Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью

• Название: Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
• Анкор: Углирж.pdf
• Дата: 27.12.2017
• Размер: 5.93 Mb.
• Имя файла: Углирж.pdf
• Тип: Учебное пособие; #13192
• страница: 10 из 17

0 164. Найти производную функции z = ln (x
2
+ y
2
) в точке M (3; в направлении градиента функции z.
175

§5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Экстремум функции двух независимых переменных. Функция z = f (x; y) имеет максимум в точке M
0
(x
0
; если значение функции в этой точке больше, чем ее значение в любой другой точке M (x; y) некоторой окрестности точки M
0
, те) для всех точек M (x; y), удовлетворяющих условию, где δ – достаточно малое положительное число. Функция z = f (x; y) имеет минимум в точке M
0
(x
0
; y
0
), если значение функции в этой точке меньше, чем ее значение в любой другой точке M (x; y) некоторой окрестности точки M
0
, те) для всех точек M (x; y), удовлетворяющих условию, где δ – достаточно малое положительное число.
Необходимые условия экстремума. Если дифференцируемая функция z = f (x; y) достигает экстремума в точке M
0
(x
0
; y
0
), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, те Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка
(как и для случая функции одной переменной) является точкой экстремума.
Пусть M
0
(x
0
; y
0
) – стационарная точка функции z = f (x; Обозначим A =
∂
2
z
∂x
2
(x
0
; y
0
), B =
∂
2
z
∂x∂y
(x
0
; y
0
), C =
∂
2
z
∂y
2
(x
0
; y
0
) и составим дискриминант AC − B
2
. Тогда) если 0, то функция имеет в точке M
0
экстремум:
а)максимум при A < 0 (или C < 0); б) минимум при A > 0 (или > 0);
2) если 0, тов точке экстремума нет (достаточные условия наличия или отсутствия экстремума) если 0, то требуется дальнейшее исследование.
Решение одной из задач на вычисление экстремума функции двух переменных приведено в § 6 (см. задачу 14).
176

2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. Пусть функция z = f (x; определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего и наименьшего m значений. Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных или внутри области, или в точках,
лежащих на границе области.
Алгоритм исследования функции z = f (x; y) на наибольшее
(наименьшее значение в области D состоит в следующем. Найти все критические точки функции, принадлежащие и вычислить значения функции в них. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x; y) на границах области. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее M и наименьшее m (см. задачу ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Найти экстремумы функций:
а) z = x
2
+ xy + y
2
− 3x − б) z = 3x
2
− x
3
+ 3y
2
+ г) z =
1 2
xy + (47 − x − д) z = xy
2
(1 − x − ж) z = 4 − (x
2
+ y
2
)
2 з) z = e x
2
· (x + Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = x
2
+ 2xy − x + 8y в прямоугольнике x = 0, y = 0, x = 3, y = Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = xy + x + y в квадрате x = 1, x = 2, y = 2, y = Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = x
2
+ xy − 6x − 2y + 2 в прямоугольнике 1
x
3, Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = x
2
+ y
2
− 10x − 2y + 15 в прямоугольнике 2
x
6, Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = x
2
+ 3y
2
− 3x + y в области, заданной условиями x
1,
y
−1, x + Найти наибольшее и
наименьшее значения функции

z = x
2
− xy + y
2
− 4x в замкнутой области, ограниченной прямыми Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = x
2
+ 4xy − y
2
− 5 в треугольнике, ограниченном осями Ox и Oy и прямой y = 2 − Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = x
2
+ 3y
2
+ x − y в треугольнике, ограниченном прямыми x = 1, y = 1, x + y = Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = x
2
− 2xy + 4x − 4y + 7 в области, ограниченной параболой y = −x
2
− 4x и осью Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = x
2
− в круге x
2
+ y
2 Найти наибольшее и
наименьшее значения функции z = x
2
y(2 − x − y) в треугольнике, ограниченном прямыми x = 0,
y = 0, x + y = 6.
177. Число 12 разбить натри положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. Найти прямоугольный параллелепипед данной поверхности, имеющий наибольший объем V ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Найдите область определения указанных функций =
3xy
2x−5y
2.
z = arcsin(x − y).
3.
z =
y
2
− x
2 4.
z = ln(4 − x
2
− y
2
).
5.
z =
2 6−x
2
−y
2 6.
z =
y
2
+ x
2
− 5.
7.
z = arccos(x + y).
8.
z = 3x +
y
2−x−y
9.
z =
9 − x
2
− y
2 10.
z = ln(x
2
+ y
2
− 3).
11.
z =
2x
2
− y
2 12.
z =
4xy x−3y+1 13.
z =
√
xy x
2
+y
2 14.
z = arcsin(
x y
).
15.
z = ln(y
2
− x
2
).
16.
z =
x
3
y
3+x−y
178

17.
z = arccos(x + 2y).
18.
z = arcsin(2x − y).
19.
z = ln(9 − x
2
− y
2
).
20.
z =
3 − x
2
− y
2 21.
z =
1
√
x
2
+y
2
−5 22.
z = 4x +
y
2x−5y
23.
z =
√
3x−2y x
2
+y
2
+4 24.
z =
5 4−x
2
−y
2 25.
z = ln(2x − y).
26.
z =
7x
3
y x−4y
27.
z =
√
1 − x − y.
28.
z = e
√
x
2
+y
2
−1 29.
z =
1
x
2
+y
2
−6 30.
z =
4xy x
2
−y
2 2. Найти полные дифференциалы указанных функций = 2x
3
y − 4xy
5 2.
z = x
2
y sin x − 3y.
3.
z = arctg x +
√
y.
4.
z = arcsin(xy) − 3xy
2 5.
z = 5xy
4
+ 2x
2
y
7 6.
z = cos(x
2
− y
2
) + x
3 7.
z = ln(3x
2
− 2y
2
).
8.
z = 5xy
2
− 3x
3
y
4 9.
z = arcsin(x + y).
10.
z = arctg(2x − y).
11.
z = 7x
3
−
√
xy.
12.
z =
x
2
+ y
2
− 2xy.
13.
z = e x+y−4 14.
z = cos(3x + y) − x
2 15.
z = tg(
x+y x−y
).
16.
z = ctg(
y x
).
17.
z = xy
4
− 3x
2
y + 1.
18.
z = ln(x + xy − y
2
).
19.
z = 2x
2
y
2
+ x
3
− y
3 20.
z =
3x
2
− 2y
2
+ 5.
21.
z = arcsin(
x+y x
).
22.
z = arctg(x − y).
23.
z =
3x
2
− y
2
+ x.
24.
z = y
2
− 3xy − x
4 25.
z = arccos(x + y).
26.
z = ln(x
2
− y
2
+ 3).
27.
z = 2 − x
3
− y
3
+ 5x.
28.
z = 7x − x
3
y
2
+ y
4 29.
z = e y−x
30.
z = arctg(2x − y).
3. Исследовать на экстремум следующие функции = y
√
x − 2y
2
− x + 14y.
2.
z = x
3
+ 8y
3
− 6xy + 5.
3.
z = 1 + 15x − 2x
2
− xy − 2y
2 4.
z = 1 + 6x − x
2
− xe − y
2 5.
z = x
3
+ y
2
− 6xy − 39x + 18y + 20.
6.
z = 2x
3
+ 2y
3
− 6xy + 5.
179

7.
z = 3x
3
+ 3y
3
− 9xy + 10.
8.
z = x
2
+ xy + y
2
+ x − y + 1.
9.
z = 4(x − y) − x
2
− y
2 10.
z = 6(x − y) − 3x
2
− 3y
2 11.
z = x
2
+ xy + y
2
− 6x − 9y.
12.
z = (x − 2)
2
+ 2y
2
− 10.
13.
z = (x − 5)
2
+ y
2
+ 1.
14.
z = x
3
+ y
3
− 3xy.
15.
z = 2xy − 2x
2
− 4y
2 16.
z = x
√
y − x
2
− y + 6x + 3.
17.
z = 2xy − 5x
2
− 3y
2
+ 2.
18.
z = xy(12 − x − y).
19.
z = xy − x
2
− y
2
+ 9.
20.
z = 2xy − 3x
2
− 2y
2
+ 10.
21.
z = x
3
+ 8y
3
− 6xy + 1.
22.
z = y
√
x − y
2
− x + 6y.
23.
z = x
2
− xy + y
2
+ 9x − 6y + 20.
24.
z = xy(6 − x − y).
25.
z = x
2
+ y
2
− xy + x + y.
26.
z = x
2
+ xy + y
2
− 2x − y.
27.
z = (x − 1)
2
+ 2y
2 28.
z = xy − 3x
2
− 2y
2 29.
z = x
2
+ 3(y + 2)
2 30.
z = 2(x + y) − x
2
− y
2 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x; в области D, ограниченной данными линиями = 3x + y − xy, D : y = x, y = 4, x = 0.
2.
z = xy − x − 2y, D : x = 3, y = x, y = 0.
3.
z = x
2
+ 2xy − 4x + 8y, D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
4.
z = 5x
2
− 3xy + y
2
, D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 1.
5.
z = x
2
+ 2xy − y
2
− 4x, D : x − y + 1 = 0, x = 3, y = 0.
6.
z = x
2
+ y
2
− 2x − 2y + 8, D : x = 0, x + y − 1 = 0, y = 0.
7.
z = 2x
3
− xy
2
+ y
2
, D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 6.
8.
z = 3x + 6y − x
2
− xy − y
2
, D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 1.
180

9.
z = x
2
− 2y
2
+ 4xy − 6x − 1, D : x = 0, y = 0, x + y − 3 = 0.
10.
z = x
2
+ 2xy − 10, D : y = 0, y = x
2
− 4.
11.
z = xy − 2x − y, D : x = 0, x = 3, y = 0, y = 4.
12.
z =
1 2
x
2
− xy, D : y = 8, y = 2x
2 13.
z = 3x
2
+ 3y
2
− 2x − 2y + 2, D : x = 0, y = 0, x + y − 1 = 0.
14.
z = 2x
2
+ 3y
2
+ 1, D : y =
9 −
9 4
x
2
, y = 0.
15.
z = x
2
− 2xy − y
2
+ 4x + 1, D : x = −3, y = 0, x + y + 1 = 0.
16.
z = 3x
2
+ 3y
2
− x − y + 1, D : x = 5, y = 0, x − y − 1 = 0.
17.
z = x
2
+ 2xy −
1 2
y
2
− 4x, D : y = 2x, y = 2, x = 0.
18.
z = x
2
− 2xy +
5 2
y
2
− 2x, D : x = 0, x = 2, y = 0, y = 2.
19.
z = xy − 3x − 2y, D : x = 0, x = 4, y = 0, y = 4.
20.
z = x
2
+ xy − 2, D : y = 4x
2
− 4, y = 0.
21.
z = x
2
y(4 − x − y), D : x = 0, y = 0, y = 6 − x.
22.
z = x
3
+ y
3
− 3xy, D : x = 0, x = 2, y = −1, y = 2.
23.
z = 4(x − y) − x
2
− y
2
, D : x + 2y = 4, x − 2y = 4.
24.
z = x
2
+ 2xy − y
2
− 4x, D : x = 3, y = 0, y = x + 1.
25.
z = 6xy − 9x
2
− 9y
2
+ 4x + 4y, D : x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
26.
z = x
2
+ 2xy − y
2
− 2x + 2y, D : y = x + 2, x = 2, y = 0.
27.
z = 4 − 2x
2
− y
2
, D : y = 0, y =
√
1 − x
2 28.
z = 5x
2
− 3xy + y
2
+ 4, D : x = −1, x = 1, y = −1, y = 1.
29.
z = x
2
+ 2xy + 4x − y
2
, D : x + y + 2 = 0, x = 0, y = 0.
30.
z = 2x
2
y − x
3
y − x
2
y
2
, D : x = 0, y = 0, x + y = 6.
§6. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. Основные понятия. При обработке данных, полученных входе эксперимента, часто возникает необходимость определения закономерности их изменения представления данных в виде какой-нибудь функциональной зависимости с целью дальнейшего исследования (уже известными методами и алгоритмами) и прогнозирования характера протекания изучаемого явления или процесса. Линия (график, в частности прямая или кривая, соответствующая данной функциональной зависимости, наглядно демонстрирует ход рассматриваемого процесса

Из методов построения эмпирической линии (прямой или кривой, формула которой служит для аналитического представления опытных данных) наиболее обоснован и распространен метод наименьших квадратов, основанный на том, что из множества функциональных зависимостей определенного вида выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от теоретических (вычисленных) является наименьшей.
Впервые этот метод предложили К. Гаусс (1794–1795) и А. Лежандр (Историческая справка. Первоначально метод наименьших квадратов использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости метода дано А.А. Марковым и АН. Колмогоровым. Метод наименьших квадратов представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.
Отправной точкой обработки данных является выбор вида функциональной зависимости.
При выборе функциональной зависимости требуется учесть теоретические представления о сущности изучаемого процесса (например, физическую сущность изучаемого процесса, имеющую известный вид функциональной зависимости данные других исследований по рассматриваемой теме и т.д.). Теоретические предпосылки для выбора вида функциональной зависимости могут от- сутствовать.
В общем случае необходимо использовать соображения о том,
как кривая должна себя вести в характерных точках проходит ли через начало координат (равна ли функция нулю при нулевом значении аргумента значения функции при значениях аргумента, близких к нулю:
стремится к бесконечности или способна иметь определенное числовое (численное) значение значение функции при значениях аргумента, стремящихся к бесконечности (или достаточно больших по абсолютной величине может ли кривая пересекать оси координат имеет ли кривая асимптоты другие факторы, позволяющие определить вид кривой по сущности рассматриваемого процесса.
Данные опыта следует нанести на координатную сетку и, с учетом рассмотренного, приблизительно определить вид кривой
(из числа известных по курсу алгебры и начал анализа прямая,
парабола, гипербола и т.д.), наиболее близко проходящей ко всем экспериментальным точкам, что характеризует вид функциональной зависимости.
Вторым этапом математической обработки является определение числовых значений постоянных для выбранного вида функциональной зависимости методом наименьших квадратов. Рассмотрим применение данного метода получения эмпирических формул. Линейная функция. Линейная функция имеет график в виде прямой линии и уравнение вида y = ax + b. Рассмотрим сущность метода наименьших квадратов на примере линейной функции.
Пусть данные опыта представляют собой n точек с координатами, где i = 1, 2, 3, . . . , n. Они сведены в нижеприведенной таблице:
Пусть принято решение искать эмпирическую формулу в виде линейной функции. Нанесем имеющиеся точки на координатную сетку. Проведем прямую, условно являющуюся графиком искомой линейной функции, и на примере одной из точек (см. рис. рассмотрим величины, характеризующие отклонение экспериментальных данных от теоретических (лежащих на прямой

Очевидно, что в искомом уравнении линейной функции y = ax + b неизвестными являются величины a и b. При этом их значение должно обеспечить минимальное суммарное отклонение экспериментальных данных от теоретических, те. обеспечить прохождение прямой наиболее близко ко всем экспериментальным точкам. Данная цель достигается при минимальной величине
Рис. суммы квадратов отклонений n
i=1
d
2
i
. Квадраты отклонений рассматриваются по ряду причин, основными из которых являются две. Процент расхождения между значением отклонения и значением квадрата данного отклонения резко возрастает, следовательно, параметр n
i=1
d
2
i в первую очередь учитывает самые большие отклонения, обеспечивая прохождение графика эмпирической функции наиболее близко ко всем экспериментальным точкам. Точка, полученная в результате ошибки эксперимента, может сильно исказить эмпирическую формулу. Ошибки следует исключать либо входе эксперимента, либо при обработке данных эксперимента. Второй причиной является уничтожение знака отклонения четной степенью, т. к. отклонения бывают положительные и отрицательные.
Таким образом, задача сводится к нахождению величин a и при которых функция S =
n i=1
d
2
i принимает минимальное значение. Это – классическая задача дифференциального исчисления.
Определим функцию S =
n i=1
d
2
i
. Ординате й точки (x i
; y на прямой y = ax + b соответствует точка (x i
; ax i
+ b). Функция отклонения – d i
= y i
− (ax i
+ b), где y i
– значение, полученное входе эксперимента, ax i
+ b – теоретическое значение искомой линейной функции.
Искомая функция суммы квадратов отклонений имеет вид =
n i=1
d
2
i
=
n i=1
(y i
− (ax i
+ При этом переменными величинами являются a и b. Для нахождения экстремума функции двух переменных необходимо найти частные производные данной функции по каждой переменной,
приравнять их к нулю и, решив полученную систему двух уравнений, определить критические значения переменных a и Найдем частные производные функции S попеременными i=1 2 (y i
− (ax i
+ b)) · (−1) = −2
n i=1
(y i
− (ax i
+ Составим систему из двух уравнений, приравняв вычисленные частные производные к нулю, и будем искать ее решение относительно неизвестных a и b. В общем виде получим 0,
∂S
∂b
= 0,
⇒







n i=1
x i
(y i
− (ax i
+ b)) = 0,
n i=1
(y i
− (ax i
+ b)) = После проведения некоторых преобразований получим








a ·
n i=1
x
2
i
+ b ·
n i=1
x i
=
n i=1
x i
y i
,
a ·
n i=1
x i
+ b · n =
n i=1
y Это – окончательный вид так называемой нормальной системы метода наименьших квадратов. Нетрудно доказать, что она имеет единственное решение и найденные в результате решения значения неизвестных a и b соответствуют минимуму функции (доказательство этих фактов предлагается провести самостоя- тельно).
Расчет значений известных величин, входящих в уравнения полученной системы, удобно вести с помощью специальной расчетной таблицы.
Расчетная таблица для линейной функции
Подставляя найденные значения коэффициентов при a ив полученную систему уравнений и решая ее, получим значения неизвестных a и b. Таким образом, эмпирическая формула y = ax + b будет найдена. Графиком ее будет являться прямая,
наиболее близко проходящая ко всем экспериментальным точкам.
Замечание. Эту прямую также называют линией регрессии y на x.
186

Для количественной оценки степени приближения точек (x i
; y к полученной прямой можно использовать значение среднеквадратичной погрешности, вычисляемой по формуле n
i=1
y
2
i
− b n
i=1
y i
− a n
i=1
x i
y Таблица. Некоторые частные виды регрессий. Как уже говорилось выше, отправной точкой обработки данных является выбор вида функциональной зависимости. табл. 11 приведены правила, по которым можно получить некоторые нелинейные виды регрессий. Вывод этих зависимостей предлагается провести самостоятельно. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. Общая задача оптимизации. Одна из важных задач экономики – наиболее полное и эффективное использование материальных и трудовых ресурсов. Задачи такого вида относятся к задачам оптимизации. Оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу или критерию (например, иметь минимум затрат, максимум выпущенной продукции и т. д.).