Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 13 из 32

J
J
x
x
y
y
x
x
y
y
,
1
( , )

 







 


 


 




 




 


J
x
y
,
(4.4.4)
1 2
3 1
;
;
 





  


(4.4.5)
Полученные аппроксимации совместны и удовлетворяют тождествам критерия полноты (4.3.16) по построению.
4.4.2. Шестиузловой треугольник
Треугольный конечный элемент с 6-ю узлами, у которого дополнительно на каждой из сторон добавлен еще один узел, изображен на рис. 4.4-2а. Пре- образование (4.4.3) приводит его к виду на рис. 4.4-2б. а) б)
Рис. 4.4-2.
Треугольник с 6-ю узлами и его мастер-элемент

98
Глава 4. Плоская задача теории упругости
При построении его системы аппроксимирующих функций (4.3.3) поле перемещений аппроксимируется по квадратичному закону.
2 2
1 2
3 4
5 6
(
)
i
i
i
i
i
i
i
C
C
C
C
C
C






 




x,y
(4.4.6)
Коэффициенты определяем из уравнений (2.1.7):
4 1
2 3
5 6
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
(
(
)(
),
(
),
(
),
),
(
)
(
),
(
)
)
(
g e
e
e d
e
g
g d
d
d
g
d
d
e
e
g
g

 

 











 



 

  
 





 




 



 



(4.4.7)
Если узлы 4-6 расположены в серединах сторон, то формулы (4.4.7) уп- рощаются:
3 4
2 6
1 5
1 1 2 2
2 1
2 1
4 1 4 1 4
)
(
(
)(
),
(
),
),
(
,
(
),

 
 
 
 

 










  







 

 

(4.4.8)
Можно рассматривать конечные элементы и с числом узлов 4 и 5, когда отсутствуют некоторые узлы на сторонах. Такие элементы применяются для последовательного сгущения сетки. При этом берется закон аппроксимаций
(4.4.7), а на сторонах, где отсутствуют промежуточные узлы, добавляются условия линейности перемещений.
При корректной стыковке элементов полученные аппроксимации совме- стны и удовлетворяют тождествам критерия полноты (4.3.16), а для элемен- тов с 6-ю узлами и (4.3.18).
4.4.3. Треугольные элементы (SA)
Рассмотрим треугольные конечные элементы, изображеные на рис. 4.4.1а или 4.4.2a. После построения систем аппроксимирующих функций (4.4.5) или
(4.4.7) сделаем еще одну замену систем координат:
1 1
1 1
1 1
2 1
2 1
3 3
(
),
(
).
=
=

 



 
 

(4.4.9)
Преобразование приводит к треугольникy на рис. 4.4-3.
Рис. 4.4-3.
Треугольник в специальной системе координат

Глава 4. Плоская задача теории упругости
99
Существует четыре кусочных полинома второго порядка
1
, которые не- прерывны и на границе области равны нулю:
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1 3
1 1 3
1 1
1 2
4 1
1 1
3 1
1 1 1
1 2 1
2 0
1 2 1
2
,
,
,
,
(
) ,
(
) ,
r
r
r
r
r
r






 





  

 

  


 





  










  


x
x
x
x
x
x
,
,
,
(4.4.10)
При независимой аппроксимации u и v «внутренние» степени свободы, соответствующие функциям (4.4.11), можно добавить к системам функций трехузлового и шестиузлового элементов:
   
2 1 2
0 0
,
i
i
i
i





ψ
ψ
, i=1,2,3,4.
(4.4.11)
4.4.4. Треугольники серендипового типа
Рассмотренные выше треугольные конечные элементы являются лемен- тами серендипового типа соответственно для полиномов первой и второй степени.
Рассмотрим треугольник Паскаля, представленный на рис. 4.4-4. Если по- вышать степень полинома на единицу, то при обеспечении совместности ап- проксимаций при стыковке однотипных элементов число одночленов в поли- номе совпадает с числом узлов соответствующей внутренней сетки. При этом появляется еще один узел на каждой стороне.
Рис. 4.4-4.
Треугольник Паскаля и соответствующие ему треугольные элементы серендипового типа
1
Дальнейшее повышение степени полинома не дает существенного повышения точности вычислений.

100
Глава 4. Плоская задача теории упругости
Начиная с третьей степени, появляются внутренние узлы, степени свобо- ды которых можно конденсировать согласно разд. 2.9.
4.4.5. Прямоугольник с узлами в вершинах
Простейший прямоугольный конечный элемент изображен на рис. 4.4-5а.
При преобразовании (4.4.3) получаем квадрат, изображенный на рис. 4.4-5б. а) б)
Рис. 4.4-5.
Прямоугольник и его мастер-элемент
При построении системы аппроксимирующих функций (4.3.3) поле пере- мещений аппроксимируется по билинейному закону:
1 2
3 4
(
)
i
i
i
i
i
C
C
C
C




 


x,y
(4.4.12)
Получаем:
4 1
2 3
1 1
1 1
(
(
)(
),
(
),
) ,






 




 



 

(4.4.13)
Полученные аппроксимации совместны и удовлетворяют тождествам критерия полноты (4.3.16) порядка 1 по построению.
4.4.6. Восьмиузловой прямоугольник
Четырехугольный конечный элемент с 8-ю узлами, у которого дополни- тельно на каждой из сторон добавлен еще один узел, изображен на рис. 4.4-6а. После преобразования (4.4.3) получаем четырехугольник, изо- браженный на рис. 4.4-6б. а) б)
Рис. 4.4-6.
8-и узловой четырехугольник
При построении его системы аппроксимирующих функций (4.3.3) поле перемещений аппроксимируется неполным полиномом третьей степени, обеспечивающим непрерывность перемещений на линиях стыковки элемен- тов.:

Глава 4. Плоская задача теории упругости
101 2
2 2
2 1
2 3
4 5
6 7
8
(
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
C
C
C
C
C
C
C
C






 

 






x,y
, (4.4.14)
Получаем функции (4.3.2):
4 5
6 7
1 2
3 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
(
)(
)(
),
(
)(
),
(
) (
),
(
),
(
)
(
)
(
)
)
,
(
),
(
)
(
(
)
,
(
)
b
b a
b d
a
c
a
a
c
c
a
a
a
b
b
c
c

 




 




 

 














 

 







 








 







8 1
1
(
)
(
)
d
d


 



(4.4.15)
Если узлы 5-8 расположены на серединах сторон, то:
2 4
6 1
3 5
7 8
1 1
1 2 2
1 2
2 1
1 2
2 1
2 2
3 4 1 1
4 1 1
4 1
4 1
(
)(
)(
),
(
)(
),
(
) (
),
(
),
(
(
) (
),
)(
),
(
),
(
)





 

  

 

 







 








 







 















(4.4.16)
Можно рассматривать конечные элементы и с числом узлов от 5 до 7, ко- гда отсутствуют некоторые узлы на сторонах. Для этого берется закон ап- проксимаций (4.4.15), а на сторонах, где отсутствуют промежуточные узлы, рассматриваются условия линейности перемещений. Как и в треугольных элементах, дополнительные узлы применяются для последовательного сгу- щения сетки.
При корректной стыковке элементов полученные аппроксимации сов- местны и удовлетворяют критерию полноты (4.3.16), а для элементов с 8-ю узлами, содержащих все одночлены 2-го порядка, – (4.3.18).
4.4.7. Прямоугольные элементы серендипового типа
Рассмотренные выше четырехугольные конечные элементы являются се- рендипового типа соответственно для полиномов первой и второй степени на сторонах элементов.
Рис. 4.4-7.
Треугольник Паскаля и соответствующие ему четырехугольные элементы серендипового типа

102
Глава 4. Плоская задача теории упругости
Рассмотрим треугольник Паскаля, представленный на рис. 4.4-7. Если ап- проксимации брать как произведение линейных полиномов, то получим по- лином удвоенной степени и соответствующее число внутренних узлов с пря- моугольной внутренней сеткой. Степени свободы внутренних узлов можно конденсировать согласно разд. 2.9.
Восьмиузловой четырехугольный элемент на рис. 4.4-6 не содержит внутренних узлов. Существуют и другие прямоугольные элементы серенди- пового типа порядка р с р+1 числом узлов на стороне элемента, у которых нет внутренних узлов [27, 28, 39].
4.4.8. Четырехугольные элементы (SA)
Метод подобластей, описанный в разд. 2.11, позволяет получить совмест- ные кусочно-полиномиальные аппроксимации для произвольного выпуклого четырехугольника, изображенного на рис. 4.4-8а, с сохранением симметрии в элементе при ее наличии.
Выполним преобразование (2.12.2). Произвольный четырехугольник, изображенный на рис. 4.4-8а, преобразуется в четырехугольник, представ- ленный на рис. 4.4-8б. а) б)
Рис. 4.4-8.
Четырехугольный элемент
Будем рассматривать четырехугольники, у которых 8 узлов, что не нару- шает общности построений. Если какой-нибудь узел отсутствует, то добавля- ется условие линейности перемещений на границе элемента.
Аппроксимации класса

Аппроксимирующие функции (4.3.1) четырехугольного конечного эле- мента, имеющего не более одного промежуточного узла на стороне [39], бу- дем искать в виде (2.12.9), где функции

x :
5
( , ) ( , )
r
N
i
i
j
i
j
j
j


     


 
, i=1,2,3,4, 4
N
r
8,
(4.4.17)

Глава 4. Плоская задача теории упругости
103 1
0 0
0
/ ,
,
  




 


,
2 0
0 0
,
,
 




 


,
3 0
0 0
/ ,
,
  




 


,
4 0
0 0
,
,
 




 


,
0
, ( , ) , ( , )
( , )
k
j
j
r
j j
k
j
j
j
r

 
 
 

 



 



,
, k=1,2,3,4, 5
j8.
Функции (4.4.17) представляют собой на каждой из подобластей
 ,
k=1,2,3,4 – полиномы степени не выше 2-й, они непрерывны в

r
и удовле- творяют условиям МКЭ (2.1.7).
Примем в представлении (2.12.9), что функции
λ
, являются полино- мами второго порядка и, следовательно, необходимо определить в (2.12.10) двенадцать коэффициентов
, j=1,2,3,4, k=1,2,3.
Из условий непрерывности

j
в

r
получаем 7 уравнений:
11 21 31 41 12 42 13 23 22 32 33 43
,
,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C







,
,
(4.4.18)
Потребуем для аппроксимирующих функций элемента равенства в точке
А для всех подобластей
 , k=1,2,3,4, величин
,
,









Получаем недостающие пять уравнений:
12 13 13 43 1
22 43 11 22 12 12 1
22 1
2 4
11 11 11 1
2 1 0 0
1 1
3 1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A
B
A
B
A










 


 


 




 


11 13 11 43 1
4 0 1 0 1
,
,
,
,
i
i
i
i
i
i
C
C
C
C
B





 


(4.4.19)
Решение систеы равнений (4.4.18), (4.4.19):






11 21 31 41 1
4 1
2 2
2 3
3 21 41 12 34 1
1 0 1 0 1 1 1 11 11 21 41 41 23 1 1 0 1 0 1 1 1 11 11 21 41 21 1 1 0 1 0 1 1 1 11 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(
) ,
(
)
,
(
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
C
C
C
C
C
C
C
C
A
B
A B
A
B
A B
A
A
B
A B
B

























































3 2
3 32 2
3 4
34 1
21 41 41 23 1 1 0 1 0 1 1 1 11 11 21 41 21 43 1
1 0 1 0 1 1 1 11 11 1
2 2
1 2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(
)
,
(
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
C
C
C
C
AA
AB
A B A
A
A B
BB
A B B
B












 





 








(4.4.20) где введены обозначения:

, – величины (2.12.11),
,


, 

,
1 1 ,
⁄
1 1
⁄

104
Глава 4. Плоская задача теории упругости
Аппроксимации класса С
1
(
r
)
Потребуем, чтобы искомые аппроксимирующие функции четырех- угольного конечного элемента, имеющего не более одного промежуточного узла на стороне, представляли собой на каждой подобласти полиномы второй степени и были непрерывны вместе со своими производными [117]. Задан- ным условиям непрерывности на элементе удовлетворяют восемь функций:
1 2
3 4
1,
,
,
,











2 5
2 6
2 7
1 4 0
2 3 2 3 0
1 4 1 2 0
3 4
( , )
,
,
,
( , )
,
,
( , )
,
,
,
( , )
,
,
( , )
,
,
( , )
,
,
r
k
r
k
r
k
r
k
r
k
r
k
k
k
k
k
k
k




 
 

 
 









 







 







 


,
,
,
2 8
3 4 0
1 2
,
( , )
,
,
( , )
,
,
r
k
r
k
k
k

 








 



,
(4.4.21)
Искомые аппроксимации представим в виде:
8 0
1,...,
( , ),
ij
j
r
i
j
C

  

 
i=
N
(4.4.22)
Коэффициенты определим из системы уравнений 8-го порядка:
 первые N
r
уравнений являются уравнениями МКЭ (2.1.7);
 на сторонах, где отсутствуют промежуточные узлы, потребуем, чтобы функции изменялись по линейному закону. При этом получим недостаю- щие 8 – N
r
уравнений.
Данная система уравнений всегда имеет решение, которое приведем для:
 четырехузлового элемента:
2 2
1 2 2 2
2 2 2 2 2 3
2 2
1 1
2 4
1 2 1 2 1
2 1 2 1 2
,
,
,
,
r
r
r
r
A
A
B
B
B

 







 

 
 





 












