Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
 Скачать 5.93 Mb.
|
|
Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной. Последовательность {a n } называется неубывающей, если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n ≤ a n+1 . Последовательность называется невозрастающей, если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n ≥ a Невозрастающие и неубывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности. Последовательность {a n } называется возрастающей, если для любого n ∈ N выполняется неравенство a n < a n+1 . Последовательность называется убывающей, если для любого n ∈ N 62 выполняется неравенство a n > a Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим названием – строго монотонные последовательности. Последовательность {a n } называется ограниченной сверху, если существует такое число M ∈ R, что любой член последовательности не превышает его, те. для которого a n ≤ M при всех n ∈ N. Последовательность {a n } называется ограниченной снизу, если существует такое число M ∈ R, для которого a n ≥ M для всех n ∈ Последовательность, ограниченная сверху и снизу одновременно, называется ограниченной. Это определение равносильно следующему последовательность {a n } ограничена, если существует такое число M > 0, что для всех n ∈ N справедливо неравенство Последовательность {a n } называется неограниченной, если для любого M > 0 найдется такой ее член {a n }, что |a n | > M. §2. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. Определение предела числовой последовательности. Определение. Число A называется пределом последовательности n }, если для любого положительного числа ε можно подобрать такой номер N (как правило, зависящий от ε), что при всех n > выполняется неравенство | a n − A |< В случае, если последовательность {a n } имеет своим пределом число A, говорят также, что последовательность {a n } сходится (или стремится) к A, и обозначают этот факт так n→∞ a n = или a n → при n → ∞). 63 Если последовательность не имеет предела, то говорят, что она расходится. Иногда удобно использовать геометрическое определение предела последовательности, которое состоит в следующем число называется пределом последовательности {a n }, если в любом интервале с центром в точке A находятся почти все (те. все, кроме конечного числа) члены этой последовательности. Ясно, что чем меньше ε, тем больше число N , нов любом случае внутри окрестности точки a находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее может быть лишь конечное их число. Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел. Определение. Последовательность {a n } называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно подобрать такой номер N, что для всех n > выполняется неравенство | a n |< Другими словами, бесконечно малой последовательностью называется последовательность, стремящаяся к нулю. Бесконечно малые последовательности играют важную роль в теории пределов последовательности. Через них, например, можно сформулировать еще одно определение предела последователь- ности. Определение. Число A называется пределом последовательности, если последовательность {a n − A} является бесконечно малой. Имеют место следующие свойства бесконечно малых последова- тельностей: а) сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей также является бесконечно малой последовательностью; б) произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью в) произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью г) произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью. Операции над пределами числовой последовательности. Алгебраическими композициями последовательностей {a и {b n } называются последовательности {c n } вида n } = {a n + b n }, {c n } = {a n − b n }, {c n } = {a n · b n }, {c n } = a n b Если последовательности {a n } и {b n } сходятся (те. если lim n→∞ a n = A и lim n→∞ b n = B), то. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (соответственно, разности) их пределов n→∞ (a n ± b n ) = lim n→∞ a n ± lim n→∞ b n = A ± B; 2. Предел произведения двух последовательностей равен произведению их пределов n→∞ (a n · b n ) = lim n→∞ a n · lim n→∞ b n = A · В частности: • постоянный множитель можно выносить за знак предела n→∞ (c · a n ) = c · lim n→∞ a n = c · предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела n→∞ (a n ) n = lim n→∞ a n n = A n 3. Если b n = 0 и lim n→∞ b n = 0, то предел частного двух последовательностей равен частному их пределов n→∞ a n b n = lim n→∞ a n lim n→∞ b n = A B 4. Предел корня й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности lim n→∞ k √ a n = k lim n→∞ a n = k √ A. 2.3. Пределы и неравенства. Пусть все члены данной сходящейся последовательности неотрицательны. Тогда ее предел также неотрицателен, т.е. если lim n→∞ a n = и a n ≥ 0 ∀n =⇒ A Пусть каждый член одной сходящейся последовательности больше или равен соответствующему члену другой сходящейся последовательности. Тогда и предел первой последовательности больше или равен пределу второй последовательности: если lim n→∞ a n = A, lim n→∞ b n = и a n ≥ b n ∀n =⇒ A Теорема (о промежуточной переменной. Пусть соответствующие члены трех данных последовательностей {x n }, {y n }, {z удовлетворяют условию x n ≤ y n ≤ z n . Тогда, если последовательности и {z n } сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность {y n } также сходится к этому пределу: если x n ≤ y n ≤ z n ∀n, и lim n→∞ x n = lim n→∞ z n = A =⇒ lim n→∞ y n = A. 2.4. Бесконечно большие последовательности. Определение. Последовательность {a n } называется положительной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа M ∈ найдется такой номер N , что для всех n > N выполняется неравенство Определение. Последовательность {a n } называется отрицательной бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого по модулю отрицательного числа M ∈ R найдется такой номер N , что для всех n > N выполняется неравенство a n < M Про положительную (отрицательную) бесконечно большую последовательность говорят также, что она стремится к плюс бесконечности (стремится к минус бесконечности, и пишут lim n→∞ a n = +∞ (или lim n→∞ a n = Определение. Последовательность {a n } называется бесконечно большой, если последовательность {| a n |} является положительной бесконечно большой. Если последовательность {a n } – бесконечно большая, то говорят также, что она стремится к бесконечности, и пишут lim n→∞ a n = Свойство. Последовательность {a n }, все члены которой отличны от нуля, – бесконечно малая тогда и только тогда, когда последовательность { 1 a n } – бесконечно большая. Признаки существования предела числовой последовательности. Число e. Не всякая последовательность имеет предел. Сформулируем (без доказательства соответствующих теорем) признаки существования предела последовательности. Теорема 1. Возрастающая и ограниченная сверху последовательность имеет предел. Теорема 2. Убывающая и ограниченная снизу последовательность имеет предел. Теорема 3 (Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Эта очень важная в математическом анализе теорема дает достаточные условия существования предела последовательности. Из теоремы Вейерштрасса следует, например, что последовательность площадей правильных угольников, вписанных в окружность единичного радиуса, имеет предел, так как является возрастающей и ограниченной последовательностью. Предел этой последовательности обозначается π (предлагаю доказать это утверждение самостоятельно). В качестве примера на применение последнего признака рассмотрим последовательность x n = 1 + 1 n n , n ∈ N. 67 Данная последовательность монотонная и ограниченная, т. к. выполняется неравенство 2 < 1 + 1 n n < 3 для любого n ∈ докажите самостоятельно или см Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике Полный курс. – М Айрис-пресс, 2004. C.131–132). Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой e: lim n→∞ 1 + 1 n n = Число e называется неперовым числом. Число e – иррациональное, его приближенное значение равно 2, 72 (e ≈ 2, 71828182...). §3. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ» Задача 1. Доказать, что число 1 – предел последовательности, те, что lim n→∞ n+1 n = Решение Согласно определению, надо доказать, что для каждого числа ε найдется номер N такой, что для любого натурального справедливо неравенство | n+1 n − 1 |< ε. Так как 1 |=| 1 n |= 1 n , то неравенство | n+1 n − 1 |< ε равносильно неравенству ε, те. неравенству n > 1 ε . Если взять некоторое натуральное число N , большее числа, например, число [ 1 ε ]+1, то для каждого натурального n, большего этого числа N , выполнено неравенство 1 |= 1 n < 1 N = 1 [1/ε]+1 < 1 [1/ε] = а это означает, что для произвольного числа ε > 0 нашелся номер N такой, что для любого n > N справедливо неравенство 1 |< ε. Следовательно, число 1 является пределом последовательности, те Замечание. В данном примере в качестве N может быть взято одно из чисел вида [ 1 ε ] + k, где k – любое, но фиксированное натуральное число. В самом деле, если N = [ 1 ε ] + k, то для любого n > N имеем | n+1 n − 1 |= 1 n < 1 N = 1 [1/ε]+k < 1 [1/ε] = ε. 68 Напомним, что в определении предела последовательности номер N , вообще говоря, зависит от ε. Так, например, в приведенном примере, если ε ≥ 1, то начиная уже со второго номера каждый член последовательности удовлетворяет условию 1 |= 1 n ≤ 1 2 < 1 Если ε = 1 10 , то начиная с го номера любой член последовательности удовлетворяет условию | n+1 n − 1 |= 1 n ≤ 1 11 < 1 10 = те. Итак далее. Задача 2. Показать, что последовательность x n = 1 n бесконечно малая. Решение: Возьмем произвольное число ε > 0 и решим неравенство. Это неравенство верно для всех n > 1 ε . Положим = 1 ε , тогда для всех натуральных чисел n > N будет выполняться неравенство ε и по определению последовательность x n = 1 n бесконечно малая. Замечание. Если, например, взять ε = 0, 006, тот. е. все члены последовательности с номерами n = 167, 168, ... находятся в интервале (−0, 006; 0, Задача 3. Доказать, что lim n→∞ 3n−1 n+1 = Доказательство Чтобы проверить, является ли число 3 пределом последовательности x n = 3n−1 n+1 , нужно показать, что последовательность бесконечно малая. Поэтому рассмотрим разность 3 = 3n−1−3n−3 n+1 = −4 n+1 = (−4) Поскольку бесконечно малая последовательность, то и последовательность (−4) бесконечно мала. Значит n→∞ 3n−1 n+1 = Задача 4. Доказать, что последовательность с общим членом x n = n−1 n является возрастающей. Доказательство: Рассмотрим разность двух произвольных и последовательно расположенных членов последовательности x n+1 − x n = (n+1)−1 n+1 − n−1 n = n 2 −n 2 +1 n(n+1) = 1 n(n+1) > Таким образом, при любом натуральном n справедливо неравенство, и, следовательно, данная последовательность является возрастающей. Задача 5. Доказать, что последовательность x n = −(n + является убывающей. Доказательство: Рассмотрим частное двух произвольных и последовательно расположенных членов последовательности n+1 x n = −(1+(n+1)) −(n+1) = −n−2 −n−1 = n+2 n+1 = 1 + 1 n+1 > Так как все члены последовательности отрицательны, то при любом натуральном n из неравенства x n+1 x n > 1 получаем, что x n+1 < x n . Следовательно, данная последовательность является убывающей. Задача 6. Исследовать на монотонность последовательность с общим членом x Решение Рассмотрим разность двух произвольных и последовательно расположенных членов последовательности n+1 − x n = 2(n+1)+1 (n+1)+2 − 2n+1 n+2 = (2n+3)(n+2)−(n+3)(2n+1) (n+3)(n+2) = = 2n 2 +4n+3n+6−2n 2 −n−6n−3 (n+3)(n+2) = 3 (n+3)(n+2) > Так как x n+1 − x n > 0 при любом n ∈ N, те, то данная последовательность является возрастающей. Задача 7. Исследовать на монотонность последовательность x n = √ n + 1 Решение Рассмотрим частное x n+1 x n . Имеем x n+1 x n = √ (n+1)+1− √ n+1 √ n+1− √ n = √ n+2− √ n+1 √ n+1− √ n = = ( √ n+2− √ n+1)( √ n+2+ √ n+1)( √ n+1+ √ n) ( √ n+1− √ n)( √ n+1+ √ n)( √ n+2+ √ n+1) = √ n+1+ √ n √ n+2+ √ n+1 < 1. 70 Так как все члены последовательности положительны, то при любом n ∈ N из неравенства x n+1 x n < 1 получаем, что x n+1 < x n , n ∈ N. Следовательно, данная последовательность убываю- щая. Задача 8. Доказать, что последовательность с общим членом является ограниченной. Доказательство: Так как x n = n−2 n+1 = n+1−3 n+1 = 1 − 3 n+1 < те при любом натуральном n, то последовательность n } ограничена сверху. Рассмотрим разность x n − x n+1 = n−2 n+1 − n−1 n+2 = −3 (n+1)(n+2) < 0, т. е. при любом натуральном справедливо неравенство x n < x n+1 . Поэтому x 1 = − 1 2 – наименьший член этой последовательности. Таким образом, для любого натурального n справедливо неравенство x n ≥ − 1 2 , те. последовательность {x n } является ограниченной снизу. Итак, последовательность {x n } ограничена сверху и снизу, поэтому она является ограниченной последова- тельностью. Задача 9. Доказать, что последовательность x n = 3n − 7 не является сходящейся. Доказательство: Докажем, что данная последовательность не является ограниченной. Пусть C – произвольное положительное число. Тогда для любого натурального n, большего числа = [C]+8 3 , имеем 3n − 7 > 3 · [C]+8 3 − 7 > C + 7 − 7 = C. Это означает, что данная последовательность не является ограниченной сверху и, значит, не является ограниченной, а следовательно, не является сходящейся. Задача 10. Найти lim n→∞ 2n+3 Решение Так как каждая из последовательностей {2n + 3} и − 4} не является сходящейся, то применять правило о пределе частного нельзя. Разделив числитель и знаменатель дробина, получим 3n−4 = 2+ 3 n 3− 4 n . Пользуясь операциями над пределами последовательностей, имеем lim n→∞ 2n+3 3n−4 = lim n→∞ 2+ 3 n 3− 4 n = lim n→∞ (2+ 3 n ) lim n→∞ (3− 4 n ) = lim n→∞ 2+ lim n→∞ 3 n lim n→∞ 3− lim n→∞ 4 n = 2+0 3−0 = 2 Задача 11. Найти lim Решение Поделим числитель и знаменатель дробина старшую степень n (необходимо выбрать из двух вариантов √ n 3 и √ n), те. на. Тогда lim n→∞ √ n 3 √ n+1 = lim n→∞ 1 √ n √ n3 + 1 √ n3 = lim n→∞ 1 1 n2 + 1 √ n3 = lim n→∞ 1 1 n + 1 √ n3 = Данный результат обусловлен тем, что оба слагаемых в знаменателе последней дробите и, – бесконечно малые последовательности, следовательно, вся эта дробь – бесконечно большая последовательность. Задача 12. Найти lim n→∞ 2 n +n 2 Решение Поскольку 3 n > 2 n > n 3 > n 2 , начиная с некоторого номера, и lim n→∞ ( 2 3 ) n = 0, lim n→∞ n 2 3 n = 0, lim n→∞ n 3 3 n = 0, то имеем lim n→∞ 2 n +n 2 3 n +n 3 = lim n→∞ 2n 3n + n2 3n 1+ n3 3n = lim n→∞ ( 2n 3n + n2 3n ) lim n→∞ (1+ n3 3n ) = Задача 13. Найти lim Решение Имеем lim n→∞ ( n+2 n+1 ) 2n = lim n→∞ (1 + 1 n+1 ) 2n = lim n→∞ ((1 + 1 n+1 ) n+1 ) 1 n+1 ·(2n) = = e lim n→∞ 1 n+1 ·2n = ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Написать первые четыре члена последовательности, если: а) a n = 7; б) a n = 5n−1 n+1 ; в) a n = (−1) n n ; где ж) a 1 = −1, a n = −n · a n−1 ; з) a 1 = 2, a 2 = −3, a n = |a n−1 − 2 · a n−2 | − 1. 72 43. Используя определение, доказать, что следующие последовательности являются бесконечно малыми а) a б) a n = 1 √ n ; в) a n = 1 n 2 +2 44. Доказать, что последовательности a n – бесконечно малые, и для каждого ε найти такой номер N , что для всех n > N справедливо неравенство | a n |< ε, если 1) {a n } = { 1 2·n }, а) ε = 1 б) ε = 1 10 ; в) ε = 0, 015; 2) {a n } = { 1 n 3 +1 }, а) ε = 0, 1; б) ε = 0, в) ε = 0, 001. 45. Какие из следующих последовательностей монотонные, а какие строго монотонные а) a n = 2n + 1; б) a n = 1 n 2 ; в) a n = [ √ n] . 46. Какие из следующих последовательностей ограничены сверху ограничены снизу ограничены а) 2, 4, 6, 8, ....; б) −1, −4, −9, −16, ..; в 3 , 1 3 2 , 1 3 3 , ...; где. Доказать, что следующие последовательности ограничены: а) a n = 3n 2 −1 n 2 +1 ; б) a n = √ n 2 + 1 − n; в) a n = ln(n + 1) − ln г) a n = a n−2 +a n−1 2 , a 1 = 2, a 2 = 5. 48. Какие из следующих последовательностей ограничены: а) a n = − √ 3 2n ; б) a n |