Главная страница
Навигация по странице:

  • 4.4.2. Шестиузловой треугольник

  • 4.4.3. Треугольные элементы ( SA )

  • 4.4.5. Прямоугольник с узлами в вершинах

  • 4.4.6. Восьмиузловой прямоугольник

  • 4.4.7. Прямоугольные элементы серендипового типа

  • 4.4.8. Четырехугольные элементы ( SA )

  • Аппроксимации класса С

  • Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости


    Скачать 5.35 Mb.
    НазваниеВ. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
    АнкорМетод конечных элементов и задачи теории упругости
    Дата22.06.2022
    Размер5.35 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаКарпиловский_FEM.pdf
    ТипДокументы
    #610414
    страница13 из 32
    1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   32
    J
    J
    x
    x
    y
    y
    x
    x
    y
    y
    ,
    1
    ( , )

     







     


     


     




     




     


    J
    x
    y
    ,
    (4.4.4)
    1 2
    3 1
    ;
    ;
     





      


    (4.4.5)
    Полученные аппроксимации совместны и удовлетворяют тождествам критерия полноты (4.3.16) по построению.
    4.4.2. Шестиузловой треугольник
    Треугольный конечный элемент с 6-ю узлами, у которого дополнительно на каждой из сторон добавлен еще один узел, изображен на рис. 4.4-2а. Пре- образование (4.4.3) приводит его к виду на рис. 4.4-2б. а) б)
    Рис. 4.4-2.
    Треугольник с 6-ю узлами и его мастер-элемент

    98
    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    При построении его системы аппроксимирующих функций (4.3.3) поле перемещений аппроксимируется по квадратичному закону.
    2 2
    1 2
    3 4
    5 6
    (
    )
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C
    C
    C




    

     




    x,y
    (4.4.6)
    Коэффициенты определяем из уравнений (2.1.7):
    4 1
    2 3
    5 6
    1 1
    1 1
    1 1
    1 1
    1 1
    1
    (
    (
    )(
    ),
    (
    ),
    (
    ),
    ),
    (
    )
    (
    ),
    (
    )
    )
    (
    g e
    e
    e d
    e
    g
    g d
    d
    d
    g
    d
    d
    e
    e
    g
    g

     

     











     



     

      
     





     




     



     



    (4.4.7)
    Если узлы 4-6 расположены в серединах сторон, то формулы (4.4.7) уп- рощаются:
    3 4
    2 6
    1 5
    1 1 2 2
    2 1
    2 1
    4 1 4 1 4
    )
    (
    (
    )(
    ),
    (
    ),
    ),
    (
    ,
    (
    ),

     
     
     
     

     










      







     

     

    (4.4.8)
    Можно рассматривать конечные элементы и с числом узлов 4 и 5, когда отсутствуют некоторые узлы на сторонах. Такие элементы применяются для последовательного сгущения сетки. При этом берется закон аппроксимаций
    (4.4.7), а на сторонах, где отсутствуют промежуточные узлы, добавляются условия линейности перемещений.
    При корректной стыковке элементов полученные аппроксимации совме- стны и удовлетворяют тождествам критерия полноты (4.3.16), а для элемен- тов с 6-ю узлами и (4.3.18).
    4.4.3. Треугольные элементы (SA)
    Рассмотрим треугольные конечные элементы, изображеные на рис. 4.4.1а или 4.4.2a. После построения систем аппроксимирующих функций (4.4.5) или
    (4.4.7) сделаем еще одну замену систем координат:
    1 1
    1 1
    1 1
    2 1
    2 1
    3 3
    (
    ),
    (
    ).
    =
    =

     



     
     

    (4.4.9)
    Преобразование приводит к треугольникy на рис. 4.4-3.
    Рис. 4.4-3.
    Треугольник в специальной системе координат

    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    99
    Существует четыре кусочных полинома второго порядка
    1
    , которые не- прерывны и на границе области равны нулю:
    1 1
    1 2
    1 1
    1 2
    1 1 3
    1 1 3
    1 1
    1 2
    4 1
    1 1
    3 1
    1 1 1
    1 2 1
    2 0
    1 2 1
    2
    ,
    ,
    ,
    ,
    (
    ) ,
    (
    ) ,
    r
    r
    r
    r
    r
    r






     





      

     

      
    

     

    



      
    


    




    

      
    

    x
    x
    x
    x
    x
    x
    ,
    ,
    ,
    (4.4.10)
    При независимой аппроксимации u и v «внутренние» степени свободы, соответствующие функциям (4.4.11), можно добавить к системам функций трехузлового и шестиузлового элементов:
       
    2 1 2
    0 0
    ,
    i
    i
    i
    i





    ψ
    ψ
    , i=1,2,3,4.
    (4.4.11)
    4.4.4. Треугольники серендипового типа
    Рассмотренные выше треугольные конечные элементы являются лемен- тами серендипового типа соответственно для полиномов первой и второй степени.
    Рассмотрим треугольник Паскаля, представленный на рис. 4.4-4. Если по- вышать степень полинома на единицу, то при обеспечении совместности ап- проксимаций при стыковке однотипных элементов число одночленов в поли- номе совпадает с числом узлов соответствующей внутренней сетки. При этом появляется еще один узел на каждой стороне.
    Рис. 4.4-4.
    Треугольник Паскаля и соответствующие ему треугольные элементы серендипового типа
    1
    Дальнейшее повышение степени полинома не дает существенного повышения точности вычислений.

    100
    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    Начиная с третьей степени, появляются внутренние узлы, степени свобо- ды которых можно конденсировать согласно разд. 2.9.
    4.4.5. Прямоугольник с узлами в вершинах
    Простейший прямоугольный конечный элемент изображен на рис. 4.4-5а.
    При преобразовании (4.4.3) получаем квадрат, изображенный на рис. 4.4-5б. а) б)
    Рис. 4.4-5.
    Прямоугольник и его мастер-элемент
    При построении системы аппроксимирующих функций (4.3.3) поле пере- мещений аппроксимируется по билинейному закону:
    1 2
    3 4
    (
    )
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C



    
     


    x,y
    (4.4.12)
    Получаем:
    4 1
    2 3
    1 1
    1 1
    (
    (
    )(
    ),
    (
    ),
    ) ,






     




     



     

    (4.4.13)
    Полученные аппроксимации совместны и удовлетворяют тождествам критерия полноты (4.3.16) порядка 1 по построению.
    4.4.6. Восьмиузловой прямоугольник
    Четырехугольный конечный элемент с 8-ю узлами, у которого дополни- тельно на каждой из сторон добавлен еще один узел, изображен на рис. 4.4-6а. После преобразования (4.4.3) получаем четырехугольник, изо- браженный на рис. 4.4-6б. а) б)
    Рис. 4.4-6.
    8-и узловой четырехугольник
    При построении его системы аппроксимирующих функций (4.3.3) поле перемещений аппроксимируется неполным полиномом третьей степени, обеспечивающим непрерывность перемещений на линиях стыковки элемен- тов.:

    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    101 2
    2 2
    2 1
    2 3
    4 5
    6 7
    8
    (
    )
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C




    

     
    
     






    x,y
    , (4.4.14)
    Получаем функции (4.3.2):
    4 5
    6 7
    1 2
    3 1
    1 1
    1 1
    1 1
    1 1
    1 1
    1 1
    1 1
    1 1
    (
    )(
    )(
    ),
    (
    )(
    ),
    (
    ) (
    ),
    (
    ),
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    )
    ,
    (
    ),
    (
    )
    (
    (
    )
    ,
    (
    )
    b
    b a
    b d
    a
    c
    a
    a
    c
    c
    a
    a
    a
    b
    b
    c
    c

     




     




     
    
     














     

     







     








     







    8 1
    1
    (
    )
    (
    )
    d
    d


     



    (4.4.15)
    Если узлы 5-8 расположены на серединах сторон, то:
    2 4
    6 1
    3 5
    7 8
    1 1
    1 2 2
    1 2
    2 1
    1 2
    2 1
    2 2
    3 4 1 1
    4 1 1
    4 1
    4 1
    (
    )(
    )(
    ),
    (
    )(
    ),
    (
    ) (
    ),
    (
    ),
    (
    (
    ) (
    ),
    )(
    ),
    (
    ),
    (
    )





     

      

     

     




    


     








     







     















    (4.4.16)
    Можно рассматривать конечные элементы и с числом узлов от 5 до 7, ко- гда отсутствуют некоторые узлы на сторонах. Для этого берется закон ап- проксимаций (4.4.15), а на сторонах, где отсутствуют промежуточные узлы, рассматриваются условия линейности перемещений. Как и в треугольных элементах, дополнительные узлы применяются для последовательного сгу- щения сетки.
    При корректной стыковке элементов полученные аппроксимации сов- местны и удовлетворяют критерию полноты (4.3.16), а для элементов с 8-ю узлами, содержащих все одночлены 2-го порядка, – (4.3.18).
    4.4.7. Прямоугольные элементы серендипового типа
    Рассмотренные выше четырехугольные конечные элементы являются се- рендипового типа соответственно для полиномов первой и второй степени на сторонах элементов.
    Рис. 4.4-7.
    Треугольник Паскаля и соответствующие ему четырехугольные элементы серендипового типа

    102
    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    Рассмотрим треугольник Паскаля, представленный на рис. 4.4-7. Если ап- проксимации брать как произведение линейных полиномов, то получим по- лином удвоенной степени и соответствующее число внутренних узлов с пря- моугольной внутренней сеткой. Степени свободы внутренних узлов можно конденсировать согласно разд. 2.9.
    Восьмиузловой четырехугольный элемент на рис. 4.4-6 не содержит внутренних узлов. Существуют и другие прямоугольные элементы серенди- пового типа порядка р с р+1 числом узлов на стороне элемента, у которых нет внутренних узлов [27, 28, 39].
    4.4.8. Четырехугольные элементы (SA)
    Метод подобластей, описанный в разд. 2.11, позволяет получить совмест- ные кусочно-полиномиальные аппроксимации для произвольного выпуклого четырехугольника, изображенного на рис. 4.4-8а, с сохранением симметрии в элементе при ее наличии.
    Выполним преобразование (2.12.2). Произвольный четырехугольник, изображенный на рис. 4.4-8а, преобразуется в четырехугольник, представ- ленный на рис. 4.4-8б. а) б)
    Рис. 4.4-8.
    Четырехугольный элемент
    Будем рассматривать четырехугольники, у которых 8 узлов, что не нару- шает общности построений. Если какой-нибудь узел отсутствует, то добавля- ется условие линейности перемещений на границе элемента.
    Аппроксимации класса

    Аппроксимирующие функции (4.3.1) четырехугольного конечного эле- мента, имеющего не более одного промежуточного узла на стороне [39], бу- дем искать в виде (2.12.9), где функции

    x :
    5
    ( , ) ( , )
    r
    N
    i
    i
    j
    i
    j
    j
    j


         


     
    , i=1,2,3,4, 4
    N
    r
    8,
    (4.4.17)

    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    103 1
    0 0
    0
    / ,
    ,
      




     


    ,
    2 0
    0 0
    ,
    ,
     




     


    ,
    3 0
    0 0
    / ,
    ,
      




     


    ,
    4 0
    0 0
    ,
    ,
     




     


    ,
    0
    , ( , ) , ( , )
    ( , )
    k
    j
    j
    r
    j j
    k
    j
    j
    j
    r
    
     
     
     

     

    

     

    

    ,
    , k=1,2,3,4, 5
    j8.
    Функции (4.4.17) представляют собой на каждой из подобластей
     ,
    k=1,2,3,4 – полиномы степени не выше 2-й, они непрерывны в

    r
    и удовле- творяют условиям МКЭ (2.1.7).
    Примем в представлении (2.12.9), что функции
    λ
    , являются полино- мами второго порядка и, следовательно, необходимо определить в (2.12.10) двенадцать коэффициентов
    , j=1,2,3,4, k=1,2,3.
    Из условий непрерывности

    j
    в

    r
    получаем 7 уравнений:
    11 21 31 41 12 42 13 23 22 32 33 43
    ,
    ,
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C







    ,
    ,
    (4.4.18)
    Потребуем для аппроксимирующих функций элемента равенства в точке
    А для всех подобластей
     , k=1,2,3,4, величин
    ,
    ,


    






    Получаем недостающие пять уравнений:
    12 13 13 43 1
    22 43 11 22 12 12 1
    22 1
    2 4
    11 11 11 1
    2 1 0 0
    1 1
    3 1
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    A
    B
    A
    B
    A










     


     


     




     


    11 13 11 43 1
    4 0 1 0 1
    ,
    ,
    ,
    ,
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C
    B





     


    (4.4.19)
    Решение систеы равнений (4.4.18), (4.4.19):






    11 21 31 41 1
    4 1
    2 2
    2 3
    3 21 41 12 34 1
    1 0 1 0 1 1 1 11 11 21 41 41 23 1 1 0 1 0 1 1 1 11 11 21 41 21 1 1 0 1 0 1 1 1 11 1
    1 2
    1 2
    1 2
    1 2
    1 2
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    (
    ) ,
    (
    )
    ,
    (
    )
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    A
    B
    A B
    A
    B
    A B
    A
    A
    B
    A B
    B
    
























































    3 2
    3 32 2
    3 4
    34 1
    21 41 41 23 1 1 0 1 0 1 1 1 11 11 21 41 21 43 1
    1 0 1 0 1 1 1 11 11 1
    2 2
    1 2
    2
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    (
    )
    ,
    (
    )
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C
    AA
    AB
    A B A
    A
    A B
    BB
    A B B
    B












     





     








    (4.4.20) где введены обозначения:

    , – величины (2.12.11),
    ,


    , 

    ,
    1 1 ,

    1 1


    104
    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    Аппроксимации класса С
    1
    (
    r
    )
    Потребуем, чтобы искомые аппроксимирующие функции четырех- угольного конечного элемента, имеющего не более одного промежуточного узла на стороне, представляли собой на каждой подобласти полиномы второй степени и были непрерывны вместе со своими производными [117]. Задан- ным условиям непрерывности на элементе удовлетворяют восемь функций:
    1 2
    3 4
    1,
    ,
    ,
    ,





    





    2 5
    2 6
    2 7
    1 4 0
    2 3 2 3 0
    1 4 1 2 0
    3 4
    ( , )
    ,
    ,
    ,
    ( , )
    ,
    ,
    ( , )
    ,
    ,
    ,
    ( , )
    ,
    ,
    ( , )
    ,
    ,
    ( , )
    ,
    ,
    r
    k
    r
    k
    r
    k
    r
    k
    r
    k
    r
    k
    k
    k
    k
    k
    k
    k




     
     

     
     






    


     
    

    

    


     
    

    

    


     
    

    ,
    ,
    ,
    2 8
    3 4 0
    1 2
    ,
    ( , )
    ,
    ,
    ( , )
    ,
    ,
    r
    k
    r
    k
    k
    k

     



    

    


     
    

    
    ,
    (4.4.21)
    Искомые аппроксимации представим в виде:
    8 0
    1,...,
    ( , ),
    ij
    j
    r
    i
    j
    C

      

     
    i=
    N
    (4.4.22)
    Коэффициенты определим из системы уравнений 8-го порядка:
     первые N
    r
    уравнений являются уравнениями МКЭ (2.1.7);
     на сторонах, где отсутствуют промежуточные узлы, потребуем, чтобы функции изменялись по линейному закону. При этом получим недостаю- щие 8 – N
    r
    уравнений.
    Данная система уравнений всегда имеет решение, которое приведем для:
     четырехузлового элемента:
    2 2
    1 2 2 2
    2 2 2 2 2 3
    2 2
    1 1
    2 4
    1 2 1 2 1
    2 1 2 1 2
    ,
    ,
    ,
    ,
    r
    r
    r
    r
    A
    A
    B
    B
    B

     







     

     
     





     



    


    


    


    
    1   ...   9   10   11   12   13   14   15   16   ...   32


    написать администратору сайта