Углирж. Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью

• Название: Учебное пособие для студентов I курса факультета международного бизнеса, направление подготовки Реклама и связи с общественностью
• Анкор: Углирж.pdf
• Дата: 27.12.2017
• Размер: 5.93 Mb.
• Имя файла: Углирж.pdf
• Тип: Учебное пособие; #13192
• страница: 4 из 17

√
3a
3
C
2
n
(
√
a)
n−2 По условию задачи 3
, те. 3 ·
n(n−1)(n−2)
1·2·3
= 10 откуда n = 12. Таким образом, показатель степени бинома n = Следовательно T
4+1
= C
4 12
(
√
a)
8 1
√
3a
4
=
12 · 11 · 10 · 9 1 · 2 · 3 · 4
· a
4
·
1 9a
2
= ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Используя формулу Ньютона, вычислить) (
√
3 б) (
√
7 + i)
4
+ (
√
7 − i)
4 23. Возвестив седьмую степень двучлен x + 1.
24. Найти тринадцатый член разложения бинома (
3
√
3 +
√
2)
15 25. Найти номер члена разложения бинома (
3
√
t −
1
t
)
20
, который не зависит от t.
26. Найти средний член разложения (x
−1/5
+ x
1/3
)
10 44

27. Найти алгебраическую сумму коэффициентов многочлена относительно полученного в разложении бинома (3x − 4)
17 28. Найти наибольший коэффициент многочлена:
а) (
1 3
+
2 б) P (x) =
10
k=0
a k
x k
= (1 + 2x)
10 29. Найти номер наибольшего члена разложения:
а)
9 10
+
1 10 б 2
+
1 в) (
√
2 +
√
3)
101 30. Найти члены разложения (
√
3 +
3
√
2)
9
, являющиеся целыми числами. Сколько членов разложения бинома (
5
√
3 +являются целыми числами. Найти коэффициенты многочлена а) (1 + x
2
− при б) (1 + 3x + при в) (1 + x
2
+ при x
11 33. В разложении бинома x
4
√
x −
1 8
√
x
5
n определить член разложения, не содержащий x, если сумма биноминальных коэффициентов второго члена от начала и третьего от конца разложения равна 78.
34. Найти сумму биноминальных коэффициентов членов, стоящих на нечетных местах в разложении бинома (x + y)
n
, если би- номинальный коэффициент третьего члена на 9 больше биноми- нального коэффициента второго члена. Найти x, y и z, если известно, что второй, третий и четвертый члены разложения (x + y)
z равны 240, 720 и 1080 соответственно. Коэффициенты пятого, шестого и седьмого членов разложения бинома (1 + x)
n составляют арифметическую прогрессию.
Найти n.
§6. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Основные понятия и определения. Пусть каждому числу из множества X в силу некоторого (вполне определенного)
закона f поставлено в соответствие единственное число y = f (Тогда говорят, что на множестве X задана функциональная зависимость, или функция. При этом величину y называют зависимой

переменной, а величину x – независимой переменной, или аргументом. Множество X называют областью определения функции и обозначают D(f ) = X, а множество чисел y = f (x) объединяют в множество Y и называют множеством значений функции.
Это множество обозначают также E(f ) = Y . Запись y = f (x) называется формулой функции.
Число, соответствующее x
0
∈ X для данной функции называют значением функции в точке и обозначают Функцию y = f (x), определенную на множестве X, называют ограниченной снизу, если существует число A, такое, что A ≤ f (для любого x ∈ X. Функцию y = f (x), определенную на множестве, называют ограниченной сверху, если существует число такое, что f (x) ≤ B для любого x ∈ Функцию y = f (x), определенную на множестве X, называют ограниченной, если существует число M
>
0, такое, что (x)| ≤ M для любого x ∈ Про функцию y = f (x) говорят, что она принимает на множестве наименьшее значение в точке x
0
, если x
0
∈ X и f (x
0
) ≤ f (x) для всех x ∈ X. Про функцию y = f (x) говорят,
что она принимает на множестве X наибольшее значение в точке x
0
, если x
0
∈ X и f (x
0
) ≥ f (x) для всех x ∈ Функцию y = f (x) с областью определения X называют четной, если для любого x ∈ X число (−x) ∈ X и справедливо равенство. Функцию y = f (x) с областью определения называют нечетной, если для любого x ∈ X число (−x) ∈ X и справедливо равенство f (−x) = −f (Замечание. Следовательно, для того чтобы установить четность или нечетность функции, требуется а) определить, является ли область определения функции промежутком, симметричным относительно начала координат б) проверить, выполняется ли одно из условий f (−x) = f (x) или f (−x) = −f (В случае невыполнения хотя бы одного из пунктов функция называется функцией общего вида.
Функция y = f (x) с областью определения X называют периодической, если существует число T = 0, такое, что для любого x ∈ X число (x + T ) ∈ X, число (x − T ) ∈ X и справедливо равенство. Число T называют периодом функции f (Функцию y = f (x), определенную на промежутке X, называют возрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел и из этого промежутка из неравенства x
1
< следует неравенство f (x
1
) < f (x
2
). Функцию y = f (x), определенную на промежутке X, называют убывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел и из этого промежутка из неравенства x
1
< следует неравенство f (x
1
) > f (Функции возрастающие и убывающие называют строго монотонными функциями.
Функцию y = f (x), определенную на промежутке X, называют неубывающей на этом промежутке, если для любой пары чисел и из этого промежутка из неравенства x
1
< следует неравенство f (x
1
) ≤ f (x
2
). Функцию y = f (x), определенную на промежутке X, называют невозрастающей на этом промежутке, если для любой пары чисел и из этого промежутка из неравенства x
1
< следует неравенство f (x
1
) ≥ f (Функции возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие называют монотонными.
Число x
0
, принадлежащее области определения функции y = f (x), называют нулем этой функции, если f (x
0
) = 0. Для того, чтобы найти все нули функции y = f (x), надо найти все корни соответствующего уравнения f (x) = Если для любого x из промежутка, принадлежащего области определения функции y = f (x), соответствующие значения этой функции имеют один и тот же знак, то этот промежуток называют промежутком знакопостоянства этой функции. Для того, чтобы найти все промежутки знакопостоянства функции y = f (x), надо решить неравенства f (x) > 0 и f (x) < Приведем список основных элементарных функций, изучение которых входит в курс средней школы (в табл. 4–6 приведены

графики этих функций) линейная функция y = kx + b, x = a, y = b, где k, a, b заданные числа и k, a, b ∈ R;
2) квадратичная функция y = ax
2
+ bx + c, где a, b, c ∈ R и a = 0;
48

49

50

3) степенная функция y = x
α
, где α ∈ R;
4) показательная функция y = a x
, где a – любое положительное число, отличное от единицы a > 0, a = 1;
5) логарифмическая функция y = log a
x, где a – любое положительное число, отличное от единицы a > 0, a = 1;
6) тригонометрические функции y
= sin x, y
= cos x,
y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x;
7) обратные тригонометрические функции y = arcsin x,
y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg Пусть функция y = f (u) определена на множестве G, а функция) определена на множестве X и множество всех ее значений принадлежит множеству G. Тогда любому x ∈ X функция ставит в соответствие число u ∈ G, а этому числу u функция f ставит в соответствие число y, те является функцией от x на множестве X. Получена функция y = f (ϕ(x)), определенная на множестве X. Эту функцию называют функцией от функции или сложной функцией (или суперпозицией двух функций ϕ и f Функции, которые можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций
(операции взятия функции от функции) основных элементарных функций, принято называть элементарными функциями.
Наиболее распространены следующие способы задания функции формульный, или аналитический логический, или словесный табличный графический. График функции и способы его построения. Графиком функции y = f (x) называется множество точек плоскости xOy с координатами (x; f (x)), где x ∈ D(f При построении графиков функций применяются следующие приемы построение по точкам действия с графиками (сложение, вычитание, умножение графиков) (см. задача 5); преобразования графиков (сдвиг, растяжение) (см. задачи Остановимся подробнее на способе геометрических преобразований графика.
График функции вида y = A·f (ax+b)+B может быть получен

из графика функции y = f (x) при помощи следующих геометрических преобразований (см. табл. 7):
1. а) осевой симметрии относительно оси ОХ;
б) осевой симметрии относительно оси ОY;
в) центральной симметрии относительно начала координата) параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ОХ;
б) параллельного переноса (сдвига) вдоль оси OY.
3. а) растяжения (или сжатия) по направлению оси ОХ;
б) растяжения (или сжатия) по направлению оси Таблица Применительно к графикам функций использование данных преобразований позволяет из известного графика функции y = f (x) строить графики других функций.
Рассмотренные геометрические преобразования графиков могут комбинироваться между собой. Таким образом, построение графика функции вида y = A · f (ax + b) + B по графику функции y = f (x) может быть проведено последующим схемам (x) → f (ax) → A · f (ax) → A · f (ax) + B → A · f (a(x +
b a
)) + или f (x) → A · f (x) → A · f (ax) → A · f (a(x +
b a
)) →
A · f (ax + b) + B.
6.3. Задачи по теме Функция одной переменной».
Задача 1. Найти частное значение данной функции:
а) f (x) =
x+2
x
2
+1
; f (1) =
1+2 1
2
+1
=
3 2
; f (−3) =
−3+2
(−3)
2
+1
= −0, б) f (x) = 3
x
; f (0) = 3 0
= 1, f (
1 2
) в) f (x) = (x − 1)
2
+ 3; f (x + 1) = x
2
+ Задача 2. Найти область определения данной функции:
а) f (x) = lg(x
2
− 7x + 6). Решение Область определения данной функции находится при решении неравенства x
2
−7x+6 > 0 ⇒ (x−1)·(x−6) > 0. Ответ D(f ) = (−∞; 1)∪(6; б) f (x) = log
3
(x−4)+
1
√
6−x
. Решение Для нахождения области определения заданной функции необходимо рассмотреть систему условий x − 4 > 0,
6 − x > решением которой являются значения x ∈ (4; 6). Ответ D(f ) = (4; в) f (x) = arcsin x
4
. Решение Область определения функции находится из условия −1 ≤
x
4
≤ 1. Ответ D(f ) = [−4; Задача 3. Найти множество значений данной функции:
а) f (x) =
x
2
+1
x
. Решение Пусть b – произвольное значение функции. Тогда равенство x
2
+1
x
= b выполняется при тех значениях, при которых уравнение x
2
+1
x
= b имеет корни. Найдем их.
Имеем: x
2
+ 1 = bx, x
2
− bx + 1 = 0, D = b
2
− 4 ≥ 0, b
2
≥ 4,
|b| ≥ 2, b ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞). Ответ E(f ) = (−∞; −2] ∪ [2; +∞).
53

б (x)
=
√
9 − x
2
Решение:
Рассмотрим уравнение − x
2
= b, где b ≥ 0. Данное уравнение имеет решения, если. Учитывая условие b ≥ 0, получаем b ∈ [0; 3]. Ответ E(f ) = [0; Задача 4. Определите, четной или нечетной является функция:
а) f (x) =
1
x
2
+1
. Решение Учитывая, что D(f ) = R, заменим в формуле функции x на −x. Получим f (−x) =
1
(−x)
2
+1
=
1
x
2
+1
= f (Следовательно, данная функция является четной.
б) f (x) = x +
1
x
. Решение D(f ) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) – область определения функции симметрична относительно точки x = 0 числовой оси. Заменяя в формуле функции x на −x, получаем. Значит, функция нечетная.
в) f (x) =
x
3
+1
x−1
. Решение Область определения данной функции не обладает свойством симметричности относительно точки x = 0, а следовательно, функция общего вида.
Задача 5. Построить график функции y = 2x + 1 + cos Решение D(y) = R. График данной функции можно построить сложением графиков двух функций y = 2x + 1 и y = cos График первой функции y = 2x + 1 – прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Графиком второй является косинусоида.
Построим графики этих двух функций водной системе координат
(см. рис. Задача 6. Построить график функции y =
2 − x при x ≤ 3,
0,1 при x > Решение D(y) = R. В данном случае функция является кусочно- заданной. При x ≤ 3 графиком является луча при x > 3 – ветвь

параболы (рис. Рис. Рис. Задача 7. Построить график функции y =
3
√
3x − Решение D(y) = R. Так как − 1 =
3 3(x −
1 3
), то график функции y =
3
√
3x − 1 получается при помощи параллельного переноса графика функции y =
3
√
3x вдоль осина отрезок длины вправо, а график функции y =
3
√
3x – при помощи растяжения враз вдоль оси OY относительно оси OX графика функции y Таким образом, график функции y =
3
√
3x − 1 может быть построен (см. рис. 12) по схеме y =
3
√
x →
3
√
3x →
3 3(x −
1 Рис. Задача 8. Построить график функции y = log
1 2
(1 − Решение D(y) = (−∞;
1 3
). Т. кто для построения графика данной функции достаточно построить график функции y = log
1 2
(−3x). График этой функции может быть построен по графику функции y = log
1 2
3x, а последний – по графику функции y = log
1 Тем самым построение графика функции y = log
1 2
(1 − 3x) может быть проведено последующей схеме (рис. 13):
log
1 2
x → log
1 2
3x → log
1 2
(−3x) → log
1 2
(−3(x −
1 3
)).
56

Рис. Рис. Задача 9. Построить график функции y = arccos 2 Решение D(y) =
4 3
; 4 . Построение графика y = сводится к построению графика тождественно равной ей функции y = arccos(−
3 4
(x −
8 3
)), график которой в свою очередь получается из графика функции y = arccos x последующей схеме (рис. 14):
arccos x → arccos(−x) → arccos(−
3 4
x) → arccos(−
3 4
(x −
8 3
)).
57

Задача 10. Построить график функции y = −x
2
− 2x + Решение D(y) = R. Проведем построение графика заданной функции (риc. 15) по схеме −x
2
→ −x
2
+ 4 → −(x + 1)
2
+ Рис. Рис. Задача 11. Построить график функции y =
2x−1
x+1
. Решение) = (−∞; −1)∪(−1; +∞). Построение графика заданной функции может быть проведено (рис. 16) по схеме 3 ·
1
x
→ −3 ·
1
x
→ −3 ·
1
x+1
→ −3 ·
1
x+1
+ 2 =
2x−1
x+1 58

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Найти область определения функций:
а) f (x) =
√
4 − x
2
+
1
x
; б) f (x) = arccos(
x
2
− 1); в) f (x) =
1
x·e где ж) f (x) =
x
2−x
−
√
sin x.
38. Найти множества значений функций:
а) f (x) = |x| + 1; б) f (x) =
5
x
; в) f (x) =
√
16 − x
2
; где. Установить четность или нечетность функций:
а) f (x) = x
4
sin(7x); б) f (x) = 5|x| −
3
√
x
2
; в) f (x) = x
4
− 3x
2
+ где ж) f (x) =
16
x
−1 4
x
40. Найти основные периоды функций:
а) f (x) = sin б) f (x) = −2 cos x
3
+ в) f (x) = tg 3x + cos 4x.
41. Построить графики функций:
а) y на отрезке [−4; 4]; б) y = x
2
(2 − на отрезке [−3; в) y =
√
x +
√
4 − x в области определения г) y = 0, 5x + 2
−x на отрезке [0; 5]; д) y = 2(x − 1)
3
, исходя из графика y = еж з) y = sin(3x−2)+1; и) y = −2 кл мн при x < 0,
3 · x при о) y =



4 − x при x < при+ при x > 0.
6.4. Применение функций в экономике. Экономические процессы можно описывать функциональными зависимостями. При этом процессы, зависящие от одного параметра (аргумента, описываются функциями одной переменной. Процессы, зависящие от нескольких параметров, описываются функциями многих переменных. При изучении экономических процессов используются все методы представления функций

Экономические процессы можно рассматривать стечением времени, тогда в роли переменной выступает время. В роли переменных могут выступать спрос, предложение, цена, доход, объем партии товара и другие экономические процессы.
Примером функциональных зависимостей могут служить. Функция полезностей (функция предпочтений) – в широком смысле зависимость полезности, те. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия. Производственная функция – соотношение, связывающее результаты производственной деятельности и обусловившие их факторы. Функция выпуска (частный вид производственной функции соотношение, связывающее объем производства и наличие или потребление ресурсов. Функция издержек (частный вид производственной функции зависимость издержек производства от объема продукции. Функция совокупного спроса, показывающая количество товаров и услуг, которое потребители готовы приобрести при каждом возможном уровне цен. Эту зависимость обычно представляют в виде функции цены продукта (услуги) p от величины спроса на него (q): p = D(q);
6. Функция совокупного предложения, показывающая количество товаров и услуг, которое производители готовы предложить на рынке при каждом возможном уровне цен. Эту зависимость,
которую обозначают p = S(q), обычно строят водной системе координат вместе с графиком совокупного спроса. Рассматривая водной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (пау- тинообразная модель

Один из важных аспектов использования функций в экономике применение таблиц функций, которые позволяют сделать возможными различные расчеты, исключить или упростить громоздкие вычисления. При вычислениях с помощью таблиц часто сталкиваются с ситуацией, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае прибегают к интерполированию (интерполяции) – приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Определение.
Пусть каждому натуральному числу те) по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число a n
. В этом случае говорят, что задана последовательность a
1
, a
2
, ..., a n
, .... Последовательность. будем обозначать {a Числа a
1
, a
2
, ..., a n
, ... в последовательности {a n
} называются членами последовательности a
1
– м членом последовательности м членом последовательности, . . ., a n
– м (энным)
или общим членом последовательности.
Формула, позволяющая вычислить любой член последовательности по его порядковому номеру, называется формулой го члена. Формулы, позволяющие выразить й член последовательности через предыдущие члены, называются рекуррентными.