Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью

• Название: Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
• Анкор: Углирж.pdf
• Дата: 27.12.2017
• Размер: 5.93 Mb.
• Имя файла: Углирж.pdf
• Тип: Учебное пособие; #13192
• страница: 9 из 17

опущенная на BC?
4. Провести полное исследование функций а) y =
1 3
3
√
x
2
(x − б) y = 1 − ln
3
x. Построить их графики.
Вариант 25 1. Разбейте число 18 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата первого и второго слагаемого было бы наибольшим. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения наибольшей площади. Какие должны быть размеры сторон поперечного сечения балки. Периметр равнобочной трапеции с острым углом при основании равен 48 см. При какой длине сторон площадь трапеции будет наименьшей

4. Провести полное исследование функций а) б) y = (x − 1) · e
4x+2
. Построить их графики.
Вариант 26 1. Разбейте число 10 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих слагаемых была бы наименьшей. Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник. Из листа картона квадратной формы со стороной 24 см делают открытую коробку путем отрезания квадратов по углами сгибания краев. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата,
чтобы получившаяся коробка имела наибольший объем. Провести полное исследование функций а) y
=
e
2x
+1
e б) y =
2x
2
+4x+2 2−x
. Построить их графики.
Вариант 27 1. Число 15 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на другое было наименьшим. Требуется выгородить прямоугольное пастбище площадью 1 кв.
км и разделить его на два прямоугольных участка. Какой наименьшей длины забор при этом может получиться. В полукруг радиусам вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на диаметре, а две – на окружности. При каких длинах сторон прямоугольник будет иметь наибольшую площадь. Провести полное исследование функций а) y = б) y = −x · ln
2
x. Построить их графики.
Вариант 28 1. Число 54 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых, два из которых пропорциональны числами, таким образом, чтобы произведение всех слагаемых было наибольшим

2. Из всех прямоугольников с площадью 10 кв. м найдите тот, у которого периметр наименьший. Из трех досок ширины a, a, 2a сколачивается желоб с поперечным сечением в виде равнобедренной трапеции. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей. Провести полное исследование функций а) б) y = arcsin
1−x
2 1+x
2
. Построить их графики.
Вариант 29 1. Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим. Сумма длины и ширины прямоугольника равна 56 см. При каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей. Статуя высотой 4 м стоит на колонне высотой 5, 6 м. На каком расстоянии должен встать человек ростом (до уровня глаз) 1, 6 м,
чтобы видеть статую под наибольшим углом. Провести полное исследование функций а) б) y = e
1 2−x
. Построить их графики.
Вариант 30 1. Разбейте число 8 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадрата первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см. При каком значении высоты прямоугольная трапеция сост- рым углом 45 и периметром P = 4(1 +
√
2) имеет наибольшую площадь. Провести полное исследование функций а) б) y = ln(4 − x
2
). Построить их графики

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
§1. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ. Основные понятия. Область определения и множество значений функции нескольких переменных. Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.
Пусть даны два непустых множества D и U . Если каждому набору n переменных x; y; z; . . . ; t принадлежащих множеству по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент u из U , то говорят, что на множестве D задана функция (или отображение) со множеством значений U . При этом пишут f : D → U , или u = f (x; y; z; ...; t). Множество D называется областью определения функции, а множество U , состоящее из всех чисел вида f (x; y; z; ...; t), где (x; y; z; ...; t) ∈ D – множеством значений функции. Значение функции u = f (x; y; z; ...; при заданном наборе (x
0
; y
0
; z
0
; ...; t
0
) называется частным значением функции и обозначается f (x
0
; y
0
; z
0
; ...; В дальнейшем, в основном, будем рассматривать функции двух или трех переменных z = f (x; y) или u = f (x; y; Так, например, область определения функции двух переменных) в простейших случаях представляет собой либо часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой, причем точки

этой кривой (границы области) могут принадлежать или не принадлежать области определения, либо всю плоскость, либо, наконец, совокупность нескольких частей плоскости Oxy. Геометрическим изображением функции z = f(x; y) в прямоугольной системе координат Oxyz (графиком функции) является некоторая поверхность (см. задачи 1–5).
1.2. Линии уровня. Поверхности уровня. В аналитической геометрии рассматриваются различные поверхности и их уравнения. Так, например, уравнение z − 2x + 5y + 10 = 0 является уравнением плоскости. Данная плоскость есть график функции z = 2x − 5y − Уравнение x
2
+ y
2
+ z
2
= является уравнением сферы радиуса с центром вначале координат. С другой стороны, сфера есть объединение графиков двух функций z =
R
2
− x
2
− и z = −
R
2
− x
2
− Построение графиков функций двух переменных во многих случаях представляет значительные трудности. Поэтому существует еще один способ изображения функции двух переменных,
основанный на сечении поверхности z = f (x; y) плоскостями z = C, где C – любое число, те. плоскостями, параллельными плоскости Для наглядного геометрического представления функции двух переменных используют линии уровня.
Линией уровня функции z
=
f (x; y) называется линия f (x; y) = C на плоскости Oxy, в точках которой функция сохраняет постоянное значение z = Если взять числа c
1
, c
2
, . . . , c n
∈ C, обладающие каким-либо порядком, то получим ряд линий уровня, по взаимному расположению которых можно получить представление о графике функции, те. о форме поверхности. Там, где линии располагаются
«гуще», функция изменяется быстрее (поверхность идет круче),
а в тех местах, где линии уровня располагаются реже, функция изменяется медленнее (поверхность более пологая. Ясно, что чем плотнее взяты числа c i
∈ C, тем полнее представление о графике

функции.
Аналогичные рассуждения можно провести по поводу геометрического представления функций трех переменных.
Поверхностью уровня функции u = f (x; y; z) называется поверхность, в точках которой функция сохраняет постоянное значение u = C (см. задачи ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Найти области определения функций. z = y +
√
x.
2. z =
1 − (x
2
+ y)
2 3. z =
(x
2
+ y
2
− 1)(4 − x
2
− y
2
).
4. z =
1
√
1−x
2
−y
2 5. z =
√
y sin x.
6. z =
sin(x
2
+ y
2
).
7. z = arcsin x
y
2
+ arcsin(1 − y).
8. z = arcsin(x + y).
143. Найти линии уровня функций. z = 2x + y.
2. z = |x| + y.
3. z = |x| + |y|.
4. z =
x
2
y
5. z =
x
2
y
2 6. z =
x
√
y
7. z = arcsin y
x
8. z = e xy
§2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Предел функции двух переменных. Основные понятия математического анализа, введенные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству, называется окрестностью точки y
0
). Другими словами, окрестность точки M
0
– это все внутренние точки круга с центром и радиусом Пусть функция z = f (x; y) определена в некоторой окрестности точки M
0
(x
0
; y
0
), кроме, быть может, самой этой точки.
Определение: Постоянное число A называется пределом функции двух переменных z = f (x; y) при x → x
0
, y → y
0
, (или, что тоже самое, при M (x; y) → M
0
(x
0
; y
0
)), если для любого ε > 0 169

существует δ > 0 такое, что для всех x = и y = и удовлетворяющих неравенству − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
< δ выполняется неравенство |f (x; y) − A| < Этот факт обозначается lim x→x0
y→y0
f (x; y) = A или lim
M →M
0
f (M ) = На практике вычисление предела для функции нескольких переменных проводится по схемами алгоритмам очень схожими с вычислениями для функции одной переменной (см. глава 3).
2.2. Частные и полное приращение функции двух переменных. Рассмотрим функцию двух переменных z = f (x; определенную и непрерывную в некоторой области D. Будем считать, что точки с координатами (x; y), (x+
x; y), (x; y +
y), (x+
+
x; y+
y), где x,
y – приращения аргументов, также лежат в области Частными приращениями функции z = f (x; y) по независимым переменными называются соответственно разности x
z = f (x +
x; y) − f (x; y) и y
z = f (x; y +
y) − f (x; Полным приращением функции z = f (x; y), соответствующим приращениям аргументов и называется разность z = f (x +
x; y +
y) − f (x; y).
2.3. Непрерывность функции двух переменных. Функция) называется непрерывной в точке M
0
(x
0
; y
0
), если. Она определена в этой точке и некоторой ее окрестности. lim x→0
y→0
z = 0, те. бесконечно. lim x→x0
y→y0
f (x; y) = f (x
0
; малым приращениям независимых те. предел функции равен переменных отвечает бесконечно функции от предельных малое приращение функции значений аргументов.
В противном случае функция терпит разрыв в точке M
0
(x
0
; Приведенное определение непрерывности задает непрерывность по всей совокупности переменных. Если имеет место непрерывность по всей совокупности переменных, то одновременно имеет место непрерывность по каждой переменной и по любым совокуп- ностям переменных

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Вычислить пределы:
а) lim x→1
y→0
x
2
− y
2
+ 2xy б) lim в) lim г) lim x→0
y→1
√
x+y−1 3
√
x+y−1
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Частные производные функции нескольких переменных. Частной производной от функции z = f (x; y) по независимой переменной x называется конечный предел отношения частного приращения x
z к приращению данной переменной, при условии, что приращение стремится к нулю x→0
f (x+
x;y)−f (x;y)
x
=
∂z
∂x
= f x
(x; Частной производной от функции z = f (x; y) по независимой переменной y называется конечный предел отношения частного приращения y
z к приращению данной переменной, при условии,
что приращение стремится к нулю y→0
f (x;y+
y)−f (x;y)
y
=
∂z
∂y
= f y
(x; Аналогично определяются частные производные функций любого числа независимых переменных.
Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что остальные переменные – постоянны, то все правила и формулы дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных (см. задачи 8–10).
3.2. Полный дифференциал. Полным дифференциалом функции z = f (x; y) называется главная часть полного приращения, линейная относительно приращений аргументов x и y, те (см. задача 11).
171

Дифференциалы независимых переменных совпадают сих приращениями, те и dy Полный дифференциал функции z = f (x; y) вычисляется по формуле dz =
∂z
∂x dx +
∂z
∂y Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u = f (x; y; z) вычисляется по формуле du =
∂u
∂x dx +
∂u
∂y dy +
∂u
∂z см. задача 12).
3.3. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Частными производными второго порядка от функции) называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка f xx
(x; y);
∂
∂y
∂z
∂x
=
∂
2
z
∂y∂x
= f yx
(x; y);
∂
∂x
∂z
∂y
=
∂
2
z
∂x∂y
= f xy
(x; y);
∂
∂y
∂z
∂y
=
∂
2
z
∂y
2
= f yy
(x; Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например) =
∂
3
z
∂x
3
= f xxx
(x; y);
∂
∂y
(
∂
2
z
∂x
2
) =
∂
3
z
∂y∂x
2
= f yxx
(x; y) и т. д.
Смешанные производные, отличающиеся друг от друга последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны, например
∂
2
z
∂x∂y
=
∂
2
z
∂y∂x
Дифференциалом второго порядка от функции z = f (x; y) называется дифференциал от ее полного дифференциала, те. Дифференциалы третьего и высших порядков определяются аналогично d
3
z = d(d
2
z); или, вообще говоря, d n
z = d(d Если x и y – независимые переменные и функция z = f (x; имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам d
2
z =
∂
2
z
∂x
2
dx
2
+ 2
∂
2
z
∂x∂y dxdy +
∂
2
z
∂y
2
dy
2
;
d
3
z =
∂
3
z
∂x
3
dx
3
+ 3
∂
3
z
∂x
2
∂y dx
3
dy + 3
∂
3
z
∂x∂y
2
+
∂
3
z
∂y
3
dy
3 172

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Найти частные производные первого порядка:
а) z = x
2
− 3xy − 4y
2
− x + 2y + б) z = 2x
2
y + в) z = x
3
+ 2y
2
− 3xy − 4x + 2y + где ж) z = e з) z = x sin (x + и) z = ln sin кл м) u = e xyz
· sin x
y
146. Найти все частные производные второго порядка:
а) z = б) z = x
3
+ y
2
+ в) z где. Найти, если а) z = xy + sin(x + y); б) z = ln tg(x + y).
148. Найти, если а) z = arctg x+y
1−xy
; б) z = sin(x + cos y).
149. Найти, если z =
x
4
−8xy
3
x−2y
150. Найти полный дифференциал первого порядка:
а) z = ln (x +
x
2
+ б = ln (x
2
+ в) z =
x где ж) u = xy + yz + з) u = e xyz
151. Найти d
2
z, если а) z = 0, 5 ln(x
2
+ y
2
); б z = ln(x + y).
152. Найти d
3
z, если z = x ln y.
153. Найти d
3
u, если u = xyz.
§4. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ. Производная по направлению функции двух и трех переменных. Частные производные и представляют собой производные от функции z = f (x; y) по двум частным направлениям осей Ox и Пусть z = f (x; y) – дифференцируемая функция в некоторой области D, M
0
(x
0
; y
0
) ∈ Пусть – некоторое направление, задаваемое единичным вектором, где |−
→
e | = cos
2
α+cos
2
β = 1, ибо α+β =
π
2 173

или cos α, cos β – косинусы углов, образуемых вектором −
→
e с осями координат и называющиеся направляющими косинусами.
Пусть M (x
0
+
x; y
0
+
y) ∈ D – точка в направлении от. Обозначим =
x
2
+
y
2
. Тогда x
ρ
= cos α,
y
ρ
= cos Предел отношения lim
ρ→0
l z
ρ
= lim
ρ→0
z(x
0
+
x; y
0
+
y)−z(x
0
; y
0
)
ρ
=
∂z
∂l
(x
0
; называется производной функции z по направлению Существование этого предела и выражение его через α, cos β вытекает из следующего соотношения z
ρ
=
z(x
0
+
ρ cos α; y
0
+
ρ cos β)−z(x
0
; y
0
+
ρ cos β)
ρ cos α
cos α+
+
z(x
0
; y
0
+
ρ cos β)−z(x
0
; y
0
)
ρ cos β
cos β →
∂z
∂x cos α +
∂z
∂y cos β,
ρ → Таким образом) · cos α +
∂z
∂y
(M
0
) · cos По аналогии со случаем функции двух переменных можно определить производную по направлению для функции трех переменных) в точке M
0
(x
0
; y
0
; z
0
). Формула в этом случае имеет вид) · cos α +
∂u
∂y
(M
0
) · cos β +
∂u
∂z
(M
0
) · cos где cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы направления Замечание. Производная по направлению характеризует скорость изменения заданной функции нескольких переменных в точке в направлении заданного вектора. Градиент функции двух и трех переменных. Градиентом функции z = f (x; y) в точке M
0
(x
0
; y
0
) называется вектор с началом в точке M
0
, координаты которого равны соответствующим частным производными, вычисленным в точке Обозначение grad z =
∂z
∂x
(M
0
);
∂Z
∂y
(M
0
) Аналогично определяется градиент для функции u = f (x, y, трех переменных в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
):
174

grad u =
∂u
∂x
(M
0
) cos α;
∂u
∂y
(M
0
) cos β;
∂u
∂y
(M
0
) cos γ Замечание. Градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Найти производную функции z = x
2
− в точке M (1; 1) в направлении вектора =
1 2
;
√
3 2
155. Найти производную функции z = x
2
− xy + в точке M (1; в направлении вектора = 6
−
→
i + 8
−
→
j .
156. Найти производную функции u = ln(x
2
+ y
2
+ z
2
) в точке (1; 1; 1) в направлении вектора = 2
−
→
i + 4
−
→
j + 4
−
→
k .
157. Найти производную функции u = в точке M (3; 2; 1) в направлении вектора N , где N (5; 4; 2).
158. Найти производную функции u = arcsin(
z
√
x
2
+y
2
) в точке (1; 1; 1) в направлении вектора N , где N (3; 2; 3).
159. Найти производную функции u в направлении = 6
−
→
i + 3
−
→
j − 6
−
→
k в произвольной точке. Найти градиент функции u = x
2
+3xy
2
−z
3
y в точке (−2; 3; Найти величину и
направление градиента функции u в точке M (1; 1; 1).
162. Найти величину и направление градиента функции u = xyz в точке M (2; 1; 1).
163. Определить направление быстрейшего возрастания функции в точке M
0
(1; −1). Вычислить значение производной функции u в этом направлении в точке M