Краткий курс логики - Искусство правильного мышления - Гусев Д.А. Краткий курс логики - Искусство правильного мышления - Гусев Д. Удк 373 16ббк гр е цензе н ты Грифцова И. Н доктор филосовских наук, профессорМосковского педагогического государственного университетаМареева Е.
 Скачать 1.05 Mb.
|
|
(эквиваленция) – это сложное суждение с союзом если ... тоне в его условном значении (как в случае с импликацией, а в тождественном (эквивалентном. В данном случае этот союз обозначается условным знаком « ↔ », с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы а ↔ вчитается если а, то в, и если в, то а, где аи в – это два простых суждения. Например, сложное суждение Если число является четным, то оно делится без остатка на 2», – представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений Число является четным», Число делится без остатка на 2». Нетрудно заметить, что в данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое если число четное, то оно обязательно делится без остатка на 2, а если число делится без остатка на 2, то оно обязательно четное. Понятно, что в эквиваленции, вот- личие от импликации, не может быть ни основания, ни следствия, т. к. две ее части являются равнозначными суждениями 61 5. Отрицательное суждение отрицание – это сложное суждение с союзом неверно, что, который обозначается условным знаком. С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы а (читается неверно, что а, где а это простое суждение. Здесь может возникнуть вопрос – где же вторая часть сложного суждения, которую мы обычно обозначали символом в В записи а, уже присутствуют два простых суждения а это какое-то утверждение, а знак «¬» – его отрицание. Перед нами как бы два простых суждения – одно утвердительное, другое – отрицательное. Пример отрицательного суждения Неверно, что все мухи являются птицами». Итак, мы рассмотрели пять видов сложных суждений конъюнкцию, дизъюнкцию (нестрогую и строгую, импликацию, эквивален- цию и отрицание. Союзов в естественном языке много, но все они по смыслу сводятся к рассмотренным пяти видами любое сложное суждение относится к одному из них. Например, сложное суждение Уж полночь близится, а Германна все нет, – является конъюнкцией, потому что в нем союза употребляется в роли соединительного союза «и». Сложное суждение, в котором вообще нет союза Посеешь ветер, пожнешь бурю, – является импликацией, т. к. два простых суждения в нем связаны по смыслу условным союзом «если…то». Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Приведена табл. 6 истинности всех видов сложных суждений в зависимости от всех возможных наборов истинностных значений двух входящих в них простых суждений (таких наборов всего четыре оба простых суждения истинные первое суждение истинное, а второе ложное первое суждение ложное, а второе истинное; оба суждения ложные). Таблица Как видим, конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба входящих в нее простых суждения. Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в нее суждения. Во всех остальных случаях она является ложной. Нестрогая а в а /\ в а V в а V в а → в а ´ в ¬ а И И И ИЛИ ИЛИ Л ЛИ ИЛЛ ЛИЛИИ ИЛИ Л Л Л Л ЛИ И – дизъюнкция, наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в нее простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в нее простые суждения. Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно входящее в нее простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в нее простых суждений, а все остальные ложны. Импликация ложна только водном случае – когда ее основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна. Эквиваленция истинна тогда, когда два составляющих ее простых суждения истинны или когда оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна. Проще всего определяется истинность отрицания когда утверждение истинно, его отрицание ложно когда утверждение ложно, его отрицание истинно. Проверьте себя. На каком основании выделяются виды сложных суждений. Охарактеризуйте все виды сложных суждений название, союз, условное обозначение, формула, пример. Чем отличается нестрогая дизъюнкция от строгой Как отличить импликацию от эквиваленции? 3. Каким образом можно определить вид сложного суждения, если в нем вместо союзов и, или, «если… то» употребляются какие- либо другие союзы. Приведите потри примера для каждого вида сложных суждений, не используя при этом союзов и, или, «если…то». 5. Определите, к какому виду относятся следующие сложные суждения Живое существо является человеком только тогда, когда оно обладает мышлением. Человечество может погибнуть то ли от истощения земных ресурсов, то ли от экологической катастрофы, то ли в результате третьей мировой войны Вчера он получил двойку не только по математике, но еще и по русскому Проводник нагревается, когда через него проходит электрический ток Окружающий нас мир либо познаваем, либо нет Или же он совершенно бездарен, или же полный лентяй Когда человек льстит, он лжет Вода превращается в лед лишь при температуре от 0 Си ниже 63 6. Отчего зависит истинность сложных суждений Какие значения истинности принимают конъюнкция, нестрогая и строгая дизъюнкция, импликация, эквиваленция и отрицание в зависимости от всех наборов истинностных значений входящих в них простых суждений. Логические формулы Любое высказывание или целое рассуждение можно подвергнуть формализации. Это значит отбросить его содержание и оставить только его логическую форму, выразив ее с помощью уже известных нам условных обозначений конъюнкции, нестрогой и строгой дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Например, чтобы формализовать следующее высказывание: «Он занимается живописью, или музыкой, или литературой, надо сначала выделить входящие в него простые суждения и установить вид логической связи между ними. В приведенное высказывание входят три простых суждения Он занимается живописью, Он занимается музыкой, Он занимается литературой». Эти суждения объединены разделительной связью, однако они друг друга не исключают (можно заниматься и живописью, и музыкой, и литературой, следовательно, перед нами – нестрогая дизъюнкция, форму которой можно представить следующей условной записью: а \/ в \/ с, где а, в, с – указанные выше простые суждения. Форму: а \/ в \/ с, можно наполнить каким угодно содержанием, например: «Цицерон был политиком, или оратором, или писателем, Он изучает английский, или немецкий, или французский, Люди передвигаются наземным, или воздушным, или водным транспортом». Формализуем рассуждение Он учится в 9 классе, или в 10 классе, или в 11 классе. Однако, известно, что он не учится нив, нив 11 классе. Следовательно, он учится в 9 классе. Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение и обозначим их маленькими буквами латинского алфавита Он учится в 9 классе (а)», Он учится в 10 классе (в, Он учится в 11 классе (с. Первая часть рассуждения представляет собой строгую дизъюнкцию этих трех высказываний а \/ в \/ с. Вторая часть рассуждения является отрицанием второго в и третьего с высказываний, причем эти два отрицания соединяются, те. связаны конъюнктивно: ¬ в /\ ¬ с. Конъюнкция отрицаний присоединяется к упомянутой выше строгой дизъюнкции трех простых суждений (а \/ в \/ св си уже из этой новой конъюнкции как следствие вытекает утверждение первого простого суждения Он учится в 9 классе. Логическое следование, как мы уже знаем, представляет собой импликацию. Таким образом, результат формализации нашего рассуждения выражается формулой (а \/ в \/ св с) → а. Эту логическую форму можно наполнить любым содержанием. Например: «Впервые человек полетел в космос в 1957 г, или в 1959 г, или в 1961 г. Однако, известно, что впервые человек полетел в космос не в 1957 г. и не в 1959 г. Следовательно, впервые человек полетел в космос в 1961 г Еще один вариант Философский трактат «Критика чистого разума написал то ли Иммануил Кант, то ли Георг Гегель, то ли Карл Маркс. Однако, ни Гегель, ни Маркс не являются авторами этого трактата. Следовательно, его написал Кант». Результатом формализации любого рассуждения, как мы увидели, является какая-либо формула, состоящая из маленьких букв латинского алфавита, выражающих входящие в рассуждение простые высказывания, и условных обозначений логических связей между ними (конъюнкции, дизъюнкции и др. Все формулы делятся в логике натри вида. Тождественно-истинные формулы являются истинными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных (простых суждений. Любая тождественно-истинная формула представляет собой логический закон. Тождественно-ложные формулы являются ложными при всех наборах истинностных значений входящих в них переменных. Тождественно-ложные формулы представляют собой отрицание тождественно-истинных формул и являются нарушением логических законов. Выполнимые нейтральные) формулы при различных наборах истинностных значений входящих в них переменных являются то истинными, то ложными. Если в результате формализации какого-либо рассуждения получается тождественно-истинная формула, то такое рассуждение является логически безупречным. Если же результатом формализации будет тождественно-ложная формула, то рассуждение следует признать логически неверным (ошибочным. Выполнимая (нейтральная) формула свидетельствует о логической корректности того рассуждения, формализацией которого она является. Для того чтобы определить, к какому виду относится таили иная формула, и, соответственно, оценить логическую верность какого-то рассуждения, обычно составляют специальную таблицу истинности для этой формулы. Рассмотрим следующее рассуждение Владимир Владимирович Маяковский родился в 1891 г. или в 1893 г. Однако известно, что он родился не в 1891 г. Следовательно, он родился в 1893 г. Формализуя это рассуждение, выделим входящие в него простые высказывания Владимир Владимирович Маяковский родился в 1891 г. Владимир Владимирович Ма- яковский родился в 1893 г Первая часть нашего рассуждения, несомненно, представляет собой строгую дизъюнкцию этих двух простых высказываний а \/ в. Далее к дизъюнкции присоединяется отрицание первого простого высказывания, и получается конъюнкция (а \/ в) /\ ¬ а. И, наконец, из этой конъюнкции вытекает утверждение второго простого суждения, и получается импликация: ((а \/ в) /\ ¬ а) → в, которая и является результатом формализации данного рассуждения. Теперь надо составить табл. 7 истинности для получившейся формулы: Таблица Количество строк в таблице определяется по правилу 2 n , где n число переменных (простых высказываний) в формуле. Поскольку в нашей формуле только две переменных, тов таблице должно быть четыре строки. Количество колонок в таблице равно сумме числа переменных и числа логических союзов, входящих в формулу. В рассматриваемой формуле две переменных и четыре логических союза, /\, ¬, → ), значит, в таблице должно быть шесть колонок. Первые две колонки представляют собой всевозможные наборы истинностных значений переменных (таких наборов всего четыре обе переменные истинны первая переменная истинна, а вторая ложна первая переменная ложна, а вторая истинна обе переменные ложны). Третья колонка – это истинностные значения строгой дизъюнкции, которые она принимает в зависимости от всех (четырех) наборов истинностных значений переменных. Четвертая колонка – это истинностные значения отрицания первого простого высказывания ¬ а. Пятая колонка – это истинностные значения конъюнкции, состоящей из вышеуказанной строгой дизъюнкции и отрицания, и, наконец, шестая колонка – это истинностные значения всей формулы, или импликации. Мы разбили всю формулу на составные части, каждая из которых является двучленным сложным суждением, те. состоящим из двух элементов (в предыдущем параграфе говорилось о том, что отрицание также представляет собой двучленное сложное суждение): а в а в ¬ а а \/ в) /\ ¬ а а \/ в) /\ ¬ а) → в И ИЛЛ ЛИ ИЛИ Л ЛИЛИИ И И ИЛЛ ЛИЛИ а \/ в) /\ ¬ а) → в 2 В четырех последних колонках таблицы представлены истинностные значения каждого из этих двучленных сложных суждений, образующих формулу. Сначала заполним третью колонку таблицы. Для этого нам надо вернуться к предыдущему параграфу, где была представлена таблица истинности сложных суждений (см. табл. 6), которая в данном случае будет для нас базисной (как таблица умножения в математике. В этой таблице мы видим, что строгая дизъюнкция ложна, когда обе ее части истинны или обе ложны когда же одна ее часть истинна, а другая ложна, тогда строгая дизъюнкция истинна. Поэтому значения строгой дизъюнкции в заполняемой таблице (сверху вниз) таковы: ложно, истинно, истинно, ложно. Далее заполним четвертую колонку таблицы ¬ а когда утверждение два раза истинно и два раза ложно, тогда отрицание ¬ а, наоборот, два раза ложно и два раза истинно. Пятая колонка – это конъюнкция. Зная истинностные значения строгой дизъюнкции и отрицания, мы можем установить истинностные значения конъюнкции, которая истинна только тогда, когда истинны все входящие в нее элементы. Строгая дизъюнкция и отрицание, образующие данную конъюнкцию, одновременно истинны только водном случае, следовательно конъюнкция один раз принимает значение истинно, а в остальных случаях – ложно. Наконец, надо заполнить последнюю колонку для импликации, которая и будет представлять истинностные значения всей формулы. Возвращаясь к базисной таблице истинности сложных суждений, вспомним, что импликация ложна только водном случае когда ее основание истинно, а следствие ложно. Основанием нашей импликации является конъюнкция, представленная в пятой колонке таблицы, а следствием простое суждение (в, представленное во второй колонке. Некоторое неудобство в данном случае заключено в том, что слева направо следствие идет раньше основания, однако мы всегда можем мысленно поменять их местами. В первом случае (первая строчка таблицы, не считая шапки) основание импликации ложно, а следствие истинно, значит, импликация истинна. Во втором случае и основание, и следствие ложны, значит, импликация истинна. В третьем случае и основание, и следствие истинны, значит, импликация истинна. В четвертом случае, как и во втором, и основание, и следствие ложны, значит, импликация истинна Рассматриваемая формула принимает значение истинно при всех наборах истинностных значений входящих в нее переменных, следовательно, она является тождественно-истинной, а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически безупречно. Рассмотрим еще один пример. Требуется формализовать следующее рассуждение и установить, к какому виду относится выражающая его формула Если какое-либо здание является старым, то оно нуждается в капитальном ремонте. Это здание нуждается в капитальном ремонте. Следовательно, это здание старое. Выделим простые высказывания, входящие в это рассуждение «Какое- либо здание является старым, «Какое-либо здание нуждается в капитальном ремонте Первая часть рассуждения представляет собой импликацию а → в этих простых высказываний (первое является ее основанием, а второе – следствием. Далее, к импликации присоединяется утверждение второго простого высказывания, и получается конъюнкция (а → в) /\ в. И наконец, из этой конъюнкции вытекает утверждение первого простого высказывания, и получается новая импликация (а → в) /\ в) → а, которая и является результатом формализации рассматриваемого рассуждения. Чтобы определить вид получившейся формулы, составим табл. 8 ее истинности. Таблица В формуле две переменные, значит, в таблице будет четыре строчки также в формуле три союза ( → , /\, → ), значит, в таблице будет пять колонок. Первые две колонки – это истинностные значения переменных. Третья колонка – истинностные значения импликации. Четвертая колонка – истинностные значения конъюнкции. Пятая, последняя колонка – истинностные значения всей формулы – итоговой импликации. Таким образом, мы разбили формулу натри составные части, представляющие собой двучленные сложные суждения: ((а → в) /\ в) → а а в а в а → в) /\ в а → в) /\ в а И И И И И ИЛЛ ЛИЛИИ ИЛЛ ЛИЛИ Заполним последовательно три последних колонки таблицы потому же принципу, что ив предыдущем примере, те. опираясь на базисную таблицу истинности сложных суждений (см. табл. Рассматриваемая формула принимает как значение «истинно», так и значение ложно при различных наборах истинностных значений входящих в нее переменных, следовательно, она является выполнимой (нейтральной, а рассуждение, формализацией которого она выступает, логически корректно, но небезупречно при ином содержании рассуждения такая форма его построения могла бы привести к ошибке, например Если слово стоит вначале предложения, то оно пишется с большой буквы. Слово Москва всегда пишется с большой буквы. Следовательно, слово Москва всегда стоит вначале предложения». Проверьте себя. Что такое формализация высказывания или рассуждения Придумайте какое-нибудь рассуждение и совершите его формализацию. Формализуйте следующие рассуждения Если какое-либо вещество является металлом, то оно электропроводно. Медь является металлом. Следовательно, медь электропроводна Известный английский философ Фрэнсис Бэкон жил в XVII вили в XV вили в XIII в. Фрэнсис Бэкон жил в XVII в. Следовательно, он нежил нив в, нив в Если тыне упрям, то ты можешь изменить свое мнение. Если же ты можешь изменить свое мнение, то ты способен признать данное суждение ложным. Следовательно, если тыне упрям, то ты способен признать данное суждение ложным Если сумма внутренних углов геометрической фигуры равна, то такая фигура является треугольником. Сумма внутренних углов данной геометрической фигуры неравна. Следовательно, данная геометрическая фигура не является треугольником Леса бывают хвойными, или лиственными, или смешанными. Этот лес не лиственный и не хвойный. Следовательно, этот лес смешанный. 3. Что представляют собой тождественно-истинные тождествен- но-ложные и выполнимые формулы Что можно сказать о рассуждении, если результатом его формализации является тождественно- истинная формула Каким будет рассуждение, если его формализация выражается тождественно-ложной формулой Каковы, сточки зрения логической верности, рассуждения, которые при формализации приводят к выполнимым формулам. Каким образом можно определить вид той или иной формулы, выражающей собой результат формализации некого рассуждения По какому алгоритму строятся и заполняются таблицы истинности для логических формул Придумайте какое-нибудь рассуждение, формализуйте его и с помощью таблицы истинности определите вид получившейся формулы. Виды и правила вопроса Вопрос весьма близок к суждению. Это проявляется в том, что любое суждение можно рассматривать как ответ на некий вопрос. Поэтому вопрос можно характеризовать в качестве логической формы, как бы предшествующей суждению, представляющей собой своего рода «предсуждение». Таким образом, вопрос – этологическая форма (конструкция, которая направлена на получение ответа в виде некоторого суждения. Вопросы делятся на исследовательские и информационные. |