Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
 Скачать 5.93 Mb.
|
|
≥ 0, 2x 1 − x 2 ≤ 0, x 1 + x 2 ≥ 6, x i ≥ 0, i = 1, 2. 11 Z(X) = 5x 1 + 2x 2 → max 12 Z(X) = 2x 1 + 3x 2 → max 6x 1 − x 2 ≥ 3, −x 1 + 2x 2 ≤ 8, 3x 1 + 2x 2 ≤ 24, x 1 − x 2 ≤ 3, x 1 + 2x 2 ≥ 2, x i ≥ 0, i = 1, 2. x 1 + 2x 2 ≥ 2, x 1 + x 2 ≥ 2, 2x 1 + x 2 ≤ 8, 2x 1 − 3x 2 ≤ 0, x i ≥ 0, i = 1, 2. 13 Z(X) = 3x 1 + 2x 2 → max 14 Z(X) = 4x 1 + 6x 2 → min 3x 1 − x 2 ≥ 0, x 1 − x 2 ≥ −2, 4x 1 − x 2 ≤ 16, 2x 1 − x 2 ≤ 6, x i ≥ 0, i = 1, 2. 4x 1 − 5x 2 ≥ 0, 2x 1 − 3x 2 ≤ 0, 2x 1 + 3x 2 ≤ 6, 2x 1 + x 2 ≥ 2, x i ≥ 0, i = 1, 2. 199 Вар. Задачи Вар. Задачи 15 Z(X) = 2x 1 + 5x 2 → min 16 Z(X) = −x 1 + 4x 2 → min 2x 1 + x 2 ≥ 4, −x 1 + x 2 ≤ 4, x 1 + 2x 2 ≤ 14, −x 1 + 3x 2 ≥ 5, x 1 ≤ 4, x i ≥ 0, i = 1, 2. 2x 1 − 3x 2 ≤ 6, 3x 1 − 2x 2 ≤ 6, 2x 1 + 3x 2 ≥ 0, x 1 + x 2 ≥ 4, x i ≥ 0, i = 1, 2. 17 Z(X) = 3x 1 + x 2 → max 18 Z(X) = x 1 + 4x 2 → min −x 1 + x 2 ≤ 2, 2x 1 + 3x 2 ≥ 16, x 1 + x 2 ≤ 10, 2x 1 − x 2 ≤ 8, x i ≥ 0, i = 1, 2. 2x 1 + 3x 2 ≥ 6, −2x 1 + 3x 2 ≥ 6, x 1 + x 2 ≤ 5, 2x 1 − 3x 2 ≤ 0, x i ≥ 0, i = 1, 2. 19 Z(X) = 3x 1 + 2x 2 → max 20 Z(X) = x 1 − 4x 2 → min 2x 1 − x 2 ≥ 0, −x 1 + 2x 2 ≥ 3, x 2 ≤ 3, x i ≥ 0, i = 1, 2. x 1 − 3x 2 ≤ 0, x 1 − x 2 ≥ 0, 2x 1 + x 2 ≥ 6, 2x 1 + 3x 2 ≤ 18, x i ≥ 0, i = 1, 2. 21 Z(X) = 3x 1 + 2x 2 → min 22 Z(X) = 5x 1 + x 2 → min 2x 1 + x 2 ≥ 9, x 1 + 2x 2 ≤ 15, x 1 + 2x 2 ≥ 9, 2x 1 + x 2 ≤ 15, x i ≥ 0, i = 1, 2. 2x 1 − 3x 2 ≥ 0, x 1 + 3x 2 ≥ 9, x 1 − 3x 2 ≤ 3, −x 1 + 3x 2 ≤ 3, x i ≥ 0, i = 1, 2. 23 Z(X) = x 1 − 3x 2 → min 24 Z(X) = 4x 1 + 3x 2 → min −x 1 + 2x 2 ≤ 12, 2x 1 − x 2 ≤ 6, −x 1 + x 2 ≤ 3, 2x 1 + x 2 ≤ 6, x i ≥ 0, i = 1, 2. 2x 1 + 3x 2 ≥ 0, 2x 1 + x 2 ≥ 4, 3x 1 − x 2 ≥ 0, 2x 1 + 3x 2 ≤ 12, x i ≥ 0, i = 1, 2. 200 Вар. Задачи Вар. Задачи 25 Z(X) = 3x 1 − x 2 → max 26 Z(X) = 2x 1 + 3x 2 → min −3x 1 + 2x 2 ≤ 6, 2x 1 − 3x 2 ≤ 6, x 1 ≤ 6, x 2 ≤ 6, x i ≥ 0, i = 1, 2. x 1 + x 2 ≥ 2, x 1 − x 2 ≤ 0, 3x 1 + x 2 ≥ 6, 3x 1 − x 2 ≤ 6, x i ≥ 0, i = 1, 2. 27 Z(X) = x 1 − 2x 2 → min 28 Z(X) = 3x 1 − x 2 → min 2x 1 − x 2 ≥ −2, −x 1 + 2x 2 ≤ 7, −4x 1 + 3x 2 ≥ −12, x 1 + 3x 2 ≥ 18, x i ≥ 0, i = 1, 2. 2x 1 − x 2 ≤ 4, −x 1 + x 2 ≤ 2, 3x 1 − 2x 2 ≥ 0, x 1 + x 2 ≤ 5, x i ≥ 0, i = 1, 2. 29 Z(X) = 3x 1 + 6x 2 → max 30 Z(X) = 3x 1 + 4x 2 → max −4x 1 + x 2 ≥ 0, x 1 − x 2 ≥ −3, 2x 1 − 3x 2 ≤ 6, x i ≥ 0, i = 1, 2. 4x 1 − x 2 ≥ 0, −x 1 + x 2 ≤ 3, 3x 1 + 2x 2 ≥ 6, x 1 + 5x 2 ≤ 10, x i ≥ 0, i = 1, 2. §8. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИX ПЕРЕМЕННЫХ» Задача 1. Найти область определения функции z = Решение. Функция u принимает действительные значения при условии −1 x + y 1. Областью определения данной функции является полоса между параллельными прямыми x+y 1 и Задача 2. Найти область определения и множество значений функции z = x 2 + Решение. Область определения этой функции – множество всех пар чисел (x; y), те. вся плоскость Oxy, а множество значений промежуток U = [0; +Задача 3. Найти область определения и множество значений функции z = 1 − x 2 − y 2 201 Решение. Областью определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение − x 2 − определено, те. множество точек, для которых 1 − x 2 − y 2 0 или x 2 + y 2 1. Множество всех таких точек образует круг с центром вначале координат и радиусом, равным единице. Множество значений функции представляет собой отрезок [0; Задача 4. Найти область определения и множество значений функции z = ln(y − x 2 + Решение. Данная функция определена в тех точках плоскости, в которых y − x 2 + 2x > 0, или y > x 2 − 2x. Точки плоскости, для которых y > x 2 − 2x, образуют границу области D и находятся между ветвями параболы y = x 2 − 2x. Сама парабола в данную область не входит. Так как выражение под знаком логарифма может принимать сколь угодно малые и сколь угодно большие положительные значения, то область значений функции : −∞ < z < +Задача 5. Найти область определения функции u = √ x + y + Решение. Данная функция зависит от трех переменных и принимает действительные значения при x+y+z 0. Следовательно, областью определения данной функции будет являться часть пространства над плоскостью x + y + z = 0, включая эту плоскость. Задача 6. Найти линии уровня функции z = x Решение. Уравнение семейства линий уровня имеет вид x y = Придавая C различные действительные значения, получим семейство прямых y = Cx, при условии y = Задача 7. Найти поверхности уровня функции u = x 2 + y 2 + z 2 Решение. Уравнение семейства поверхностей имеет вид x 2 + y 2 + z 2 = C, C ≥ 0. Придавая C различные значения, получим семейство сфер с общим центром вначале координат. Задача 8. Найти частные производные первого порядка для функции z = e Решение. Рассматривая y как постоянную величину, получим e x 2 +y 2 ·(x 2 +y 2 ) x = 2xe x 2 +y 2 . Рассматривая x как постоянную, найдем ∂z ∂y = e x 2 +y 2 · (x 2 + y 2 ) y = 2ye x 2 +y 2 202 Задача 9. Найти частные производные первого порядка для функции z = arctg Решение 1+( y x ) 2 · (− y x 2 ) = − y x 2 +y 2 , ∂z ∂y = 1 1+( y x ) 2 · ( 1 x ) = x Задача 10. Найти частные производные первого порядка для функции u = ln 2 (x 2 + y 2 + Решение. Находим 2 ln (x 2 + y 2 + z 2 ) · 1 x 2 +y 2 +z 2 · 2x, ∂u ∂y = 2 ln (x 2 +y 2 +z 2 )· 1 x 2 +y 2 +z 2 ·2y, ∂u ∂z = 2 ln (Задача 11. z = ln(x 2 + y 2 ). Найти Решение. Найдем частные производные (x 2 + y 2 ) x = 2x x 2 +y 2 , ∂z ∂y = 1 x 2 +y 2 · (x 2 + y 2 ) y = 2y Следовательно, dz = 2x x 2 +y 2 dx + 2y x 2 +y 2 dy Задача 12. u = e xyz . Найти Решение. Найдем частные производные e xyz · yz, ∂u ∂y = e xyz · xz, ∂u ∂z = e xyz · Следовательно, du = e xyz · yzdx + e xyz · xzdy + e xyz · xydz = = e xyz (yzdx + xzdy + Задача 13. Найти производную функции z = 3x 2 + в точке −1) по направлению к точке B(2; Решение. Вычислим координаты вектора = − → l = (1; Следовательно, | − → l | = √ 5, cos α = 1 √ 5 , cos β = 2 √ 5 . Тогда координаты орт направления равны. Далее, имеем x (1; −1) = 6, z y (1; −1) = Значит 6 · 1 √ 5 − 10·2 √ 5 = − 14 √ 5 . Отрицательность означает, что функция в этом направлении убывает. Задача 14. Найти экстремум функции z = x 3 + y 3 − Решение Находим частные производные первого порядка 3x 2 − 15y; ∂z ∂y = 3y 2 − 15x. 203 Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки 15y = 0, 3y 2 − 15x = или x 2 − 5y = 0, y 2 − 5x = По результатам решения данной системы находим две стационарные точки M 1 (0; 0), M 2 (5; Вычислим значение вторых производных для каждой из полученных точек 0) = 0, ∂ 2 z ∂x∂y (0; 0) = −15, ∂ 2 z ∂y 2 (0; 0) = 0; ∂ 2 z ∂x 2 (5; 5) = 30, ∂ 2 z ∂x∂y (5; 5) = −15, ∂ 2 z ∂y 2 (5; 5) = Составим дискриминант для каждой точки: а) M 1 (0; 0) : = −225 < 0 – в данной точке экстремума нет; б) M 2 (5; 5) : = 675 – в данной точке функция имеет максимум. Значение функции в этой точке вычисляется прямой подстановкой Задача 15. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x 2 − 2y 2 + 4xy − 6x − 1 в треугольнике, ограниченном прямыми x = 0, y = 0, x + y = Решение Вычислим частные производные первого порядка 2x + 4y − 6, ∂z ∂y = −4y + Найдем все критические точки, решив систему + 4y − 6 = 0, 4x − 4y = Решением системы является точка (1; 1). Эта точка лежит в указанной области, следовательно вычислим значение функции в ней z(1; 1) = Проведем исследование функции на границе области: а) x = 0, z = −2y 2 − 1, z y = −4y, −4y = 0, y = 0. Точка 0) лежит в указанной области, найдем значение функции в ней 0) = −1. 204 б) y = 0, z = x 2 − 6x − 1, z x = 2x − 6, 2x − 6 = 0, x = 3. Точка 0) лежит в указанной области, вычислим значение функции в ней z(3; 0) = в) x + y = 3, y = 3 − x, z = x 2 − 2(3 − x) 2 + 4x(3 − x) − 6x − 1 = = −5x 2 + 18x − 19. z x = −10x + 18, −10x + 18 = 0, x = 9 5 . Точка 5 ; 6 5 ) лежит в указанной области, вычислим значение функции в ней z( 9 5 ; 6 5 ) = −3 13 Сравнивая полученные результаты, приходим к выводу, что наибольшее значение функции z(0; 0) = −1, а наименьшее значение функции z(3; 0) = Задача 16. Имеются следующие данные о цене нефти x (ден. ед.) и индекс акций нефтяных компаний y (усл. ед 17,05 18,30 18,80 19,20 18,50 y 537 534 550 555 560 Предполагая, что между переменными x и y существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу вида y = ax + применяя метод наименьших квадратов. Решение. Найдем необходимые для расчетов суммы n i=1 x i , n i=1 y i , n i=1 x i y i , n i=1 x 2 i . Промежуточные вычисления оформим в виде вспомогательной таблицы x i y i x i · y i x 2 i 1 17,28 537 9279,36 298,5984 2 17,05 534 9104,70 290,7025 3 18,30 550 10 065,00 334,8900 4 18,80 555 10 434,00 353,4400 5 19,20 560 10 752,00 368,6400 6 18,50 552 10 212,00 342,2500 109,13 3 288 59 847,06 1 Система нормальных уравнений имеет вид 1988,5208 a + 109,13 b = 59847,06, 109,13 a + 6b = Ее решение a = 12, 078, b = 328, 32 дает искомую зависимость = 12, 078 x + 328, 32. Таким образом, с увеличением цены на 1 ден. ед. индекс акций нефтяных компаний в среднем возрастает на 12, 08 усл. ед 8 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ §1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Различные задачи математического анализа и его многочисленные приложения в других дисциплинах часто приводят к обратной задаче поданной функции f (x) найти такую функцию F (x), производная которой была бы равна функции f (x). Восстановление функции по известной производной этой функции – одна из основных задач интегрального исчисления. Определение. Пусть функция f (x) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (a; b). Тогда функция F (называется первообразной для функции f (x) на интервале (a; если F (x) = f (x) для всех x ∈ (a; Очевидно, что если F (x) – первообразная функция для функции, то функция F (x) + C, где C – некоторая постоянная, также первообразная для функции f (x). Кроме того, если F (x) и) – две первообразные для функции f (x), то они отличаются на некоторую постоянную, те. существует такое число C ∈ R, что (x)−G(x) = C. Таким образом, зная только одну первообразную (x) для функции f (x), можно без труда найти и множество всех первообразных для этой функции, которое совпадает с множеством функций вида F (x) + C, где C – произвольная постоянная. Определение. Множество всех первообразных функций (x) + C для f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом f (x) Следовательно, по определению f (x) dx = F (x) + C. Здесь f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования знаком неопределенного интеграла. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых y = F (x) + C, где каждому числовому значению C соответствует определенная кривая семейства (рис. Рис. Заметим, что существует теорема, утверждающая, что всякая непрерывная на (a; b) функция имеет на этом промежутке первообразную, а следовательно, и неопределенный интеграл §2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Для практического применения полезно отметить ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции f (x) dx = f (x) dx, f (x) dx = f (x). 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной (x) = F (x) + C. 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла (x) dx = α · f (x) dx, α = 0 – постоянная. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) Отметим, что это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых. Если f (x) dx = F (x) + C, то и f (u) du = F (u) + C, где u = ϕ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную (инвариантность формулы интегрирования. ТАБЛИЦА ПРОСТЕЙШИХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ На основании определения неопределенного интеграла, правил интегрирования и таблицы производных основных элементарных функций можно составить таблицу основных неопределенных интегралов+ где α = −1 a u du = a u ln a + C e u du = e u + C a > o, a = 1 sin u du = − cos u + C cos u du = sin u + C du a 2 +u 2 = 1 a · arctg u a + C du u 2 −a 2 = 1 2a · ln u−a u+a + где a = где a = 0 du √ u 2 ±a 2 = ln u + √ u 2 ± a 2 + C du √ a 2 −u 2 = arcsin u a + где a = где a = 0 du cos 2 u = tg u + C du sin 2 u = − ctg u + C du cos u = ln tg u 2 + π 4 + C du sin u = ln tg u 2 + C sh u du = ch u + C ch u du = sh u + C du ch 2 u = th u + C du sh 2 u = − cth u + Замечание 1. Следует отметить, что в приведенной таблице буква u может обозначать как независимую переменную, таки непрерывно дифференцируемую функцию u = ϕ(x) аргумента Замечание 2. Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными §4. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Непосредственное интегрирование. На практике часто приходится иметь дело с неопределенными интегралами, в которых путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения его свойств можно привести заданный интеграл к одному или нескольким табличным интегралам. При сведении данного интеграла к табличному часто приходится применять преобразования дифференциала (операция подведения под знак дифференциала, некоторые из которых приведены ниже = d(x + a), a ∈ R e x dx = d(e x ) dx = 1 a · d(ax), a ∈ R \ {0} sin x dx = −d(cos x) x · dx = 1 2 · d(x 2 ) cos x dx = d(sin x) 1 √ x dx = 2d( √ x) 1 cos 2 x dx = d(tg x) 1 x dx = d(ln x) 1 sin 2 x dx = −d(ctg Следует помнить, что для дифференциала, как и для неопределенного интеграла, справедливо свойство инвариантности. Если y = f (u(x)) – сложная функция, то d(f (u)) = f (u) du (или dy = y u · du). То есть форма дифференциала не меняется, независимо оттого, рассматривается y как функция независимой переменной или зависимой переменной u. В общем случае формула f (u) du = d(f (u)) очень часто используется при вычислении интегралов (см. задачу 5.1). |