Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью

• Название: Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
• Анкор: Углирж.pdf
• Дата: 27.12.2017
• Размер: 5.93 Mb.
• Имя файла: Углирж.pdf
• Тип: Учебное пособие; #13192
• страница: 15 из 17

4−4 sin x+3 cos x
18.29.
tg x dx sin
2
x+3 cos
2
x
18.30.
sin
3
x dx
3
√
cos
4
x
231

9
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ
§1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a; b], a < Выполним следующие действия. С помощью точек x
0
= a, x
1
, x
2
, . . . , x n
= b таких, что x
1
< . . . < x n
), разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков [x
0
; x
1
], [x
1
; x
2
], . . . , [x n−1
, x n
] (см. рис. 27).
2. В каждом частичном отрезке [x i−1
; x i
], i = 1, 2, . . . , n выберем произвольную точку c i
∈ [x i−1
; x i
] и вычислим значение функции в ней, те. величину f (c Рис. 27 3. Умножим найденное значение функции f (c i
) на длину x
i
= x i
− x соответствующего частичного отрезка f (c i
) ·
x i
4. Составим сумму S
n всех таких произведений f (c
1
)
x
1
+ f (c
2
)
x
2
+ . . . + f (c n
)
x n
=
n i=1
f (c i
)
x Сумма такого вида называется интегральной суммой функции) на отрезке [a; b]. Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка λ = max x
i
, где i = 1, 2, . . . , n.
232

5. Найдем предел вышеуказанной интегральной суммы, когда n → ∞ так, что λ → Если при этом интегральная сумма S
n имеет предел I, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции y = f (x) на отрезке [a; и обозначается b
a f (x) Таким образом =
b a
f (x) dx =
lim n→∞(λ→0)
n i=1
f (c i
)
x Числа a и b называются соответственно нижними верхним пределами интегрирования, x – переменной интегрирования, отрезок областью (отрезком) интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением.
Функция y = f (x), для которой на отрезке [a; b] существует определенный интеграл b
a f (x) dx, называется интегрируемой на этом отрезке.
Теорема Коши. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке b], то определенный интеграл b
a f (x) dx существует. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА a
f (x) dx = −
a b
f (x) dx.
2.
a a
f (x) dx = 0.
3.
b a
f (x) dx =
b a
f (t) dt, те. переменную интегрирования можно обозначить любой буквой a
(f
1
(x) ± f
2
(x)) dx =
b a
f
1
(x) dx ±
b a
f
2
(x) dx.
5.
b a
c · f (x) dx = c ·
b a
f (x) dx.
233

6.
b a
f (x) dx =
c a
f (x) dx +
b c
f (x) dx, где a < c < b.
7. Если f (x)
0 на отрезке [a; b], то b
a f (x) dx
0; если f (x)
0 для всех точек x ∈ [a; b], то b
a f (x) dx
0.
8. Если f (x)
g(x) на отрезке [a; b], то b
a f (x) dx b
a g(x) dx.
9. Если M – наибольшее, m – наименьшее значение f (x) на отрезке [a; b], то m(b − a)
b a
f (x) dx
M (b − a).
10.
b a
f (x) dx = f (c)(b − a), для c ∈ [a; b] (теорема о среднем a
f (x) dx b
a
|f (x)| dx.
12.
x a
f (t) dt x
= f (x).
§3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция y = f (такая что f (x)
0 для всех x ∈ [a; b]. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x), снизу осью Ox, сбоку – прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.
Для этого отрезок [a; b] точками a = x
0
, x
1
, . . . , x n
= b (таких, что x
0
< x
1
< . . . < x n
) разобьем на n частичных отрезков x
1
], [x
1
; x
2
], . . . ,[x n−1
; x n
] (см. рис. 28). В каждом частичном отрезке [x i−1
; x i
] (i = 1, 2, . . . , n) возьмем произвольную точку c и вычислим значение функции в ней, те Умножим значение функции f (c i
) на длину ∆x i
= x i
− x соответствующего частичного отрезка. Произведение f (c i
) · ∆x равно площади прямоугольника с основанием ∆x и высотой f (c Сумма всех таких произведений

f (c
1
)∆x
1
+ f (c
2
)∆x
2
+ . . . + f (c n
)∆x n
=
n i=1
f (c i
)∆x i
= S
n равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна S криволинейной трапеции ≈ S
n
=
n i=1
f (c i
) · ∆x Рис. С уменьшением всех величин ∆x точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому заточное значение площади криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S
n
, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max ∆x i
→ 0 :
S = lim n→∞
S
n
=
lim n→∞(λ→0)
n i=1
f (c i
)∆x i
, те Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Теорема. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; и F (x) – какая-либо ее первообразная на [a; b], то имеет место формула b
a f (x) dx = F (b) − F (Восстановим ситуацию (указанную в пункте (3)) о разбиении отрезка [a; b] с помощью точек x
0
= a, x
1
, x
2
, . . . , x n
= b, обладающих свойством x
0
< x
1
< . . . < x n
, на n частичных отрезков x
1
], [x
1
; x
2
], . . . , [x n−1
, x n
] (см. рис. Рассмотрим тождество (b) − F (a) = F (x n
) − F (x
0
) = (F (x n
) − F (x n−1
)) +
+(F (x n−1
) − F (x n−2
)) + . . . + (F (x
2
) − F (x
1
)) + (F (x
1
) − F (Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа Получим (b) − F (a) = F (c n
) · (x n
− x n−1
) + F (c n−1
) · (x n−1
− x n−2
) + . . .
. . . + F (c
2
) · (x
2
− x
1
) + F (c
1
) · (x
1
− x
0
) =
n i=1
F (c i
)∆x i
=
=
n i=1
f (c i
) · ∆x те, где c есть некоторая точка интервала. Так как функция y = f (x) непрерывна на [a; b], то она интегрируема на [a; b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f (x) на [a; b].
236

Переходя в полученном выше равенстве к пределу при = max ∆x i
→ 0, получаем (b) − F (a) = lim
λ→0
n i=1
f (c i
)∆x i
, те) Равенство F (b) − F (a) =
b a
f (x) dx называют формулой Ньютона Лейбница. Если ввести обозначение F (b) − F (a) = F (x)|
b то ее можно переписать так a
f (x) dx = F (x)|
b Формула Ньютона–Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f (x) на отрезке [a; b], надо найти ее первообразную функцию F (x) и взять разность F (b) − F (a) значений этой первообразной на концах отрезка [a; b].
§5. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Для определенного интеграла также, как и для неопределенного, справедливы формулы интегрирования по частями замены переменного. Использование этих приемов позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным. Интегрирование по частям a
u dv = uv|
b a
−
b a
v du, где u = u(x) и v = v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a; b] (см. задачу 6.1-6.2).
2. Замена переменной a
f (x) dx
=
β
α
f [ϕ(t)] ϕ (t) dt, где x = ϕ(t) – функция, непрерывная вместе со своей производной (t) на отрезке α
t
β, причем a = ϕ(α) и b = ϕ(β), f [ϕ(t)] функция, непрерывная на [α, β] (см. задачу Замечание. Заметим, что а) функцию x = ϕ(t) следует подобрать так, чтобы, подставив ее вместо x в подынтегральное выражение, получить более простой интеграл б) новые пределы

интегрирования находить из соотношений a = ϕ(α) ив) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется (в отличие от неопределенного интеграла г) вместо подстановки x = ϕ(t) применяют равноценную ей подстановку t = ψ(x).
3. Если f (x) – нечетная функция, то a
−a f (x) dx = 0. Если f (x) – функция четная, то a
−a f (x) dx = 2
a
0
f (x) dx.
§6. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Задача 6.1. Вычислить 0
x e
−x dx. Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Пусть u = x, dv = e
−x dx, тогда получим du = dx, v = −e
−x
. Подставляя полученные результаты в формулу интегрирования по частям, получаем 0
x e
−x dx = −x e
−x
|
1 0
+
1 0
e
−x dx = −e
−1
− e
−x
|
1 0
= −2e
−1
+ 1 =
e−2
e
Задача
6.2.
Вычислить
1 0
ln(1 + x) dx.
Решение.
Пусть u = ln(1 + x), dv = dx, тогда du =
dx
1+x и v = x. Используя полученные результаты, получаем 0
ln(1 + x) dx = x ln(1 + x)|
1 0
−
1 0
x ·
dx
1+x
= x ln(1 + x)|
1 0
−
1 0
x+1−1 1+x dx =
= x ln(1 + x)|
1 0
−
1 0
dx +
1 0
1 1+x dx = x ln(1 + x)|
1 0
− x|
1 0
+ ln(1 + x)|
1 0
=
= ln 4 − Задача 6.3. Вычислить 1
dx
5+2
√
x
. Решение. Применим подстановку. Тогда x = t
2
, dx = 2t dt. Находим новые пределы интегрирования t(x = 1) = 1, t(x = 9) = Применяя правило интегрирования подстановкой, получим 1
dx
5+2
√
x
=
3 1
2t dt
5+2t
=
3 1
2t+5−5 2t+5
dt = (t − 5 ·
1 2
ln |2t + 5|)|
3 1
= 2 −
5 2
ln
11 7
238

Задача 6.4. Вычислить интеграл 0
dx
3+2 cos x с помощью подстановки. Решение. Положим tg x
2
=
t. Тогда x
=
2 arctg t,
dx =
2 1+t
2
dt, cos x =
1−t
2 1+t
2
. Находим новые пределы интегрирования Следовательно 0
dx
3+2 cos x
=
1 0
2 1+t2 3+2·
1−t2 1+t2
dt =
1 0
2
t
2
+5
dt =
2
√
5
arctg t
√
5
|
1 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Применяя формулу Ньютона–Лейбница, вычислить определенные интегралы:
а)
2 1
(2x − x
2
) б 0
(x + 2x
2
) в + где ж 0
sin
3
x з и кл+ м 0
|1 − x| dx.
189. Применяя указанную замену, вычислить определенные интегралы:
а)
√
3 1
x dx
1+x
2
, x
2
= б 1
x dx
√
2x+5
, 2x + 5 = в dx
√
5−4x
, 5 − 4x = где ж 0
√
3 + x
2
dx, x =
√
3 tg з 0
x
2
√
9 − x
2
dx, x = 3 sin и 1
2
dx
√
x(1+
3
√
x)
, x = кл мн оп. Вычислить определенные интегралы, применяя формулу интегрирования по частям:
а)
2 1
ln x б 0
x cos x в 0
x e
−2x где ж 0
arctg x з 0
x arctg x ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Вычислить определенные интегралы 6x + 8) dx.
1.2.
5 4
(2x
2
+ 3x − 8) dx.
1.3.
0
−2
(4x
2
− 6x + 1) dx.
1.4.
1
−3
(5x
2
− 2x + 8) dx.
1.5.
2 0
(3x
2
− 4x + 2) dx.
1.6.
4
−1
(6x
2
+ 5x + 6) dx.
1.7.
6 2
(6x
2
− 17x − 18) dx.
1.8.
3
−1
(5x
2
− 2x − 2) dx.
240

1.9.
1
−4
(4x
2
− x − 2) dx.
1.10.
5
−1
(3x
2
+ 4x + 9) dx.
1.11.
0
−5
(4x
2
+
1 2
x −
1 2
) dx.
1.12.
8
−3
(4x
2
− 8x + 3) dx.
1.13.
6
−1
(3x
2
− 5x − 78) dx.
1.14.
5 0
(9x
2
+ 18x + 5) dx.
1.15.
10
−2
(5x
2
+ 8x + 3) dx.
1.16.
2
−1
(3x
2
+ 2x − 1) dx.
1.17.
1
−3
(3x
2
+ 5x − 2) dx.
1.18.
2
−2
(9x
2
+ 9x + 2) dx.
1.19.
0
−10
(3x
2
− 11x + 6) dx.
1.20.
1
−9
(4x
2
+ 12x + 9) dx.
1.21.
7
−1
(2x
2
− 5x + 6) dx.
1.22.
6
−2
(4x
2
− 8x + 7) dx.
1.23.
8
−1
(2x
2
+ x − 3) dx.
1.24.
5
−5
(2x
2
+ 7x + 1) dx.
1.25.
4
−4
(4x
2
+ 6x + 1) dx.
1.26.
3
−3
(3x
2
+ 7x − 1) dx.
1.27.
2
−2
(4x
2
− 15x + 5) dx.
1.28.
1
−1
(2x
2
+ 11x − 5) dx.
1.29.
10 0
(3x
2
− x + 1) dx.
1.30.
1
−6
(5x
2
− x + 2) dx.
2. Вычислить определенные интегралы.
2.1.
а)
3 0
(1 − б в ea
1
x а 0
(x + б в a
√
e
1
x а 2
(1 − x)
4
dx;
б)
14
−2
dx
3
√
(1+
x
2
)
2
;
в)
b
3
√
e b
e2 1
x dx.
241

а 0
(1 б в e
1
x а +б в 1
z
√
z dz
4
√
z
3 а − б в 1
z
2
√
z
−1
dz
3
√
z
1,5 а 1
(1 − 2x)
7
dx;
б)
14
−20
dx
3
√
(1+
x
2
)
2
;
в)
e
2 а 3
0
(3x + б в а − б в 2
4 а 0
(3 − б в 0
sin а +б в ab
2
e
4x а 0
(1 + б в а 0
(x − 2)
2
dx;
б)
2
−2
dx
√
2x+5
;
в)
b
√
b b
2 а 2
(x + 1)
2
dx;
б)
6
−2
dx
√
x+3
;
в)
π
2 0
cos 8x а 2
1 2
(2x + б в а 3
0
(3x + б 0
dx
√
3x+2
;
в)
√
π
0
e
√
5
dx.
2.17.
а)
0
−1
(4x + б в 1
5
√
x dx а − 3)
2
dx;
б)
−1
−2
dx
3
√
x+3
;
в)
e
3 1
4x dx x
1,5 242

а + б в а + б в а + б в 1
√
x dx а + б в а 0
(2 − б в 5
√
x а 1
(4 − б в 1
6 dx а +б в а + б в а 1
2
(3x + б в 1
(x +
√
x x
) а − б в 2
(1−x
4
) а 0
(3x − 9)
3
dx;
б)
2
−2
dx
√
3x+6
;
в)
e
1
(
1
x
+ 2x) а + 2)
4
dx;
б)
6
−2
dx
3
√
x+3
;
в)
e
1
(
1
x
− 4x) dx.
3. Вычислить определенные интегралы ln(1 − x) dx.
3.2.
4 2
√
16−x
2
x
4
dx.
3.3.
4 0
x
3
√
x
2
+ 9 dx.
3.4.
√
2 1
dx x
5
√
x
2
−1 243

3.5.
0
−1
(x + 1)e
−2x dx.
3.6.
3 0
x
3
dx
√
9+x
2 3.7.
π
4 0
x tg
2
x dx.
3.8.
√
6 0
√
6 − x
2
dx.
3.9.
π
9 0
x dx cos
2 3x
3.10.
3 0
dx
(9+x
2
)
√
9+x
2 3.11.
e
1
x ln
2
x dx.
3.12.
6 2
√
3
dx x
2
√
x
2
−9 3.13.
2 3
2
arctg (2x − 3) dx.
3.14.
4 2
√
x
2
−4
x dx.
3.15.
π
8 0
x
2
sin 4x dx.
3.16.
√
2,5 0
dx
(5−x
2
)
3 3.17.
π
0
(x + 2) cos x
2
dx.
3.18.
2
√
3
dx x
4
√
x
2
−3 3.19.
π
2 0
x cos x dx.
3.20.
1
√
2
√
4−x
2
x
2
dx.
3.21.
π
0
x
2
sin x dx.
3.22.
1 0
√
4 − x
2
dx.
3.23.
0
−
1 2
x e
−2x dx.
3.24.
3
−3
x
2
√
9 − x
2
dx.
3.25.
−
2 3
−
1 3
x e
3x dx.
3.26.
1 0
(1 − x
2
)
3
dx.
3.27.
e
1
ln
2
x x
2
dx.
3.28.
2 1
√
x
2
−1
x dx.
3.29.
3 2
x ln (x − 1) dx.
3.30.
1 0
dx
(x
2
+3)
3 2
4. Вычислить определенные интегралы 2
dx
(x−1)
2
(x+1)
4.2.
1 0
dx x
2
+4x+5 244

4.3.
1 0
x dx x
2
+3x+2 4.4.
7 4
dx x
2
+3x−10 4.5.
10 8
(x
2
+3) dx x
3
−x
2
−6x
4.6.
1
−1
dx x
2
+2x+3 4.7.
3 2
(2x
2
+4) dx x
3
−x
2
−x+1 4.8.
2 1
6
dx
3x
2
−x+1 4.9.
√
3 1
dx x
4
+x
2 4.10.
5 3,5
x dx x
2
−7x+13 4.11.
5 4
dx x
2
(x−1)
4.12.
4 3
x
2
dx x
2
−6x+10 4.13.
2 0
dx
(x+1)(x
2
+4)
4.14.
3 2
(3x−2) dx x
2
−4x+5x
4.15.
3 2
(x+2) dx x
2
(x−1)
4.16.
1
−
1 2
x
3
dx x
2
+x+1 4.17.
3 2
dx x
2
(x−1)
4.18.
10 7
x
3
dx x
2
−3x+2 4.19.
3 2
(3x
2
+2x−3) dx x
3
−x
4.20.
3 2
dx
2x
2
+3x−2 4.21.
1 2
1 3
x dx
(x−1)
3 4.22.
1 2
−
1 2
dx
4x
2
+4x+5 4.23.
5 4
dx
(x−1)(x+2)
4.24.
2 0
x dx x
2
+3x+2 4.25.
4 3
dx
(x+1)(x−2)
4.26.
−2
−5
dx x
2
+4x−21 4.27.
2 1
dx x
3
+1 4.28.
2 1
(x−5) dx x
2
−2x+2 4.29.
5 3
(x
2
+2) dx
(x+1)
2
(x−1)
4.30.
1
−1
dx x
2
+2x+5 245

§7. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определенный интеграл b
a f (x) dx, где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], называют еще собственным интегралом.
Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е.
определенный интеграл от непрерывной функции, нос бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв. Интегралы с бесконечными пределами (I рода).
Пусть функция y = f (x) интегрируема на любом отрезке [a; Тогда несобственные интегралы с бесконечными пределами (или рода) определяются следующим образом f (x) dx = lim b→+∞
b a
f (x) dx,
b
−∞
f (x) dx = lim a→−∞
b a
f (x) dx,
+∞
−∞
f (x) dx = lim a→−∞
c a
f (x) dx + lim b→+∞
b c
f (x) где c – произвольное число (обычно c = 0) (см. задачи Несобственные интегралы I рода называются сходящимися,
если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях приведенных равенств. Если указанные пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы называются расходящимися. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов I рода. Перечислим некоторые признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов I рода. Если на промежутке [a; +∞) непрерывные функции f (x) и g(x) удовлетворяют условию 0
f (x)
g(x), то из сходимости интеграла g(x) dx следует сходимость интеграла f (x) dx, а

из расходимости интеграла f (x) dx следует расходимость интеграла (признак сравнения) (см. задачу 8.4).
2. Если при x ∈ [a; +∞), f (x) > 0, g(x) > 0 и существует конечный предел lim x→+∞
f (x)
g(x)
= k = 0, то интегралы f (x) dx и g(x) dx сходятся или расходятся одновременно (предельный признак сравнения) (см. задачу 8.5).
3. Если сходится интеграл (x)| dx, то сходится и интеграл, который в этом случае называется абсолютно сходящимся. Интегралы от неограниченных функций (II рода).