Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью

• Название: Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
• Анкор: Углирж.pdf
• Дата: 27.12.2017
• Размер: 5.93 Mb.
• Имя файла: Углирж.pdf
• Тип: Учебное пособие; #13192
• страница: 13 из 17

4.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, те. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.
Рассмотрим замену переменной в неопределенном интеграле с помощью подстановок двух видов) x = ϕ(t), где ϕ(t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной

в этом случае имеет вид (x) dx =
f (ϕ(t))ϕ (t) dt;
2) u = ψ(x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке имеет вид (см. задачу 5.2):
f (ψ(x))ψ (x) dx =
f (u) du.
4.3. Метод интегрирования по частям. Пусть u = и v = v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = u · dv + v · du. Интегрируя это равенство, получим d(uv) =
u dv +
v du или u dv = uv −
v Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее помощью нахождение интеграла u dv сводится к отысканию другого интеграла v du. Применение этой формулы целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv (при этом заберется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, аза та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям. Иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.
Ниже приведены некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.
1)
Интегралы вида (x) sin kx dx,
P (x) cos kx dx,
P (x)e kx dx, где P (x) – многочлен, k ∈ R. Удобно положить u = P (x), а все остальные сомножители обозначить через Интегралы вида (x) arcsin x dx,
P (x) arccos x dx,
P (x) ln x dx,
P (x) arctg x dx,
P (x) arcctg x dx. В данном случае удобно положить P (x) dx = dv, а через u обозначить все остальные сомножители) Интегралы вида e
ax
·sin bx dx,
e ax
·cos bx dx, где a, b ∈ R.
212

Пусть u – функция u = e см. задачу 5.3).
4.4. Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется выражение вида (x)
Q(x)
, где P (x) и Q(x) –
многочлены.
Рациональная дробь (называется правильной, если степень многочлена P (x) в ее числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае дробь называется неправиль- ной.
Всякая неправильная рациональная дробь (с помощью деления числителя на знаменатель приводится к виду (x)
Q(x)
= P
0
(x) +где P
0
(x) – многочлен (целая часть при делении, а правильная рациональная дробь (остаток. Поэтому (x)
Q(x)
=
P
0
(x) dx +Так как интеграл) dx вычисляется элементарно (сводится к алгебраической сумме табличных, то интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию правильной дроби. Интегрирование правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к интегрированию простейших дробей.
Ниже приведены основные правила интегрирования правильных дробей, называемых простейшими (или элементарными) дробями. Произвольно взятая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы этих простейших дробей указанных четырех типов. Для этой цели можно пользоваться, например, методами неопределенных коэффициентов или частных значений. Таким образом, интегрируя правильную дробь, мы сначала раскладываем ее на сумму простейших, а затем интегрируем

каждое слагаемое в этом разложении.
При вычислении интегралов от простейших дробей надо иметь ввиду, что) Простейшие дроби первых двух типов – почти табличные dx = A · ln |x − a| + C,
A
(x−a)
k dx = A
d(x−a)
(x−a)
k
= A (x − a)
−k d(x − a) =
=
A
1−k
·
1
(x−a)
k−1
+ C, k = 1.
2) При интегрировании простейшей дроби третьего типа, где p
2
− 4q < 0, сначала выделяют в числителе производную знаменателя, те Отсюда dx =
A
2
(2x+p)+(B−
Ap
2
)
x
2
+px+q dx =
=
A
2
(2x+p) dx x
2
+px+q
+ B −
Ap
2
dx Для сведения полученных интегралов к табличным в первом из них делается замена t = x
2
+ px + q, откуда dt = (2x + p) а во втором интеграле выделяется полный квадрат в знаменателе подынтегральной дроби. Окончательный результат имеет вид dx =
A
2
· ln(x
2
+ px + q) +
2B−Ap
√
4q−p
2
· arctg
2x+p
√
4q−p
2
+ C.
3) Для интегрирования простейшей дроби четвертого типа необходимо сначала, как ив пункте 2, в числителе дроби выделить производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе dx =
A
2
(2x+p)+(B−
Ap
2
)
(x
2
+px+q)
n dx =
=
A
2 2x+p
(x
2
+px+q)
n dx + B −
Ap
2
dx
(x
2
+px+q)
n
= [t = x
2
+ px + q] =
=
A
2
dt t
n
+ B −
Ap
2
dx
((x+
p
2
)
2
+(q−
p2 4
))
n
= [y = x +
p
2
] =
=
A
2(1−n)
·
1
(x
2
+px+q)
n−1
+ B −
Ap
2
dy
(y
2
+a
2
)
n
214

Здесь a =
q −
p
2 4
. Последний интеграл считается с помощью рекуррентной формулы, позволяющей свести его к более простому Далее к снова применяется рекуррентная формула, позволяющая понижать степень знаменателя подынтегральной дроби. Процесс продолжается до тех пор, пока не получится табличный интеграл dy y
2
+a
2 4.5. Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы от тригонометрических функций во многих ситуациях удается рационализировать либо существенно упростить. Рассмотрим несколько случаев. Если под знаком интеграла стоит выражение R(sin x, cos получающееся из функций sin x и cos x и некоторых констант с помощью четырех арифметических действий (R(sin x, cos x) называется рациональной функцией от sin x и cos x), то данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки. Тогда sin x =
2t
1+t
2
, cos x =
1−t
2 1+t
2
, dx В большинстве случаев такая подстановка приводит к громоздким вычислениями тогда удобнее пользоваться другими,
более эффективными подстановками. Если подынтегральная функция R(sin x, cos x) не меняется при перемене знаков у sin x и cos x одновременно, те. если x, cos x) = R(− sin x, − cos x), то целесообразно применить подстановку t = tg x.
3. Если подынтегральная функция R(sin x, cos x) меняет знак при заменена, те. если R(− sin x, cos x) = −R(sin x,
cos x), то интеграл рационализируется с помощью подстановки t = cos x. Если же подынтегральная функция R(sin x, cos x) меняет знак при заменена, те. если R(sin x, − cos x) =
215

= −R(sin x, cos x), то интеграл преобразовывается с помощью подстановки. Если подынтегральная функция представляет собой произведение четных степеней синуса и косинуса, те. данный интеграл имеет вид sin
2n x · cos
2k x dx, где n = 0, 1, 2, . . ., k = 0, 1, 2, . . ., то следует упростить ее с помощью формул понижения порядка =
1−cos 2x
2
, cos
2
x =
1+cos 2x
2
, sin x cos x =
1 2
sin 2x.
5. При вычислении интегралов вида sin nx · cos kx dx,
sin nx · sin kx dx,
cos nx · cos kx dx пользуются тригонометрическими формулами преобразования произведения в сумму α · cos β =
1 2
[sin(α − β) + sin(α + β)],
sin α · sin β =
1 2
[cos(α − β) − cos(α + β)],
cos α · cos β =
1 2
[cos(α − β) + cos(α + β)].
6. Интегралы вида tg n
x dx и ctg n
x dx вычисляются с помощью формул tg
2
x =
1
cos
2
x
− 1 и ctg
2
x =
1
sin
2
x
− 1, позволяющих понизить степень тангенса или котангенса. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ»
Задача 5.1. Найти интегралы:
а)
dx x−5
=
d(x−5)
x−5
= ln |x − 5| + б 2
x + 4)
8
dx = 2 (
1 2
x + 4)
8
d(
1 2
x + 4) =
2(
1 2
x+4)
9 9
+ в xdx =
sin x cos x dx =
d cos x sin x dx = − ln | sin x| + г + x
2
dx =
(1 + x
2
)
1 3
· x · (x
2
+ 1 − 1) dx =
=
1 2
(1 + x
2
)
4 3
d(1 + x
2
) −
1 2
(1 + x
2
)
1 3
d(1 + x
2
)
=
=
3 14
(1 + x
2
)
7 3
−
3 8
(1 + x
2
)
4 3
+ Задача 5.2. Найти интегралы:
а)
sin
3
√
x
3
√
x
2
dx. Решение. Проведем подстановку t =
3
√
x, те. Эта подстановка приводит к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Вычислим дифференциал dx = 3t
2
dt. Получаем, что

sin
3
√
x
3
√
x
2
dx =
3t
2
sin t t
2
dt = 3
sin t dt = −3 · cos t + Ответ должен быть выражен через старую переменную x. Подставляя в результат интегрирования t =
3
√
x, получим sin
3
√
x
3
√
x
2
dx = −3 · cos
3
√
x + б x
. Решение. Положим, что t = e
−
x
2
. Тогда dx
√
1+e x
= −2
dt
√
t
2
+1
= −2 · ln(t +
√
t
2
+ 1) + C =
= x − 2 ln(1 +
√
e x
+ 1) + Задача а ln x dx. Решение. Для применения формулы интегрирования по частям проведем некоторые предварительные вычисления. Пусть u = ln x и dv = x dx, тогда du =
dx и v =
x dx =
x
2 Следовательно ln x dx = ln x·
x
2 2
−
x
2 2
·
dx x
=
x
2 2
ln x−
1 2
x dx =
=
x
2 2
ln x −
1 2
·
x
2 2
+ C =
x
2 2
ln x −
x
2 4
+ б x
dx. Решение. Пусть u = x
2
, а dv = e x
dx. Тогда du = 2x dx и v = e x
. Применяем формулу интегрирования по частям x
dx = x
2
e x
− 2 ·
x e x
dx. В результате этих преобразований удалось понизить степень x на единицу. Чтобы найти x e x
dx, применим интегрирование по частям вторично. Полагаем тогда du = dx, v = e и x
2
e x
dx =
= x
2
e x
−2(x e x
− e x
dx) = x
2
e x
−2x e x
+2e x
+C = e ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Найти неопределенные интегралы, пользуясь методом непосредственного интегрирования:
а)
(x − 3)
2
x б+ 2 sin x) в где ж sin
2
x з и) 2
x
(1 + 3
x
) dx.
180. Найти неопределенные интегралы, пользуясь методом непосредственного интегрирования:
а)
cos 3x б + в − 3) где ж − x
2
dx;
з)
x
3
dx
3
√
x
4
+1
;
и)
cos x dx
3
√
sin
2
x
;
к)
x
2x+1
dx;
л)
(1+x)
2
x
2
+1
dx;
м)
cos
3
x dx но) пр ст уф. Найти неопределенные интегралы, пользуясь методом замены переменной:
а)
4x+3
(x−2)
3
dx;
б)
x
√
x − 3 dx;
в)
x
2
dx
√
2−x
;
г)
x
3
dx
√
x−1
;
д)
√
x е x+1
dx;
ж)
x+1
x
√
x−2
dx;
з)
√
x и x
− 1 кл мн оп. Найти неопределенные интегралы, используя формулу интегрирования по частям:
а)
ln x б x в ln x где ж x
sin x з · 3
x и dx.
183. Найти неопределенные интегралы от рациональных функ- ций:
а)
(2x+3) б в dx где ж) dx з) dx и) dx
√
x
2
+6x+13 184. Найти неопределенные интегралы, применяя тригонометрические подстановки:
а)
dx
4 sin x+3 cos б sin x+3 cos в x−2 sin где ж sin з tg x+3) dx sin
2
x+2 и dx sin
2
x+2 sin кл sin
2
x+5 мн оп р x+sin
3
x) dx cos ст уф х dx sin
4
x
185. Найти неопределенные интегралы:
а)
sin
4
x cos
2
x dx; б sin
2
x dx; в где ж з и dx.
186. Найти неопределенные интегралы, применяя указанные подстановки:
а) I =
√
a
2
−x
2
x если x = a sin б − если x = 2 sin в если x = 3 sin г) I =
dx если x = a tg д если x = 3 tg е если x = tg ж) I если x = a sec t =
a cos t
;
з)
x
2
dx
√
x
2
−25
,
если x =
5
cos и) I если x − a =
1
t
;
к)
dx
(x−1)
√
−x
2
+2x+3
,
если x − 1 л если x =
1
t
;
м)
dx
(x+1)
√
x
2
−1
,
если x + 1 =
1
t
187. Найти неопределенные интегралы, применяя различные методы интегрирования:
а)
1+2x
2
x
2
(1+x
2
)
dx;
б)
3
x e
2x в x
√
1+ln где dx
√
1−x
4
;
ж)
x
3
dx
√
1−x
8
;
з)
tg
4
x и 2x кл мн о − x) · e
−
x
2
dx;
п)
x+1
x
√
x−2
dx;
р)
x
3
dx
√
x−1
;
с)
dx
√
(4+x
2
)
3
;
т)
cos ln x ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Найдите общий вид первообразной для заданных функций (x) = 2 sin x + 3 cos x +
1
e x
1.2.
f (x) = 3 sin x − 2 cos x +
1
e
−x
1.3.
f (x) =
1 2
sin x
2
−
1 3
cos x
3
+ e x
2
−11 1.4.
f (x) =
1 3
sin x
3
+
1 2
cos x
2
+ e x+1 1.5.
f (x) = sin(1, 5x − 1) + e
7x−8 1.6.
f (x) = 3 cos(1, 5x − 1) + e x
3
−1 1.7.
f (x) = cos(1 − 5x) − e
8x+1 1.8.
f (x) = 10 sin(3 − x) − e x
4
−4 1.9.
f (x) = cos(3 + 2x) +
1 2
e x
1.10.
f (x) = sin(0, 5x −
1 2
) + e
2x−0,5 1.11.
f (x) = sin(2 − 3x) +
1 3
e x+
1 3
1.12.
f (x) = cos(2x − 1) − e
3x
1.13.
f (x) = −3 sin(4 − 3x) + e
2x−8 1.14.
f (x) = 3 cos(3 − 4x) − e
3x+2 1.15.
f (x) = sin(x − 2) + e
2x−3 1.16.
f (x) = sin(5x + 7, 5) − e
7−0,2x
1.17.
f (x) = cos(x + 1) + e
3x+4 1.18.
f (x) = sin(x − 4) + 4 e
1−x
1.19.
f (x) = − sin x
4
+ e
0,8x+1 1.20.
f (x) = cos x
5
− e
2x+10 1.21.
f (x) = sin 3x − cos 3x + e x+1 1.22.
f (x) = cos(1 − 1, 5x) − e x−1
+
√
x.
1.23.
f (x) = sin(1, 5x − 1) +
√
x + e x
1.24.
f (x) = 3 sin x − cos(3x − 1) + 4 e x
1.25.
f (x) = −2 cos x − sin(3x −
π
4
) + 2 e x
1.26.
f (x) = sin 5x − e
−0,5x
+ 1.
220

1.27.
f (x) = sin(2x + 1) + x
√
3
− e
2x
1.28.
f (x) = cos 2x + (x − 1)x + e
2x−3 1.29.
f (x) = cos 5x − 2 sin x cos x − e
−x
1.30.
f (x) = sin(3x +
π
3
) + 2 cos x − e
0,5x
2. Для функции y = f (x) найдите две различные первообразные. Построить график одной из них (x) = x
2
− x − 2.
2.2.
f (x) = x
2
− 2x − 3.
2.3.
f (x) = x
2
− 3x − 4.
2.4.
f (x) = x
2
− 4x − 5.
2.5.
f (x) = x
2
− 5x − 6.
2.6.
f (x) = x
2
+ x − 2.
2.7.
f (x) = x
2
− x − 6.
2.8.
f (x) = x
2
− 2x − 8.
2.9.
f (x) = x
2
− 3x − 10.
2.10.
f (x) = x
2
− 4x − 12.
2.11.
f (x) = x
2
+ 2x − 3.
2.12.
f (x) = x
2
+ x − 6.
2.13.
f (x) = x
2
− x − 12.
2.14.
f (x) = x
2
− 2x − 15.
2.15.
f (x) = x
2
− 3x − 18.
2.16.
f (x) = x
2
+ 3x − 4.
2.17.
f (x) = x
2
+ 2x − 8.
2.18.
f (x) = x
2
+ x − 12.
2.19.
f (x) = x
2
− x − 20.
2.20.
f (x) = x
2
− 2x − 24.
2.21.
f (x) = x
2
+ 4x − 5.
2.22.
f (x) = x
2
+ 3x − 10.
2.23.
f (x) = x
2
+ 2x − 15.
2.24.
f (x) = x
2
+ x − 20.
2.25.
f (x) = x
2
− x − 30.
2.26.
f (x) = x
2
+ 5x − 6.
2.27.
f (x) = x
2
+ 4x − 12.
2.28.
f (x) = x
2
+ 3x − 18.
2.29.
f (x) = x
2
+ 2x − 24.
2.30.
f (x) = x
2
+ x − 30.
3. Для функции y = f (x) найдите первообразную, график которой проходит через точку A(x; y), если (x) = (2 − 3x)
2
,
A(1; 2).
3.2.
f (x) = 1 − x
2
,
A(−3; 9).
3.3.
f (x) = 4 +
1
x
,
A(−1; 4).
3.4.
f (x) = x + 2,
A(2; 15).
3.5.
f (x) = 1 − 2x,
A(3; 2).
3.6.
f (x) =
1
x
3
− 10x
4
+ 3,
A(1; 5).
3.7.
f (x) = 2x + 1,
A(0; 0).
3.8.
f (x) = 3x
2
− 2x,
A(1; 4).
3.9.
f (x) = x + 2,
A(1; 3).
221

3.10.
f (x) = −x
2
+ 3x,
A(2; −1).
3.11.
f (x) =
1
x
4
,
A(2; 1).
3.12.
f (x) = 2x − 2,
A(2; 1).
3.13.
f (x) = 2x + 4,
A(−1; 1).
3.14.
f (x) = −x + 1,
A(−2; −3).
3.15.
f (x) = 1 − 4x,
A(−1; 9).
3.16.
f (x) = x
3
,
A(1; −1).
3.17.
f (x) = 3x
2
− 2x,
A(0; 0).
3.18.
f (x) = 3x
2
+ 1,
A(0; 8).
3.19.
f (x) = 2x − 3,
A(0; 5).
3.20.
f (x) = 3x
2
− 2x + 4,
A(−1; 1).
3.21.
f (x) = 4x − 6x
2
+ 1,
A(0; 2).
3.22.
f (x) = 4x − x
3
,
A(2; 1).
3.23.
f (x) = (2x + 1)
2
,
A(−3; −1).
3.24.
f (x) = 3x
2
− 2x + 8,
A(0; 3).
3.25.
f (x) = 5x − 5x
2
+ 1,
A(1; 3).
3.26.
f (x) = 4x − 2x
2
,
A(−2; 3).
3.27.
f (x) = (3x + 2)
2
,
A(1; 1).
3.28.
f (x) = (x + 2)
2
,
A(−1; 0).
3.29.
f (x) = (10z + 4x)
2
,
A(0; 0).
3.30.
f (x) = 1 + 2x,
A(−4; 5).
4. Найдите неопределенные интегралы dx.
4.2.
2x
5
+
√
x−20 3
√
x
3x
2
dx.
4.3.
7
√
x
3
+3x
3
+1 5x
2
dx.
4.4.
x
2
+
7
√
x
2
−4 3
√
x dx.
4.5.
5
√
x
2
+x
5
−2
x
4
dx.
4.6.
2 3
√
x
2
−x
4
+1 3x
6
dx.
4.7.
4
√
x +
3x x
1 2
+ 1
dx.
4.8.
3x
2
−
√
x
3
−4 3
√
x dx.
4.9.
10x
2
+
3
√
x
2
−2 5
√
x dx.
4.10.
x
5
+
8
√
x
5
−2x
3
√
x dx.
4.11.
6
√
x
5
−3x
2
+7 5
4
√
x
5
dx.
4.12.
x
√
x +
3 3
√
x
+ 5
dx.
4.13.
x
10
−
4
√
x x
3
− 6 dx.
4.14.
11
√
x
9
−2x
3
+4 3x
2
dx.
222

4.15.
4
√
x x
+ x
4
+ 10
dx.
4.16.
3
√
x+7x
3
−4 3
√
x dx.
4.17.
5x
3
+x
4
√
x
3
−2
√
x dx.
4.18.
x
4
+
√
x+2 4
√
x x
2
dx.
4.19.
4
√
x+13x
3
+x
3
√
x
2
dx.
4.20.
x
2
+