Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
 Скачать 5.93 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Ф.М. ДОСТОЕВСКОГО Ю.Г. Углирж МАТЕМАТИКА Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью» Омск 2013 УДК 51 ББК 22.1я73 У Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом ОмГУ Рецензенты доктор экономмических наук, доц. И.П. Геращенко кандидат физико-математических наук С.А. Агалаков У 253 Углирж, Ю.Г. Математика: учебное пособие (для студентов I курса факультета международного бизнеса, обучающихся по направлению подготовки 031600 «Реклама и связи с общественностью»)/ ЮГ. Углирж – Омск Изд-во Ом. гос. унта, 2013. – 272 с 978-5-7779-1546-7 В пособии рассматриваются вопросы курса математики, посвященные разделу математического анализа одной и нескольких переменных. Основные положения теоретического материала, изложенные кратко, но с необходимыми обоснованиями, сопровождаются типовыми задачами с решениями, а также задачами для самостоятельной работы. Книга может стать удобным самоучителем для студентов, что позволит самостоятельно освоить программу курса, а также быстро и эффективно подготовиться к экзаменационной сессии. Материал излагается последовательно, от простого к сложному. Подготовлено в соответствии с Федеральным стандартом ВПО. Для организации самостоятельной работы и подготовки к практическим занятиям студентов I курса очной формы обучения факультета международного бизнеса, обучающихся по направлению подготовки 031600 «Реклама и связи с общественностью». УДК 51 ББК я 978-5-7779-1546-7 c Углирж ЮГ, 2013 c ФГБОУ ВПО ОмГУ им. Ф.М. Достоевского, 2013 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 1. Введение в курс высшей математики . . . . . . . . . . 7 §1. Элементы теории чисел. Основные понятия . . . . . . . . . . . . 7 §2. Элементы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 §3. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 §4. Математическая индукция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 §5. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 §6. Функция одной независимой переменной . . . . . . . . . . . . . . Глава 2. Последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 §1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 §2. Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §3. Задачи по теме Последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 3. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 §1. Два определения предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 §2. Предел функции на бесконечности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 §3. Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §4. Бесконечно большие и бесконечно малые функции . . . . 78 §5. Операции над пределами функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 §6. Признаки существования пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 §7. Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 §8. Задача о непрерывном начислении процентов . . . . . . . . . 85 §9. Задачи по теме Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 §10. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 §11. Свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 §12. Задачи по теме Непрерывность функции . . . . . . . . . Глава 4. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 §1. Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 §2. Основные формулы и правила дифференцирования . . 106 §3. Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 §4. Специальные способы дифференцирования . . . . . . . . . . 110 §5. Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 §6. Задачи по теме Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3 §7. Экономический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 §8. Эластичность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 §9. Задачи по теме Экономический смысл производной Глава 5. Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 §1. Понятие дифференциала функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 §2. Геометрический смысли свойства дифференциала . . . 135 §3. Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 §4. Дифференциал и приближенные вычисления . . . . . . . . 138 §5. Задачи по теме Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 6. Производная и исследование функций . . . . . . 141 §1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях . 141 §2. Задачи по теме Правила Лопиталя» . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 §3. Исследование функций и построение графиков . . . . . . . 144 §4. Задачи по теме Исследование функций . . . . . . . . . . . . Глава 7. Функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . 167 §1. Область определения. Линии и поверхности уровня . . 167 §2. Непрерывность функции двух переменных . . . . . . . . . . . 169 §3. Дифференциал функции нескольких переменных . . . . 171 §4. Производная по направлению. Градиент. . . . . . . . . . . . . . . 173 §5. Исследование функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . 176 §6. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 §7. Задачи линейного программирования . . . . . . . . . . . . . . . . 188 §8. Задачи по теме Функции нескольких переменных . Глава 8. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 §1. Понятие неопределенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 §2. Основные свойства неопределенного интеграла . . . . . . . 209 §3. Таблица простейших неопределенных интегралов . . . . 209 §4. Основные способы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 §5. Задачи по теме Способы интегрирования . . . . . . . . . . Глава 9. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 §1. Понятие определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 §2. Основные свойства определенного интеграла . . . . . . . . . 233 §3. Геометрический смысл определенного интеграла . . . . . 234 §4. Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 4 §5. Правила вычисления определенных интегралов . . . . . . 237 §6. Задачи по теме Определенный интеграл . . . . . . . . . . . 238 §7. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 §8. Исследование несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . Глава 10. Приложения определенного интеграла . . . . . . 251 §1. Геометрические задачи на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 §2. Геометрические задачи в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . 253 §3. Задачи по теме Определенный интеграл . . . . . . . . . . . Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 5 ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие полностью соответствует тематическому плану проведения практических занятий и дает возможность организовать самостоятельную подготовку студентов. В его основу положены требования Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 031600 Реклама и связи с общественностью (квалификация (степень) Бакалавр, утвержденного 29.03.2010 г. приказом Известно, что новый материал усваивается студентами значительно легче, если сопровождается достаточно большим числом иллюстрирующих его примеров. Излагаемые достаточно кратко, но с необходимыми обоснованиями основные положения теоретического материала сопровождаются задачами, приведенными с решениями, и для самостоятельной работы. Там, где это возможно, раскрываются геометрический и экономический смысл математических понятий, рассматриваются простейшие приложения высшей математики в экономике (эластичность функций, производственные функции и т.п.). Курс рассчитан на один семестр в объеме 54 часов (18 часов лекции, 36 часов – лабораторные занятия. За этот период в кратком, но достаточном объеме студентам предстоит изучить такие разделы математики, как математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и нескольких переменных, теория вероятностей и математическая статистика. В данном учебном пособии размещен материал, относящийся к разделу курса математического анализа. Актуальность пособия заключается в том, что существует необходимость в создании единого учебника, в котором были бы изложены все указанные выше разделы, чтобы облегчить студенту поиск необходимого материала ВВЕДЕНИЕ В КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Цифры - знаки для обозначения чисел (от арабского as-sir пустое место). Числа (один, два, три и т.п.), используемые при счете, называются натуральными. Наименьшим натуральным числом является, а наибольшего натурального числа не существует если выбрать даже очень большое натуральное число n, то можно найти всегда еще большее натуральное число n + Число, которое можно представить в виде разности натуральных чисел, называется целым числом. Другими словами, целые числа – числа вида ±n, где n – натуральное число или нуль. Простое число – целое положительное число, большее единицы, не имеющее других делителей, кроме самого себя и единицы. Наименьшим простым числом является 2. Натуральное число, не являющееся простым, называется составным числом. Взаимно простые числа – целые числа, не имеющие общи простых делителей. Основная теорема математики. Всякое натуральное число n, большее единицы, можно разложить в произведение простых чисел n = p 1 ·p 2 ·. . .·p s . Это разложение единственно, с точностью до порядка следования сомножителей. Замечание 1. В записи n = p 1 · p 2 · . . . · p могут встречаться одинаковые простые числа, которые удобно собирать в степени. В результате получается разложение n = p k 1 1 · p k 2 2 · . . . · p k m m , 7 где p 1 , p 2 , . . . , p m – уже различные простые множители. Показатель указывает, сколько раз простой множитель p встречался в разложении. Замечание 2. Количество натуральных делителей числа записанного в канонической форме, равно (k 1 + 1) · (k 2 + 1) · . . . · (k m + Два числа, сумма которых равна нулю, называются противоположными числами. Два числа, произведение которых равно называются обратными или взаимно обратными числами. Дробь арифметическая – число, составленное из целого числа долей единицы. Дробь изображается символом m n , где m – числитель дроби – показывает число взятых долей единицы, разделенной настолько долей, сколько показывает (знаменует) знаменатель. Если m делится нацело на n, то частное m n обозначает целое число. В случае, когда это не так, частное m n является дробным числом. Если числитель меньше знаменателя, то дробь меньше единицы и называется правильной. Если числитель равен знаменателю, дробь равна 1. Если числитель больше знаменателя, дробь больше единицы. В обоих последних случаях дробь называется неправильной. Число, содержащее целую и дробную части, называется сме- шанным. Десятичной дробью называется дробь, знаменатель которой есть степень числа 10. Такую дробь пишут без знаменателя, например или 1000 = 0, Десятичная дробь, у которой можно посчитать количество знаков после запятой, называется конечной десятичной дробью. В случае невозможности такого подсчета имеют бесконечную десятичную дробь. Среди бесконечных десятичных дробей выделяют бесконечные периодические и бесконечные непериодические дроби (рис. Рис. Рациональное число - число, которое может быть представлено в виде дроби m n , где m – целое число, n – натуральное число и n – взаимно простые целые числа, причем n = Бесконечная непериодическая десятичная дробь называется иррациональным числом. Иррациональное число невозможно представить в виде Действительное число – любое положительное число, отрицательное число или нуль. Говорят, что целое число m делится на натуральное число нацело, обозначение m . n), если найдется такое целое число что m = n · k. В этом случае число n называют делителем числа m, а число m – кратным числу Делимость и арифметические операции. Пусть a и b – целые числа, n – натуральное число. Если a и b делятся на n, то a + b, a − b, a · b делятся на Следствие. Если одно из чисел (a или b) делятся на n, а второе число не делится на n, тоне делятся на n. 9 2. Если a, b – натуральные числа, p – простое число и a · b делится на p, то либо a, либо b делится на p. 3. Если число a · b делится на натуральное число c, но b и c не имеют общих делителей, отличных от 1 (как говорят b и c взаимно просты, то a делится на Наибольшим общим делителем (НОД) чисел a 1 , a 2 , . . . , a называется наибольшее натуральное число, на которое делятся данные числа. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a 1 , a 2 , . . . , a n – наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из этих чисел Четное число – целое число, делящееся без остатка на 2. Всякое четное число можно представить в виде 2m, где m – целое число. Нечетное число – целое число, не делящееся на 2. Всякое нечетное число можно представить в виде 2m − 1 или 2m + 1, где m – целое число. Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данного. Целая часть числа x обозначается Разность между данным числом и его целой частью называется дробной частью числа и обозначается {x}. Очевидно свойство x = [x] + Для действительных чисел a 1 , a 2 , . . . , a средней величиной называется всякое число удовлетворяющее неравенствам min{a 1 , a 2 , . . . , a n } ≤ a ≤ max{a 1 , a 2 , . . . , a Среднее арифметическое чисел a 1 , a 2 , . . . , a вычисляется по формуле M 1 = a 1 +a 2 +...+a Среднее геометрическое неотрицательных чисел a 1 , a 2 , . . . , a вычисляется по формуле M 2 = n √ a 1 · a 2 · . . . · a n Замечание. Среднее арифметическое нескольких чисел a 1 , a 2 , . . . , a не меньше среднего геометрического этих чисел, т. е n n ≥ n √ a 1 · a 2 · . . . · a Среднее гармоническое чисел a 1 , a 2 , . . . , a вычисляется по формуле Среднее квадратичное неотрицательных чисел a 1 , a 2 , . . . , a вычисляется по формуле M 4 = a 2 1 +a 2 2 +...+a 2 n Правила округления чисел. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя из сохраняемых цифр усиливается на единицу. Усиление совершается и тогда, когда первая из отбрасываемых цифр равна, аза ней есть одна или несколько значащих цифры. Если первая из отбрасываемых цифр меньше чем 5, то усиления не делается 3. Если отбрасываемая цифра 5, аза ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, те. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и усиливается, если она нечетная. Абсолютная и относительная погрешности Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее). Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Докажите, что для любого простого числа p, p > 3, число p 2 − делится на 24. 2. Определить, при каких целых значениях n дробь 8n+3 сокра- тима. 3. Найти все натуральные числа m и n, такие, что 4m 2 − n 2 = те. найти все решения данного уравнения в натуральных числах. Найдите все пятизначные числа вида 71X1Y (X, Y – неизвестные цифры, делящиеся на 45. 5. Проверьте, что число 19 19 + 92 делится на 111. 6. Существует ли десятизначное число, делящееся на 11, в котором каждая цифра встречается по одному разу. Выяснить, имеет ли уравнение x 2 − xy − 2y 2 = 12 решение в целых числах. Докажите, что уравнение x 2 + y 2 = 3(xy + 1) не имеет решений в целых числах §2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Множество есть многое, мыслимое как единое Г. Кантор. Основные понятия и определения. Понятие множества одно из первичных и, следовательно, неопределяемых понятий математики понятие множества столь общее, что трудно дать ему какое-нибудь определение, которое бы не сводилось к замене слова множества равнозначными выражениями совокупность, собрание элементов и т.д. Так, например, в математическом энциклопедическом словаре под редакцией Ю.В. Прохорова записано множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов, называемых его элементами, обладающими общим для всех них характеристическим свойством. В качестве примера можно рассмотреть множество студентов вашей группы, множество корней того или иного уравнения, множество точек данной плоскости и т.д. Как уже было сказано ранее, элементы множества – это то, из чего оно состоит. Например, числа 2 и 3 есть элементы множества корней уравнения x 2 −5x+6 = 0, а прямая y = 2x, проходящая через начало координат, есть элемент множества всех прямых плоскости, проходящих через начало координат. Обычно множества обозначают большими буквами A, B, X, N, . . ., а их элементы соответствующими маленькими буквами a, b, x, n, . . В частности, приняты следующие обозначения для числовых множеств – множество натуральных чисел – множество целых чисел – множество рациональных чисел – множество иррациональных чисел – множество действительных чисел Если a – элемент множества A, то пишут a ∈ A (читается: элемент a принадлежит множеству A). Запись a / ∈ A (или означает, что a не является элементом множества A. Например ∈ N , 1 4 ∈N Множество считается заданным, если относительно любого объекта можно установить, является ли он элементом данного множества или нет Рассмотрим способы, которыми может быть задано множество. Если множество состоит из конечного числа элементов, то оно может быть задано: а) перечислением всех своих элементов, при этом порядок расположения элементов несущественен. Например, множество A положительных делителей числа 8 можно задать так A = {1; 2; 4; или A = {2; 4; 1; б) указанием отличительных свойств, которые выделяют элементы множества из элементов уже более широкого основного множества например, A = x ∈ R x 2 − 5x + 6 = означает, что множество A состоит из тех элементов x множества действительных чисел, для которых справедливо равенство x 2 − 5x + 6 = Очевидно, что перечислить бесконечное число элементов невозможно, поэтому для заданных бесконечных множеств используется только второй способ. Например, C = {x ∈ R |0 < x < 10 } есть множество решений неравенства 0 < x < Может случиться, что ни один элемент не обладает отличительным свойством, определяющим множество A. Например, не существует ни одного натурального числа меньше, чем 2 . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Если все элементы множества A являются и элементами множества, то множество A называется подмножеством множества, или говорят, что множество A содержится в множестве и записывают это так A ⊂ B или B ⊃ A. Например, множество всех натуральных чисел N есть подмножество целых чисел N ⊂ Z. 14 Из определения следует, что само множество также является своим подмножеством, те. всегда A ⊂ Полагают также, что пустое множество является подмножеством любого множества A: ⊂ A для любого множества В самом деле, так как пустое множество не содержит ни одного элемента, тов нем нет и элементов, которые бы не принадлежали множеству Если A ⊂ B и B ⊂ A, то множества A и B называют равными и обозначают A = B. Например, множество A всех корней уравнения и множество B всех натуральных чисел меньше 2 , равны A = B = При решении задач очень часто приходится иметь дело с множествами, элементами которого являются числа. Такие множества называют числовыми, все они являются подмножествами основного множества действительных чисел. Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси. Координатная прямая – это всякая прямая, на которой выбраны направление, принимаемое за положительное, точка – начало отсчета и единица измерения – масштабный отрезок, длина которого принимается равной единице. Координатная прямая обычно изображается горизонтально, положительное направление указывается стрелкой, начало отсчета обозначается (риса. Точка O разбивает координатную прямую на два луча, один из которых имеет положительное направление и называется положительным лучом, другой – отрицательным. Число, изображением которого на координатной прямой является точка M , называется координатой точки M . Координата начальной точки O равна нулю. Координата любой точки M , лежащей на положительной луче OE, равна длине отрезка OM : x = на рис. б координата точки M равна 2, 5). Если же точка M лежит на отрицательном луче, ее координата равна длине отрезка , но взятой со знаком минус x = −OM (на рис. в координата точки M равна −1). Вся координатная прямая обозначается Рис. Неравенства между действительными числами на координатной прямой получают простое истолкование. Если x 1 < x 2 , то точка с координатой лежит левее точки с координатой Расстояние между двумя точками и координатной прямой равно абсолютной величине разности их координат и x 2 : M 1 M 2 = |x 1 − x 2 | (или M 1 M 2 = |x 2 − Пусть a и b – действительные числа, причем a < b. Введем определения и обозначения числовых множеств, называемых числовыми промежутками, и изобразим их на координатной плоскости (см. табл. 2). 2.2. Операции надмножествами объединение, пересечение, дополнение. Рассмотрим основное множество E, задаваемое некоторым свойством. Природа элементов множества безразлична. Без ограничения общности будем считать, что множества, которые мы будем рассматривать в определениях данного пункта, являются подмножествами множества напомним, что каждое подмножество основного множества выделяется некоторым отличительным свойством. Например, в качестве основного множества E можно рассматривать множество всех действительных чисел, а в качестве A, B, C, X, . . . – любые числовые множества. Пусть A и B – произвольные множества. Объединением множеств и B называется множество A ∪ B, которое состоит из тех 17 и только тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A или Пересечением множеств A и B называется множество A которое состоит из тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит и множеству A и множеству Пример 1. A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5}. Тогда ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}, A ∩ B = {1, 3, Пример 2. A = [−1; 1], B = (0; 4). Тогда A ∪ B = [−1; 4), A ∩ B = (0; Аналогично определяется объединение и пересечение любого числа множеств. Например, объединение A ∪ B ∪ C ∪ D есть множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A, B, C или D, а пересечение A ∩ B ∩ C есть множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно всем множествами Ниже приведены рисунки (рис. 3 а–г ), на которых для Рис. наглядности проиллюстрированы операции объединения и пересечения надмножествами множество E условимся изображать в виде прямоугольника, а его подмножества A, B, C, . . . – в виде кругов. Идея изображения множеств посредством кругов принадлежит Л. Эйлеру (1707–1783 гг.). Многие задачи и доказательства утверждений легко решаются сих помощью. Далее приведена таблица свойств действий над множествами. Замечание. Можно заметить, что объединение и пересечение множеств обладают свойствами, аналогичными свойствам суммы и произведения чисел. Например, A ∪ B = B ∪ A и a + b = b + a, A ∩ B = B ∩ A и a · b = b · a, (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B и (a + b) · c = a · c + b · c и т.д. Однако эта аналогия иногда не выполняется. Например, A ∩ A = A и A ∪ A = A для любого множества, а соответствующие равенства для чисел неверны. Разностью между множествами A и B называется множество \ B, которое состоит из тех и только тех элементов множества, которые не содержатся в множестве B (см. рис. 4 а). Разностью между множеством E и содержащимся в нем подмножеством обычно называется дополнением A в E и обозначается (см. рис. 4 б Рис. Из определения следует, что A ∩ A = , A ∪ A = E, A = для любого множества A ⊂ E. Для любых двух подмножеств A и основного множества E справедливы равенства A ∪ B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪ B, которые называются законами де Моргана. Конечные множества. Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов. Пусть A – некоторое конечное множество. Обозначим через m(A) количество элементов в множестве Если конечное множество A представимо в виде объединения непересекающихся множеств A 1 , A 2 , . . . , те. при i = j, i, j = 1, . . . , l и A = A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A l ), то m(A) = m(A 1 ) + m(A 2 ) + . . . + Для любых двух конечных множеств A и B справедливо равенство В самом деле, пусть множества A и B не пересекаются, те ∩ B = , m(A ∩ B) = 0. Тогда их объединение получается в результате добавления элементов одного множества к элементам другого. Следовательно, m(A ∪ B) = m(A) + Если же A ∩ B = , то число общих элементов у множеств и B равно m(A ∩ B). Объединение множеств A и B получается путем добавления к элементам множества A всех элементов множества B, которые не входят в множество A. Число таких элементов равно m(B) − m(A ∩ B). Поэтому m(A ∪ B) = = m(A) + [m(B) − m(A ∩ B)] = m(A) + m(B) − m(A Пример 3. В группе 30 студентов. Известно, что 18 из них имеют спортивный разряд по лыжам, а 16 – по плаванию. Десять студентов не имеют разряда ни по плаванию, ни по лыжам. |