Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
 Скачать 5.93 Mb.
|
|
, проведенная в точке с абсциссой x = 1? 116. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе y = x 2 − 3x + 5, проведенная в точке M (2; 3)? Написать уравнение этой касательной. Составить уравнения касательной и нормали к заданной кривой в указанной точке а) y = e x , x 0 = 0; б) y = sin x, в) y = x 3 , x 0 = −2; г+ y 2 = 4, M 0 (1; √ 3); д) y = 2x − x 2 , в точках пересечения с осью Ox; е) x = t 2 , y = t 3 , t 0 = 2. 118. Составить уравнения касательной и нормали к кривой x 2 + 2xy 2 + 3y 4 = 6 в точке M (1; −1). 119. В какой точке касательная к кривой y = ln x параллельна прямой а) y = 2x + б) y = x + √ 3? 120. В какой точке касательная к параболе y = −x 2 + 4x − 6 наклонена коси абсцисс под углом а) б) 45 o ? 121. Найти угол между кривой y = x − и прямой y = 5x. 122. Найти угол между кривыми аи б) y = sin x и y = cos x, ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ» Найти производные заданных функций. Вариант 1 1) y = 2x 5 − 4 x 3 + 1 x + 3 √ x; 2) y = 3 √ 3x 4 + 2x − 5 + 4 (x−2) 5 ; 3) y = sin 3 2x + cos 8x 5 ; 4) y = arcctg 2 5x + ln(x − 4); 119 5) y = tg 4 3x · arcsin 2x 3 ; 6) y = (x − 3) 4 · arccos 5x 3 ; 7) y = 2x+1 2x−1 · log 2 (x − 3x 2 ); 8) y = log 5 (3x−7) ctg 7x 3 ; 9) y = 9 arctg(x+7) (x−1) 2 ; 10) y = e arccos3 x √ x+5 ; 11) y = (arccos(x + 2)) tg x ; 12) y Вариант 2 1) y = 3 x + 5 √ x 2 + 2 x 4 + 2 √ x; 2) y = 3 (x − 3) 4 + 3 2x 3 −3x+1 ; 3) y = cos 5 3x + tg (4x + 1) 3 ; 4) y = arctg 3 2x + ln(x + 5); 5) y = (x − 2) 4 · arcsin 5x 4 ; 6) y = (3x − 4) 3 · arccos 3x 2 ; 7) y = 3 2x−5 2x+3 · lg (4x + 7); 8) y = (x−4) 2 e arcctg x ; 9) y = ln(5x−3) 4 tg 3x 4 ; 10) y = 8 arctg(2x+3) (x+1) 3 ; 11) y = (arcsin 2x) ctg(x+1) ;12) y Вариант 3 1) y = 3x 4 + 3 √ x 5 − 2 x − 4 x 2 ; 2) y = 3 (x − 4) 5 + 5 2x 2 +4x−1 ; 3) y = tg 4 x + arcsin 4x 5 ; 4) y = arccos 4 x + ln(x 2 + x − 1); 5) y = 2 −x 3 · arctg 7x 4 ; 6) y = sin 3 4x · arcsin 3x 2 ; 7) y = 4 x+3 x−3 · ln (5x 2 − 2x + 1); 8) y = e − ctg 5x 3x 2 −4x+2 ; 9) y = ln(7x+2) 5 cos 42x ; 10) y = 7 arccos(4x−1) (x+2) 4 ;11) y = (arctg(x + 7)) cos 2x ;12) y Вариант 4 1) y = 7 √ x − 2 x 5 − 3x 3 + 4 x ; 2) y = 8 √ 7x 2 − 3x + 5 + 5 (x−1) 3 ; 3) y = arcsin 3 2x + ctg 7x 4 ; 4) y = √ arccos 2x + 3 −x ; 5) y = (x + 6) 6 · arcctg 3x 5 ; 6) y = tg 2 √ x · arcctg 3x 2 ; 7) y = 5 x+1 x−1 · log 3 (x 2 + x + 4); 8) y = e ctg x 3x 2 −4x+2 ; 9) y = sin 3 5x ln(2x−3) ; 10) y = 6 arcsin(x+5) (x−2) 5 ; 11) y = (arcctg(3x − 3)) sin 4x ; 12) y = (x+3)· 5 √ (x−2) 3 (x+1) 7 120 Вариант 5 1) y = 7x + 5 x 2 − 7 √ x 4 + 6 x ; 2) y = 4 √ 3x 2 − x + 5 + 3 (x−5) 4 ; 3) y = ctg 3x + arccos 3x 2 ; 4) y = tg 4 3x + arctg 7x 2 ; 5) y = 3 cos x · ln (x 2 − 3x + 7); 6) y = ctg 3 5x · arcsin 3x 2 ; 7) y = 6 7x−4 7x+4 · log 5 (3x 2 + 2x); 8) y = √ 7x 3 −5x+2 e cos x ; 9) y = cos 2 3x lg(3x−4) ; 10) y = 3 arcctg(2x−5) (x+1) 4 ; 11) y = (ctg(3x − 2)) arcsin 5x ; 12) y Вариант 6 1) y = 5x 2 − 3 √ x 4 + 4 x 3 − 5 x ; 2) y = √ 3x 4 − 2x 3 + x + 4 (x+2) 3 ; 3) y = arccos 2 4x + ln(x − 3); 4) y = 5 −x 2 + arcsin 3x 3 ; 5) y = log 2 (x − 7) · arctg √ x; 6) y = cos 1 x · arctg (7x + 2); 7) y = 7 2x−3 2x+1 · lg (7x − 10); 8) y = e tg 3x √ 3x 2 −3x+4 ; 9) y = tg 3 2x lg(5x+1) ; 10) y = 2 arctg(3x+2) (x−3) 2 ; 11) y = (tg(4x − 3)) arccos 2x ; 12) y = (x−1) 4 ·(x+2) 5 Вариант 7 1) y = 3x 5 − 3 x − √ x 3 + 10 x 5 ; 2) y = 3 (x − 7) 5 + 5 4x 2 +3x−5 ; 3) y = ln 5 x + arctg 7x 4 ; 4) y = arctg 5 x + log 2 (x − 3); 5) y = arccos 3 5x · tg x 4 ; 6) y = cos 3 4x · arccos 4x 2 ; 7) y = 8 5x+1 5x−1 · ln (3x − x 2 ); 8) y = e sin x (x−5) 7 ; 9) y = log 3 (4x+5) 2 ctg √ x ; 10) y = 4 arccos(3x) (x+2) 5 ; 11) y = (cos(2x − 5)) arctg 5x ; 12) y Вариант 8 1) y = 3 √ x 7 + 3 x − 4x 6 + 4 x 5 ; 2) y = 5 (x + 4) 6 + 2 2x 2 −3x+7 ; 3) y = arctg 3 4x + 3 sin x ; 4) y = log 3 (x + 5) + arccos 3x; 5) y = (x − 5) 7 · arcctg 7x 3 ; 6) y = sin 3 3x · arcctg 5x 2 ; 121 7) y = 9 x+3 x−3 · log 5 (2x − 3); 8) y = 3 √ 2x 2 −3x+1 e −x ; 9) y = ln(7x−3) 3 tg 2 4x ; 10) y = arcsin(3x+8) (x−7) 3 ;11) y = (sin(7x + 4)) arcctg x ;12) y Вариант 9 1) y = 8x 2 + 3 √ x 4 − 4 x − 2 x 3 ; 2) y = 3 (x−4) 7 − √ 5x 2 − 4x + 3; 3) y = 2 cos x + arcctg 5x 3 ; 4) y = e −x + arcsin 2 5x; 5) y = arccos x 2 · ctg 7x 3 ; 6) y = tg 5 3x · arcsin √ x; 7) y = 6x+5 6x−5 · lg (4x + 7); 8) y = √ x 3 +4x−5 e x2 ; 9) y = lg(11x+3) cos 2 5x ; 10) y = 7 arctg(4x+1) (x−4) 2 ; 11) y = (arcsin 2x) ln(x+3) ; 13) y Вариант 10 1) y = 4x 6 + 5 x − 3 √ x 7 − 7 x 4 ; 2) y = 3 √ 4x 2 − 3x − 4 + 3 (x−3) 5 ; 3) y = 4 −x + ln 5 (x + 2); 4) y = log 4 (x − 1) + arcsin 4 x; 5) y = 5 −x 2 · arccos 5x 4 ; 6) y = ctg 2 (x + 1) · arccos 1 x ; 7) y = 3 4x−1 4x+1 · ln (2x 3 − 3); 8) y = e ctg 5x (x+4) 3 ; 9) y = ctg 2 5x ln(7x−2) ; 10) y = 3 arcsin(2x−7) (x+2) 4 ; 11) y = (arccos 3x) lg(5x−1) ; 12) y = (x+2)·(x−7) 4 Вариант 11 1) y = 2 √ x 3 − 7 x + 3x 2 − 2 x 5 ; 2) y = 7 (x−1) 3 − √ 8x − 3 + x 2 ; 3) y = 3 tg x + arcsin 7x 4 ; 4) y = 3 x 2 +tg x − x 3 ; 5) y = arctg 4 x · cos 7x 4 ; 6) y = sin 4 2x · arccos x 2 ; 7) y = 4 x+6 x−6 · sin (3x 2 + 1); 8) y = √ 3+2x−x 2 e x ; 9) y = tg 2 x−2 lg (x+5) ; 10) y = 2 lg(4x+5) (x+6) 4 ; 11) y = (arctg 5x) log 2 (x+4) ; 12) y Вариант 12 1) y = 4x 3 − 3 x − 5 √ x 2 + 6 x 2 ; 2) y = 5 √ 3x 2 + 4x − 5 + 4 (x−4) 4 ; 3) y = 5 x 2 + arccos 2x 5 ; 4) y = 2 x 5 +ctg x − x 9 ; 122 5) y = 4(x − 7) 6 · arcsin 3x 5 ; 6) y = cos 3 (3x + 2) · arctg 3x; 7) y = 5 x−7 x+7 · cos (2x 3 + x); 8) y = e 3x √ 3x 2 −4x−7 ; 9) y = sin 3 (5x+1) lg(3x−2) ; 10) y = 5 ln(5x+7) (x−7) 2 ; 11) y = (arctg 7x) lg(x+1) ; 12) y Вариант 13 1) y = 5x 3 − 8 x 2 + 4 √ x + 1 x ; 2) y = 3 √ 5x 4 − 2x − 1 + 8 (x−5) 2 ; 3) y = sin 4 3x + arctg 2x 3 ; 4) y = e − cos x + arctg 7x 5 ; 5) y = (x + 5) 2 · arccos 3 5x; 6) y = tg 3 4x · arcctg 3x 4 ; 7) y = 6 x−9 x+9 · tg (3x 2 − 4x + 1); 8) y = e − sin 2x (x+5) 4 ; 9) y = cos 4 (7x−1) lg(x+5) ; 10) y = 4 log 3 (3x+1) (x+1) 2 ; 11) y = (log 4 (2x − 5)) arcsin x ; 12) y Вариант 14 1) y = 8 x 3 + 3 √ x 4 − 2 x − 1 x 4 ; 2) y = 3 (x+2) 5 − 7 √ 5x − 7x 2 − 3; 3) y = cos 3 4x + arcctg √ x; 4) y = arctg 3 3x + x 7 + 1; 5) y = 2 − sin x · arcsin 3 2x; 6) y = ctg 4 7x · arcsin √ x; 7) y = 7 x−4 x+4 · ctg (2x + 5); 8) y = e cos 5x √ x 2 −5x−2 ; 9) y = sin 3 (4x+3) ln(7x+1) ; 10) y = 7 log 4 (2x−5) (x−1) 5 ; 11) y = (log 5 (3x + 2)) arccos x ; 13) y Вариант 15 1) y = 4 x 5 − 9 x + 5 √ x 2 − 7x 2 ; 2) y = 4 (x − 1) 5 − 4 7x 2 −3x+2 ; 3) y = tg 3 2x + arcsin x 5 ; 4) y = 2 sin x + arcctg x 4 ; 5) y = (x + 2) 7 · arccos √ x; 6) y = sin 3 2x · arcsin 7x 2 ; 7) y = 8 x−2 x+2 · sin (4x 2 − 7x + 2); 8) y = (2x+5) 2 e tg x ; 9) y = ctg 3 (2x−3) log 3 (x+2) ; 10) y = ln(7x+2) (x−6) 4 ; 11) y = (lg(6x + 5)) arcsin 2x ; 12) y = 4 √ x−8·(x+2) 6 (x−1) 5 123 Вариант 16 1) y = 8 x 3 + 3 x − 4 √ x 3 + 2x 7 ; 2) y = 5 (x − 2) 6 + 3 7x 3 −x 2 −4 ; 3) y = ctg 7 x + arccos 2x 3 ; 4) y = 3 −x 3 + arctg 2x 5 ; 5) y = (x − 7) 5 · arcsin 7x 4 ; 6) y = tg 5 4x · arccos 3x 4 ; 7) y = 9 x−3 x+3 · cos (x 2 − 3x + 2); 8) y = e − tg 3x 4x 2 −3x+5 ; 9) y = lg 3 x sin 5x 2 ; 10) y = 4 ln(3x+7) (x+1) 7 ; 11) y = (ln (5x − 4)) arcctg x ; 12) y Вариант 17 1) y = 5x 2 + 4 x − 3 √ x 7 − 2x 6 ; 2) y = 3 (x+4) 2 − 3 √ 4 + 3x − x 4 ; 3) y = e −sin x + tg 7x 6 ; 4) y = 3 cos x + arcsin 2 3x; 5) y = ln (x − 3) · arccos 3x 4 ; 6) y = cos 2 5x · arctg √ x; 7) y = 3x−2 3x+2 · tg (2x 2 − 9); 8) y = e − sin 4x (2x−5) 6 ; 9) y = ln 2 (x+1) cos 3x 4 ; 10) y = 5 log 2 (x 2 +1) (x−3) 4 ; 11) y = (log 2 (6x + 5)) arcsin 2x ; 12) y Вариант 18 1) y = 10x 2 + 3 √ x 5 − 4 x − 5 x 4 ; 2) y = 2 (x−1) 3 − 8 6x 2 +3x−7 ; 3) y = e cos x + ctg 8x 3 ; 4) y = ln (x − 10) + arccos 2 4x; 5) y = log 2 (x − 4) · arctg 3 4x; 6) y = ctg 4 2x · arctg x 3 ; 7) y = 2x+3 2x−3 · ctg (3x 2 + 5); 8) y = 3x 2 −5x+10 e −x4 ; 9) y = log 2 (7x−5) tg √ x ; 10) y = 6 log 3 (2x+9) (x+4) 2 ;11) y = (lg (4x − 3)) arccos 4x ;12) y Вариант 19 1) y = √ x 5 − 3 x + 4 x 3 − 3x 3 ; 2) y = √ 1 + 5x − 2x 2 + 3 (x−3) 4 ; 3) y = cos 5 x + arccos 4x; 4) y = lg (x − 2) + arcsin 5 2x; 5) y = (x − 7) 4 · arcctg 2 7x; 6) y = sin 4 5x · arccos 3x 2 ; 7) y = 4 x+5 x−5 · sin (3x 2 − x + 4); 8) y = e −x (2x 2 −x+4) 2 ; 9) y = log 3 (4x−2) ctg 2x ; 10) y = 3 log 2 (5x−4) (x−3) 5 ; 11) y = (ln (7x − 3)) arctg 5x ; 12) y = √ x 2 +2x−3 (x+3) 7 ·(x−4) 2 124 Вариант 20 1) y = 9x 3 + 5 x − 7 x 4 + 3 √ x 7 ; 2) y = 3 √ 5 + 4x − x 2 − 5 (x+1) 3 ; 3) y = sin 3 7x + arcctg 5x 2 ; 4) y = log 3 (x + 1) + arctg 5 7x; 5) y = 3 √ x − 3 · arccos 4 2x; 6) y = cos 3 9x · arctg (5x − 1); 7) y = 5 x−6 x+6 · cos (7x + 2); 8) y = e 4x (3x+5) 3 ; 9) y = ln 3 (x−5) tg 1 x ; 10) y = 7 log 5 (x 2 +x) (x+3) 3 ; 11) y = (log 5 (2x + 5)) arctg x ; 12) y Вариант 21 1) y = 3 √ x + 4 x 5 + 3 √ x 2 − 7 x ; 2) y = 4 √ 5x 2 − 4x + 1 − 7 (x−5) 2 ; 3) y = sin 2 3x + arcctg 3x 5 ; 4) y = ln (x + 9) + arcctg 3 2x; 5) y = 3 (x + 3) 5 · arcsin 2x 3 ; 6) y = tg 4 x · arcctg 1 x ; 7) y = 9 x−7 x+7 · arcsin (2x + 3); 8) y = e ctg 5x (3x−5) 4 ; 9) y = lg(x+1) sin 2x 5 ; 10) y = 9 log 7 (2x 3 +5) (x−3) 5 ; 11) y = (ln(x + 7)) ctg 2x ; 12) y = (x+4) 3 ·(x−2) 4 Вариант 22 1) y = √ x 3 + 2 x − 4 x 5 − 5x 2 ; 2) y = 5 √ 3 − 7x + x 2 − 4 (x−7) 5 ; 3) y = cos 5 √ x + arctg x 4 ; 4) y = lg (x + 2) + arcsin 2 3x; 5) y = (x − 3) 5 · arccos 3x 6 ; 6) y = ctg 3 4x · arcsin (3x + 1); 7) y = 7 x x+8 · arccos (3x − 5); 8) y = (2x−4) 7 e −2x ; 9) y = tg 3 7x ln(3x+2) ; 10) y = 2 ln (3x−19) (x+5) 7 ; 11) y = (ctg(7x + 4)) √ x+3 ; 12) y = (x−1) 6 ·(x+2) 3 Вариант 23 1) y = 7x 2 + 3 x − 5 √ x 4 + 8 x 3 ; 2) y = (x − 3) 7 + 9 7x 2 −5x−8 ; 3) y = tg 6 2x + cos 7x 2 ; 4) y = 4 − sin x + arctg 3x; 5) y = (x − 3) 5 · arcsin 2x 3 ; 6) y = cos 2 5x · arctg x 4 ; 7) y = 8 x−4 x+4 · arctg (5x + 1); 8) y = (3x+1) 4 e 4x ; 9) y = ctg √ x−2 lg(3x+5) ; 10) y = 8 lg (4x+5) (x−1) 5 ; 11) y = (cos(x + 5)) arcsin 3x ; 12) y = (x−1) 4 ·(x−7) 2 3 √ (x+2) 5 125 Вариант 24 1) y = 8x 3 − 4 x − 7 x 4 + 7 √ x 2 ; 2) y = 3 (x − 8) 4 + 2 1+3x−4x 2 ; 3) y = ctg 3 4x + arcsin √ x; 4) y = 2 cos x + arcctg 3 x; 5) y = 3 (x + 1) 2 · arccos 3x; 6) y = tg 4 7x · arccos x 3 ; 7) y = 9 x−1 x+1 · arcctg (7x + 2); 8) y = 5x 2 +4x−2 e −x ; 9) y = tg (3x−5) ln 2 (x+3) ; 10) y = 2 log 3 (4x−7) (x+3) 4 ; 11) y = ( √ x + 5) arccos 3x ; 12) y Вариант 25 1) y = 8x − 5 x 4 + 1 x − 5 √ x 4 ; 2) y = 3 4x−3x 2 +1 − (x + 1) 5 ; 3) y = ctg 1 x + arccos x 4 ; 4) y = lg (x − 3) + arcsin 2 6x; 5) y = tg 3 x · arcctg 3x; 6) y = ctg 4x 5 · arccos 2x; 7) y = 7x−4 7x+4 · arcsin (x 2 + 1); 8) y = √ 5x 2 −x+1 e 3x ; 9) y = cos 2 x lg(x 2 −2x+1) ; 10) y = 3 log 4 (2x+9) (x−7) 2 ; 11) y = (tg 3x 4 ) sin √ x+3 ; 12) y Вариант 26 1) y = 4 √ x 3 − 5 x + 4 x 5 + 3x; 2) y = 3 x−4 − 6 (2x 2 − 3x + 1) 5 ; 3) y = tg √ x + arcctg 3x 5 ; 4) y = log 2 (x + 3) + arccos 2 x; 5) y = (x − 2) 3 · arctg (7x − 1); 6) y = ctg 3x · arcsin 4 2x; 7) y = 3 8x−3 8x+3 · arccos (x 2 − 5); 8) y = e −x2 (2x−5) 7 ; 9) y = log 2 (3x+7) tg 3x ; 10) y = 4 lg(x 2 +2x) (x+8) 2 ; 11) y = (ctg 2x 3 ) sin √ x ; 12) y Вариант 27 1) y = 4x 3 + 3 x − 3 √ x 5 − 2 x 4 ; 2) y = 4 (x−7) 3 − 3 (3x 2 − x + 1) 4 ; 3) y = tg 3 2x + arccos 2x 3 ; 4) y = 2 −x + arctg 3 4x; 5) y = 5 (x + 4) 2 · arcsin 7x 2 ; 6) y = tg 5 3x · arcctg √ x; 7) y = 4 2x−5 2x+5 · arctg (3x + 2); 8) y = e cos 3x (2x+4) 5 ; 9) y = ln 3 x ctg (x−3) ; 10) y = 3 ln(x 2 +5) (x−7) 3 ; 11) y = (tg 7x 5 ) √ x+2 ; 12) y = 5 √ (x−2) 3 ·(x−1) 3 (x+3) 4 126 Вариант 28 1) y = 4x 5 − 5 x − √ x 3 + 2 x 2 ; 2) y = (x − 4) 7 + 10 3x 2 −5x+1 ; 3) y = 2 tg x + arctg 5 3x; 4) y = ln (x − 4) + arcctg 4 3x; 5) y = arcsin 3 4x · ctg 3x; 6) y = sin 4 3x · arccos 5x 4 ; 7) y = 5 3x−4 3x+4 · arcctg (2x + 5); 8) y = e sin 5x (3x−2) 2 ; 9) y = tg 4 5x ln(x+7) ; 10) y = 4 log 2 (3x−5) (x−2) 2 ; 11) y = (arccos x) √ cos x ; 12) ) y Вариант 29 1) y = 7 x + 4 x 3 − 5 √ x 3 − 2x 6 ; 2) y = 7 (x+2) 5 − √ 8 − 5x + 2x 2 ; 3) y = sin 5 3x + arctg √ x; 4) y = lg (x + 3) + arcctg 2 5x; 5) y = e − cos x · arcsin 2x; 6) y = ctg 2 4x · arcsin x 3 ; 7) y = 6 x 2 −1 x 2 +1 · arcsin (2x); 8) y = √ x 2 −3x−7 e −x3 ; 9) y = log 3 (x+4) cos 5 x ; 10) y = 2 ln(2x 2 +3) (x−7) 4 ; 11) y = (ln (7x + 4)) tg x ; 12) y Вариант 30 1) y = 6 x 4 − 3 x + 3x 2 − √ x 7 ; 2) y = 3 (x − 3) 5 + 5 2x 2 −4x+7 ; 3) y = cos 4 3x + arcsin 3x 2 ; 4) y = log 5 (x + 1) + arctg 2 x 3 ; 5) y = (x + 5) 3 · arccos 4 x; 6) y = tg 3 5x · arcctg (2x − 5); 7) y = 7 x 2 +3 x 2 −3 · arccos (4x); 8) y = e − tg x 4x 2 +7x−5 ; 9) y = tg 4 3x lg(x 2 −x+4) ; 10) y = 4 lg(3x+7) (x−5) 3 ; 11) y = (lg (8x + 3)) tg 5x ; 12) y = 5 √ (x+2) 3 (x−1) 4 ·(x−3) 5 §7. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Рассмотрим два примера, иллюстрирующих экономический смысл производной. Пример 1. Пусть функция g = g(t) выражает количество произведенной продукции g за время t. Найдем производительность труда в момент времени t = За период от до t 0 + t количество произведенной продукции от g(t 0 ) до значения g(t 0 + t). Тогда средняя производительность труда за период времени t будет рассчитываться по формуле z = g(t 0 + t)−g(t 0 ) t . Очевидно, что производительность труда в момент времени можно определить как предельное значение средней производительности прите Сопоставив это выражение с lim x→0 y x = lim x→0 f (x 0 + x)−f (определением производной функции, приходим к заключению, что производительность труда есть производная от функции количества произведенной продукции по времени. Пример 2. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть x – прирост продукции, тогда y – приращение издержек производства и y x – среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная y = lim x→0 y выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продук- ции. Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются непостоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т. п. Аналогичным образом могут быть определены и другие предельные величины предельная выручка, предельный доход, предельная полезность, предельная производи- тельность. Замечание. Понятие предельных издержек может быть использовано при определении оптимального для производителя выпуска продукции при известной ее цене. Пусть при производстве x единиц продукции издержки составляют) денежных единиц. При увеличении выпуска продукции на x единиц издержки производства вырастут на денежных единица стоимость реализованной продукции по цене p на p · x денежных единиц. Очевидно, что увеличивать производство продукции экономически оправдано, если y ≤ p Точно также сокращать выпуск продукции на величину x имеет смысл, когда снижение издержек y не менее, чем снижение стоимости p x, те. Приведенным неравенствам одновременно удовлетворяет значение y x = p. Если x мало по сравнению с x, а теоретически при x → 0, тот. е. оптимальный для производителя выпуск продукции такой, при котором предельные издержки равны ее цене. Геометрически оптимальный выпуск продукции находится параллельным перемещением прямой с угловым коэффициентом p до тех пор, пока эта прямая не станет касательной к кривой издержек y = f (x) в точке Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины, а процесс, изменение экономического объ- екта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) повремени или относительно другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей повремени (например, годовых, квартальных, месячных и т. д. Вместе стем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины. ЭЛАСТИЧНОСТЬ ФУНКЦИИ Для исследования различных экономических процессов и решения других прикладных задач часто применяется понятие эластичности функции. Определение. Эластичностью функции E x (y) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при x → 0: E x (y) = lim x→0 y y : x x = x y · lim x→0 y x = x y · y Эластичность функции показывает приближенно, насколько процентов изменится функция y = f (x) при изменении независимой переменной на Выясним геометрический смысл эластичности функции. По определению E x (y) = x y · y = x y · tg α – тангенс угла наклона касательной в точке M (x; y) (см. рис. 20). Учитывая, что из треугольника, а из подобия треугольников BN и AM C M N M C = M B M A , получим E x (y) = M B M A , те. эластичность функции (по абсолютной величине) равна отношению расстояний по касательной отданной точки графика функции до точек ее пересечения с осями Ox и Oy. Если точки пересечения касательной к графику функции Аи В находятся по одну сторону от точки М, то эластичность E x (y) – положительна (рис. 20 если по разные стороны, то E x (y) – отрицательна (рис. 20 б Рис. 20 130 Отметим основные свойства эластичности. Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп изменения функции T y = (ln y) = y y , те. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций) = E x (u) + E x (v), E x u v = E x (u) − E x (v). 3. Эластичности взаимнообратных функций – взаимно обратные величины) Эластичность функций применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса y относительно цены (или дохода x) – коэффициент, определяемый по формуле) = x y · y и показывающий приближенно, насколько процентов изменится спрос (объем потребления) при изменении цены (или дохода) на Если эластичность спроса (по абсолютной величине) |E x (y)| > то спрос считают эластичным, если |E x (y)| < 1 – неэластичным относительно цены (или дохода. Если |E x (y)| = 1, то говорят о спросе с единичной эластичностью. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ» Задача 1. Объем продукции, произведенной бригадой рабочих за восьмичасовую смену, описывается уравнением g = −100e −0,15t + 100 единиц продукции, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость ее изменения вначале ив конце рабочего дня. Решение: Производительность труда и скорость ее изменения вычисляются по формулам z = dg dt = 15e −0,15t , q = d 2 g dt 2 = −2, Вначале рабочего дня производительность труда бригады и скорость ее изменения составляли = 15e 0 = 15 ед./ч, q = −2, 25e 0 = −2, 25 ед./ч 2 В конце рабочего дня производительность труда бригады и скорость ее изменения приобретут следующие значения = 15e −0,15·8 = 4, 5 ед./ч, q = −2, 25e −0,15·8 = −6, 8 ед./ч 2 Задача 2. Зависимость между издержками производства y и объемом выпускаемой продукции выражается функцией y = 50x − 0, 05x 3 (ден. ед. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед. Решение: Функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением y cp = y x = 50 − 0, 05x 2 . При x = 10 средние издержки (на единицу продукции) равны y cp (10) = 50 − 0, 05 · 10 2 = 45 (ден. ед. Функция предельных издержек выражается производной y (x) = 50 − 0, 15x 2 . При x = 10 предельные издержки составят y (10) = 50 − 0, 15 · 10 2 = 35 (ден. ед. Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют ден. ед, то предельные издержки, те. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции приданном уровне производства (объеме выпускаемой продукции ед) составят 35 ден. ед. Задача 3. Зависимость между себестоимостью единицы продукции (тыс. руби выпуском продукции x (млрд руб) выражается функцией y = −0, 5x + 80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн руб. Решение: Из заданного по условию задачи соотношения имеем y = −0, 5x + 80. Тогда y(x + x) = −0, 5(x + x) + 80 и, следовательно. По определению эластичности следует) = lim ∆x→0 ∆y y : ∆x x = lim ∆x→0 −0,5∆x −0,5x+80 : ∆x x = = lim ∆x→0 −0,5∆x −0,5x+80 · x ∆x = −0,5x −0,5x+80 = x x−160 132 Прите. при выпуске продукции, равном 60 млн руб, увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0, ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Объем продукции u, произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u = 5 6 t 3 + 15 2 t 2 + 100t + 50 (ед, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания. Опытным путем установлены функции спроса q и предложения s = p + 0, 5, где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p – цена товара. Найти а) равновесную цену, те. цену, при которой спроси предложение уравновешиваются б) эластичность спроса и предложения для этой цены в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной. Как связаны предельные и средние полные затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1? 133 ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ Пусть функция y = f (x) имеет в точке x отличную от нуля производную lim x → 0 y x = f (x) = 0. Тогда по теореме о связи функции ее предела и бесконечно малой функции можно записать y x = f (x) + α, где α → 0 при x → 0, или y = f (x) · x + α Таким образом, приращение функции y представляет собой сумму двух слагаемых f (x)· x и α· x, являющихся бесконечно малыми при x → При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка малости с x, так как lim x → 0 f (x)· x x = f (x) = а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем x: lim x → 0 α· x x = lim x → 0 α = 0. Поэтому слагаемое f (x)· x называют главной частью приращения функции Определение. Дифференциалом функции y = f (x) в точке x называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается или df (x)): dy = f (x) Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной x, т. е. дифференциал функции y = x. 134 Так как y = x = 1, то, согласно формуле (4), имеем dy = dx = x · x, те. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = x. Поэтому формулу) можно записать так = f (x) Другими словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной (см. задачи 1, Из формулы (5) следует равенство dy dx = f (x). Таким образом, обозначение производной dy dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛИ СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛА Геометрически приращение y функции f (x) в точке x есть приращение ординаты точки на кривой ( y) (см. риса дифференциал функции в этой точке – приращение ординаты соответствующей точки на касательной (Рис. 21 135 Пусть u(x) и v(x) – некоторые функции, дифференцируемые в точке x. Тогда) d(Cu) = C · du, где C ∈ R; 2) d(u ± v) = du ± dv; 3) d(u · v) = udv + vdu; 4) d u v = vdu−udv v 2 , где v(x) = Проведем, например, доказательство для формулы 3. По определению дифференциала (см. стр. 135) имеем · v) = (u · v) dx = (u v + uv )dx = v · u dx + u · v dx = = vdu + udv = udv + Аналогичные рассуждения можно провести и для остальных утверждений, сформулированных для дифференциала функции. Т а блица Таблица дифференциалов элементарных функций dC = 0, где C ∈ R d(tg u) = 1 cos 2 u du d(u α ) = α · u α−1 du d(ctg u) = − 1 sin 2 u du d(a u ) = a u · ln a · du d(arcsin u) = 1 √ 1−u 2 du d(e u ) = e u · du d(arccos u) = − 1 √ 1−u 2 du d(log a u) = 1 u·ln a · du d(arctg u) = 1 1+u 2 du d(ln u) = 1 u · du d(ch u) = sh u du d(sin u) = cos u du d(th u) = 1 ch 2 u du d(cos u) = − sin u du d(cth u) = − 1 sh 2 u du 136 §3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть функция y = f (x) дифференцируема на интервале (a; а ее аргумент x – независимая переменная. Тогда ее дифференциал первого порядка dy = f (x) dx (или первый дифференциал) есть также функция переменной Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от функции y = f (x) называется дифференциал от дифференциала первого порядка функции f (x). Обозначение d 2 y (или d 2 f (По определению ясно, что d 2 y = d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции y = f (x). Так как dx = x не зависит от x, то при дифференцировании считаем dx постоянным, те (возможна запись Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких порядков d 3 y = d(d 2 y), d 4 y = d(d 3 y), ... (см. задача 3). В общем случае дифференциалом го порядка от функции f (x) называется дифференциал от дифференциала (n − го порядка функции f (x): d n y = d(d n−1 y), те или d n y = f (n) (x)dx n ). Отсюда следует, что f (n) (x) = d n y dx Замечание. Рассматривая выше y = f (x) как функцию независимой переменной x, было получено. что dy = f (x) Рассмотрим функцию y = f (u), где аргумент u = ϕ(x) сам является функцией от x, те. сложную функцию y = f (Если y = f (u) и u = ϕ(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции (см. раздел) равна y = f (u) · u . Тогда дифференциал функции dy = f (x)dx = f (u) · u dx = f (u)du, так как u dx = du. Итак = f (Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной x рассматривать функцию от зависимой переменной u (свойство инвариантности (неизменности) формы §4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ Если приращение x аргумента x близко к нулю (те. достаточно мало, то приращение y функции приближенно равно ее дифференциалу, те, где y = f (x + x) − f (x) и dy = f (x) · x. Следовательно, f (x + x) − f (x) ≈ f (x) или f (x + x) ≈ f (x) + f (x) Последняя формула удобна для приближенного вычисления значения функции f (x) в точке x + x по известному значению этой функции и ее производной в точке x (см. задача С помощью дифференциала может быть решена задача определения абсолютной и относительной погрешностей функции по заданной погрешности нахождения (измерения) аргумента. Пусть необходимо вычислить значение данной функции y = f (x) при некотором значении аргумента x 1 , истинная величина которого неизвестна, а известно лишь его приближенное значение с абсолютной погрешностью |∆x| = |x − x 1 |. Если вместо истинного значения f (x 1 ) возьмем величину f (x), то мы допустим ошибку, равную (x) − f (x 1 )| = |∆y| ≈ dy = f (При этом относительная погрешность функции δ y = ∆y может быть вычислена (при достаточно малых ∆x) по формуле y ≈ dy y = f (x)∆x f (x) = xf (x) f (x) · ∆x или δ y = |E x (y)| · где E x (y) – эластичность функции (по абсолютной величине x – относительная погрешность нахождения (измерения) аргумента x. §5. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ДИФФЕРЕНЦИАЛ» Задача 1. Вычислить приращение и дифференциал функции y = 3x 2 − x при x = 1 и x = 0, 01. 138 Решение = 3 · (x + x) 2 − (x + x) − 3x 2 + x = = (6x − 1) x + 3( x) 2 = 5 · 0, 01 + 3 · (0, 01) 2 = 0, 0503; dy = y · x = (6x − 1) x = 5 · 0, 01 = 0, Задача 2. Вычислить дифференциал функции y = 3x 2 − sin(1 + 2x) при x = 0, dx = 0, Решение По формуле, полученной ранее, находим dy = (3x 2 − sin(1 + 2x)) dx = (6x − 2 cos(1 + Подставим x = 0, dx = 0,1 и получим dy x=0 dx=0,1 = (6 · 0 − 2 cos(1 + 2 · 0)) · 0,1 = −2 cos 1 · 0, 1 ≈ Задача 3. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции y = (2x − Решение dy = 3 · (2x − 3) 2 · 2dx = 6 · (2x − 3) 2 dx; d 2 y = 12 · (2x − 3) · 2dx 2 = 24 · (2x − 3)dx 2 ; d 3 y = 24 · 2 · 2dx 3 = 48 · Задача 4. Вычислить приближенное значение а, б) arcsin 0, 51; в) tg 46 Решение а) В качестве x возьмем число, наиболее близкое к 16,64, но чтобы был известен при этом x должно быть достаточно малым. Очевидно, следует взять x = 16, x = 0, Тогда имеем, 64 = 4 √ 16 + 0, 64 ≈ √ 16 + 1 4· 4 √ 16 3 · 0, 64 = 2 + 1 4·8 · 0, 64 = = 2 + 0, 02 = 2, б) Рассмотрим функцию y = arcsin x. При x = 0, 5, x = 0, применяя формулу arcsin(x + x) ≈ arcsin x + (arcsin x) получаем arcsin 0,51 ≈ arcsin 0,5 + 1 √ 1−(0,5) 2 · 0,01 ≈ π 6 + 0,011 ≈ 0, в) Учитывая, что tg 46 0 = tg(45 0 + 1 0 ) = tg π 4 + π 180 , возьмем x и ∆x = π 180 . Тогда tg 46 0 = tg π 4 + π 180 ≈ tg π 4 + 1 cos 2 π 4 · π 180 ≈ ≈ 1 + π 90 ≈ 1 + 0, 0349 = 1, 0349. 139 Задача 5. Расход бензина автомобиля y (л) на 100 км пути в зависимости от скорости x (км/ч) описывается функцией y = 18 − 0, 3x + 0, 003x 2 . Оценить относительную погрешность вычисления расхода бензина при скорости x = 90 (км/ч), определенной с точностью до Решение Найдем эластичность функции (по абсолютной величине (При x = 90 |E x=90 (y)| = 1, 41. Тогда относительная погрешность вычисления равна δ y = 1, 41 · 5 = 7, Задача 6. С какой точностью может быть вычислен объем шара, если его радиус измерен с точностью до Решение Объем шара радиуса x равен f (x) = 4 3 πx 3 . Найдем f (x) = 4πx 2 , |E x (f )| = x·f (x) f (x) = x·4πx 2 4 3 πx 3 = 3, и по формуле относительной погрешности имеем δ y = 3 · δ x = 3 · 2 = ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Найти дифференциалы функций а) y = x 2 √ 49 − x 2 + 49 2 arcsin б) y = 1 12 ln в) y = 2 ln ch г) y = arctg e 2x 126. Найти dy, d 2 y, d 3 y, если y = x(ln x − 1). 127. Найти d 2 y, если y = ln (x + √ x 2 + 4). 128. Сравнить приращение и дифференциал функции y = 1 x 129. Вычислить приращение ( y) и дифференциал (dy) для функции при x = 3 и x = 0, 01. 130. Найти приближенное значение: а) arctg 1, б) ln tg 47 в, 8. 140 6 ПРОИЗВОДНАЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ §1. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ Рассмотрим несколько важных теорем, которые имеют большое значение в вопросе изучения функции. Некоторые из этих теорем имеют еще и большое прикладное значение. Теоремы о среднем. Теорема (Ролля). Если функция f (x) непрерывна на отрезке b], дифференцируема на интервале (a; b) и на концах отрезка принимает равные значения f (a) = f (b), то найдется хотя бы одна точка c ∈ (a; b), в которой производная f (x) обращается в нуль, т. е. f (c) = Теорема (Лагранжа. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале (a; b). Тогда на интервале) найдется такая c, что f (b) − f (a) = f (c)(b − Теорема (Коши. Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b] и дифференцируемы на интервале (a; b), причем g (x) = 0 для всех x ∈ (a; b). Тогда найдется такая точка c на этом интервале, что f (b)−f (a) g(b)−g(a) = f (c) g (c) 2. Правила Лопиталя. Первое правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида [ 0 Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке, т. е. f (x 0 ) = g(x 0 ) = 0. Пусть g (x) = 0 в окрестности точки x 0 . Если существует предел lim x→x 0 f (x) g (x) = A, то lim x→x 0 f (x) g(x) = lim x→x 0 f (x) g (x) = Второе правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида [ ∞ ∞ ]. 141 Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки кроме, быть может, точки x 0 ). Пусть в этой окрестности lim x→x 0 f (x) = lim x→x 0 g(x) = ∞, g (x) = 0. Если существует предел lim x→x 0 f (x) g (x) , то lim x→x 0 f (x) g(x) = lim x→x 0 f (x) g (см. задачи. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ» Задача 1. Пользуясь правилами Лопиталя найти а) lim x→1 x−1 x ln б) lim x→0 1−cos 6x 2x 2 ; в) lim x→ π 2 tg 3x tg Решение а) lim x→1 x−1 x ln x = [ 0 0 ] = lim x→1 (x−1) (x ln x) = lim x→1 1 ln x+1 = б) lim x→0 1−cos 6x 2x 2 = [ 0 0 ] = lim x→0 6 sin 6x 4x = [ 0 0 ] = 3 2 lim x→0 6 cos 6x 1 = в) lim x→ π 2 tg 3x tg 5x = [ ∞ ∞ ] = lim x→ π 2 3·cos 2 5x 5·cos 2 3x = 3 5 lim x→ π 2 1+cos 10x 1+cos 6x = [ 0 0 ] = = 3 5 lim x→ π 2 −10 sin 10x −6 sin 6x = lim x→ π 2 sin 10x sin 6x = [ 0 0 ] = lim x→ π 2 10 cos 10x 6 cos 6x = 5 Задача 2. Используя правила Лопиталя, найти пределы следующих выражений: а) lim x→ π 2 x ctg x − π 2 cos x = [∞ − ∞] = lim x→ π 2 x sin x cos x − π 2 cos x = = lim x→ π 2 2x sin x−π 2 cos x = 0 0 = lim x→ π 2 (2x sin x−π) (2 cos x) = lim x→ π 2 2(sin x+x cos x) −2 sin x = б) lim x→1 (1−x)·tg πx 2 = [0·∞] = lim x→1 1−x ctg πx 2 = 0 0 = lim x→1 −1 − 1 sin2 πx 2 · π 2 = = lim x→1 2 sin 2 в) lim x→0 (e x + x) 1 x = Решение Обозначим выражение, стоящее под знаком предела, через y = (e x +x) 1 x и прологарифмируем обе части этого равенства по основанию e. После получения равенства ln y = 1 x ln(e x + перейдем к пределам в левой и правой его частях x→0 ln y = lim x→0 1 x · ln(e x + x) = [∞ · 0] = lim x→0 ln(e x +x) x = 0 0 = 142 = lim x→0 (ln(e x +x)) x = lim x→0 e x +1 e x +x = Следовательно, lim x→0 ln y = 2. Так как y = ln y – функция непрерывная, то можно поменять местами знаки логарифма и предела. Получим равенство ln lim x→0 y = 2. Потенцируя это равенство, получаем ответ задачи, а именно lim x→0 y = lim x→0 (e x + x) 1 x = г) lim x→0 (ctg x) 2 ln x = Решение Введем обозначение y = (ctg x) 2 ln x . Прологарифмируем обе части этого равенства по основанию e: ln y = 2 ln x · ln ctg Проведем необходимые вычисления и преобразования x→0 ln y = lim x→0 2 ln x · ln ctg x = [0 · ∞] = 2 lim x→0 ln ctg x ln x = ∞ ∞ = = 2 lim x→0 (ln ctg x) (ln x) = 2 lim x→0 (− cosec 2 x)x ctg x = −2 lim x→0 x·sin x sin 2 x·cos x = = −2 lim x→0 x sin x · 1 cos x = Для получения окончательного ответа перейдем к равенству lim x→0 ln y = −2, из которого следует lim x→0 y = lim x→0 (ctg x) 2 ln x = д) lim x→0 x 1 ln(ex−1) = [0 Решение Для устранения неопределенности такого вида делаем замену y = x 1 ln(ex−1) , из которой можно получить равенство ln y = = 1 ln(e x −1) · ln Далее проведем необходимые преобразования и вычисления x→0 ln y = lim x→0 1 ln(e x −1) · ln x = [0 · ∞] = lim x→0 ln x ln(e x −1) = ∞ ∞ = = lim x→0 (ln x) (ln(e x −1)) = lim x→0 1·(e x −1) x·e x = 0 0 = lim x→0 (e x −1) (x·e x ) = = lim x→0 e x e x +xe x = Проводя заключительные преобразования, получаем lim x→0 ln y = = 1, затем ln lim x→0 y = 1 и окончательно lim x→0 y = lim x→0 x 1 ln(ex−1) = e. 143 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Найти пределы следующих функций. lim x→1 x 3 −3x 2 +2 x 3 −4x 2 +3 2. lim x→0 e x −e −x ln(1+x) 3. lim x→∞ π−2 arctg x e 3 x −1 2. lim x→0 2−(e x +e −x ) cos x x 4 5. lim x→0 e x −3x−1 sin 2 5x 6. lim x→0 sin 3x−3xe x +3x 2 arctg x−sin x− x3 6 7. lim x→a ln(x−a) ln(e x −e a ) 8. lim x→∞ ln x x n , n > 0. 9. lim x→0 ln x 1+2 ln sin x 10. lim x→1 tg( πx 2 ) ln(1−x) 11. lim x→1 ln(x−1) ctg πx §3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ. Возрастание и убывание функции. Экстремум функ- ции. Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции. Напомним, что понятия возрастание и убывание функции были сформулированы в данном пособии ранее (см. глава 1, §3). Установим необходимые и достаточные условия монотонности функции применительно к производной данной функции. Необходимые условия возрастания функции. Если дифференцируемая на промежутке (a; b) функция y = f (x) возрастает, то f (x) ≥ 0 для всех x ∈ (a; Необходимые условия убывания функции. Если дифференцируемая на промежутке (a; b) функция y = f (x) убывает, то f (x) ≤ 0 для всех x ∈ (a; Достаточное условие возрастания функции. Если производная дифференцируемой функции y = f (x) положительна на некотором промежутке (a; b) или в конечном числе точек этого промежутка равна нулю, то данная функция возрастает на промежутке Достаточное условие убывания функции. Если производная дифференцируемой функции y = f (x) отрицательна на некотором промежутке (a; b) или в конечном числе точек этого промежутка равна нулю, то данная функция убывает на промежутке (a; Определение. Точка называется точкой локального максимума функции y = f (x), если существует такая окрестность точки, что для всех x из этой окрестности f (x) ≤ f (Определение. Точка называется точкой локального минимума функции y = f (x), если существует такая окрестность точки x 0 , что для всех x из этой окрестности f (x) ≥ f (Определение. Точки локального максимума или минимума функции называются ее локальными экстремумами. Определение. Точка x 0 , в которой f (x 0 ) = 0, называется стационарной точкой. Точки, в которых f (x) = 0 или f (x) не существует, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума. Необходимое условие экстремума. Если функция f (x) в точке имеет экстремум, то ее производная f (x 0 ) либо обращается в нуль, либо не существует. Достаточные условия экстремума. Первое достаточное условие экстремума (правило 1). Пусть для функции y = f (x) выполнены следующие условия y = f (непрерывна в окрестности точки x 0 ; f (x) = 0 или не существует в точке x 0 ; f (x) при переходе через точку слева направо меняет свой знак. Тогда в точке x = функция y = f (x) имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку слева направо производная меняет свой знак с минуса на плюс, максимум, если при переходе через точку меняет свой знак c плюса на минус. Если производная f (x) при переходе через точку не меняет своего знака, экстремума в точке x = x 0 нет. Второе достаточное условие экстремума (правило 2). Пусть для функции y = f (x) выполнены следующие условия y = f (непрерывна в окрестности точки x 0 ; f (x) = 0 ив точке x 0 . Тогда в точке достигается экстремум, причем, если f (x 0 ) > 0, тов точке x = функция y = f (x) имеет минимум, если f (x 0 ) < 0, тов точке x = функция y = f (x) имеет максимум (см. задачи Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции) на отрезке [a; b] нужно из значений функции на границах отрезка ив критических точках, принадлежащих этому отрезку, выбрать наибольшее (наименьшее) (см. задача 4). 2. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Определение. График функции y = f (x), дифференцируемой на интервале (a; b), имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх, если график этой функции в пределах интервала b) лежит не выше любой своей касательной (см. рис. 22 а). Определение. График функции y = f (x), дифференцируемой на интервале (a; b), имеет на этом интервале выпуклость, направленную вниз, если график этой функции в пределах интервала b) лежит не ниже любой своей касательной (см. рис. 22 б Рис. Теорема. Пусть функция y = f (x) определена на интервале b) и имеет непрерывную, неравную нулю в точке x 0 ∈ (a; вторую производную. Тогда, если f (x) > 0 всюду на интервале b), то график функции имеет выпуклость вниз на этом интервале, если f (x) < 0, тона интервале (a; b) график функции имеет выпуклость вверх. Определение. Точка (x 0 ; f (x 0 )) графика функции y = f (x) называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки оси абсцисс, в пределах которой график функции f (x) слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости (см. рис. 22 в). Определение. Если абсцисса точки перегиба графика функции, то вторая производная f (x) равна нулю или не существует. Точки, в которых f (x) = 0 или f (x) не существует, называются критическими точками II рода. Если x 0 – критическая точка II рода и выполняются неравенства (или f (x 0 − 0) > 0, f (x 0 + 0) < 0), то точка кривой y = f (x) с абсциссой является точкой перегиба. Если же f (x 0 − 0) и f (x 0 + 0) имеют одинаковые знаки, то точка кривой y = f (x) с абсциссой точкой перегиба не является (см. задачи 5–6). 3. Асимптоты. Определение. Прямая L называется асимптотой кривой y = f (x), если расстояние точки M (x; y) кривой от прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (те. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности). Определение. Прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f (x), если выполняется хотя бы одно из условий или lim x→a+0 f (x) = Определение. Прямая y = b является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x) при x → ∞, если существует предел lim x→+∞ f (x) = Определение. Прямая y = b является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x) при x → −∞, если существует предел lim x→−∞ f (x) = Определение. Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f (x) при x → ∞, если существуют пределы k = lim x→+∞ f (x) x и b = lim x→+∞ (f (x) − Определение. Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f (x) при x → −∞, если существуют пределы k = lim x→−∞ f (x) x и b = lim x→−∞ (f (x) − Замечание. На практике график изучаемой функции может обладать при x → −∞ и x → +∞ горизонтальными и наклонными асимптотами, как совпадающими в указанных направлениях, так и различными. Общая схема исследования функции и построения графика. Исследование функции y = f (x) целесообразно вести в определенной последовательности. Найти область определения функции. Найти точки пересечения графика с осями координат. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f (x) > 0 или f (x) < 0). 4. Выяснить, является функция четной, нечетной или общего вида. Найти асимптоты графика функции. Найти интервалы монотонности функции. Найти экстремумы функции. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функ- ции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1, 2, 7. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда выполнение операций исследования полезно сопровождать поэтапным построением графика функции. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Задача 1. Исследовать на экстремум функцию y = x √ 1 − Решение Функция определена при x ∈ [−1; 1]. Найдем производную при 1 − 2x 2 = 0; отсюда x 1 = стационарные точки. Прите. на границах области определения функции, производная не имеет конечного значения Найдем вторую производную y = x(2x 2 −3) (1−x 2 ) 3/2 . Вычислим значения второй производной в стационарных точках. При x имеем y ( 1 √ 2 ) = 1·(1−3) √ 2(1−1/2) 3/2 < 0. Следовательно, согласно Правилу заключаем, что в точке x функция имеет максимум y max = 1 2 . При x = получим y (− 1 √ 2 ) = − 1·(1−3) √ 2(1−1/2) 3/2 > те. в точке x = функция имеет минимум y min = − 1 В критических точках x = ±1 экстремума нет, так как по определению точками экстремума могут быть лишь внутренние точки области определения функции. Задача 2. Исследовать на экстремум функцию y = 1 − (x − 2) 4 Решение D(y) = R. Находим y = − 4 5 (x − 2) − 1 5 = − 4 Производная не обращается в нуль ни при каких значениях x и не существует лишь при x = 2 (критическая точка). Так как y (2−0) > 0 и y (2+0) < 0, то по Правилу 1 заключаем, что при x = 2 функция имеет максимум y max = Задача 3. Исследовать на экстремум функцию y = (x−2) 2 Решение D(y) = R. Находим y = 10 3 · x−1 3 √ x−2 . Критические точки x = 1 (производная равна нулю) и x = 2 (производная несу- ществует). Далее y (1 − 0) > 0, y (1 + 0) < 0, и y (2 − 0) < 0, y (2 + 0) > 0. Следовательно, в точке x = 1 функция имеет максимума в точке x = 2 – минимум y min = Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 3x − на отрезке [−2; Решение Находим производную f (x) = 3 − 3x 2 ; 3 − 3x 2 = те стационарные точки (и принадлежат заданному отрезку. Определяем значения функции в этих точках f (1) = 2, f (−1) = −2. Вычисляем значения данной функции на границах промежутка f (−2) = 2, f (3) = −18. Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее. Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшее равно −18. Задача 5. Определить промежутки выпуклости графика функции Решение Найдем первую и вторую производную заданной функции y = 5x 4 + 5, y = 20 · x 3 . Если x < 0, то y < 0 и кривая имеет выпуклость вверх если же x > 0, то y > 0 и кривая имеет выпуклость вниз. Задача 6. Для функции y = (x + 1) 2 (x − 2) найти промежутки выпуклости, точки перегиба графика. Решение: Найдем первую и вторую производные заданной функции y = 3(x 2 − 1), y = 6x. Решая уравнение 6x = 0, находим его корень x = 0. Если x < 0, то y < 0 и кривая имеет выпуклость вверх если же x > 0, то y > 0 и кривая имеет выпуклость вниз. Точка c абсциссой x = 0 является точкой перегиба. Задача 7. Найти асимптоты графика функции y Решение Функция непрерывна всюду, кроме точки x = 1, в которой она терпит разрыв второго рода, причем lim x→1−0 x 2 x−1 = −∞, lim x→1+0 x 2 x−1 = +∞. Отсюда следует, что прямая x = 1 – вертикальная асимптота и других вертикальных асимптот нет. Проверим, есть ли у графика наклонные асимптоты. Находим k = lim x→+∞ f (x) x = lim x→+∞ x x−1 = 1. Следовательно = lim x→+∞ (f (x) − kx) = lim x→+∞ ( x 2 x−1 − x) = lim x→+∞ x x−1 = 1. Таким образом, прямая y = x + 1 – наклонная асимптота графика функции при x → ∞. Аналогично получим, что этаже прямая является наклонной асимптотой и при x → Поскольку угловой коэффициент k наклонной асимптоты неравен нулю, то график функции не имеет горизонтальной асимп- тоты. Задача 8. Провести полное исследование и построить график функции y = 4 (x−1) 2 + x − Решение Заданная функция определена для всех действительных, кроме x = 1, следовательно, она непрерывна на каждом из интервалов (−∞; 1) и (1; +∞) и является функцией общего вида. Выясним, есть ли у графика функции наклонные и горизонтальные асимптоты. Так как lim x→−∞ f (x) x = lim x→+∞ f (x) x = lim x→+∞ 4 x(x−1) 2 + 1 − 3 x = 1, lim x→−∞ (f (x) − x) = lim x→+∞ (f (x) − x) = lim x→+∞ 4 (x−1) 2 − 3 = то график функции имеет наклонную асимптоту y = x − при x → +∞ и при x → −∞). x (−∞; 1) (1; 3) 3 (3; +Знак f (x) + – 0 + f (возрастает убывает 1 возрастает У графика заданной функции есть вертикальная асимптота x = 1, так как функция непрерывна на интервалах (0; 1) и (1; +и lim x→1−0 f (x) = lim x→1+0 f (x) = +Других асимптоту графика функции нет. Вычислим производную функции на интервалах (x) = ( 4 (x−1) 2 + x − 3) = −8 (x−1) 3 + Приравняв производную к нулю, получим уравнение ( 2 x−1 ) 3 = имеющее единственный действительный корень x = 3. Так как производная f (x) существует в каждой точке интервалов (−∞; и (1; +∞), то заданная функция имеет единственную стационарную точку x = Ясно, что f (x) = 1 − ( 2 x−1 ) 3 = (x−3)(x 2 +5) (x−1) 3 > 0 при x > 3 и при x < 1, а f (x) < 0 при 1 < x < Следовательно, заданная функция возрастает на промежутках) и [3; +∞) и убывает на промежутке (1; 3], в точке x = 3 она имеет локальный минимум. Вычислим вторую производную функции на каждом из интервалов) и (1; +∞): f (x) = −8 (x−1) 3 + 1 = 24 (x−1) 4 151 Очевидно, что на каждом из этих интервалов f (x) > 0; следовательно, на каждом из них график функции имеет выпуклость вниз. Рис. Найдем координаты нескольких дополнительных точек графика и построим график функции, учитывая проведенное выше исследование (см. рис. Задача 6. Какими должны быть размеры консервной банки, имеющей наибольший объем при заданной поверхности Решение Обычная консервная банка имеет форму прямого кругового цилиндра высотой H и радиусом оснований R. По условию задачи площадь поверхности цилиндра равна S и, следовательно, величина постоянная и равная S = 2πRH + площади двух оснований плюс площадь боковой поверхности. Следует учесть, что, выбирая оптимальные размеры цилиндра, мы можем менять его габариты, те. величины R и H – переменные. Выразим, например, величину H через величины S и R: H = S−2πR 2 2πR . Подставив полученную величину H в формулу для вычисления объема цилиндра, получим выражение = πR 2 · S−2πR 2 2πR = S·R 2 − В полученном выражении при каждом новом изменении величины происходит изменение величины V. Значит, можно рассмотреть функцию V (R) = S·R 2 − πR 3 , для которой наша задача будет сформулирована следующим образом при каком значении функция V (R) будет иметь наибольшее значение (при условии > Произведя дифференцирование полученной функции попеременной и приравнивая полученную производную к нулю, получаем Найдем V = −6πR < 0 для любых R > 0. Значит, при = S 6π , которая является точкой максимума, функция V (принимает наибольшее значение. Осталось вычислить значение величины H : H = S−2πR 2 2πR = S−2π S 6π 2π· S 6π = 2 Таким образом, найдены размеры H и R, при которых консервная банка имеет наибольший объем ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Исследовать функцию на точки экстремума. Найдите промежутки возрастания и убывания функции: а) y = x 3 − 12x + 6; б) y = 4x(2x 2 − 3) − 7(3x 2 − в) y = (2x + 1)(x 2 − 2); где ж) y = √ 8x 2 − x 4 ; з) y = x 2 + 8 x ; и) y = x 2 −x кл мн. Найдите критические точки функции и определите для каждой из этих точек, является ли она точкой максимума, минимума, перегиба, если данная функция: а) y = 0, 25x 4 − 4, 5x 2 + 11, 5; б) y = 1 3 x −3 − x −1 ; в) y = x 2 +4 где ж) y = 1 x ln x 135. Найдите промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба для данных функций: а) y = x 3 − 6x 2 + 12x + 4; б) y = (x 2 − 3x + 2) · e x ; в) y = x + 1 где, для x ∈ [−π; π]. 136. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке: а) y = x x 2 +4 , x ∈ [−4; б) y = sin x − x, x ∈ [0; в) y = 2 x +2 −x ln 2 , x ∈ [−1; 2]; где. Из всех прямоугольников данной площади S найти тот, периметр которого наименьший. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. При заданном периметре окна найти такие его размеры, чтобы оно пропускало наибольшее количество света. Объем правильной треугольной призмы равен 16 дм. Найти длину стороны основания этой призмы с наименьшей полной поверхностью. Найти асимптоты графика функции: а) y б) y в) y где ж) y = 2x 3 +5x 2 +10x−10 4x 2 +18x−10 ; 154 з) y = x + √ x 2 − и) y = ln x x+5 − к) y = x 2 −6x+3 x−3 141. Проведите полное исследование функции и постройте ее графика+ б) y = (x + 1)(x − в) y = 3x + 1 где ж) y = (1 +з) y = 4 x − 4 x 2 − и) y = 4x 3 −x 4 кл ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» Вариант 1 1. Число 8 разбить на два положительных слагаемых, сумма кубов которых была бы наименьшей. Из всех прямоугольников с площадью 9 кв. дм найдите тот, у которого периметр наименьший. Из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса найдите прямоугольник наибольшей площади. Провести полное исследование функций а) y б) y = e 2x−x 2 . Построить их графики. Вариант 2 Какое положительное число, будучи сложенное с обратным ему числом, дает наименьшую сумму. Из всех прямоугольников с диагональю 4 дм найдите тот, у которого площадь наибольшая. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 12 см. Найдите наименьшее значение суммы квадратов всех его сторон. Провести полное исследование функций а) б) y = x + ln(x 2 − 4). Построить их графики Вариант 3 1. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Какой из прямоугольников с периметром 80 см имеет наибольшую площадь Вычислить площадь этого прямоугольника. Покажите, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг радиуса R, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. Провести полное исследование функций а) y = e 1 б) y = 2(x+1) 2 x−2 . Построить их графики. Вариант 4 1. Число 50 разложить на два положительных слагаемых таких, чтобы их произведение было наибольшим. Кусок проволоки 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим. Провести полное исследование функций а) б) y = x ln 2 x. Построить их графики. Вариант 5 1. Найдите два числа, сумма которых равна 82, а произведение наибольшее из возможных. Площадь прямоугольника 64 кв. см. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим. На окружности дана точка A. На каком расстоянии от точки надо провести хорду BC, параллельную касательной в точке, чтобы площадь треугольника ABC была наибольшей. Провести полное исследование функций а) y б) y = 4e x2 −1 e x2 . Построить их графики Вариант 6 1. Найдите два числа, разность которых равна 20, а произведение наименьшее из возможных. Каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого 120 м, чтобы площадь этого участка была наибольшей. В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и боковой стороной 50 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие – на боковых сторонах. Найдите длины сторон прямоугольника. Провести полное исследование функций а) y = x 2 б) y = x 2 · e − x2 2 . Построить их графики. Вариант 7 1. Число 121 разложили на два положительных множителя таким образом, чтобы сумма их оказалась наименьшей из возможных. Найдите эти множители. Прямоугольный участок земли площадью 4 га огораживается забором. Каковы должны быть размеры участка, чтобы периметр его был наименьшим. В треугольник с основанием 4 ми высотой 3 м вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите площадь этого прямоугольника (одна из сторон его лежит на основании треугольника. Провести полное исследование функций а) y = ln б) y = xe 1 x . Построить их графики. Вариант 8 1. Какое положительное число при вычитании его из утроенного куба этого числа даст наименьшую разность 2. Имеется 240 м проволочной сетки. Этой сеткой требуется огородить прямоугольный участок так, чтобы площадь участка была наибольшей. Найдите большее основание трапеции наибольшей площади, если боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 20 см. Провести полное исследование функций а) y = x + ln x б) y = 2+x (x+2) 2 . Построить их графики. Вариант 9 1. Найдите положительное число, после вычитания из которого куба этого числа получается наибольшая разность. Из всех прямоугольников данной площади найти прямоугольник наименьшего периметра. В прямоугольный треугольник с катетом 12 см и противолежащим углом 30 вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей. Провести полное исследование функций а) y = x − ln (1 + б) y = (1−x) 3 (x−2) 2 . Построить их графики. Вариант 10 1. Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и второго, возведенного в четвертую степень, было наибольшим. Какой из всех прямоугольников с постоянным периметром имеет наибольшую площадь. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и углом 60 вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей. Провести полное исследование функций а) б) y = xe x . Построить их графики Вариант 11 1. Число 4 представьте в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго было наибольшим. Сумма длины и ширины прямоугольника равна 42 см. При каких размерах прямоугольника его площадь будет наибольшей. Проволоку длины L согнули так, что получился круговой сектор максимальной площади. Найдите центральный угол сектора. Провести полное исследование функций а) y = x 2 − 2 ln б) y = x 2 e 1 x . Построить их графики. Вариант 12 1. Число 144 разложили на два отрицательных множителя так, что сумма оказалась наибольшей из возможных. Найдите эти множители. Периметр прямоугольника 200 см. При какой длине и ширине площадь прямоугольника будет наибольшей. Картина высоты 1, 5 м повешена на стену так, что ее нижний край нам выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (те. чтобы угол зрения был наибольшим. Провести полное исследование функций а) y = x 3 · e − x2 б) y = x 2 (x+2) 2 . Построить их графики. Вариант 13 1. Число π представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма куба первого слагаемого и утроенного второго слагаемого была наименьшей. Для участка прямоугольной формы заготовили изгородь длиной м. Какие должны быть размеры участка, чтобы его площадь приданной длине изгороди была наибольшей 3. В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом a = вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на катетах, одна – на гипотенузе и последняя совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Найдите стороны прямоугольника. Провести полное исследование функций а) б) y = (x + 2) · e 1−x . Построить их графики. Вариант 14 1. Представьте число π в виде суммы двух слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго было наибольшим. Заготовлена изгородь длиной 480 м. Этой изгородью надо огородить с трех сторон земельный участок, прилегающий к реке. Каковы должны быть размеры участка, чтобы его площадь была наибольшей приданной длине изгороди. Из углов квадратного листа картона размером 18 × 18 кв. см нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по пунктирным линиям, получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата. Провести полное исследование функций а) б) y = ln x x . Построить их графики. Вариант 15 1. Число 147 разложите на два положительных слагаемых так, чтобы произведение одного из них на квадратный корень из другого было наибольшим. Лист жести шириной 96 см надо загнуть по краям так, чтобы получился желоб прямоугольного сечения. Определить ширину сгиба, при которой сечение желоба имеет наибольшую площадь. Картина высотой 1, 4 м повешена на стену так, что ее нижний край нам выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятно для осмотра картины (те. чтобы угол зрения был наибольшим. Провести полное исследование функции а) y = − б) y = x−2 x+1 2 . Построить их графики. Вариант 16 1. Разделить число 24 на два положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. Периметр прямоугольника равен 72 см. При каких длинах сторон площадь прямоугольника будет наибольшей. Среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, найдите треугольник с наибольшим периметром. Провести полное исследование функций а) y = ln (x 2 + б) y = x 3 9−x 2 . Построить их графики. Вариант 17 1. Число 32 разложите на два положительных множителя так, чтобы сумма первого множителя и квадратного корня из второго множителя оказалась наименьшей. Диагональ прямоугольника равна 15 √ 2. При каких размерах сторон площадь прямоугольника будет наибольшей. В равносторонний треугольник со стороной a = 4 вписан прямоугольник наибольшей площади так, чтобы две его вершины лежали на стороне AC, одна вершина – на стороне AB и одна – на. Найдите стороны этого прямоугольника. Провести полное исследование функций а) б) y = (x + 1) · e 2x . Построить их графики Вариант 18 1. Число 86 представлено в виде суммы двух слагаемых так, что их произведение максимально. Найти эти слагаемые. Забором, длиной 80, м нужно огородить прямоугольную площадку наибольшей площади. Найдите размеры площадки. Из углов прямоугольного листа 8 × 5 нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы согнув данный лист по оставшейся части, получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата. Провести полное исследование функций а) y = x ln б) y = 4x 4+x 2 . Построить их график. Вариант 19 1. Найти положительное число, которое превышало бы свой утроенный квадрат на максимальное значение. Забором, длиной 16, м требуется огородить с трех сторон прямоугольный палисадник наибольшей площади. Найдите размеры палисадника. Найдите стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R. 4. Провести полное исследование функций а) y = (x − б) y = x 4 x 3 −1 . Построить их графики. Вариант 20 1. Число 64 представлено в виде произведения двух положительных сомножителей так, что сумма их квадратов минимальна. Найти эти сомножители. Как разрезать отрезок длиной 10 см на две части так, чтобы, взяв их катеты, получить прямоугольный треугольник с наибольшей гипотенузой. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются под углом, сумма их длин равна 10 см. Каково наибольшее значение площади этого четырехугольника. Провести полное исследование функций а) y б) y = ln (x 2 − 2x + 6). Построить их графики. Вариант 21 1. Найти число, куб которого превышает утроенный его квадрат на минимальное значение. Как разрезать отрезок длиной 10 см на две части так, чтобы, взяв их за катеты, получить прямоугольный треугольник наибольшей площади. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб с поперечным сечением в виде равнобедренной трапеции. При каком угле наклона боковых стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей. Провести полное исследование функций а) б) y = ln (1 − 1 x 2 ). Построить их графики. Вариант 22 1. Найти число, которое превышало бы свой утроенный кубический корень на минимальное значение. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, имеющего наибольшую площадь среди всех треугольников, у которых сумма длин гипотенузы и одного из катетов равна 21. 3. В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом a = 2 √ 2 вписан прямоугольник наибольшей площади так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две – на катетах треугольника. Найдите стороны прямоугольника. Провести полное исследование функций а) б) y = x 3 · e x+1 . Построить их графики. Вариант 23 1. Число 18 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим 2. Среди всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой найдите треугольник наибольшего периметра. На стене висит картина. Нижний конец ее на 75 см, а верхний нам выше глаз наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы рассмотреть картину под наибольшим углом. Провести полное исследование функций а) б) y = x + 2 arcctg x. Построить их графики. Вариант 24 1. Число 24 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в три раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим. Из круглого бревна диаметром 50 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения наибольшей площади. Какие должны быть размеры сторон поперечного сечения балки. На окружности R = 4 см дана точка A. Как провести хорду параллельно касательной в точке A, чтобы площадь треугольника была наибольшей Чему равна высота треугольника, |