Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
Скачать 5.35 Mb.
|
J J x x y y x x y y , 1 ( , ) J x y , (4.4.4) 1 2 3 1 ; ; (4.4.5) Полученные аппроксимации совместны и удовлетворяют тождествам критерия полноты (4.3.16) по построению. 4.4.2. Шестиузловой треугольник Треугольный конечный элемент с 6-ю узлами, у которого дополнительно на каждой из сторон добавлен еще один узел, изображен на рис. 4.4-2а. Пре- образование (4.4.3) приводит его к виду на рис. 4.4-2б. а) б) Рис. 4.4-2. Треугольник с 6-ю узлами и его мастер-элемент 98 Глава 4. Плоская задача теории упругости При построении его системы аппроксимирующих функций (4.3.3) поле перемещений аппроксимируется по квадратичному закону. 2 2 1 2 3 4 5 6 ( ) i i i i i i i C C C C C C x,y (4.4.6) Коэффициенты определяем из уравнений (2.1.7): 4 1 2 3 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ( )( ), ( ), ( ), ), ( ) ( ), ( ) ) ( g e e e d e g g d d d g d d e e g g (4.4.7) Если узлы 4-6 расположены в серединах сторон, то формулы (4.4.7) уп- рощаются: 3 4 2 6 1 5 1 1 2 2 2 1 2 1 4 1 4 1 4 ) ( ( )( ), ( ), ), ( , ( ), (4.4.8) Можно рассматривать конечные элементы и с числом узлов 4 и 5, когда отсутствуют некоторые узлы на сторонах. Такие элементы применяются для последовательного сгущения сетки. При этом берется закон аппроксимаций (4.4.7), а на сторонах, где отсутствуют промежуточные узлы, добавляются условия линейности перемещений. При корректной стыковке элементов полученные аппроксимации совме- стны и удовлетворяют тождествам критерия полноты (4.3.16), а для элемен- тов с 6-ю узлами и (4.3.18). 4.4.3. Треугольные элементы (SA) Рассмотрим треугольные конечные элементы, изображеные на рис. 4.4.1а или 4.4.2a. После построения систем аппроксимирующих функций (4.4.5) или (4.4.7) сделаем еще одну замену систем координат: 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 3 ( ), ( ). = = (4.4.9) Преобразование приводит к треугольникy на рис. 4.4-3. Рис. 4.4-3. Треугольник в специальной системе координат Глава 4. Плоская задача теории упругости 99 Существует четыре кусочных полинома второго порядка 1 , которые не- прерывны и на границе области равны нулю: 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 1 2 4 1 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2 1 2 , , , , ( ) , ( ) , r r r r r r x x x x x x , , , (4.4.10) При независимой аппроксимации u и v «внутренние» степени свободы, соответствующие функциям (4.4.11), можно добавить к системам функций трехузлового и шестиузлового элементов: 2 1 2 0 0 , i i i i ψ ψ , i=1,2,3,4. (4.4.11) 4.4.4. Треугольники серендипового типа Рассмотренные выше треугольные конечные элементы являются лемен- тами серендипового типа соответственно для полиномов первой и второй степени. Рассмотрим треугольник Паскаля, представленный на рис. 4.4-4. Если по- вышать степень полинома на единицу, то при обеспечении совместности ап- проксимаций при стыковке однотипных элементов число одночленов в поли- номе совпадает с числом узлов соответствующей внутренней сетки. При этом появляется еще один узел на каждой стороне. Рис. 4.4-4. Треугольник Паскаля и соответствующие ему треугольные элементы серендипового типа 1 Дальнейшее повышение степени полинома не дает существенного повышения точности вычислений. 100 Глава 4. Плоская задача теории упругости Начиная с третьей степени, появляются внутренние узлы, степени свобо- ды которых можно конденсировать согласно разд. 2.9. 4.4.5. Прямоугольник с узлами в вершинах Простейший прямоугольный конечный элемент изображен на рис. 4.4-5а. При преобразовании (4.4.3) получаем квадрат, изображенный на рис. 4.4-5б. а) б) Рис. 4.4-5. Прямоугольник и его мастер-элемент При построении системы аппроксимирующих функций (4.3.3) поле пере- мещений аппроксимируется по билинейному закону: 1 2 3 4 ( ) i i i i i C C C C x,y (4.4.12) Получаем: 4 1 2 3 1 1 1 1 ( ( )( ), ( ), ) , (4.4.13) Полученные аппроксимации совместны и удовлетворяют тождествам критерия полноты (4.3.16) порядка 1 по построению. 4.4.6. Восьмиузловой прямоугольник Четырехугольный конечный элемент с 8-ю узлами, у которого дополни- тельно на каждой из сторон добавлен еще один узел, изображен на рис. 4.4-6а. После преобразования (4.4.3) получаем четырехугольник, изо- браженный на рис. 4.4-6б. а) б) Рис. 4.4-6. 8-и узловой четырехугольник При построении его системы аппроксимирующих функций (4.3.3) поле перемещений аппроксимируется неполным полиномом третьей степени, обеспечивающим непрерывность перемещений на линиях стыковки элемен- тов.: Глава 4. Плоская задача теории упругости 101 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 ( ) i i i i i i i i i C C C C C C C C x,y , (4.4.14) Получаем функции (4.3.2): 4 5 6 7 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )( )( ), ( )( ), ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ) , ( ), ( ) ( ( ) , ( ) b b a b d a c a a c c a a a b b c c 8 1 1 ( ) ( ) d d (4.4.15) Если узлы 5-8 расположены на серединах сторон, то: 2 4 6 1 3 5 7 8 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 3 4 1 1 4 1 1 4 1 4 1 ( )( )( ), ( )( ), ( ) ( ), ( ), ( ( ) ( ), )( ), ( ), ( ) (4.4.16) Можно рассматривать конечные элементы и с числом узлов от 5 до 7, ко- гда отсутствуют некоторые узлы на сторонах. Для этого берется закон ап- проксимаций (4.4.15), а на сторонах, где отсутствуют промежуточные узлы, рассматриваются условия линейности перемещений. Как и в треугольных элементах, дополнительные узлы применяются для последовательного сгу- щения сетки. При корректной стыковке элементов полученные аппроксимации сов- местны и удовлетворяют критерию полноты (4.3.16), а для элементов с 8-ю узлами, содержащих все одночлены 2-го порядка, – (4.3.18). 4.4.7. Прямоугольные элементы серендипового типа Рассмотренные выше четырехугольные конечные элементы являются се- рендипового типа соответственно для полиномов первой и второй степени на сторонах элементов. Рис. 4.4-7. Треугольник Паскаля и соответствующие ему четырехугольные элементы серендипового типа 102 Глава 4. Плоская задача теории упругости Рассмотрим треугольник Паскаля, представленный на рис. 4.4-7. Если ап- проксимации брать как произведение линейных полиномов, то получим по- лином удвоенной степени и соответствующее число внутренних узлов с пря- моугольной внутренней сеткой. Степени свободы внутренних узлов можно конденсировать согласно разд. 2.9. Восьмиузловой четырехугольный элемент на рис. 4.4-6 не содержит внутренних узлов. Существуют и другие прямоугольные элементы серенди- пового типа порядка р с р+1 числом узлов на стороне элемента, у которых нет внутренних узлов [27, 28, 39]. 4.4.8. Четырехугольные элементы (SA) Метод подобластей, описанный в разд. 2.11, позволяет получить совмест- ные кусочно-полиномиальные аппроксимации для произвольного выпуклого четырехугольника, изображенного на рис. 4.4-8а, с сохранением симметрии в элементе при ее наличии. Выполним преобразование (2.12.2). Произвольный четырехугольник, изображенный на рис. 4.4-8а, преобразуется в четырехугольник, представ- ленный на рис. 4.4-8б. а) б) Рис. 4.4-8. Четырехугольный элемент Будем рассматривать четырехугольники, у которых 8 узлов, что не нару- шает общности построений. Если какой-нибудь узел отсутствует, то добавля- ется условие линейности перемещений на границе элемента. Аппроксимации класса Аппроксимирующие функции (4.3.1) четырехугольного конечного эле- мента, имеющего не более одного промежуточного узла на стороне [39], бу- дем искать в виде (2.12.9), где функции x : 5 ( , ) ( , ) r N i i j i j j j , i=1,2,3,4, 4 N r 8, (4.4.17) Глава 4. Плоская задача теории упругости 103 1 0 0 0 / , , , 2 0 0 0 , , , 3 0 0 0 / , , , 4 0 0 0 , , , 0 , ( , ) , ( , ) ( , ) k j j r j j k j j j r , , k=1,2,3,4, 5 j8. Функции (4.4.17) представляют собой на каждой из подобластей , k=1,2,3,4 – полиномы степени не выше 2-й, они непрерывны в r и удовле- творяют условиям МКЭ (2.1.7). Примем в представлении (2.12.9), что функции λ , являются полино- мами второго порядка и, следовательно, необходимо определить в (2.12.10) двенадцать коэффициентов , j=1,2,3,4, k=1,2,3. Из условий непрерывности j в r получаем 7 уравнений: 11 21 31 41 12 42 13 23 22 32 33 43 , , i i i i i i i i i i i i C C C C C C C C C C C C , , (4.4.18) Потребуем для аппроксимирующих функций элемента равенства в точке А для всех подобластей , k=1,2,3,4, величин , , Получаем недостающие пять уравнений: 12 13 13 43 1 22 43 11 22 12 12 1 22 1 2 4 11 11 11 1 2 1 0 0 1 1 3 1 , , , , , , , , , , , , , , i i i i i i i i i i i i i i i i i i C C C C C C C C C C C C A B A B A 11 13 11 43 1 4 0 1 0 1 , , , , i i i i i i C C C C B (4.4.19) Решение систеы равнений (4.4.18), (4.4.19): 11 21 31 41 1 4 1 2 2 2 3 3 21 41 12 34 1 1 0 1 0 1 1 1 11 11 21 41 41 23 1 1 0 1 0 1 1 1 11 11 21 41 21 1 1 0 1 0 1 1 1 11 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ( ) , ( ) , ( ) i i i i i i i i i i i i i i i i i i i C C C C C C C C A B A B A B A B A A B A B B 3 2 3 32 2 3 4 34 1 21 41 41 23 1 1 0 1 0 1 1 1 11 11 21 41 21 43 1 1 0 1 0 1 1 1 11 11 1 2 2 1 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ( ) , ( ) i i i i i i i i i i i i i C C C C AA AB A B A A A B BB A B B B (4.4.20) где введены обозначения: , – величины (2.12.11), , , , 1 1 , ⁄ 1 1 ⁄ 104 Глава 4. Плоская задача теории упругости Аппроксимации класса С 1 ( r ) Потребуем, чтобы искомые аппроксимирующие функции четырех- угольного конечного элемента, имеющего не более одного промежуточного узла на стороне, представляли собой на каждой подобласти полиномы второй степени и были непрерывны вместе со своими производными [117]. Задан- ным условиям непрерывности на элементе удовлетворяют восемь функций: 1 2 3 4 1, , , , 2 5 2 6 2 7 1 4 0 2 3 2 3 0 1 4 1 2 0 3 4 ( , ) , , , ( , ) , , ( , ) , , , ( , ) , , ( , ) , , ( , ) , , r k r k r k r k r k r k k k k k k k , , , 2 8 3 4 0 1 2 , ( , ) , , ( , ) , , r k r k k k , (4.4.21) Искомые аппроксимации представим в виде: 8 0 1,..., ( , ), ij j r i j C i= N (4.4.22) Коэффициенты определим из системы уравнений 8-го порядка: первые N r уравнений являются уравнениями МКЭ (2.1.7); на сторонах, где отсутствуют промежуточные узлы, потребуем, чтобы функции изменялись по линейному закону. При этом получим недостаю- щие 8 – N r уравнений. Данная система уравнений всегда имеет решение, которое приведем для: четырехузлового элемента: 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , r r r r A A B B B |