Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
 Скачать 5.93 Mb.
|
|
Сколько студентов имеют спортивный разряди по плаванию, и по лыжам? Решение. Пусть A – множество студентов, имеющих разряд по лыжам, а B – по плаванию. Тогда в силу условия задачи m(A) = 18, m(B) = 16, а m(A ∩ B) = 30 − 10 = 20. Тогда по приведенной ранее формуле следует ∩ B) = −m(A ∪ B) + m(A) + m(B) = 18 + 16 − 20 = Ответ спортивный разряди по плаванию, и по лыжам имеют студентов. Замечание. Для любых конечных множеств A, B и C справедливо равенство m(A ∪ B ∪ C) = m(A) + m(B) + m(C) − m(A ∩ B)− −m(A ∩ C) − m(B ∩ C) + m(A ∩ B Пример 4. В олимпиаде по математике приняло участие учеников класса, в олимпиаде по биологии – 7 человека в олимпиаде по физике – 9. Известно, что в олимпиадах по математике и биологии участвовали 4 ученика, в олимпиадах по математике и физике – 5 учеников, а во всех трех олимпиадах – 2 ученика. Сколько школьников участвовали в олимпиадах по физике и биологии, если всего участников олимпиад было 17 человек? Решение. Пусть A – множество учеников, участвовавших в олимпиаде по математике, B – в олимпиаде по биологии, C – в олимпиаде по физике. Тогда m(A) = 10, m(B) = 7, m(C) = 9, m(A∩B) = 4, m(A∩C) = 5, m(A∩B∩C) = 2, (m∪B∪C) = 17. Найдем, воспользовавшись формулой, сформулированной в замечании m(B∩C) = m(A)+m(B)+m(C)−m(A∩B)−m(A∩C)+ +m(A ∩ B ∩ C) − m(A ∪ B ∪ C) = 10 + 7 + 9 − 4 − 5 + 2 − 17 = Ответ 2 ученика 2.4. Эквивалентность множеств. Счетные и несчетные множества. Любые два конечных множества можно сравнивать по количеству элементов, содержащихся в них. Для этого например, достаточно перечислить элементы каждого из рассматриваемых множеств. Например, A = 1, 3, 5, 7, 9, B = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Очевидно, что m(A) < m(B), т. к. m(A) = 5, m(B) = 10. Если же мы имеем дело с бесконечными множествами, например, множеством треугольников на плоскости и множеством натуральных чисел, то такой способ сравнения явно неприменим. Рассмотрим способ сравнения множеств, который будет применим как к конечным, таки к бесконечным множествам. Допустим, к вам пришли гости ивы должны накрыть стол. Для этого совсем необязательно сначала пересчитать гостей, а потом отсчитать нужное количество тарелок и приборов. Можно просто рассадить гостей и перед каждым поставить тарелку и положить прибор. Такое попарное сочетание элементов разных множеств называется взаимно однозначным соответствием. Между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если: а) каждому элементу a ∈ A соответствует единственный элемент б) каждый элемент b ∈ B при этом соответствует некоторому элементу a ∈ в) разным элементам множества A соответствуют разные элементы множества Множества, A и B называются эквивалентными или равно- мощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Данное определение годится для любых множества не только конечных. Рассмотрим три различные примера. Пример 5. Множество натуральных чисел и множество четных положительных чисел эквивалентны, так как между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по следующему правилу 1 2 3 n 2 4 6 Так как множество четных положительных чисел является подмножеством множества натуральных чисел, то данный пример показывает, что бесконечное множество может быть равно- мощным своему подмножеству. В случае конечных множеств такая ситуация невозможна между конечными множествами A и можно установить взаимно однозначное соответствие тогда и только тогда, когда m(A) = Пример 6. Множество целых чисел Z эквивалентно множеству натуральных чисел N: 0 1 −1 2 −2 n −n 1 2 3 4 5 2n 2n + Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел называется счетным множеством. Иначе говоря, множество счетно, если все элементы этого множества можно занумеровать. Таким образом, множество четных положительных чисел и множество целых чисел счетны. Пример 7. Любой отрезок [a; b], a = b эквивалентен отрезку Искомое взаимно однозначное соответствие можно установить как аналитически, например, формулой x ∈ [0; 1], x ↔ y = (b − a)x + a, y ∈ [a; b], таки геометрически (см. рис. Рис. В заключение заметим, что не все бесконечные множества являются счетными например, можно доказать, что множество точек любого отрезка [a; b], a = b не является счетным. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Задайте следующие множества перечислением их элементов: а) A = x ∈ R | (x 2 + 4)(x 4 − 2x 2 + 1) = 0 б) B = x ∈ Q | (x 2 − 2)(x 2 − 1) = 0 в) C = {x ∈ N | x – делитель г) D = {x ∈ N | x – кратно 3, x ∈ [1; 19]}. Найдите A ∪ D, B ∩ C, A ∩ C ∩ D, (A ∪ D) ∩ C, D \ C, B \ A, A \ B. 10. Найдите A ∪ D, A ∩ B, A \ B, B \ A, если a) A = 1 3 ; 4 , B = = [−2; 1); б) A = (−∞; 2), B = [−3; 4]; в) A = [−1; 3], B = (1; +∞). 11. Пусть (x, y) – координаты точек плоскости. Укажите штриховкой множества: а) A = {(x, y) | x < 3 б) B = {(x, y) | y − x ≥ 2 в) E = {(x, y) | |y − 2x| ≥ 1} г) G = {(x, y) | |x − y| ≤ |y + x| д) C = (x, y) | x 2 + y 2 ≤ 4 ; e) D = (x, y) 0 < x 2 + y 2 < 1 . 12. Известно, что 18 учеников класса выполнили норматив полы- жам, 14 учеников – по прыжкам в высоту, а 11 ребят выполнили и тот, и другой. Сколько учеников не выполнили оба норматива, если в классе 29 человек. В лицее из 25 учеников класса 12 занимается дополнительно французским языком, 15 – немецким, а 13 ребят участвуют в работе математического кружка. Известно, что и французскими математикой занимаются 5 человек, немецкими математикой – человека немецкими французским – 10 человек. Сколько ребят занимаются и французскими немецкими математикой, если два ученика из класса ничем дополнительно не занимаются. В международной конференции участвовало 120 человек. Из них 60 человек владеют русским языком, 48 – английским – немецким, 21 – русскими английским, 19 – английскими немецким, 15 – русскими немецким, а 10 человек владели всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков §3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Как уже упоминалось ранее, в элементарной математике изучаются действительные числа. Сначала в процессе счета возникает натуральный ряд чисел. В арифметике проводятся действия сложения и умножения над натуральными числами. Чуть позже ученик сталкивается с проблемой невозможности выполнения действий вычитания и деления в множестве натуральных чисел. Поэтому вводится число нуль и целые отрицательные, а затем и рациональные числа. Понятно, что верно включение N ⊂ Z ⊂ Еще позднее потребность выполнения действий измерения величин и проведения операций (извлечение корня, решение различного рода уравнений) вынуждает проводить расширение запаса рассматриваемых чисел. Сначала появляются иррациональные числа (I – множество иррациональных чисел) и, наконец, комплексные числа (C – множество комплексных чисел. Определение комплексных чисел. Операции над комплексными числами. Комплексным числом называется число вида z = a + i b ≡ a + b i, где a и b – действительные числа, а i = √ −1 – мнимая единица (те. такое число, квадрат которого равен Два комплексных числа a + b i и c + d i равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d. Суммой чисел a+b i и c+d i называется число a+c+(b+d) i. Произведением чисел a+b i и c+d i называется число ac − bd + (ad + bc) Действительное число a называется действительной частью (или вещественной частью) комплексного числа z = a + b i и обозначается a = Re z. Число b называется мнимой частью комплексного числа z = a + b i и обозначается b = Im Заметим, что операции сложения и умножения над числами a + 0 i проводятся также, как над действительными числами. В самом деле + 0 i) + (c + 0 i) = a + c + 0 i, (a + 0 i) · (c + 0 i) = (ac) + 0 Таким образом, отождествив число a + 0 i с действительным числом a, получим, что каждое действительное число содержится в множестве комплексных чисел, а именно, a = a + 0 i (таким образом R ⊂ C). В частности, число 0 = 0 + 0 i будем называть, как обычно, нулем, число 3 = 3 + 0 i – тройкой. Числа 0 + b i называют чисто мнимыми и обозначают b Пример 8. Найти сумму и произведение комплексных чисел z 1 = 3 + 4i и z 2 = −1 + 3i. Решение. z 1 + z 2 = (3 + 4 i) + (−1 + 3 i) = = (3 + (−1)) + (4 + 3) i = 2 + 7 i, z 1 · z 2 = (3 + 4 i) · (−1 + 3 i) = = 3 · (−1) + 3 · 3 i + 4 i · (−1) + 4 i · 3 i = −3 − 4 i + 9 i + 12 i 2 = = −3 − 4 i + 9 i − 12 = −15 + 5 Операции сложения и умножения над комплексными числами обладают следующими свойствами. Коммутативность сложения z 1 + z 2 = z 2 + для любых комплексных чисел z 1 , z 2 2. Ассоциативность сложения (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) для любых комплексных чисел z 1 , z 2 , z 3 3. Для любого комплексного числа z верно z + 0 = z. 4. Для любых комплексных чисел и существует число z такое, что z 1 + z = z 2 . Это число называется разностью чисел и и обозначается z 2 − z 1 5. Коммутативность умножения z 1 z 2 = для любых комплексных чисел z 1 , z 2 6. Ассоциативность умножения (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) для любых комплексных чисел z 1 , z 2 , z 3 7. Дистрибутивный закон z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + для любых комплексных чисел z 1 , z 2 , z 3 8. Для любого комплексного числа z верно 1 · z = z · 1 = z. 26 9. Для любых двух комплексных чисел и z 2 , где z 1 = 0, существует число z такое, что z 1 z = z 2 . Это число называется частным комплексных чисел и и обозначается z 2 z 1 . Деление на нуль невозможно. Пример 9. Найти разность и частное комплексных чисел z 1 = 1 − 5i и z 2 = −2 + 2i. Решение. z 1 − z 2 = (1 − 5 i) − (−2 + 2 i) = = (1 − (−2)) + (−5 − 2) i = 3 − 7 Так как i −2+2 i = a + b i, то 1 − 5 i = (a + b i)(−2 + 2 i) = = (−2a − 2b) + (2a − 2b) i. Следовательно − 2b = 1, 2a − 2b = откуда следует a = − 3 2 , b = 1. Значит i −2+2 i = − 3 2 + В заключение отметим, что понятия больше или «меньше» для комплексных чисел не определяются. Комплексная плоскость. Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости. Каждому комплексному числу z = a + b i поставим в соответствие точку M (a; b) координатной плоскости, те. точку, абсцисса которой равна Re z = a, а ордината равна Im z = b. Обратно, каждой точке плоскости с координатами b) поставим в соответствие комплексное число z = a + b Таким образом, построено взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и точками плоскости, на которой выбрана система координат. Сама координатная плоскость называется при этом комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней расположены точки, соответствующие комплексным числам вида a + 0 i, те. соответствующие действительным числам. Ось ординат называется мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам 0 + b Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a + b i как вектора (см. рис. 6). Очевидно, что каждому вектору плоскости с началом в точке O(0; 0) и концом в точке M (a; b) соответствует комплексное число a + b i, и наоборот Нулевому вектору соответствует комплексное число 0 + 0 Рис. Взаимно однозначные соответствия, установленные между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости, между множеством комплексных чисел и множеством векторов плоскости, позволяют называть комплексное число z = a + b i точкой a + b i или вектором z = a + b i. 3.3. Модуль комплексного числа. Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу. Модуль обозначается |z| или буквой r. Применяя теорему Пифагора, получим, что |z| = √ a 2 + см. рис. Если z = a + 0 i, то |z| = |a + 0 i| = √ a 2 = |a|, то есть для действительного числа модуль совпадает с абсолютной величиной этого числа. Замечание. Очевидно, что |z| > 0 для всех z = 0; |z| = 0 в томи только том случае, когда z = 0 + 0 Пусть z = a + b i. Число a − b i называется комплексно сопряженным с числом z = a + b i и обозначается z; z = a − b Полезно заметить, что = |z| = a 2 + b 2 , z · z = (a + b i)(a − b i) = a 2 + b 2 = |z| 2 = |z| 2 , 28 z 1 z 2 = z 1 · z 2 z 2 · z 2 = z 1 · z 2 |z 2 | 2 , z 2 = Полученное соотношение сводит деление комплексных чисел и к умножению чисел и и к делению их произведения на действительное положительное число Пример 10. Найти частное i −5−2 i . Решение. Ранее (в примере) был рассмотрен способ нахождения частного двух комплексных чисел посредством определения. Рассмотрим еще один способ решения этой задачи. Умножим числитель и знаменатель дробина число, сопряженное знаменателю i −5−2 i = (2+4 i)(−5+2 i) (−5−2 i)(−5+2 i) = −10+4 i−20 i−8 25+4 = −16 i−18 29 = − 18 29 − 16 29 i. 3.4. Аргументы комплексного числа. Аргументом комплексного числа z = a + b i (z = 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если отсчет угла производится против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится почасовой стрелке. Для обозначения факта, что число ϕ является аргументом числа, пишут ϕ = arg z или ϕ = arg(a + b Для числа z = 0 аргумент не определяется. Поэтому для всех последующих рассуждений, связанных с понятием аргумента будем считать, что z = Логично заметить, что заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно число z = 0 – единственное комплексное число, которое определяется заданием только своего модуля (|z| = 0). С другой стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда определен единственным образом в отличие от аргумента, который всегда определяется неоднозначно если ϕ – некоторый аргумент числа z, то углы ϕ + 2πk, k ∈ Z тоже являются аргументами того же числа Например, аргументами числа (1 − i) являются углы − π 4 , 7π 4 , 15π 4 29 и т. д. (см. рис. Рис. Таким образом, для каждого комплексного числа z = a + b i имеется бесконечное множество аргументов, любые два из которых отличаются друг от друга на число, кратное Из определения тригонометрических функций (рис. 8) следует, что если ϕ = arg(a + b i), то имеют место следующие записи ϕ = a √ a 2 +b 2 , sin ϕ или cos ϕ = a |z| , sin ϕ Рис. Справедливо и обратное если выполняются равенства последней системы, то ϕ = arg(a + b i). 30 При решении задач на нахождение аргумента конкретного комплексного числа a + b i полезно использовать геометрическую интерпретацию комплексного числа для определения той четверти, где находится точка z = a + b Пример. Найти аргументы комплексного числа z = −1− √ 3 Решение. В данном случае a = −1, b = − √ 3. Следовательно, система имеет вид cos ϕ = − 1 2 , sin ϕ = − √ 3 Решив эту систему, найдем+ 2πk, k ∈ Z. Следовательно, arg z = 4π 3 + 2πk, k ∈ Z. 3.5. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a+b i называется алгебраической формой комплексного числа. Рассмотрим еще одну форму записи комплексного числа. Пусть r – модуль, а ϕ – какой-либо из аргументов комплексного числа z = a + b i, то есть r = |a + b i| = √ a 2 + b 2 , ϕ = arg(a + b i). Из ранее сказанного в данном параграфе a = r cos ϕ, b = r sin ϕ, и следовательно + b i = r (cos ϕ + i sin Запись комплексного числа в виде r(cos ϕ + i sin ϕ) называется его тригонометрической формой. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел во многих случаях оказывается более удобной, чем алгебраическая. Для того, чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a + b i к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов. Пример 12. Записать числа z 1 = −1−i, z 2 = −2, z 3 = i в тригонометрической форме. Решение. Так как |z 1 | = √ 2, а ϕ 1 = − 3π 4 , то z 1 = √ 2 cos − 3π 4 + i sin − 3π 4 . Модуль равен 2, а один из аргументов является угол ϕ 2 = π, поэтому z 2 = 2 (cos π + i sin Учитывая, что |z 3 | = 1, а ϕ = π 2 – один из аргументов z 3 , получаем тригонометрическую форму записи для z 3 : z 3 = cos π 2 +i Тригонометрическая форма записи комплексных чисел оказывается очень удобной при выполнении над ними действий умножения, деления и возведения в степень. Прежде чем перейти к рассмотрению этих операций, рассмотрим два комплексных числа z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) и z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 1 ). Тогда r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) , z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 − ϕ 2 )) . Пример 13. Найти произведение комплексных чисел z 1 = 4 √ 2 cos 45 0 + i sin 45 и z 2 = √ 2 2 cos 135 0 + i sin 135 0 . Решение 180 0 = Замечание. Понятно, что правило произведения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно распространить и на число сомножителей более двух. Пример 14. Найти частное чисел z 1 = √ 3 + i и 3 √ 2 + 3 √ 2 i, предварительно записав их в тригонометрической форме. Решение. Так как z 1 = √ 3+i = 2 cos 30 0 + i sin 30 и z 2 = 3 √ 2+3 √ 2 i = 6 cos 45 0 + i sin 45 0 , то z 1 z 2 = 2 ( cos 30 0 +i sin 30 0 ) 6(cos 45 0 +i sin 45 0 ) = = 1 3 cos(−15 0 ) + i sin(−15 0 ) Для произвольного числа z = r(cos ϕ + i sin ϕ), записанного в тригонометрической форме, верно z n = (r (cos ϕ + i sin ϕ)) n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) , n √ z = n r (cos ϕ + i sin ϕ) = n √ r cos ϕ n + i Замечание. Во второй формуле под знаком n √ r обозначено положительное число (арифметический корень из модуля. Корень й степени из всякого комплексного числа имеет n различных значений. Все они имеют одинаковые модули n |