Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
 Скачать 5.93 Mb.
|
|
= (−1) n+1 · √ n. 49. Используя определение предела, доказать, что последовательность. сходится к числу 1. 50. Используя определение предела, доказать, что: а) lim n→∞ 3 n+2 n+1 = б) lim n→∞ 4 n−1 5 n+2 = 4 в) lim n→∞ 2 n 2 +1 n 2 = где. Доказать, используя определение предела, что последовательность сходится к числу 1, и для каждого данного найти такой номер N , что для всех n > N верно | x n −1 |< при а) ε = 1 4 ; б) ε = 1 10 ; в) ε = 0, 07. 52. Найти пределы последовательностей: а) lim n→∞ x n +2 x 2 n +4 , если lim n→∞ x n = б) lim n→∞ 2 в) lim n→∞ 3 n 2 −n+2 5 где ж) lim n→∞ ( 2 n 2 +5 4 n+1 − n 2 +4 2 n+3 ); з) lim n→∞ ( 3 n+2 − 5 2 n+1 ); и) lim n→∞ 4 n 3 −5 n 2 +10 n 21 n 3 +7 n−8 ; 73 кл мн оп р) lim n→∞ √ n 3 +n 2 −4− 5 √ n 6 3 √ n 5 +2 n+ 4 √ n 6 +3 n 4 +2 ; ст уф х) lim n→∞ 1−q n 1−q , q = ц) lim n→∞ 1+2+3+···+n ч) lim n→∞ 1+ 1 3 + 1 9 +···+ 1 3n 1+ 1 4 + 1 16 +···+ 1 4n 74 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ДВА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ Определение. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки Дадим первое определение предела функции (по Гейне). Определение. Число А называется пределом функции f (x) в точке x 0 , если для любой последовательности {x n }, сходящейся к x 0 (x n = x 0 ∀n), последовательность {f (x n )} соответствующих значений функции сходится к А Обозначение lim x→x 0 f (x) = A или f (x) → A (при x → Это определение эквивалентно второму определению (по Ко- ши). Определение. Число А называется пределом функции f (x) в точке x 0 , если для любого (сколь угодно малого) числа ε > 0 найдется такое число δ > 0 (вообще говоря, зависящее от ε), что для всех x таких, что | x − x 0 |< δ, x = x 0 , выполняется неравенство f (x) − A |< Первое определение называется также определением предела функции на языке последовательностей (см. задача а, авто- рое – определением на языке ε − эпсилон – дельта) (см. задача б §2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ Пусть функция y = f (x) определена в промежутке (−∞; Определение. Число A называется пределом функции f (при x → ∞, если для любого положительного числа ε существует такое число M > 0 (вообще говоря, зависящее от ε; M = M (что при всех x, удовлетворяющих неравенству |x| > M , выполняется неравенство |f (x) − A| < Приведенное определение предела при x → ∞ предполагает неограниченное возрастание независимой переменной x по абсолютной величине. В тоже время можно сформулировать понятие предела при стремлении x к бесконечности определенного знака, т. е. при x → +∞ и при x → Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x → +∞, если для любого числа ε > 0 найдется такое число = M (ε) > 0, что для всех значений x > M выполняется неравенство Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x → −∞, если для любого числа ε > 0 найдется такое число = M (ε) > 0, что для всех значений x < −M выполняется неравенство |f (x) − A| < Равносильные определения предела функции при x → +∞ и x → −∞ на языке последовательностей будут выглядеть так: Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x → +∞, если для любой положительной бесконечно большой последовательности {x n } те при n → ∞) последовательность соответствующих значений функции сходится к А. Обозначение lim x→+∞ f (x) = Определение. Число А называется пределом функции f(x) при x → −∞, если для любой отрицательной бесконечно большой последовательности те при n → ∞) последовательность соответствующих значений функции сходится к А. Обозначение lim x→−∞ f (x) = A. 76 §3. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ В определении предела функции lim x→x 0 f (x) = A считается, что x стремится к любым способом оставаясь меньшим, чем слева от x 0 ), большим, чем справа от x 0 ), или колеблясь около точки В некоторых случаях способ приближения аргумента x к существенно влияет назначение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов. Определение. Пусть функция y = f (x) определена в левой полуокрестности точки x 0 , т. е. на некотором интервале x ∈ (x 0 − δ; x 0 ), где δ > 0. Число называется пределом функции f (x) слева в точке x 0 , если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 (вообще говоря, зависящее от ε; δ = δ(ε)) такое, что для всех x, обладающих свойством 0 < x 0 − x < δ, выполняется неравенство |f (x) − A| < Определение. Пусть функция y = f (x) определена в правой полуокрестности точки x 0 , т. е. на некотором интервале x ∈ (x 0 ; x 0 + δ), где δ > 0. Число называется пределом функции f (x) справа в точке x 0 , если для любого числа ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех x, обладающих свойством < x − x 0 < δ, выполняется неравенство |f (x) − A| < На языке последовательностей эти определения можно сформулировать следующим образом: Определение. Пусть функция y = f (x) определена в левой (правой) полуокрестности точки x 0 , те. на некотором интервале δ; x 0 ) (соответственно, (x 0 , x 0 + δ)), где δ > 0. Тогда говорят, что число называется пределом функции y = f (x) слева в точке соответственно, называется пределом функции y = f (справа в точке x 0 ), если для любой последовательности {x n }, сходящейся к и такой, что все ее члены меньше (соответственно больше, чем x 0 , соответствующая последовательность значений функции {f (x n )} сходится к числу соответственно, к числу Обозначения x→x 0 −0 f (x) = или f (x 0 − 0) = A 1 ; lim x→x 0 +0 f (x) = или f (x 0 + 0) = Для существования обыкновенного (двухстороннего) предела необходимо и достаточно существования порознь и равенство обоих пределов слева и справа, те. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ И БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ Определение. Функция y = f (x) называется бесконечно большой при x → x 0 , если для любого числа M > 0 существует число = δ(M ) > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство |f (x)| > M Обозначение lim x→x 0 f (x) = ∞ или f (x) → ∞ при x → Определение. Функция y = f (x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при x → ∞, если для любого числа M > 0 найдется такое число N = N (M ) > 0, что при всех x, удовлетворяющих неравенству |x| > N , выполняется неравенство |f (x)| > M Примерами бесконечно больших функций могут служить функции при x → −2; y = 3 x при x → ∞; y = log 2 x при x → ∞; y = tg x при x → π 2 k, k ∈ Определение. Функция y = α(x) называется бесконечно малой при x → или в окрестности точки x 0 ), если lim x→x 0 α(x) = Примерами бесконечно малых функций могут служить функции при x → 0; y = x − 2 при x → 2; y = sin x при x → πk, k ∈ Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или просто бесконечно малыми обозначают обычно греческими буквами α, β и.т.д. 78 Свойства бесконечно малых функций. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. Следствие 1. Произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Следствие 2. Произведение бесконечно малой функции на число есть функция бесконечно малая. Частное отделения бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая. Если функция α(x) – бесконечно малая (α = 0), то функция 1 α(x) есть бесконечно большая функция, и наоборот если функция f (x) – бесконечно большая, то функция (x) – бесконечно малая. Следует отметить, что между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией существует связь, которая может быть сформулирована в виде следующих утверждений: Теорема. Если функция f (x) имеет предел, равный A, то ее можно представить как сумму числа A и бесконечно малой функции, те, если A = lim x→x 0 f (x), то f (x) = A + Теорема (обратная. Если функцию f (x) можно представить в виде суммы числа A и бесконечно малой функции α(x), то число является пределом функции f (x), те, если f (x) = A + то lim x→x 0 f (x) = Сформулированные выше свойства бесконечно малых и первая из теорем используются при выводе основных теорем о пределах. Данные теоремы будут приведены (без доказательств) далее в §5. 79 Пусть α(x) и β(x) – бесконечно малые функции при x → Тогда. Если lim x→x 0 α(x) β(x) = A = 0 (A ∈ R), то функции α(x) и называются бесконечно малыми одного порядка в окрестности точки В частности, если lim x→x 0 α(x) β(x) = 1, то α(x) и β(x) называют эквивалентными бесконечно малыми (в окрестности точки x 0 ). Обозначение) при x → x 0 2. Если lim x→x 0 α(x) β(x) = 0, то функция α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция β(x) в окрестности точки x 0 3. Если lim x→x 0 α(x) β(x) = ∞, то функция α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем функция β(x) в окрестности точки x 0 4. Если lim не существует, то функции α(x) и β(x) называются несравнимыми бесконечно малыми в окрестности точки При решении многих задач используются эквивалентности, верные при x → 0: sin x ∼ x; 1 − cos x ∼ x 2 2 ; tg x ∼ x; arcsin x ∼ x; arctg x ∼ x; a x − 1 ∼ x · ln a (в частности e x − 1 ∼ x); log a (1 + x) ∼ x · log a e (в частности ln(1 + x) ∼ x); (1 + x) k − 1 ∼ k · x, k > 0; n √ 1 + x − 1 ∼ x Кроме того, имеет место следующий факт если β(x) ∼ β 1 (x), x → и существуют пределы lim x→x 0 α(x) · β(x) и lim x→x 0 α(x) β(x) , то lim x→x 0 α(x) · β(x) = lim x→x 0 α(x) · β 1 (x), lim x→x 0 α(x) β(x) = lim Таким образом, предел произведения или частного двух бесконечно малых не меняется при замене любой из них на эквивалентную бесконечно малую §5. ОПЕРАЦИИ НАД ПРЕДЕЛАМИ ФУНКЦИЙ Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Отметим, что формулировка и доказательство этих теорем для случаев, когда x → и x → ∞, аналогичны. Пусть функции f (x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки и, кроме того, lim x→x 0 f (x) = A, lim x→x 0 g(x) = B. Тогда. Предел суммы (разности) этих функций равен сумме (соответственно, разности) их пределов, те. Предел произведения функций равен произведению их пределов, те В частности: • постоянный множитель можно выносить за знак предела x→x 0 (c · f (x)) = c · lim x→x 0 f (x) = c · предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела x→x 0 (f (x)) n = lim x→x 0 f (x) n = A n 3. Предел частного функций равен частному их пределов, те (при условии B = 0). 4. Предел корня й степени от функции f (x) равен корню этой же степени от предела этой функции x→x 0 k f (x) = k lim x→x 0 f (x) = k √ A. 81 5. Так как lim x→x 0 x = x 0 , то равенство lim x→x 0 f (x) = f (x 0 ) можно записать в виде lim x→x 0 f (x) = f lim x→x 0 x = f (x 0 ). Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции, те. в функцию f (вместо аргумента x подставить его предельное значение x. §6. ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛОВ Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция y = sinx при x → ∞ предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела. В таких случаях пользуются признаками существования предела. Теорема 1 (о промежуточной функции. Если функция f (заключена между двумя функциями ϕ(x) и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, те, если ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x), lim x→x 0 ϕ(x) = A, lim x→x 0 g(x) = то lim x→x 0 f (x) = Теорема 2 (о пределе монотонной функции. Если функция f (x) монотонна и ограничена при x < или при x > x 0 , то существует соответственно ее левый предел lim x→x 0 −0 f (x) = f (или ее правый предел lim x→x 0 +0 f (x) = f (x 0 + 0). §7. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. Первый замечательный предел. При вычислении пределов, содержащих тригонометрические выражения и функции, часто применяется предел lim x→0 sin x x = 1, называемый первым замечательным пределом. Для доказательства данного равенства возьмем круг радиуса, обозначим радианную меру угла M OB через x (см. рис. Пусть 0 < x < π 2 . На рисунке |AM | = sin x, дуга M B численно равна центральному углу x, |BC| = tg x. Из геометрических соображений ясно, что S ∆M OB < S M OAB < S ∆COB . Используя известные из школьного курса геометрии формулы, получим 2 sin x < 1 2 x < 1 2 tg x. Разделив неравенство на 2 sin x > 0, получим < x sin x < 1 cos x или cos x < sin x x < Рис. Так как lim x→0 cos x = 1 и lim x→0 1 = 1, то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов lim x→0 sin x x = при условии x > Пусть теперь x < 0. Имеем sin x x = sin(−x) −x , где −x > 0. Поэтому и при условии x < 0 справедливо lim x→0 sin x x = Из доказательства равенств при x > 0 и x < 0 следует справедливость равенства lim x→0 sin x x = 1. 7.2. Второй замечательный предел. Выше уже были приведены рассуждения о том, что предел числовой последовательности равен e, при n ∈ N. Докажем, что к числу e 83 стремится и функция x n = 1 + 1 x при x → ∞ (x ∈ R): lim x→∞ 1 + 1 x x = e. 1. Пусть x → +∞. Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами n ≤ x < n + 1, где n = [ x ] – это целая часть числа x. Отсюда следует, а следовательно, и 1 + 1 n+1 < 1 + 1 x ≤ 1 + 1 n , поэтому + 1 n+1 n < 1 + 1 x x ≤ 1 + 1 n Если x → +∞, то n → ∞. Поэтому, согласно справедливости данного правила для последовательности (см. начало пункта), имеем lim n→+∞ 1 + 1 n+1 n = lim n→∞ ( 1+ 1 n+1 ) n+1 lim n→∞ ( 1+ 1 n+1 ) = e 1 = e, lim n→∞ 1 + 1 n n+1 = lim n→∞ 1 + 1 n n · lim n→∞ 1 + 1 n = e · 1 = По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов lim x→+∞ 1 + 1 x x = e. 2. Пусть x → −∞. Сделаем подстановку −x = t, тогда lim x→−∞ 1 + 1 x x = lim t→+∞ 1 − 1 t −t = lim t→+∞ t t−1 t = = lim t→+∞ 1 + 1 t−1 t = lim t→+∞ 1 + 1 t−1 t−1 · lim t→+∞ 1 + 1 t−1 1 = e · 1 = Из справедливости проведенных доказательств для случаев lim x→+∞ 1 + 1 x x = e и lim x→−∞ 1 + 1 x x = e вытекает справедливость равенства lim x→∞ 1 + 1 x x = Замечание. Часто используются следующие следствия из обоих замечательных пределов lim x→0 sin(k x) x = k, k ∈ R; lim x→0 (1 + x) 1 x = e, lim x→0 ln(1+x) x = 1. §8. ЗАДАЧА О НЕПРЕРЫВНОМ НАЧИСЛЕНИИ ПРОЦЕНТОВ К числу e приводят решения многих прикладных задач. Рассмотрим одну из них – задачу о непрерывном начислении процен- тов. Пусть первоначальный вклад в банк составил денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно p% годовых. Необходимо найти размер вклада Q t через t лет. При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и туже величину p 100 · Q 0 , те Q 0 1 + p 100 , Q 2 = Q 0 1 + 2p 100 , . . . , Q t = Q 0 1 +На практике значительно чаще применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться водно и тоже число (1 + p 100 ) раз, те +Если начислять проценты по вкладам не один разв году, а n раз, то притом же ежегодном приросте p% процент начисления за 1 n -ю часть года составит p n %, а размер вклада залет при nt начислениях составит Q t = Q 0 · 1 + p 100n Предположим, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n = 2), ежеквартально (n = 4), ежемесячно (n = 12), и т. д, непрерывно (n → ∞). Тогда размер вклада залет составит lim n→∞ Q 0 1 + p 100n nt = = Q 0 · lim n→∞ 1 + p 100n 100n p pt 100 = Q 0 · e pt 100 , 85 учитывая при этом условие p → Формула Q t = Q 0 · e выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при p > 0) или убывания (при p < 0). Она может быть использована при непрерывном начислении процентов. ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ» Задача 1. Доказать, что lim x→2 (2x + 1) = 5, используя: а) первое определение предела функции б) второе определение функции. Решение: а) Пусть {x n } – произвольная последовательность, сходящаяся к 2, те. Тогда в соответствии со свойствами пределов последовательностей lim n→∞ f (x n ) = lim n→∞ (2x n + 1) = 2 lim n→∞ x n + lim n→∞ 1 = 2 · 2 + 1 = Так как lim n→∞ f (x n ) = 5 для любой последовательности {x сходящейся к точке x 0 = 2, то по первому определению предела функции это как рази означает, чтоб) Зафиксируем произвольное ε > 0. Требуется поэтому найти такое δ > 0, чтобы из условия | x − x 0 |< δ, x = x 0 , т. е. из 0 <| x − 2 |< δ вытекало бы неравенство | f (x) − A |< ε, те. Последнее приводится к виду | 2(x − 2) |< те Отсюда следует, что если взять δ = ε 2 , то неравенство x − 2 |< δ будет автоматически влечь за собой неравенство f (x) − 5 |< ε (это значит, что для всех x, для которых верно первое неравенство, будет верно и второе. В соответствии со вторым определением предела функции это означает, что lim x→2 (2x + 1) = Задача 2. Используя основные правила вычисления пределов, вычислить следующие пределы а) lim x→4 5x+2 2x+3 |