Поурочные разработки по геометрии 10 класс Атанасян (1). Урок 1 предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии цель рассмотреть основные свойства плоскости

• Название: Урок 1 предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии цель рассмотреть основные свойства плоскости
• Дата: 11.10.2022
• Размер: 1.97 Mb.
• Имя файла: Поурочные разработки по геометрии 10 класс Атанасян (1).doc
• Тип: Урок; #727176
• страница: 5 из 13

II. Решение задач.

Варианты I и IV рассмотреть в классе. Варианты II и III дать домой для самостоятельного решения.

Вариант I

1. На рисунке точки А, С, М и Р лежат в плоскости α, а точка В α. Постройте точку пересечения прямой MP с плоскостью АВС. Поясните.

2. Треугольники АВС и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Е лежит на стороне АВ, F – на стороне ВС, причем EF параллельна плоскости ADC. Р – середина AD, а K – середина DC.

1) Докажите, что EF || PK.

2) Каково взаимное положение прямых РK и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если АВС = 40° и ВСА = 80°?

3. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая а лежит в плоскости α. Каково возможное взаимное положение прямой а и плоскости β? Сделайте рисунок и поясните.

4*. Используя рисунок, постройте линию пересечения плоскости EFM с плоскостью α. Поясните.



Вариант IV

1. На рисунке точки Е и F лежат в плоскости β, а М – в плоскости α. Постройте линии пересечения плоскости EFM с плоскостями α и β. Поясните.



2. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и F соответственно.

1) Докажите, что BCFE – параллелограмм.

2) Каково взаимное положение прямых EF и АВ? Чему равен угол между ними, если АВС = 150°? Поясните.

3. Отрезок АВ параллелен плоскости α, а отрезок CD лежит в этой плоскости, причем AB = CD. Можно ли утверждать, что четырехугольник ABDC – параллелограмм? Поясните.

4*. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая АВ лежит в плоскости α, а CD – в плоскости β. Что нужно изменить в условии, чтобы прямые АС и BD могли пересекаться? В каком случае это возможно?

Вариант II

1. На рисунке точки А и В лежат в плоскости α, а С – в плоскости β. Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоскостями α и β. Поясните.

2. Треугольники ABC и DCE лежат в разных плоскостях и имеют общую вершину С, АВ || DE.

1) Постройте линию пересечения плоскостей АВС и DCE. Поясните.

2) Каково взаимное положение прямых АВ и DF, где F лежит на стороне CE? Чему равен угол между этими прямыми, если FED = 60° и DFE = 100°? Поясните.

3. Прямая а параллельна плоскости α, точка М и прямая с лежат в плоскости α (М с). Через точку М проведена прямая b, параллельная а. Каково взаимное положение прямых b и с? Поясните.

4*. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая АВ лежит в плоскости α, а CD – в плоскости β. Что нужно изменить в условии, чтобы прямые EF и MK могли быть параллельными? Поясните.

Вариант III

1. На рисунке точки А, С, E и F лежат в плоскости α, а точка В α. Постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью АВС. Поясните.

2. Трапеция ABCD (AD и ВС – основания) и треугольник AED имеют общую сторону AD и лежат в разных плоскостях. Точка М лежит на стороне АЕ, а Р – на стороне DE, причем МР параллельна плоскости трапеции.

1) Докажите, что МР || ВС.

2) Каково взаимное положение прямых МР и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если АВС = 110°? Поясните.

3. Плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая а лежит в плоскости α, а b – в плоскости β. Какие возможны взаимные положения прямых а и b? Сделайте рисунок и поясните.

4*. Используя рисунок, постройте линию пересечения плоскости МРK с плоскостью α. Поясните.

Урок 12
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Ход урока

Вариант I

1. В каком случае три точки в пространстве не определяют положение плоскости, проходящей через эти точки?

2. Могут ли две различные плоскости иметь только одну общую точку?

3. Точка М не лежит на прямой а. Через точку М проводятся прямые, пересекающие прямую а. Лежат ли эти прямые в одной плоскости?

4. Каково взаимное положение прямых: 1) AD₁ и MN; 2) AD₁ и ВС₁; 3) MN и DC? (Рис. 1.)

5. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b пересекаться?



Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

6. Прямая а параллельна плоскости α. Существуют ли на плоскости α прямые, не параллельные а? Если да, то каково их взаимное положение?

7. На рисунке 2 прямые m и n пересекаются в точке М, А m; В n; b лежит в плоскости α, а || b. Каково взаимное положение прямых b и c?

8. Даны треугольник АВС и плоскость α, АВ || α; АС || α. Каково взаимное положение прямой ВС и плоскости α?

9. На рисунке 3 плоскости α и β параллельны. Пересекающиеся в точке М прямые а и b пересекают плоскость α в точках А и С, а плоскость β – в точках В и D, . Найдите отношение .

10. Плоскость α пересекает только боковые ребра параллелепипеда. Определите вид сечения.

Вариант II

1. Что можно сказать о взаимном положении двух плоскостей, имеющих три общие точки, не лежащие на одной прямой?

2. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?

3. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Лежат ли все эти три прямые в одной плоскости?

4. Каково взаимное положение прямых: 1) A₁D и MN; 2) A₁D и В₁С; 3) MN и А₁В₁? (Рис. 1.)

5. Прямые а и b скрещиваются с прямой с. Могут ли прямые а и b быть параллельными?



Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

6. Две прямые параллельны одной и той же плоскости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны между собой? Если нет, то каково их взаимное положение?

7. На рисунке 2 прямые m и n параллельны. Точки А и В соответственно принадлежат прямым m и n; b лежит в плоскости α, а || b. Каково взаимное положение прямых b и с?

8. Даны четырехугольник АВСD и плоскость α. Его диагонали АС и BD параллельны плоскости α. Каково взаимное положение АВ и плоскости α?

9. На рисунке 3 плоскости α и β параллельны. Пересекающиеся в точке М прямые а и b пересекают плоскость α соответственно в точках В и А, а плоскость β – в точках Е и F. . Найдите отношение .

10. Плоскость α проходит через диагональ основания параллелепипеда и середину одной из сторон верхнего основания. Определите вид сечения.

Урок 13
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ.
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Цели: ввести понятие параллельных плоскостей; доказать признак параллельности двух плоскостей.

Ход урока

I. Объяснение нового материала построить в соответствии с пунктом 11 учебника.

Дано: а b = М, а α, b α, а || а1, b || b1, а1 β, b1 β. Доказать, что α || β.

Доказательство

1. 2.

3. Пусть αβ, тогда α β = c.

4. 5.

6. а || с, b || c, но а b = М по условию.

Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно. Следовательно, α || β.

II. Решение задач.

№ 48 (устно).

№ 49.

Дано: m α = В. Существует ли β: m β, α || β? 1. m α = В В α. 2. m β В β.

3.

№ 50.

Дано: α || β, m α. Доказать, что m || β. Доказательство 1. Пусть m || β, m β = K.

2.

Получили противоречие условию, которое опровергает наше предположение. Следовательно, m || β.

№ 54.

Дано: В (ADC), АМ = МВ, CN = NB, BP = PD. Доказать, что (MNP) || (АВС). Найти SMNP, если SADC = 48 см2.

Решение

1. MN – средняя линия Δ АВС MN || AC.

2. NP – средняя линия Δ CBD NP || CD.

3. по признаку.

4. Δ MNP Δ ADC, K = S_MNP = ∙ 48 = 12 (см²).

Домашнее задание: теория (п. 10), №№ 51, 52, 53.

Урок 14
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

Цели: доказать теорему существования и единственности плоскости, параллельной данной и проходящей через данную точку пространства; рассмотреть свойства параллельных плоскостей.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (у доски).

II. Устная работа.

1. Верно ли, что если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. (Верно.)

2. Верно ли, что если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. (Нет. Привести контрпример – пересекающиеся плоскости, проведенные через параллельные прямые.)

3. Дано: DAB + AEP = 180°, DBC + ТРВ = 180°. Доказать, что (АВС) || (ЕРТ).

4. Каким может быть взаимное расположение прямой а и плоскости β, если прямая а лежит в плоскости α, параллельной плоскости β?

5. Как могут быть расположены плоскости α и β, если плоскость α проходит через некоторую прямую а, параллельную плоскости β?

6. Как могут быть расположены плоскости α и β, если любая прямая, лежащая в плоскости α, параллельна плоскости β?

III. Объяснение нового материала построить как процесс решения задач в соответствии с пунктом 11 учебника.

IV. Решение задач: №№ 55, 56, 58, 59, 60.

№ 55.

Дано: а α, β || α.

Доказать, что а β.

	Доказательство 1. Проведем b: В b, В β, b || а. 2. по лемме.
№ 56.	Дано: α || β, А α, А а, а || β. Доказать, что а α. Доказательство 1. Пусть а α, тогда а α = А.

2. (задача № 55).

Получили противоречие условию. Следовательно, наше предположение неверно и а α.

№ 60.

Дано: α || χ, β || χ. Доказать, что α || β. Доказательство 1. Проведем в плоскости α пересекающиеся прямые а и b. 2. Отметим С χ.

Проведем (а, С) = Q₁, Q₁ χ = а₁. (b, С) = Q₂, Q₂ χ = b₁.

Причем а || а₁ и b || b₁, а₁ b₁ = c.

3. Аналогично проведем рассуждения для плоскостей β и χ. Получим в плоскости β прямые а₂ и b₂. Причем а₁ || а₂, b₁ || b₂.

4. по признаку.

Домашнее задание: теория (п. 11), №№ 57, 61, 104.

Урок 15
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

Цель: сформировать навык применения изученных свойств параллельных плоскостей при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания (у доски).

II. Устная работа.

	1. Дано: Δ АВС, АС α, АМ = МВ, М β, β || α,β ВС = K. Доказать, что МK – средняя линия Δ АВС.
	2. Одна из сторон треугольника принадлежит плоскости α. Плоскость β параллельна плоскости α и пересекает две другие стороны треугольника. Доказать, что β отсекает от треугольника треугольник, подобный данному.
	3. Дано: (MNK) || (АВС). Доказать, что MNK = АВС.
	4. Дано: α || β, АА1 || ВВ1, АВ = 10 см. Найти А1В1.
	5. Дано: α || β, а b = О, АО = ОС,DO = ОВ. Определить вид четырехугольника ABCD.

III. Решение задач. №№ 63, 64, 65 (устно), 107.

Домашняя контрольная работа

Вариант I

1. Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AD. Прямая m, параллельная BC, пересекает плоскости АВЕ и DCF соответственно в точках Н и Р. Докажите, что HPFE – параллелограмм.

2. На рисунке 1 плоскости α и β параллельны, а || а₁. Прямая а пересекает плоскости α и β соответственно в точках А и В, а прямая а₁ пересекает плоскость α в точке А₁. Постройте точку пересечения а₁ с плоскостью β. Поясните.



Рис. 1 Рис. 2

3. В тетраэдре DABC DBA = DBC = 90, DB = 6, АВ = ВС = 8, АС = 12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Найдите площадь сечения.

4*. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е и F и параллельной прямой а (рис. 2).

Вариант II

1. Вне плоскости αрасположен треугольник АВС, у которого медианы АА₁ и ВВ₁ параллельны плоскости α. Через вершины В и С треугольника проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α соответственно в точках Е и F. Докажите, что ECBF – параллелограмм.

2. На рисунке 1 плоскости α и β параллельны. Прямая а пересекает плоскости α и β соответственно в точках А и В, а прямая b – в точках С и D. Найдите взаимное положение прямых а и b. Поясните.



Рис. 1 Рис. 2

3. Все грани параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ – квадраты со стороной а. Через середину AD параллельно плоскости DA₁B₁ проведена плоскость. Найдите периметр сечения.

4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и К и параллельной прямой а (рис. 2).

Вариант III

1. Прямоугольники ABCD и EBCF лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону ВС. Прямая а параллельна AD и пересекает плоскости АВЕ и DCF соответственно в точках Р и Н. Докажите, что РВСН – параллелограмм.

2. На рисунке 1 плоскости α и β параллельны. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая а пересекает плоскости α и β соответственно в точках А и В, а прямая b пересекает плоскость β в точке D. Постройте точку пересечения прямой b с плоскостью α.



Рис. 1 Рис. 2

3. В тетраэдре DABC точка М – середина АС, DB = 6, MD = 10,
 DBM = 90°. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра DC и параллельной плоскости DMB, и найдите площадь сечения.

4*. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е и Р и параллельной прямой а (рис. 2).

Вариант IV

1. Трапеция ABCD (AD и ВС – основания) расположена вне плоскости α. Диагонали трапеции параллельны плоскости α. Через вершины А и В проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость α в точках Е и F соответственно. Докажите, что EABF – параллелограмм.

2. На рисунке 1 плоскости α и β параллельны. Прямая а пересекает плоскости α и β соответственно в точках А и В, а прямая b – в точках С и D. Каково взаимное положение прямых а и b? Поясните.



Рис. 1 Рис. 2

3. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, все грани которого – прямоугольники, AD = 4, DC = 8, СС₁ = 6. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через середину ребра DC и параллельной плоскости AB₁C₁, и найдите периметр сечения.

4*. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки С и М и параллельной прямой а (рис. 2).

Урок 16
ТЕТРАЭДР

Цель: ввести понятие тетраэдра, проиллюстрировать изученные понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей на примере треугольной пирамиды.

Ход урока

I. Объяснение нового материала построить в соответствии с пунктом 12.

II. Решение задач: №№ 66, 67, 68 (на готовом чертеже), 69, 70, 74.

№ 69.

Дано: SABC – тетраэдр. МА = МВ, BN = NC, М α, N α, BS || α, α (ABS) = PM, α (BCS) = = KN. Доказать, что РМ || KN.

Доказательство

1.

2.

3.

№ 70.

Дано: ABCD – тетраэдр, АМ = МВ, AN = ND, AK = KC. Доказать, что (MNK) || (BCD).

Доказательство

1. MK || ВС (по свойству средней линии).

2. MN || BD (по свойству средней линии).

3. .

№ 74.

Дано: ABCD – тетраэдр, О – точка пересечения медиан Δ BCD, О α, α || (АВС), α AD = М, α ВD = K, α DС = N. Доказать, что Δ MNK Δ АВС. Найдите .

Решение

1.

2. Аналогично MK || AB, MN || AC.

3. Δ BCD Δ KND (по двум углам) KN = BC, DK = BD,
DN = DC.

4.

5. Δ MDK Δ ADB (по двум углам) MK = AB.

6. Аналогично, MN = AC.

7. Δ MNK Δ ABC (по трем сторонам).

8. .

Домашнее задание: теория (п. 12), №№ 71, 102, 103.

Урок 17
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Цель: ввести понятие параллелепипеда, рассмотреть свойства ребер, граней, диагоналей параллелепипеда.

Ход урока

I. Объяснение нового материала построить в соответствии с пунктом 13 учебника.

II. Решение задач: №№ 76 (устно), 77, 78 (устно по готовому чертежу), 79, 80.

III. Домашнее задание: теория (п. 13), №№ 81, 109, 110. Подготовить ответы на вопросы к главе I.

Урок 18
ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ

Цель: сформировать навык решения простейших задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

Ход урока

I. Устная работа – вопросы к главе I.

II. Решение задач: №№ 72, 73, 75, 82.

III. Домашнее задание: теория (п. 14), №№ 83, 84, 85, 86.

Дополнительно:

1. ABCD – тетраэдр, М – середина АС, DB = 6, MD = 10, DBM = 90°.

Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DC параллельно плоскости (DMB), и найдите Sсеч. 1) MB = 8 см. 2) Δ DBM Δ KNF, K = .

S_DBM = 24 см² S_KNF = 6 см².

2. Все грани параллелепипеда – прямоугольники.

AD = 4, DC = 8, СС1 = 6, М – середина DC. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через М и параллельной (АВ1С1). Найти Рсеч.

Урок 19
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Домашняя контрольная работа

1. Через точку K, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые а и b. Прямая а пересекает плоскости α и β в точках А₁ и А₂соответственно, b – в точках В₁ и В₂.

Найти В1В2, если А2В2 : А1В1 = = 9 : 4, КВ1 = 8 см.	Найти KВ2, если А1В1 : А2В2 = = 3 : 4, КВ1 = 14 см.
2. Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях. Прямая m, параллельная ВС, пересекает плоскости (АВЕ) и (DCF) соответственно в точках Н и Р. Доказать, что HPFE – параллелограмм.	2. Вне плоскости α расположен Δ АВС, у которого медианы АА1 и ВВ1 параллельны плоскости α. Через вершины В и С проведены параллельные прямые, пересекающие α соответственно в точках E и F. Доказать, что ECBF – параллелограмм.
3. DABC – тетраэдр, DBA = = DBC = 90°, DB = 6, АВ = ВС = = 8, АС = 12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину DB и параллельной плоскости ADC. Найти Sсеч.	3. Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 – квадраты со стороной а. Через середину AD параллельно плоскости DA1B1 проведена плоскость. Найти Рсеч.