13. lim x→0 1 − x 3 Вариант 25 1. lim x→5 3x 2 −6x−15 2x 2 +3x−5 2. lim x→−2 x 2 −4 3x 2 +x−10 3. lim x→∞ x−2x 2 +5x 4 2+3x 2 +x 4 4. lim x→∞ 3x 4 +2x 2 −8 8x 3 −4x+5 5. lim x→∞ 4x 2 −10x+7 2x 3 −3x 6. lim x→3 x 3 −27 √ 3x−x 7. lim x→1 √ x−1 x−1 8. lim x→5 √ 1+x− √ 6 √ x−1−2 9. lim x→0 cos 8x−1 x tg 5x 10. lim x→0 sin x 15 x 11. lim x→0 tg 2x x 12. lim x→∞ 2x−1 2x+4 −x ; 13. lim x→0 3+7x 3 1 −2x2 96 Вариант 26 1. lim x→1 4x 2 −5x+1 3x 2 −4x+1 2. lim x→(−1) 3x 2 +x−3 4x−5 3. lim x→∞ 3x 4 −2x 2 −7 3x 4 +3x+5 4. lim x→∞ 3x 4 +2x−4 3x 3 −4x+1 5. lim x→∞ 2x 3 −3x+1 x 5 +4x 3 6. lim x→0 √ 1+3x 2 −1 √ 7x 2 +1−1 7. lim x→0 √ 1+5x 2 −1 x 3 +x 2 8. lim x→0 √ 8x+4−2 6x 9. lim x→0 cos x−cos 2x x 2 . 10. lim x→0 sin 2 x 9 x 2 11. lim x→0 x arctg x 12. lim x→∞ 3x+4 3x+5 x+1 13. lim x→0 x 2 +9 Вариант 27 1. lim x→−2 x 3 −2x−35 2x 2 +11x+5 2. lim x→6 2x 2 −11x−6 3x 2 −20x+12 3. lim x→∞ 4−5x 2 +3x 5 x 5 +6x+8 4. lim x→∞ 7x 3 −2x+4 2x 2 +x−5 5. lim x→∞ 2x−13 x 7 −3x 5 −4x 6. lim x→−4 √ x+20−4 x 3 +64 7. lim x→3 √ x−2−1 √ 2− √ x−1 8. lim x→4 √ x−2 x−4 9. lim x→0 sin 3 x 4 x 3 10. lim x→0 1−cos 10x 5x 2 11. lim x→0 tg 2x 3x 12. lim x→∞ 1+2x 3+2x −x 13. lim x→0 x 2 −7 −7 Вариант 28 1. lim x→−8 2x 2 +15x−8 3x 2 +25x+8 2. lim x→−2 x 2 +2x−24 2x 3 +15x+18 3. lim x→∞ 5x 3 −7x 2 +3 2+2x−x 3 4. lim x→∞ 4x 3 +5x 2 −3x 3x 2 +x−10 5. lim x→∞ 2x 2 −3x+1 x 3 +2x 2 +5 6. lim x→1 3x 2 −3 √ 8+x−3 7. lim x→∞ −x 3 x 2 +1 + x . 8. lim x→∞ √ x + 3 − √ x . 9. lim x→0 √ 1+5x 2 −1 x( √ 1−x− √ 1+x) 10. lim x→0 √ 1−cos 2x x . 11. lim x→0 sin 3 x 14 x 3 .12. lim x→0 3x+2 2 1 2x .13. lim Вариант 29 1. lim x→4 3x 2 −2x−40 x 2 −3x−4 2. lim x→2 x 3 −2x−4 x 2 −11x+18 3. lim x→∞ 4x 3 −2x+1 2x 3 +3x 2 +2 4. lim x→∞ 2x 2 +10x−11 3x 4 −2x+5 5. lim x→∞ x 3 −81 3x 2 +4x+2 6. lim x→0 √ 9+x−3 √ 2x+1−1 7. lim x→∞ 1 1−x − 3 1−x 3 .8. lim x→1 √ 1+x 3 − √ 2 x 3 −1 .9. lim x→0 x 3 sin x (1−cos x) 2 .10. lim x→0 x sin 3x 11. lim x→0 1−cos x x tg x 12. lim x→0 −6+x −6 1 −4x 13. lim x→∞ x+2 x−2 x+1 97 Вариант 30 1. lim x→−3 2x 2 +5x−3 3x 2 +10x+3 2. lim x→−1 x 3 −64 7x 2 −27x−4 3. lim x→∞ 5x 2 −3x+1 3x 2 +x−5 4. lim x→∞ 7x 3 +3x−4 2x 2 −5x+1 5. lim x→∞ 7x+4 2x 3 −5x+1 6. lim x→2 √ 4x+1−3 x 3 −8 7. lim x→3 3−x √ 2x+3−3 . 8. lim x→−2 2− √ 6+x √ 7−x−3 . 9. lim x→0 1−cos x 2 x 2 sin x 2 . 10. lim x→0 x · ctg 3x. 11. lim x→0 1−cos x 1−cos x 3 12. lim x→0 3x−4 −4 1 x 13. lim x→∞ 1 + 1 x x+1 x §10. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если 1) функция f (x) определена в точке ив ее окрестности 2) функция f (x) имеет предел при x → x 0 ; 3) предел функции в точке равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство lim x→x 0 f (x) = f (Если обозначить x − x 0 = x (приращение аргумента (x) − f (x 0 ) = y (приращение функции, соответствующее приращению аргумента x), то это определение можно записать в эквивалентной форме. Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x 0 , если она определена в точке и ее окрестности ивы- полняется равенство lim x→0 y = 0 (те. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции) (см. задача Определение. Функция f (x) называется непрерывной слева в точке x 0 , если она определена на некотором полуинтервале (a; и lim x→x 0 −0 f (x) = f (x 0 ). Функция f (x) называется непрерывной справа в точке x 0 , если она определена на некотором полуинтервале) и lim x→x 0 +0 f (x) = f (Функция y = f (x) непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, те, когда lim x→x 0 −0 f (x) = lim x→x 0 +0 f (x) = f (x 0 ). 98 Определение. Функция f (x) называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. При этом, если функция определена в конце промежутка, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функция y = f (x) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она 1) непрерывна в каждой точке интервала (a; b); 2) непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке Пусть точка принадлежит области определения функции f (x) или является граничной точкой этой области. Точка называется точкой разрыва функции f (x), если f (x) не является непрерывной в этой точке. Точки разрыва подразделяются на точки разрыва города иго рода. Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции y = f (если в этой точке существуют конечные односторонние пределы lim x→x 0 −0 f (x) = и lim x→x 0 +0 f (x) = При этом а) если A 1 = A 2 , то точка называется точкой устранимого разрыва б) если A 1 = A 2 , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину |A 1 − A 2 | называют скачком функции в точке разрыва первого рода. Определение. Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции y = f (x), если по крайней мере один из односторонних пределов lim x→x 0 −0 f (x) = или lim x→x 0 +0 f (x) = не существует или равен бесконечности (см. задача 4). §11. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Теорема 1. Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны в точке Тогда функции f (x)±g(x); f (x)·g(x) и f (если g(x o ) = 0) также непрерывны в точке x 0 99 Доказательство данного утверждения проводится достаточно просто. Если y = f (x) и y = g(x) – непрерывные функции на некотором множестве X и x 0 – любое значение из этого множества, то, например, для разности F 1 (x) = f (x) − g(x) и произведения) = f (x) · g(x) (применяя, сформулированные ранее теоремы о пределах функций) рассуждения могут быть следующие x→x 0 F 1 (x) = lim x→x 0 (f (x) − g(x)) = lim x→x 0 f (x) − lim x→x 0 g(x) = = f (x 0 ) − g(x 0 ) = F 1 (x 0 ), lim x→x 0 F 2 (x) = lim x→x 0 (f (x) · g(x)) = lim x→x 0 f (x) · lim x→x 0 g(x) = = f (x 0 ) · g(x 0 ) = Замечание 1. Так, например, функция y = ctg x (y = cos x sin x ), в силу теоремы 1, есть функция непрерывная для всех значений кроме тех, для которых sin x = 0, те. кроме значений x = πk, k ∈ Замечание 2. В частности, если функция f (x) непрерывна в точке x 0 , то функция α · f (x), где α ∈ R, также непрерывна в точке Теорема 2 (о непрерывности сложной функции. Пусть функция) непрерывна в точке x 0 , а функция y = f (u) непрерывна в точке u 0 = ϕ(x 0 ). Тогда сложная функция y = f (непрерывна в точке В силу непрерывности функции u = ϕ(x), lim x→x 0 ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = = u 0 , те. при x → имеем u → u 0 . Поэтому, вследствие непрерывности функции y = f (u), имеем lim x→x 0 f (ϕ(x)) = lim u→u 0 f (u) = f (u 0 ) = f (Теорема 3. Если функция y = f (x) непрерывна и строго монотонна на [a; b] оси Ox, то обратная функция y = ϕ(x) также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c; d] оси В силу теоремы 3, функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x и y = arcctg x непрерывны при всех значениях x, при которых эти функции определены. Замечание. Из сформулированных выше утверждений вытекает Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Другими словами непрерывны в каждой точке своих областей определения все функции, полученные из простейших с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции. Теорема 4 (Больцано-Коши). Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах разные знаки. Тогда найдется хотя бы одна такая точка x 0 ∈ (a; что f (x 0 ) = Теорема 5 (о промежуточных значениях. Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда для любого числа C, заключенного между числами f (a) и f (b), найдется такая точка x 0 ∈ [a; b], что f (x 0 ) = Теорема 6 (я теорема Вейерштрасса. Пусть функция f (определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда эта функция ограничена на данном отрезке. Теорема 7 (я теорема Вейерштрасса. Пусть функция f (определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда эта функция принимает на отрезке [a; b] свои наибольшие и наименьшие значения, т. е. существуют такие точки x 1 , x 2 ∈ [a; b], что для любой точки x ∈ [a; b] справедливы неравенства f (x 1 ) ≤ f (x) ≤ f (x 2 ). §12. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ» Задача 1. Найти пределы функции y = 3 1 x при x, стремящемся к нулю справа и слева. Решение: Введем замену z, для которой z → ∞ при x → +0 и z → −∞ при x → −0. Тогда lim x→+0 3 1 x = lim z→+∞ 3 z = ∞, и lim x→−0 3 1 x = lim z→−∞ 3 z = Задача 2. Найти пределы функции y = arctg 1 x при x, стремящемся к нулю справа и слева. Решение: Введем замену z, для которой z → при x → +0 и z → −∞ при x → −0. Тогда lim x→+0 arctg 1 x = = lim z→+∞ arctg z = π 2 , и lim x→−0 arctg 1 x = lim z→−∞ arctg z Задача 3. Исследовать на непрерывность функцию y = cos Решение Функция y = cos x определена при всех x ∈ R. Возьмем произвольную точку и найдем приращение ∆y : ∆y = cos(x 0 + ∆x) − cos x 0 = −2 sin x 0 +∆x+x 0 2 · sin x 0 +∆x−x 0 2 = = −2 sin(x 0 + ∆x 2 ) · Тогда lim ∆x→0 ∆y = lim ∆x→0 −2 sin(x 0 + ∆x 2 ) · sin ∆x 2 = 0, так как произведение ограниченной функции и бесконечно малой функции есть бесконечно малая функция. Согласно определению, функция y = cos x непрерывна в точке. Повторяя это рассуждение для любой точки из области определения функции y = cos x, можно прийти к выводу о ее непрерывности для всех x ∈ Задача 4. Найти пределы функции y = 1 в области точки разрыва и указать эту точку. Решение: Точкой разрыва является точка x 0 = 1. Введем замену, тогда исследуемая функция приобретает вид y = 1 1+e z . При стремлении x к исследуемой точке x 0 = 1 слева z → −∞, а справа – z → +∞. Из этого следует, что lim x→1−0 1 1+e 1 x−1 = lim z→−∞ 1 1+e z = 1, и lim x→1+0 1 1+e 1 x−1 = lim z→+∞ 1 1+e z = Задача 5. Исследовать на непрерывность функцию f (x) = x при x −π, sin x при < x при x Определить характер точек разрыва. Построить график функ- 102 ции. Рис. Решение Функции y = x, y = sin x, y = 1 непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т. е. в точках x = −π и x Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции. а) Точка x = −π. lim x→−π−0 f (x) = lim x→−π x = −π, lim x→−π+0 f (x) = lim x→−π sin x = 0, f (−π) = Так как lim x→−π−0 f (x) = f (−π) = −π = lim lim x→−π+0 f (x), тов точке x = −π функция имеет разрыв города и непрерывна слева. Скачок функции в точке x = −π равен (−π) = lim x→−π+0 f (x) − lim x→−π−0 f (x) = π. 103 б) Точка x = π 2 lim x→ π 2 −0 f (x) = lim x→ π 2 −0 sin x = sin π 2 = 1, lim x→ π 2 +0 f (x) = lim x→ π 2 +0 1 = а значение f ( π 2 ) не определено. Отсюда следует, что x = π 2 – точка устранимого разрыва для функции f (x). График заданной функции изображен на рис. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Пользуясь определением непрерывности функции, доказать, что функция а) y = б) y = 4x 2 − 5x + 2 непрерывна в произвольной точке x 0 ∈ R. 100. Исследовать на непрерывность и построить график функции f (x). Определить характер точек разрыва. а) f (x) если x < −2, √ 4 − если < 2, x − если x > б) f (x) = x 3 + если x < если < если x > 2. 101. Исследовать функцию y на непрерывность на отрезке, если а) [a; b] = [−1; 2]; б) [a; b] = [−5; в) [a; b] = [−3; 4]. 102. Исследовать функцию f (x) на непрерывность на отрезках 2]; [−3; 1]; [4; 5], если а) f (x) = 1 x 4 −1 ; б) f (x) в) f (x) = ln x+4 x−5 ; г) f (x) = √ x 2 − x − 20. 104 ПРОИЗВОДНАЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Пусть y = f (x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a; b), и пусть x – какая-либо точка этого промежутка. Дадим аргументу x приращение x, такое, что x + x также принадлежит промежутку (a; b). Функция y = f (получит приращение y = f (x + x) − f (x) (при бесконечно малом приращение y тоже бесконечно мало). Предел, если он существует, к которому стремится отношение y x прите сам является функцией от аргумента x. Эта функция называется производной от функции) (произведенной, те. полученной по определенным правилам изданной функции y = f (Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции (см. задачи Определение. Производной функции y = f (x) (производной функцией) называется предел (если он существует) отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Обозначение: y (x), или f (x), или dy dx , или y Функция, имеющая производную на множестве (a; b), называется дифференцируемой на этом множестве. Если x ∈ (a; b) фиксировано, тов силу определения производная y представляет собой скорость изменения функции y относительно аргумента x. 105 §2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ Рассмотрим и укажем основные формулы и правила дифференцирования, при строгом соблюдении которых при выполнении упражнений, в большинстве случаев, можно при дифференцировании обойтись без непосредственного вычисления производной как предела отношения f x при x → Таблица Таблица производных основных элементарных функций Функция Производная Функция Производная y = f (функции y = f (функции c=const 0 tg x 1 cos 2 x = sec 2 x x m mx m−1 ctg x − 1 sin 2 x = − cosec 2 x √ x 1 2 √ x arcsin x 1 √ 1−x 2 1 x − 1 x 2 arccos x − 1 √ 1−x 2 e x e x arctg x 1 1+x 2 a x a x ln a arcctg x − 1 1+x 2 ln x 1 x sh x = e x −e −x 2 ch x log a x 1 x ln a ch x = e x +e −x 2 sh x sin x cos x th x = sh x ch x 1 ch 2 x cos x − sin x cth x = ch x sh Пользуясь данной таблицей и соблюдая правила, можно продифференцировать любую элементарную функцию Основные правила дифференцирования Пусть С – постоянная (C = const), u(x), v(x), w(x) и g i (x) дифференцируемые на некотором интервале (a; b) функции. Тогда на этом же интервале справедливы формулы) (Cu) = C · u ; 2) (g 1 ± g 2 ± . . . ± g n ) = g 1 ± g 2 ± . . . ± g n ; 3) (u · v) = u v + uv ; 4) u v = u v−uv Следствие. Используя приведенные правила, утверждение можно распространить на число сомножителей более двух производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из этих сомножителей на все остальные. Так, например, для трех множителей после некоторых преобразований формула принимает вид (u · v · w) = [(u · v) · w] = = (u · v) · w + (u · v) · w = (u · v + u · v ) · w + (u · v) · w = = u · v · w + u · v · w + u · v · w Для четырех множителей, проводя аналогичные рассуждения и преобразования, имеем (u · v · w · g) = (uv) · wg + uv · (wg) = = (u v + uv ) · wg + uv · (w g + wg ) = u vwg + uv wg + uvw g + uvwg Итак далее) если y = f (u) и u = φ(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции y = f (φ(x)) существует и равна производной данной функции y по промежуточному аргументу u, умноженной на производную самого промежуточного аргумента u по независимой переменной x, те На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому во многих справочных и учебных пособиях в приведенной ниже табл. 8 аргумент x заменяется на промежуточный аргумент u (см. табл. 9). 107 Таблица 9 Функция Производная Функция Производная y = f (функции y = f (функции u m mu m−1 · u ctg u − 1 sin 2 u · u √ u 1 2 √ u · u arcsin u 1 √ 1−u 2 · u e u e u · u arccos u − 1 √ 1−u 2 · u a u a u ln a · u arctg u 1 1+u 2 · u ln u 1 u · u arcctg u − 1 1+u 2 · u log a u 1 u ln a · u sh u = e u −e −u 2 ch u · u sin u cos u · u ch u = e u +e −u 2 sh u · u cos u − sin u · u th u = sh u ch u 1 ch 2 u · u tg u 1 cos 2 u · u cth u = ch u sh u − 1 sh 2 u · Таблица производных и правила дифференцирования являются основными средствами при вычислении производных различных функций (см. задачи 4, 5), при условии хорошего усвоения всего теоретического материала и решения достаточного числа примеров. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Пусть функция y = f (x) имеет производную в точке Тогда существует касательная к графику этой функции в точке уравнение которой можно задать формулой y − y 0 = f (x 0 )(x − x 0 ). При этом f (x 0 ) = tg α, где α – угол наклона этой касательной коси (рис. Определение. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение y − y 0 = − 1 f (x 0 ) · (x − x 0 ) (см. задача Рис. Замечание. Если f (x 0 ) = 0 (касательная горизонтальна, то нормаль вертикальна (x = x 0 ). Определение. Пусть даны две пересекающиеся в точке M 0 (x 0 ; y 0 ) кривые y = f 1 (x) и y = f 2 (x), причем обе функции имеют производные в точке x 0 . Тогда углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке Этот угол ϕ можно найти из формулы tg ϕ = f 2 (x 0 )−f 1 (x 0 ) 1+f 1 (x 0 )·f 2 (x 0 ) . Если требуется вычислить острый угол между заданными прямыми, то правая часть формулы берется по модулю, те. СПЕЦИАЛЬНЫЕ СПОСОБЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. Логарифмическая производная . В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. Затем полученный результат дифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием (см. задачи 8, 9). 2. Производная неявной функции . Пусть уравнение F (x; y) = определяет y как неявную функцию от x. Будем считать эту функцию дифференцируемой. Проведем дифференцирование по x обеих частей уравнения (x; y) = 0, рассматривая при этом y как функцию от x. Получим уравнение первой степени относительно y . Из этого уравнения можно легко найти y , те. производную неявной функции для всех значений x и y, при которых множитель при y в уравнении не обращается в нуль (см. задача При дифференцировании функции, заданной неявно, можно пользоваться правилом y x = − F x F y , где F x и F y – производные функции F (x; y) попеременной (постоянная) и переменной постоянная, соответственно (см. задача 11). 3. Производная функции, заданной параметрически . Пусть зависимость между аргументом x и функцией y задана параметрически в виде системы здесь t – вспомогательная переменная, называемая параметром. Тогда y x = y t x t = dy dt / dx см. задачи 12, 13). 4. Производная обратной функции . Если функция y = f (строго монотонна на интервале (a; b) и имеет неравную нулю производную) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция x = ϕ(y) также имеет производную ϕ (y) в соответствующей точке, определяемую равенством ϕ (y) = 1 f (или x y = 1 y см. задача 14). 110 §5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Производные высших порядков явно заданной функции. Производная y = f (x) функции y = f (x) есть также функция от x и называется производной первого порядка. Если функция) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается y (или f (x), d 2 y dx 2 , d dx ( dy dx ), dy dx ). Итак, y = (y ) Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается или f (x), d 3 y dx 3 , . . . ). Итак, y = (y ) Производной го порядка (или ой производной) называется производная от производной (n − 1) порядка y (n) = (y (n−1) ) Производные порядка выше первого называются производными высших порядков (см. задача 15). Начиная с производной четвертого порядка производные принято обозначать римскими цифрами или числами в скобках (или y (10) – производная десятого порядка. Производные высших порядков неявно заданной функции. Пусть функция y = f (x) задана неявно в виде уравнения (x; y) = 0. Выше уже было рассмотрено, как находится производная первого порядка в таком случае. Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут x, y и y . Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной, выразим y через x и y. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка (см. задача 16). 3. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически . Выше уже объяснялось, что для функции, заданной параметрически в виде первая производная находится по формуле y x = y t x t . Найдем вторую производную от функции, заданной параметрически. Из определения производной следует, что y xx = (y ) x = (y x ) t · t x = (y x ) t x t = yt x t t x t = = y t ·x t −x t ·y t (x Аналогично рассуждая, можно получить формулы y xxx = (y xx ) t x t , y IV xxxx = (y xxx ) t x t , ... и т.д. (см. задача 7). §6. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ “ПРОИЗВОДНАЯ” Задача 1. Пользуясь определением, найти производную функции Решение Каждому значению аргумента x ставится в соответствие определенное значение y = x 3 + x 2 − x − 2. Придадим x приращение x и найдем соответствующее значение функции y(x + x). Получим y(x + x) = (x + x) 3 + (x + x) 2 − (x + x) − 2 = = x 3 + 3x 2 x + 3x x 2 + x 3 + x 2 + 2x x + x 2 − x − x − Находим значение y = y(x + x) − y(x) = x 3 + 3x 2 x+ +3x x 2 + x 3 + x 2 + 2x x + x 2 − x − x − 2 − x 3 − x 2 + x + 2 = = 3x 2 x + 3x x 2 + x 3 + 2x x +Составляем отношение y x : y x = 3x 2 x+3x x 2 + x 3 +2x x+ x 2 − x Находя предел этого отношения при x → 0, получаем x→0 3x 2 x+3x x 2 + x 3 +2x x+ x 2 − x x = = lim x→0 x(3x 2 +3x x+ x 2 +2x+ x−1) x = 3x 2 + 2x − Полученное в итоге выражение и есть производная заданной функции, те Задача 2. Пользуясь определением, найти производную функции+ Решение Для решения данной задачи воспользуемся алгоритмом, изложенным в предыдущей задаче lim x→0 y x = lim x→0 √ x+ x+1− √ x+1 x = 0 0 = = lim x→0 ( √ x+ x+1− √ x+1)·( √ x+ x+1+ √ x+1) x·( √ x+ x+1+ √ x+1) = = lim x→0 x+ x+1−x−1 x·( √ x+ x+1+ √ x+1) = lim x→0 x x·( √ x+ x+1+ √ x+1) = = lim x→0 1 √ x+ x+1+ √ x+1 = 1 Следовательно + 1 = 1 Задача 3. Доказать, что функция f (x) = √ x дифференцируема на интервале (0; ∞) и ( √ x) = 1 2 √ x для любого x ∈ (0; Доказательство Пусть x 0 > 0 и x > Имеем f (x) − f (x 0 ) = √ x те. Отсюда, зная, что lim x→0 √ x 0 + x = = √ x 0 , получаем f (x 0 ) = lim x→0 x ( √ x 0 + x+ √ x 0 ) = 1 Это означает, что функция f (x) = √ x дифференцируема в каждой точке интервала (0; +∞) и ( √ x) = 1 Задача 4. Найти производные следующих функций, используя правила дифференцирования а) y = x 5 − 5x 2 − 2x −2 + 7; б) y = = e x · sin x; в) y = x √ x(3 ln x − 2); г) y = sin x−cos x sin x+cos Решение а) y = (x 5 − 5x 2 − 2x −2 + 7) = (x 5 ) − 5 · (x 2 ) − −2 · (x −2 ) + 7 = 5x 4 − 10x + б) y = (e x ·sin x) = (e x ) ·sin x+e x ·(sin x) = e x ·sin x+e x ·cos x = = e x (sin x + cos в) Перепишем заданную функцию в виде y = x 3 2 · (3 ln x − Тогда y = x 3 2 ·(3 ln x−2)+x 3 2 ·(3 ln x − 2) = 3 2 x 1 2 ·(3 ln x − 2) + +x 3 2 · 3 · 1 x = 3 2 √ x (3 ln x − 2) + x √ x · 3 x = 3 2 √ x (3 ln x − 2) + 3 √ x = = 9 2 √ x ln x − 3 √ x + 3 √ x = 9 2 √ x ln г) y = sin x−cos x sin x+cos x = (sin x−cos x) (sin x+cos x)−(sin x−cos x)(sin x+cos x) (sin x+cos x) 2 = = (cos x+sin x)(sin x+cos x)−(sin x−cos x)(cos x−sin x) (sin x+cos x) 2 = = cos 2 x+2 sin x cos x+sin 2 x+cos 2 x−2 sin x cos x+sin 2 x (sin x+cos x) 2 = 2 (sin x+cos x) 2 113 Задача 5. Для функции y вычислить y (Решение Найдем производную заданной функции y = x 3 +1 x 2 = = (x 3 +1) ·x 2 −(x 3 +1)·(x 2 ) (x 2 ) 2 = 3x 2 ·x 2 −(x 3 +1)·2x x 4 = x 3 −2 x 3 . Вычислим значение этой производной в точке x 0 = 2 : y (2) = 2 3 −2 2 3 = 6 8 = 3 Задача 6. Составить уравнения касательной и нормали, проведенных к кривой y = √ x + 1 в точке x 0 = Решение Уравнение прямой, проходящей через данную точку − y 0 = k(x − x 0 ). В точке касания x 0 = 3, y 0 (3) = √ 3 + 1 = те Угловой коэффициент касательной k = f (x 0 ) = 1 2 √ x 0 +1 = 1 Таким образом, касательная задается уравнением y−2 = 1 или x − 4y + 5 = 0. Угловой коэффициент нормали, проведенной к этой же кривой в точке касания, можно найти из условия перпендикулярности двух прямых k k · k n = −1, те. в данном случае k n = −4. Значит, нормаль задается уравнением y − 2 = −4 · (x − или 4x + y − 14 = Ответ x − 4y + 5 = 0 – касательная, 4x + y − 14 = 0 – нормаль. Задача 7. Найти производные сложных функций а) y = ln 3 (x 2 + 5); б) y = sin 2 (3x + Решение а) y = (ln 3 (x 2 + 5)) = 3 ln 2 (x 2 + 5) · ln(x 2 + 5) = = 3 ln 2 (x 2 + 5) · 1 x 2 +5 · (x 2 + 5) = 3 ln 2 (x 2 + 5) · 1 x 2 +5 · 2x = 6x б) y = (sin 2 (3x + 7)) = 2 sin(3x + 7) · (sin(3x + 7)) = = 2 sin(3x + 7) · cos(3x + 7) · (3x + 7) = 2 sin(3x + 7) · cos(3x + 7) · 3 = = 3 sin 2(3x + Задача 8. Найти производную функции y = (2x−1) 3 √ 3x+2 Решение Предварительно прологарифмируем заданную функцию. Так как y является функцией от x, то ln y есть сложная функция x и (ln y) = 1 y · y Тогда y = 3 2x−1 · 2 + 1 2 · 1 3x+2 · 3 − 1 5x+4 · Умножив обе части полученного равенства на y, получаем y = 6 2x−1 + 3 2(3x+2) − 5 5x+4 · (2x−1) 3 √ 3x+2 5x+4 114 Задача 9. Найти производную функции y = √ x−1 Решение Повторим алгоритм вычисления производной, изложенный в предыдущей задаче y = 1 2 · ln(x − 1) − 2 3 ln(x + 2) − 3 2 ln(x + 3). y y = 1 2 · 1 x−1 − 2 3 · 1 x+2 − 3 Решая полученное уравнение относительно y , получаем = 1 2 · 1 x−1 − 2 3 · 1 x+2 − 3 2 · 1 x+3 · y, y = 1 2(x−1) − 2 3(x+2) − 3 2(x+3) · √ x−1 3 √ (x+2) 2 · √ (x+3) 3 = = −5x 2 −x+24 Производная заданной функции найдена. Задача 10. Найти производную функции y, заданной неявно уравнением x 3 y 2 + 5xy + 4 = Решение Продифференцируем обе части уравнения попом- ня, что y – функция от x. Получим уравнение+ x 3 2yy + 5y + 5xy = Решая это уравнение относительно y , получаем (2x 3 y + 5x) = −5y − 3x 2 y 2 ; y = − 3x 2 y 2 +5y 2x 3 y+5x = Задача 11. Найти производную y из уравнения x 3 + ln y− −x 2 e y = Решение Найдем производную функции, заданной неявно по правилу y x = см. § 4.1): y x = − F x F y = − 3x 2 −2xe y 1 y −x 2 e y = − (3x 2 −2xe y )y 1−x 2 ye y = xy(2e y −3x) 1−x 2 ye y 115 Задача 12. Найти y = dy dx , если x = t 3 + 3t + 1, y = 3t 5 + 5t 3 + Решение Найдем dx dt = 3t 2 +3, dy dt = 15t 4 +15t 2 . Следовательно dx = 15t 4 +15t 2 3t 2 +3 = Задача 13. Найти производную функции y, заданной параметрическими уравнениями x = a cos t, y = a sin Решение dx = dy dt dx dt = a cos t −a sin t = − ctg Задача 14. Доказать истинность утверждений а) (ln x) = 1 x , x > 0; б) (arctg x) = 1 1+x 2 , x ∈ Доказательство Для доказательства применим правило дифференцирования обратных функций. а) Пусть y = ln x. Выражая переменную x через y, получаем x = e и, следовательно, x y = e y . Тогда (ln x) = y x = 1 x y = 1 e Утверждение доказано. б) Пусть y = arctg x, тогда x = tg y, и, следовательно x) = y x = 1 x y = 1 1 cos2 y = cos 2 y 1 = cos 2 (arctg Для упрощения полученного выражения применим тождество + tg 2 α = 1 cos 2 α , которое справедливо для любого значения α, в том числе и для α = arctg x. Тогда имеем + tg 2 (arctg x) = 1 cos 2 (arctg x) ; 1 + x 2 = 1 cos 2 (arctg x) ; cos 2 (arctg x) = = 1 Следовательно (arctg x) = 1 Задача 15. y = sin x. Найти Решение y = cos x = sin(x + π 2 ), y = − sin x = sin(x+ +2 · π 2 ), y = − cos x = sin(x + 3 · π 2 ). Продолжая вычисления, можно получить окончательный результат y (n) = sin(x + n Задача 16. Найти y , если x 2 + y 2 = 1. 116 Решение Дифференцируем уравнение x 2 + y 2 − 1 = 0 по x: 2x + 2y · y = 0. Отсюда y = − x y . Продолжая вычисления, получаем. Если в полученное выражение провести подстановку для y , то получаем y = − y−x·(− x y ) y 2 = − y 2 +x 2 y 3 = так как x 2 +y 2 = 1). Следовательно, y = − −1·3y 2 ·y y 6 = 3 y 4 ·(− x y ) = − 3x Задача 17. Для функции x = a · cos 3 t, y = a · sin 3 t найти производную второго порядка. Решение: Согласно проведенным ранее рассуждениям, имеем y = d y d x = (a·sin 3 t) t (a·cos 3 t) t = 3 a·sin 2 t cos t −3 a·cos 2 t sin t = − tg t, y = d 2 y d 2 x = (− tg t) t (a·cos 3 t) t = − sec 2 t −3 a·cos 2 t sin t = 1 3 a·sin t ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Пользуясь определением, найти производные функций: а) y = 5x − б) y = в) y г) y д) y = cos x. 104. Найти производные заданных функций: а) y = x 2 + x; б) y = 3x 2 − 5x + 6; в) y = x 4 + 2x; где ж) y = x 5 + 1 x − з) y = 2 4 √ x и) y = −2 x 4 + 4 √ x +к) y = 5 √ x −2 − 5 5 √ x 4 + x 5 √ x. 105. Найти производные заданных функций: а) y = x 5 · (1 + б = (x − 2) 2 · в) y = (x 2 − x) · (x 3 + где ж) y = (cos x + 2)(2 cos x − sin з) y = (5 sin x − cos x)(5 cos x − sin x). 106. Найти производные заданных функций: а) y = 2x+3 б) y в) y где ж) y з) y = 3x 3 √ x+4x−15 3 √ x ; и) y = 2 cos x кл м) y = ctg x sin x+cos x 107. Найти производные заданных функций: а) y = sin 2 1 x + cos 2 б) y = arcsin x + arccos в) y = ln( √ 1 + x 2 − x) + ln( √ 1 + x 2 + г) y = 2 log 2 x + x 2 + x. 108. Найти производные заданных функций: а) y = (5 − б) y = (x + 1 x − в) y = x+1 x−2 · где ж) y = e x −e −x з) y = arctg sin x+cos x sin x−cos и) y = arcctg кл мн оп р) y = 2 log 4 (x 2 +x+1) 109. Найти производную функции, используя правило логарифмического дифференцирования: а) y = (x−1) 5 б) y = (x−2) 2 в) y = (x+1) 3 4 √ x−2 где ж) y = (з) y = и) y = x (x + кл мн оп р) y = (x 2 + 1) sin x ; ст. Найти производную данной функции в точке а) y = x 2 x 3 +1 , x 0 = б) y = 4x + 6 3 √ x, x 0 = в) y = x 2 + 3 sin x − πx, г) y = e x+1 · (4x − 5), x 0 = ln 2. 111. Найти производную y от неявных функций: а) x 3 + y 3 − 3xy = б) x 4 − 6x 2 y 2 + 9y 4 − 5x 2 + 15y 2 − 100 = в) x y − y x = г) e x + e y − 2 xy − 18 = д y + e y x − 3 y x = 0; e) x y 2 + y 2 ln x − 4 = 0; ж) sin(y − x 2 ) − ln(y − x 2 ) + 2 y − x 2 − 3 = з) x 2 sin y + y 3 cos x − 2x − 3y + 1 = 0. 112. Найти производную функции y, заданной неявно. Найти значение производной y в точке (0; 1), если: а) e xy − cos(x 2 + y 2 ) = б 1, a ∈ R, b ∈ в) x 2 + y 2 = ln y x + где ж) e y = e − з) x 3 + ln x − x 3 e y = 0. 113. Найти производные функций заданных параметрически: а) x = t 3 + t, y = t 2 + t + б) x = t − sin t, y = 1 − cos в) x = e t sin t, y = e t cos г) x = 5 ch t, y = 4 sh t. 114. Найти производные указанных порядков для функций: а) y = tg 3x, y =?; б) y = −x · cos x, y =?; в) y = ln 2 x, где, ж) x = t 3 , y = t 2 , y xx =?; з) y = cos t, y = sin t, y Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой y = 2 3 x 5 − 1 9 x 3 |