Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью

• Название: Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
• Анкор: Углирж.pdf
• Дата: 27.12.2017
• Размер: 5.93 Mb.
• Имя файла: Углирж.pdf
• Тип: Учебное пособие; #13192
• страница: 16 из 17

Если функция y = f (x) непрерывна в промежутке [a; b) и имеет разрыв II рода при x = b, то несобственный интеграл от неограниченной функции (II рода) определяется равенством b
a f (x) dx = lim
ε→0
b−ε
a f (x) Если предел, стоящий в правой части последнего равенства существует, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся в противном случае – расходящимся.
Аналогично, если функция y = f (x) терпит бесконечный разрыв в точке x = a, то полагают b
a f (x) dx = lim
ε→0
b a+ε
f (x) Если функция y = f (x) терпит разрыв во внутренней точке отрезка [a; b], то несобственный интеграл II рода определяется формулой

b
a f (x) dx = lim
ε→0
c−ε
a f (x) dx + lim
δ→0
b c+δ
f (x) Такой несобственный интеграл называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны. В противном случае несобственный интеграл называется расходящимся. Признаки сравнения несобственных интегралов рода. Рассмотрим некоторые признаки сходимости и расходимости для несобственных интегралов II рода. Если на промежутке [a; b) функции f (x) и g(x) непрерывны, при x = b терпят разрыв II рода и удовлетворяют условию (x)
g(x), то из сходимости интеграла b
a g(x) dx следует сходимость интеграла b
a f (x) dx, а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла b
a g(x) dx (признак сравнения. Пусть функции y = f (x) и g(x) непрерывны на промежутке b) ив точке x = b терпят разрыв II рода. Если существует предел lim x→+∞
f (x)
g(x)
= k, 0 < k < ∞, то интегралы b
a f (x) dx и a
g(x) dx сходятся или расходятся одновременно (предельный признак сравнения) (см. задачу 8.6).
3. Если функция y = f (x), знакопеременная на отрезке [a; имеет разрыв в точке x = b, и несобственный интеграл b
a
|f (x)| dx сходится, то сходится и интеграл b
a f (x) dx.
248

§8. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Задача 8.1.
∞
2
dx x
2
= lim b→∞
b
2
dx x
2
= lim b→∞
(−
1
x
)|
b
2
= lim b→∞
(−
1
b
+
1 2
) =
1 2
(сходится).
Задача
8.2.
∞
−∞
dx
1+x
2
=
lim a→−∞
0
a dx
1+x
2
+ lim b→∞
∞
0
dx
1+x
2
=
= lim a→−∞
arctg x|
0
a
+ lim b→∞
arctg x|
b
0
=
π
2
− (−
π
2
) = π (сходится).
Задача 8.3.
π
2 0
tg x dx = lim
ε→0
π
2
−ε
0
tg x dx = lim
ε→0
(− ln cos x)|
π
2
−ε
0
=
= lim
ε→0
(− ln cos(
π
2
− ε) − ln cos 0) = ∞ (расходится).
Задача 8.4. Сходится ли интеграл Решение. При x
1 имеем. Но интеграл x
2
= 1 сходится. Следовательно, интеграл также сходится (и его значение меньше Задача 8.5. Исследовать сходимость интеграла Решение. Интеграл x
2
+2
x
2
+1
dx сходится, так как интеграл сходится и lim x→+∞
ln x2+2
x2+1 1
x2
= lim x→+∞
ln 1+
1
x2+1 1
x2
= lim x→+∞
1
x2+1 1
x2
= Задача 8.6. Сходится ли интеграл 0
dx sin Решение. Функция f (x) =
1
sin x имеет на [0; 1] единственный разрыв в точке x = 0. Рассмотрим функцию g(x) =
1
x
. Интеграл 0
dx x
= lim
ε→0 1
0+ε
dx x
dx = lim
ε→0
ln x|
1
ε
= 0 − lim
ε→0
ln ε расходится. Итак как lim x→0
f (x)
g(x)
= lim x→0
x sin x
= 1, то интеграл 0
dx sin x также расходится.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Вычислить несобственные интегралы:
а)
−1
−∞
dx x
2
;
б)
0
−∞
dx
4+x
2
;
в)
+∞
0
arctg где ж 0
dx з 0
ln
2
x dx и кл м 0
dx
(x−1)
2 192. Исследовать сходимость несобственных интегралов:
а)
+∞
1
ln(1+x) dx б в arctg где
10
ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
В данном разделе рассмотрим некоторые приложения определенных интегралов к задачам геометрии. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ. Вычисление площади плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) (f (прямыми x = a и x = b и отрезком [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле S =
b a
f (x) dx (см. рис. 29, задачу Рис. Рис. Рис. Если f (x)
0 при x ∈ [a; b], то S = −
b a
f (x) dx (см. рис. Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y = и y = f
2
(x) (f
1
(x)
f
2
(x)) и прямыми x = a и x = b, находится по формуле S =
b a
(f
2
(x) − f
1
(x)) dx (рис. 31).
251

Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой =
t
2
t
1
y(t)x (t) dt, где и определяются из уравнений a = x(t
1
),
b = x(t
2
) (y(t)
0 при t
1
t t
2
) (см. задачу 3.2).
1.2. Вычисление длины дуги кривой. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего ее звена стремится к нулю.
Пусть кривая на плоскости задана уравнением y = f (или x = ϕ(y)). На кривой выбраны точки A и B с координатами c), B(b; d). Длина l дуги кривой от точки A до точки B вычисляется по формуле l
=
b a
1 + (y (или l =
d c
1 + (x (t))
2
dy) (см. рис. 32–33, см. задачу Рис. Рис. Если кривая задана параметрическими уравнениями x = и y = y(t), причем t
1
t t
2
, где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными, то длина дуги вычисляется

по формуле l =
t
2
t
1
(x (t))
2
+ (y (t))
2
dt (см. задачу 3.4).
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Если площадь сечения тела плоскостью,
перпендикулярной оси Ox, может быть выражена как функция от x, те. в виде S = S(x) (a x
b) (см. рис. 34), то объем части тела, находящейся между перпендикулярными оси Ox плоскостями x = a и x = b, определяется по формуле V =
b a
S(x) Рис. 34 2.2. Вычисление объема тела вращения. Объемы тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ox (или оси криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x)(f (и прямыми y = 0, x = a, x = b, вычисляются по формулам π
b a
y
2
dx (или, соответственно, V
y
= 2π
b a
xy dx, a
0) (см.
рис. 35–36).
253

Рис. Рис. Заметим, что если тело образуется при вращении вокруг оси криволинейной трапеции,
ограниченной кривой x = ϕ(y) (ϕ(y)
0) и прямыми x = 0, y = c, y = d, то объем тела вращения равен V = π
d Площадь поверхности вращения.
Если дуга гладкой кривой,
заданная неотрицательной функцией y = f (x) (a x
b) вращается вокруг оси Ox, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле 2π
b a
y
1 + (y где a и b – абсциссы начала и конца дуги (см. задачу Если дуга гладкой кривой, заданная неотрицательной функцией, вращается вокруг оси Oy, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле 2π
d c
x
1 + ((ϕ) где c и d – ординаты начала и конца дуги.
Если кривая задана параметрическими уравнениями x = и y = y(t), причем t
1
t t
2
, то S
x
= 2π
t
2
t
1
y(t)
(x t
)
2
+ (y t
)
2
dt.
254

§3. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»
Задача 3.1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = 4x − и осью Решение. Парабола пересекает ось Ox в точках O(0; 0) и M (4; Следовательно, S =
4 0
(4x − x
2
) dx = (2x
2
−
1 3
x
3
)|
4 0
=
32 кв. ед.)
Задача 3.2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = 2(t − sin t), y = 2(1 − cos t) и осью
Ox.
Решение. Здесь dx = 2(1 − cos t) dt, а 0
t
2π. Следовательно (кв. ед.).
Задача 3.3. Вычислить длину дуги кривой y = ln sin x от до x
2
=
2 Решение. Воспользуемся l =
b a
1 + (y )
2
dx, предварительно найдя выражение + (y )
2
(c учетом x ∈ [
π
3
;
2 3
π]):
y = ln sin x, y =
cos x sin x
,
1 + (y )
2
=
1 +
cos
2
x sin
2
x
=
1
sin Находим длину дуги =
2 3
π
π
3
dx sin x
= ln tg x
2
|
2 3
π
π
3
= ln
√
3 − ln
1
√
3
= 2 Задача 3.4. Найти длину дуги кривой x = cos
5
t, y = sin
5
t от t
1
= 0 до Решение. Найдем производные по параметру t
= −5 cos
4
t sin t, y t
= 5 sin
4
t cos Тогда l =
π
2 0
(−5 cos
4
t sin t)
2
+ (5 sin
4
t cos t)
2
dt =
= 5 ·
π
2 0
sin t cos t sin
6
t + cos
6
t dt =
5 8
· 2 Задача 3.5. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги синусоиды y = sin 2x от x = 0 до x =
π
2 255

Решение. Так как y = 2 cos 2x, то S
x
= 2π
π
2 0
sin 2x
√
1 + 4 cos
2 2x×
×dx. Произведем замену переменной 2 cos 2x = t, −4 sin 2x dx =
dt, sin 2x dx
=
−
1 4
dt. Найдем пределы интегрирования пои. Таким образом 2
√
1 + t
2
·
−
1 4
dt
=
π
2 2
−2
√
1 + t
2
dt
=
=
π
2 2
√
5 + ln(
√
5 + 2) (кв. ед).
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками следующих функций и указанными прямыми:
а) y = x
2
− 2x + 2 и y = 2 + 4x − б) y = sin x, y = cos x, x = 0, x = в) y = ln(x + 6), y = 3 ln x, x = 0, y = г) y = tg x, y =
2 3
cos x, x ∈ [0;
π
2
), x = д) y = 6x
2
− 5x + 1, y = cos πx, x = 0, x = 1.
194. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функ- ции:
а) y = 0, 5x
2
− 2x + 2 и касательными к графику этой функции в точках (1;
1 2
) и (4; б) y = x
2
− x + 2 и касательной к графику функции y = ln x + в точке (1; 3).
195. Вычислить длину дуги кривой:
а) y = ln sin x от доб от вершины до точки с абсциссой x = вот точки O(0; 0) до точки A(2
√
3; 3).
196. Найти длину астроиды, заданной уравнениями x = a cos
3
t,
y = a sin
3
t.
197. Найти объем шара радиуса R.
198. Найти объем конуса с радиусом основания R и высотой H.
199. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями xy = 6, x = 1, x = 4, y = 0 вокруг осей и Oy.
256

200. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y
2
−x
2
= 9, x − 2y + 6 = 0.
201. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y = x
√
−x, x = −4, y = 0.
202. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси арки циклоиды x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos при 0
t
2π.
203. Вычислить среднее значение функций на указанных интервалах а) y =
√
x +
1
√
x
, x ∈ [1; 4]; б) f (x) =
2
e x
+1
, x ∈ [0; в) f (x) = sin x и f (x) = sin
2
x, x ∈ [0; ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Вычислите, нарисуйте фигуры, площади которых равны следующим определенным интегралам.
1.1.
а)
1
−1
(2x
2
+ 1) б 0
2 sin x в − x а 2
−
3 2
(x
2
− 4x) б 2x в − x а 0
(x
2
+ 1) б 0
sin 2x в − x а 1
(x
2
− 1) б в − x а) −
3 2
(x − x
2
) б 2 cos 2x в − x dx.
257

а 0
(3x − x
2
) б 0, 5 sin 2x в − x а + б 2 cos x в − x а б 0
sin 3x в − x а 0
(
x
2 2
− 2x) б 2x в − x а) б 0
2 cos 2x в − x а 1
(x − б 2 cos x в 0
√
1 + x а − x
2
) б) −
2π
π
2 sin x в + x а 1
(x
2
− 4x) б 1
3
sin x в + x а − x
2
) б 2 cos x в + x а 2
1 2
(2x + б 0
sin 2x в + x а б 1
4
sin x в + x а 0
(−x
2
+ 3x) б 0
1 6
cos x в + x а 2x) б 1
8
sin x в + x а 0
(−x
2
+ 4x) б 2
sin x) в 9
√
−9 + x dx.
258

а 1
(−x
2
+ 5x) б 1
4
cos x в 9
√
x − 10 а 0
(−x
2
+ 3x) б 4 sin x в 8
√
−8 + x а 2
−1
(1 − x
2
) б 2 sin(
x
2
) в 8
√
−7 + x а − x
2
) б 6 cos 2x в 8
√
−6 + x а 0
(x
2
− 4x) б 0
sin 2x в 6
√
−5 + x а 2x) б 0
3 sin(
x
2
) в 4
√
−4 + x а 0
(−x
2
+ 6) б 0
2 cos x в 4
√
−3 + x а 1
(x
2
− б 0
sin 4x в 3
√
−2 + x а 0
(2x − x
2
) б 5x в 6
√
−1 + x а 0
(3x
2
+ 1) б 0
1 2
sin x в 0
√
1 + 2x а+ 4) б 0
1 6
cos x в 0
√
1 + 3x dx.
2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями = x − x
2
, y = x
2
− x.
2.2.
y = x
2
, y =
3
√
x.
2.3.
y = x
2
+ x − 4, y = 6 − x
2 2.4.
y =
7
x
, x
2
− 8x + 7 = 0.
259

2.5.
y = −x
2
+ 4, y = x
2
− 2x.
2.6.
y =
5
x
, x
2
− 6x + 5 = 0.
2.7.
y = x
2
, y = −x
2
+ 2.
2.8.
y = x
3
, y = −x
2
+ 4x + 4, x
−1.
2.9.
y = 2x
2
, y = −2x
2
+ 4.
2.10.
y = x
2
, y = x
3 2.11.
y = x
2
− 4x + 4, y = 4 − x
2 2.12.
y = 0, y = (
x
2
)
−1
, y = 5 − x
2
, x
0, y = 4.
2.13.
y = x
2
− 2x + 2, y = 4 + 6x − x
2 2.14.
y = (x − 1)
2
, y =
√
x − 1.
2.15.
y = x
2
, y = 2x − x
2 2.16.
y =
√
2x, y =
1 2
x
2 2.17.
y = (x − 2)
2
, y = 4 − x
2 2.18.
y =
√
x, y = 2 − x
2
, y = 0.
2.19.
y = x
2
− 2x + 2, y = 2 + 4x − x
2 2.20.
y =
√
x + 1, y = (x + 1)
2 2.21.
y = x
2
, y = 1 +
3 4
x
2 2.22.
y = x
3
, y =
√
x.
2.23.
y = x
2
, y = −3x
2
+ 4.
2.24.
y =
√
x, y =
3 4
x
2
, x = 0.
2.25.
y =
1 3
x
2
, y = 3 − x
2 2.26.
y =
√
x + 2, y = x
2 2.27.
y = x
2
− 2x + 3, y = 4 − 2x
2 2.28.
y =
8
x
, y = (x − 5)
2
+ 1.
2.29.
y = x
2
+ 1, y = −(x − 2)
2
+ 5.
2.30.
y =
6
x
, y = (x + 4)
2
+ 1.
3. Решите задачу. В каком отношении делится площадь квадрата параболой,
проходящей через две его соседние вершины и касающейся одной стороны в ее середине. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x
2
− 4x + 5 и касательными к ней, проведенными через ее точки с абсциссами x = 1 и x = 3.
3.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями x = −1,
260

y = 2, 5+2x−0, и касательной к данной параболе, проведенной через ее точку с абсциссой x = 3.
3.4. Найдите площадь каждой из фигур, на которые прямая y = x + 4 делит фигуру, ограниченную линиями y = 0, и y = 8.
3.5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 8x − 2x
2
, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой x = 0.
3.6. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 8 − 0, 5x
2
, касательной к нему в точке с абсциссой x = −2 и прямой x = 1.
3.7. Какая фигура имеет большую площадь полукруг радиуса или фигура, заключенная между осью Ox и графиком функции y = 1 − x
4
?
3.8. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательными к графику этой функции в точках (1;
1 2
) и (4; 2).
3.9. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательной к графику функции y = ln x + 3 в точке (1; 3).
3.10. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и касательными к этой параболе, проведенными изначала координат. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции, касательной к этому графику в точке (2; и осью ординат. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком y = x
2
+ 10 и касательными к этому графику, проведенными из точки (0; 1).
3.13. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции, касательной к этому графику в точке (0; 2) и прямой x = 1.
3.14. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции, касательной к этому графику в точке (2;
1 2
) и прямой x = 1.
261

3.15. Найдите площадь фигуры, заключенной между параболой и касательными к ней в точках (0; 3) и (3; 0).
3.16. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой y = 0, параболой y = 2x − и касательной к этой параболе в точке (
1 2
;
3 4
).
3.17. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кубической параболой y = и касательной к ней, проведенной в точке (1; 2).
3.18. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = −x
2
+ 7x − 12, касательной к этой параболе, проходящей через ее вершину, и осями координат. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = −
4
x
, касательной к этой кривой, проведенной в точке x = и прямой x = 3.
3.20. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой x = 0, графиком функции y = −x
2
+ 3 и касательной к этому графику в точке с абсциссой x = 1.
3.21. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой x = 0, графиком функции y = x
2
+ 3 и касательной к этому графику в точке с абсциссой x = −1.
3.22. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой x = 0, графиком функции y = x
2
− 4x + 5 и касательной к этому графику в точке с абсциссой x = 2.
3.23. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой x = 0, графиком функции y = x
2
+ 6x + 10 и касательной к этому графику в точке с абсциссой x = 3.
3.24. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой x = 0, графиком функции y = 4x − и касательной к этому графику в точке с абсциссой x = 3.
3.25. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой x = 0, графиком функции y = −4x − и касательной к этому графику в точке с абсциссой x = −3.
3.26. Вычислите площадь, заключенную между параболой y = x
2
− 2x + 2, касательной к ней в точке (3; 5), осью ординат и осью абсцисс

3.27. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x
2
− 4x + 5, касательной к ней в точке M (4; 5), и прямой x = 1.
3.28. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = −x
2
+4x−3 и касательными к ней в точках M (0; −3) и P (3; Найдите площадь фигуры,
ограниченной кривой y = x
2
+ 1, касательной к ней в точке с абсциссой x = 1, и прямой x = 0.
3.30. Найдите площадь фигуры, ограниченной линией − касательной к ней в точке с абсциссой x = 0, и прямой y = 0.
4. Вычислите длину дуги кривой.
4.1.
и
4.16.
y = e x
2
+ при и =
2 5
x
4
√
x −