Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 10 из 32

φ
x,y
,
(3.2.6) или
1 2
3 4
5 6
1
,
,
,
,x
,
,y
,
,
,
(
)
(
)
r
N
r
r
r
r
r
r
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i z
i
i
u
v
w











u
φ
φ
φ
φ
φ
φ
x,y
,
(3.2.7) где функции v
{
,
,
}
r
r
r
r
T
w

φ
ij
ij,u
ij,
ij,
φ
φ
φ
,
i=1,2,…,N
r
,
j=1
6 могут иметь все нену- левые компоненты.
3.3. Конечные элементы с полиномиальными аппрок‐
симациями
Для упрощения дальнейших выкладок воспользуемся вспомогательной системой координат. Выделим четыре любых узла элемента с номерами n
1
,
n
2
, n
3
, n
4
, которые не лежат в одной плоскости, а вектора n
1
n
2
, n
1
n
3
и n
1
n
4
яв- ляются ребрами и образуют правую тройку.
Выполним в общем случае не ортогональное преобразование, чтобы центр системы координат

находился в первом узле, а узлы n
2
, n
3
, n
4
– на соответствующих осях в точке с единичной координатой:
1 2
1 3
1 4
1 1
2 1
3 1
4 1
1 2
1 3
1 5
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n









 






  






  






x x
x
x
x
x
x
x
y y
y
y
y
y
y
y
z z
z
z
z
z
z
z
,
(3.3.1)




1
,
,
( , , )
,
,
T
T
     


  
  
  
  
J
x y z
(3.3.2)
Матрица Якоби (2.10.3)
2 1
2 1
2 1
3 1
3 1
3 1
4 1
4 1
5 1
( , , )
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
  










 








J
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z
(3.3.3)

70
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
3.3.1. Тетраэдр с узлами в вершинах
Простейший элемент, имеющий четыре узла, изображен на рис. 3.3-1а.
Все его четыре грани считаются плоскими. а) б)
Рис. 3.3-1.
Тетраэдр и его мастер-элемент
При построении системы аппроксимирующих функций (2.1.6) поле пере- мещений аппроксимируется по линейному закону:
1 2
3 4
(
)
i
i
i
i
i
C
C
C
C

 


x,y,z
x
y
z
(3.3.4)
На основании свойств (2.1.7) составляем систему уравнений
1 2
3 4
1 2 3 4
,
, , ,
i
i
i
i
j
j
j
j
i
C
C
C
C
j






x
y
z
,
(3.3.5) которая однозначно определяет все коэффициенты .
Если воспользоваться вспомогательным преобразованием (3.3.1), то тет- раэдр преобразуется к форме, представленной на рис. 3.3-1б, система уравне- ний (3.3.5) для него упрощается, а ее решение имеет вид:
1 3
4 2
1
,
,
,
  







   



(3.3.6)
Номера узлов, соответствующие аппроксимирующим функциям, приве- дены на рис. 3.3-1б.
3.3.2. 10‐ти узловой тетраэдр
Более сложным является элемент тетраэдр, имеющий дополнительно точ- ки на всех ребрах – элемент с 10-ю узлами, изображенный на рис. 3.3-2а. а) б)
Рис. 3.3-2.
10-ти узловой тетраэдр и его мастер-элемент

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
71
При построении его системы аппроксимирующих функций (2.1.6) поле перемещений аппроксимируется по квадратичному закону:


2 2
2 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C











x,y,z
x
y
z x
y
z
xy
xz
yz ,
(3.3.7) где коэффициенты однозначно определены как решения систем на основа- нии свойств (2.1.7).
Воспользуемся заменой системы координат (3.3.1) и преобразуем тетра- эдр к форме, представленной на рис. 3.3-2б. Если считать, что точки на реб- рах тетраэдра делят их пополам, то систему функций для него можно запи- сать в следующем виде:
4 6
1 2
7 8
9 5
1 3
0 4 1 1
1 2 2
2 4
2 1 2 1 4 1 2 1 4
4 1 4
(
),
(
)(
),
,
(
),
(
),
(
),
(
),
(
)
,
,



  
  




 
 
   
 


  










  
   









  




  

(3.3.8)
Номера узлов и их координаты, соответствующие аппроксимирующим функциям, приведены на рис. 3.3-2б.
3.3.3. Прямой параллелипипед с узлами в вершинах
Параллелепипед, имеющий восемь узлов, изображен на рис. 3.3-3а. Если воспользоваться вспомогательным преобразованием (3.3.1), то он преобразу- ется к форме, представленной на рис. 3.3-3б.
Используется полилинейная аппроксимация поля перемещений по облас- ти мастер-элемента. а) б)
Рис. 3.3-3.
Параллелепипед и его мастер-элемент
Система функций (3.2.1) имеет вид:
6 4
5 7
2 3
8 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
(
)(
)(
),
(
)(
),
(
) (
),
(
),
(
) ,
(
)((
) ,
(
)
,














 




 


 


 





 





 

 

(3.3.9)

72
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
3.3.4. Прямой 20‐ти узловой параллелипипед
Рассмотрим прямой параллелепипед с гранями, имеющими дополнитель- но точки на серединах всех ребер – элемент с 20-ю узлами, изображенный на рис. 3.3-4. а) б)
Рис. 3.3-4.
20-ти узловой параллелепипед и его мастер-элемент
При построении системы аппроксимирующих функций (2.1.6) поле пере- мещений аппроксимируется по области мастер-элемента неполным полино- мом 4-й степени:
2 2
2 4
5 8
9 10 11 1
7 3
1 14 15 16 2
17 18 9
1 3
1 6
2 20
c
c
c
c
c
c
c
c
c
  









 
 


 


 
 










2
2
2
2
2
2
2
2
2
φ
, , = c
c
+ c
+ c
c
c
c
c
(
)
+
+
c
+
+
+
c
+
+
c
+
(3.3.10)
Используемая нумерация узлов показана на рис. 3.3-4б, а их приведенные координаты приведены в таблице 3.3-1:
Таблица 3.3-1.
Приведенные координаты узлов параллелепипеда
Узел
ξ
η
ζ
Узел
ξ
η
ζ
Узел
ξ
η
ζ
1 0
0 0
8 1
1 1
15 0
1 0.5 2
1 0
0 9
0 0.5 0
16 1
1 0.5 3
0 1
0 10 1
0.5 0
17 0
0.5 1
4 1
1 0
11 0.5 0
0 18 1
0.5 1
5 0
0 1
12 0.5 1
0 19 0.5 0
1 6
1 0
1 13 0
0 0.5 20 0.5 1
1 7
0 1
1 14 1
0 0.5
Решение системы уравнений (2.1.7) имеет вид:
2 1
11 1
4 3
1 1
3 2
4
φ
,
=(1 ξ)(1 η)(1
)(1 2ξ 2η 2 ),
=4ξ(1 ξ)(1 η)(1
),
=ξ(1 η)(1
)(2ξ 2η 2 1),
=4ξ(1 ξ)η(1
),
=(1 ξ)η(1
)( 2ξ+2η 2 1),
=4(1 ξ)(1 η) (1
),
=ξη(1
)(2ξ+2η
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
2 3),
=4ξ(1 η) (1
)












































Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
73 6
7 8
18 5
15 16 17 9
19
=(1 ξ)(1 η) ( 1 2ξ 2η+2 ),
=4(1 ξ)η (1
),
=ξ(1 η) (2ξ 2η+2 3),
=4ξη (1
),
=(1 ξ)η ( 2ξ+2η+2 3),
=4(
φ
1 ξ)η(1 η)
=ξη (2ξ+2η+2 5),
=4ξη(1 η)
=4(1 ξ)η(1 η)(1
),
=4ξ(1 ξ)(1
φ
η
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
)
φ
φ
,
,
,


















 



















10 20
=4ξη(1 η)(1
)
ξ
,
=4
)
φ
ξ(1
η





(3.3.11)
3.3.5. Прямая треугольная призма с узлами в вершинах
Если воспользоваться вспомогательным преобразованием (3.3.1), то тре- угольная призма на рис. 3.3-5а преобразуется к форме, представленной на рис. 3.3-5б, где показаны использующиеся порядковые номера узлов и их ко- ординаты. а) б)
Рис. 3.3-5.
Треугольная призма и ее мастер-элемент
При построении системы аппроксимирующих функций (2.1.6) поле пере- мещений аппроксимируется по области мастер-элемента неполным полино- мом 2-й степени:
(
)(
)
  



1
2
3
4
5
φ
, , = c +c
c
)
+
+c
(
c
(3.3.12)
Следовательно:
1 2
3 5
4 6
1 1
1 1
1
,
(
)(
),
(
),
(
),
(
) ,








 


  




  





  


(3.3.13)
3.3.6.
Прямая треугольная 15‐ти узловая призма
Треугольная призма с 15-ю узлами изображена на рис. 3.3-6. Она имеет дополнительно точки на серединах всех ребер. Используемая нумерация уз- лов показана на рис. 3.3-6б, а их приведенные координаты приведены в таб- лице 3.3-2:

74
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости а) б)
Рис. 3.3-6.
15-ти узловая треугольная призма и ее мастер-элемент
Таблица 3.3-2.
Приведенные координаты узлов треугольной призмы
Узел
ξ
η
ζ
Узел
ξ
η
ζ
Узел
ξ
η
ζ
1 0
0 0
6 0
1 1
11 0.5 0
0.5 2
1 0
0 7
0.5 0
0 12 0
0.5 0.5 3
0 1
0 8
1 0.5 0
13 0.5 0
1 4
0 0
1 9
0.5 0.5 0
14 0
0.5 1
5 1
0 1
10 0
0 0.5 15 0.5 0.5 1
При построении системы аппроксимирующих функций (2.1.6) поле пере- мещений аппроксимируется по области мастер-элемента неполным полино- мом 4-й степени, и аппроксимации имеют вид:
9 1
2 10 3
4 5
6 7
φ
φ
φ
φ
φ
ξ
=4ξη(1
)(1 2 ),
=(1 ξ η)(1 2ξ 2η)(1
)(1 2 ),
=ξ(1 2ξ)(1
)(1 2 ),
=4(1 ξ η)(1 2
=η(1 2η)(1
)(1 2 ),
=(1 ξ-η)(1 2ξ 2η) (2 1),
=ξ(1 2ξ) (2 1),
=η(1 2η) (2 1),
=4ξ(1 ξ η)(1
)(1 2 )
φ
φ
φ
φ
,








 
 
 




 







 












 


11 12 13 14 15 2η) (1
),
=4ξ(1 2ξ) (1
),
=4η(1 2η) (1
),
=4ξ
=
φ
φ
φ
φ
(1 ξ η) (2 1),
=4η(1 ξ η) (2 1),
4ξη (2 1).
φ






 
 
 






 

 


8
=4η(1 ξ η)(1
)(1 2
φ
,
)


 


(3.3.14)
3.4. Изопараметрические конечные элементы
В реальных конструкциях тело не всегда имеет форму правильного мно- гогранника. Поэтому необходимо использовать как простейшие элементы, имеющие форму тетраэдра или параллелепипеда, так и изопараметрические элементы с преобразованием элемента с криволинейными границами к пра- вильному многограннику.
Для изопараметрических элементов преобразование (2.10.6) имеет вид:

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
75 1
1 1
1 1
1 1
1 1
( , , )
(
) ( , , ),
( , , )
(
) ( , , ),
( , , )
(
) ( , , ).
r
r
r
N
x
i
i
i
N
y
i
i
i
N
z
i
i
i
  
   
  
   
  
   



 
 


 
 


 
 


x
x
x
x
y
y
y
y
z
z
z
z
(3.4.1) где функции
( , , )
j
i
j
j
j
i
   


– аппроксимирующие функции соответствую- щих конечных элементов.
Производные в этих системах координат связаны соотношением (2.10.2), где матрица Якоби (2.10.3) имеет вид:
,
)
(
,



  



























 





















J
x
y
z
x
y
z
x
y
z
(3.4.2)
Рассматриваются только такие области Ω и преобразования (3.4.1), для которых якобиан |J(ε,η,ζ)|>0 в любой точке элемента.
Введем вспомогательные вектора производных:


( )
T
u
u
u
v
v
v
w
w
w


















y
z
x
y
z
x
y
z
ε u =
x

, , , , , ,
,
,
(3.4.3)


( )
T
u
u
u
v
v
v
w
w
w
 












 


 

 




 
u


, , , , , ,
,
,
(3.4.4)
Справедливы следующие равенства:
0 0
0 0
( )
( )
( )

 





u
u A u
A A u A J
u
A J
A
u
xyz


A =



,
(3.4.5)
0
A A A
=
xyz
,
(3.4.6) где вспомогательная матрица дифференцирования
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0
0
T



































А
xyz
x
y
z
x
y
z
x
y
z
,
(3.4.7)

76
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0

A
1 0
















,
1 1
1 0
0 0
0 0
0








 





J
J
J
J
(3.4.8)
Используя представление (3.4.5), получаем из (2.10.4) следующую фор- мулу для вычисления коэффициентов матрицы жесткости
1
:
0 0
))
(
)
*
( , ,
, ,
r
r
r
r
ij
i
j
K
d d d








  
     

   

D
A J
A
φ
φ
A
J
J
A

. (3.4.9)
Очевидно, что чем более искажен относительно идеала изопараметриче- ский элемент, то тем более точную схему численного интегрирования прихо- дится применять (см.
Приложение).
Четырехгранник
Рассматривается четырехгранник, имеющий дополнительно точки на всех ребрах – элемент с 10-ю узлами, изображенный на рис. 3.4-1.
Рис. 3.4-1.
10-ти узловой четырехгранник
Преобразование (3.4.1) с использованием аппроксимаций (3.3.8) приводит его к мастер-элементу, изображенному на рис. 3.3-2б.
Шестигранники
Рис. 3.4-2.
Шестигранники
Рассматриваются шестигранники, изображенные на рис. 3.4-2, имеющие соответственно 8 и 20 узлов.
1
Данную формулу можно применить и при построении обычных конечных эле- ментов пространственной задачи теории упругости для упрощения соответствующих вычислений.

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
77
Преобразования (3.4.1) с использованием аппроксимаций (3.3.9) и (3.3.11) приводят соответствующие шестигранники к мастер-элементам, изображен- ным на рис. 3.3-3б или 3.3-4б.
Пятигранники
Рассматриваются пятигранники, изображенные на рис. 3.4-3, имеющие соответственно 6 и 15 узлов.
Рис. 3.4-3.
Пятигранники
Преобразования (3.3.1) с использованием аппроксимаций (3.3.13) и
(3.3.14) приводят соответствующие пятигранники к мастер-элементам, изо- браженным на рис. 3.3-5б или 3.3-6б.
3.5. О точности элементов
Все описанные ранее конечные элементы используют полиномиальные аппроксимации поля перемещений по всему телу. Поэтому, согласно прави- лам построения аппроксимаций, выполнены условия критерия полноты
(2.5.7) порядка
p≥1 для всех рассмотренных элементов, ибо учтены все одно- члены полиномов первой степени. Следовательно:
1
( )
( )
( )
( )
,
,
,
r
r
r
r
i
i i
i i
i i
i
i
i
i
















x
x
y
y
z
z.
(3.5.1)
Таким образом, аппроксимации обеспечивают перемещения конечных
элементов как твердых
тел, т.к. существуют линейные комбинации функ- ций, тождественно равные
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
,
,
,
,
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 
y
z
x
z
x
y
,
(3.5.2) где последние три вектора соответствуют сдвиговым деформациям.
Легко проверяется, что если в расчетной схеме только элементы одного вида, то обеспечивается их совместность при стыковке граней – непрерыв- ность перемещений. Для пространственной задачи теории упругости в гео- метрические уравнения (3.1.4) входят только производные от перемещений первого порядка: m=1 в (1.3.2) в линейном матричном дифференциальном операторе А. Тогда, согласно теореме 2.8.1 для всех рассмотренных конечных

78
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости элементов обеспечивается сходимость метода, порядок которой приведен в табл. 3.5-1.
Как видно из таблицы, все рассмотренные элементы обеспечивают, как минимум, первый порядок сходимости по напряжениям и второй по переме- щениям. Для элементов с промежуточными узлами на сторонах порядки уве- личиваются всего на единицу, т.к. во всех аппроксимациях отсутствуют од- ночлены

3
,

3
и

3
Таблица 3.5-1
. Оценки порядка сходимости конечных элементов пространственной задачи теории упругости.
Число узлов
Степень полинома
Порядок критерия полноты
Порядок сходимости перемещения напряжения
4 1
1 2
1 6
2 1
2 1
8 3
1 2
1 10 2
2 3
2 15 3
2 3
2 20 4
2 3
2
На рис. 3.5-1а приведены стыковки пространственных элементов, кото- рые приводят к несовместности аппроксимаций при переходе от параллеле- пипеда к треугольной призме и тетраэдру. На рис. 3.5-1б приведена некор- ректная стыковка, когда один из узлов не принадлежит элементу, на боковой грани которого он находится. а) б)
Рис. 3.5-1.
Стыковки пространственных элементов
Полиномиальный вид аппроксимаций позволяет применить кубатурные формулы, приведенные в Приложении, позволяющие без потери точности выполнить соответствующие построения.
3.6. Тесты
В таблице 3.6-1 приведены цифровые коды типов элементов, которые ис- пользуются в вычислительном комплексе SCAD [15]. Данные коды исполь- зуются при описании результатов числовых экспериментов.

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
79
Таблица 3.6-1
. Типы элементов для решения пространственной задачи
Тип элемента
Число узлов
Описание
31 8 прямоугольная прямая призма
32 4 тетраэдр
33 6 треугольная прямая призма
34 6 пятигранник, изопараметрический (
IP)
35 15 пятигранник, изопараметрический (
IP)
36 6 шестигранник, изопараметрический (
IP)
37 20 шестигранник, изопараметрический (
IP)
38 10 четырехгранник, изопараметрический (
IP)
3.6.1. Патологические (patch) тесты
Данные тесты предназначены для проверки правильности реализации ко- нечных элементов в программных комплексах. Полученные конечно- элементные решения рассматриваемых задач должны совпадать с аналитиче- скими решениями на всех сетках, обеспечивающих совместность аппрокси- маций.
Для всех элементов Таблицы 3.6-1 ниже приведенные тесты выполнены с точностью до вычислительной погрешности.
Куб в условиях постоянных напряжений по объему
Единичный куб подвергается воздействию смещений наружных поверх- ностей по направлениям осей общей системы координат, обеспечивающих условия постоянных напряжений по объему:
u = 10
-3
∙( 2x + y + z ) / 2 – вдоль оси X;
v = 10
-3
∙( x + 2y + z ) / 2 – вдоль оси Y;
w = 10
-3
∙( x + y + 2z ) / 2 – вдоль оси Z.
Тест проверяет точность вычисления нормальных σ
x
, σ
y
, σ
z
и касательных напряжений τ
xy
, τ
xz
, τ
yz
, которые должны быть постоянными по всему объему куба в независимости от:
 значений жесткостных характеристик материала (изотропных, ортотроп- ных, анизотропных);
 при любой совместной сетке конечных элементов
1
Данная задача была предложена в [120], где рассматривалась крупная не- регулярная сетка с внутренними узлами с координатами (m):
(0.35,0.35,0.35), (0.75,0.25,0.25), (0.85,0.85,0.15), (0.25,0.75,0.25),
(0.35,0.35,0.65) (0.75,0.25,0.75), (0.85,0.85,0.85), (0.25,0.75,0.75).
Для изотропного метериала при модуле упругости материала E = 10 6
кПа, коэффициенте Пуассона ν = 0.25 и размере ребра куба a = 1 м значения нор- мальных и касательных напряжений равны в любой точке куба соответствен- но:
1
Т.е. все грани элементов и узлы на них должны совпадать.

80
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
σ
x
,= σ
y
,= σ
z
=
2000 кПа
, τ
xy
= τ
xz
= τ
yz
=
400 кПа.
На рис. 3.6-1 даны примеры расчетных схем, построенные на заданных узлах, обеспечивающие совместность перемещений. Расчет производится на заданные смещения вершин куба.
Рис. 3.6-1.
Примеры расчетных схем из 4-х узловых,
6-ти и 8-и узловых изопараметрических элементов
Добавив узлы на ребрах элементов расчетных схем, представленных на рис. 3.6-1, получим расчетные схемы для 10-ти, 15-ти и 20-ти узловых изопа- раметрических элементов. Для порожденных узлов, находящихся на гранях наружных поверхностях куба, задаются указанные выше смещения.
Смещение куба как твердого тела
Рассмотрим единичный куб
1
, которому принадлежат точки A(0,0,0),
B(1,0,0), C(0,1,0) и D(0,0,1), в которых задаются значения смещений, приве- денные в табл. 3.6-2.
Таблица 3.6-2
. Значения задаваемых смещений в узлах единичного куба и соответствующие им перемещения.
Загружение
Значения заданных смещений
Перемещения точек тела (
m)
Точка
X
Y
Z
1
А, B, C, D
0.001 0
0
u
i
≡0.001, v
i
≡w
i
≡0 2
А, B, C, D
0 0.001 0
v
i
=0.001, u
i
=w
i
=0 3
А, B, C, D
0 0
0.001 w
i
=0.001, u
i
=v
i
=0 4
А, D
0 0
0
u
i
= 0.001
y
i
,
v
i
= -0.001
x
i
,
w
i
= 0
B
0
-0.001 0
C
0.001 0
0 5
А, C
0 0
0
u
i
= 0.001
z
i
,
v
i
= 0,
w
i
= -0.001
x
i
B
0 0
-0.001
D
0.001 0
0 6
А, B
0 0
0
u
i
= 0,
v
i
= 0.001
z
i
,
w
i
= -0.001
y
i
C
0 0
-0.001
D
0 0.001 0
1
В общем случае это может быть пространственное тело любой формы, которо- му принадлежат точки A, B, C и D.

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
81
В результате расчета во всех точках тела все нормальные и касательные напряжения равны нулю. Причем результат не зависит от разбиения тела на конечные элементы при условии их совместности.
Температурные деформации
Рассмотрим единичный куб, в вершинах которого A(0,0,0), B(1,0,0),
C(0,1,0) и D(0,0,1) заданы следующие граничные условия:
u=0 – точки А, C и D,
v=0 – точки А, B и D,
w=0 – точки А, С и B.
Зададим коэффициент температурного линейного расширения материала куба α=1e-5 К
-1
(°C
-1
).
Если куб нагрет до температуры t=100ºC, то перемещения точек куба равны:
u= α t x, v= α t y, w= α t z,
т.к. краевые условия не препятствуют деформации тела, и, соответственно, нормальные и касательные напряжения равны нулю.
3.6.2. Расчет толстой прямоугольной плиты
Рассмотрим параллелепипед, изображенный на рис. 3.6-2 со сторонами
a=b=2m и высотой h=0.9m, модулем Юнга
E
= 2000 кПа и коэффициентом
Пуассона материала
ν
= 0.3, нагруженный нормальной равномерно распреде- ленной нагрузкой p=10 кH по верхней грани, с краевыми условиями
v=w=0 при x=0 и x=a,
u=w=0 при y=0 и y=a.
Рис. 3.6-2.
Параллелепипед, нагруженный по верхней плоскости
Рис. 3.6-3.
Расчетная схема A для толстой плиты

82
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
Таблица 3.6-3
. Расчет толстой плиты 20-и узловыми изопараметрическими элементами (mm, кПа)
Точка
Вели- чина
Теория
[74]
Сетка
A
A2
A4
A8
(1,1,0) w
-7.862
-7.834
-7.860
-7.862
-7.862
σ
x
= σ
y
15.403 16.281 15.595 15.450 15.416
σ
z
0 0.542 0.192 0.054 0.014
(1,1,0.6) w
-9.213
-9.187
-9.212
-9.213
-9.213
σ
x
= σ
y
-0.677
-1.048
-0.744
-0.693
-0.681
σ
z
-5.299
-5.505
-5.343
-5.310
-5.302
(1,1,1.2) w
-9.973
-9.910
-9.970
-9.973
-9.973
σ
x
= σ
y
-17.073
-17.516
-17.200
-17.107
-17.082
σ
z
-10.000
-10.626
-10.177
-10.042
-10.011
(0,1,0) u
-3.788
-3.804
-3.790
-3.788
-3.788
(0,1,0.6) u
-0.734
-0.721
-0.735
-0.734 0.734
(0,1,1.2) u
3.816 3.656 3.742 3.779 3.779
Данная задача имеет аналитическое решение [74]. На рис. 3.6-3 приведен пример расчетной схемы. Схемы A2, A4, A8 получены из схемы A уменьше- нием шага сетки соответственно в 2, 4 и 8 раз. В табл. 3.6-3 даны результаты расчетов.
3.6.3. Расчет толстой круглой плиты
Толстая круглая в плане плита толщиной h, изображенная на рис. 3.6-4, жестко защемлена по боковой поверхности и находится под воздействием равномерно распределенной по верхнему основанию нагрузки q.
Рис. 3.6-4.
Круглая плита и ее расчетная схема
Зададим:

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
83
E = 1.0·10 7
кПа – модуль упругости материала;

= 0.25 – коэффициент Пуассона;
R=10m, h = 4m, q = 1000 кПа.
Расчетная схема задачи представлена на рис. 3.6-4. Краевые условия с учетом плоскостей симметрии:
v=w=0 – на боковой поверхности;
u=0 при x=0 – плоскость YOZ;
v=0 при y=0 – плоскость XOZ.
Таблица 3.6-4
. Перемещения и напряжения в толстой плите
Величина
Точка
Точное решение
Приближенное аналитическое решение [86]
SCAD
w(mm)
(0,0,4)
-4.5434
-4.36
-4.538
(0,0,2)
-4.5503
-4.24
-4.54
(0,0,0)
-4.3748
-4.11
-4.364

r
=


(
кПа)
(0,0,4)
-3369.37
-3451
-3378
(0,0,2)
-156.95
-166.67
-150.47
(0,0,0)
3055.77 3117.19 3062
Сетка конечных элементов разбита по радиусу с шагом 0.5 m и по толщи- не
–
на 16-ть слоев, как показано на рис. 3.6-4. Расчетная схема содержит
20866 узлов, 4384 объемных 20-ти узловых изопараметрических элементов типа 37 (параллелепипед) и 400 объемных 15-ти узловых элементов изопара- метрических типа 35 (треугольная призма).
Точные значения перемещений и напряжений в точках (0,0,4), (0,0,2) и
(0,0,0) для данной задачи получены сгущением сетки как для пространствен- ной задачи
1
, так и в осесимметричной постановке (см.р.8.5.2).
В [86] получе- но приближенное аналитическое решение данной задачи.
В табл. 3.6-4 приведены результаты расчетов.
3.6.4. Задача Лява
Рис. 3.6-5.
Задача Лява
1
Одна из расчетных схем пространственной задачи содержала 1222501 узлов, 280576 20-ти узловых элементов типа 37 и 25600 15-ти узловых элементов типа 35.

84
Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
Упругое полупространство находится под действием равномерно распре- деленной по его поверхности прямоугольной в плане 4х4 m поперечной на- грузки интенсивности 100 kПа (рис. 3.6-5).
Модуль упругости материала полупространства E=30000 кПа, коэффици- ент Пуассона

=0.3. Решение для данной задачи впервые было получено
Ф.Лява [54].
Рис. 3.6-6.
Расчетная схема типа A для задачи Лява
Рассчитывался параллелепипед со сторонами 128х128х64(m) Особенно- стью расчетных схем для данной задачи является то, что невозможно элемен- тами конечных размеров описать бесконечную область. Поэтому, определив размеры рассчитываемой области, мы тем самым уже получаем некоторую погрешность расчета относительно аналитического решения.
Представленная на рис. 3.6-6 расчетная схема составлена из 20-и узловых изопараметрических конечных элементов и представляет собой ¼ часть па- раллелепипеда, отсеченную плоскостями симметрии XOZ и YOZ.
Краевые условия были определены следующим образом:
u(0,y,z) = v(x,0,z) = 0 – условия симметрии;
u(-64,y,z) = v(x,64,z) = w(x, y,-64)=0 – запрещены перемещения по нормали к боковым поверхностям на большом расстоянии от исследуемой области.
При ее построении использовался стандартный подход сгущения сетки в интересующей нас области. Схемы A2, A4 и A8 получены из схемы А уменьшением шага сетки соответственно в 2, 4 и 8 раз.
Приведенные в табл. 3.6-5 результаты расчетов показывают хорошую сходимость к величинам, которые незначительно отличаются от аналитиче- ских значений из-за ограничения размеров расчетной схемы.

Глава 3. Трехмерная задача теории упругости
85
Таблица 3.6-5
. Перемещения и напряжения при решении задачи Лява
Точка Параметр
Теория
Сеть КЭ
A
A2
A4
A8
(0,0,0) w, mm
-13.616
-13.017
-13.271
-13.286
-13.309
σ
x
=σ
y
, кПа
-80.0
-95.685
-83.215
-80.125
-79.965
σ
z
, кПа
-100.0
-123.12
-101.96
-100.45 -100.079
(0,0,-2) w, mm
-9.017
-8.795
-8.676
-8.685
-8.708
σ
x
=σ
y
, кПа
-8.29
-2.943
-7.721
-8.136
-8.228
σ
z
, кПа
-70.09
-67.905
-71.628
-70.207
-70.108
(-2,2,-2) u, mm
-0.488
-0.47
-0.49
-0.4903 0.4901 w, mm
-5.704
-5.364
-5.368 5.573
-5.3953
σ
x
=σ
y
, кПа
-7.56
-8.207
-7.719
-7.566
-7.496
σ
z
, кПа
-23.25
-24.319
-23.557
-23.326
-23.267
τ
xy
, кПа
5.27 6.628 5.295 5.329
-5.288
τ
xz
=τ
yz
, кПа -12.11
-14.889
-12.816
-12.313 12.166
3.6.5. Задача Бусинеска о действии на упругое полупростран‐
ство нормальной силы
На упругое полупространство z<=0 действует в точке (0,0,0) нормальная сила p. Зададим:
E = 30000 кПа – модуль упругости материала;

= 0.3 – коэффициент Пуассона;
p=1000 кН.
В [54, 74] дано аналитическое решение данной задачи.
Воспользуемся расчетными схемами задачи Лява на рис. 3.6-6, считая, что в центре координат на полупространство действует нормальная сила p.
Т.к. расчетная схема представляет собой ¼ часть параллелепипеда, отсечен- ную плоскостями симметрии XOZ и YOZ, то в узел, соответственно, задается сила p/4.
Таблица 3.6-6
. Перемещения и напряжения при решении задачи Бусинеска
Точка
Параметр
Теория
Сеть КЭ
A2
A4
A8
(0,0,-4) w, mm
-4.13803
-3.888
-3.929
-3.9438
σ
z
, кПа
-29.8116
-28.059
-29.333
-29.717
(4,0,0) w, mm
-2.41385
-2.274
-2.208
-2.2218
σ
x
, кПа
3.97887 2.248 3.94 3.9905
σ
y
, кПа
-3.97887
-7.213
-4.043
-3.9685
В табл. 3.6-6 даны результаты расчетов.

86
Глава 4. Плоская задача теории упругости