Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 2 из 32

загружением. Взаимо- действие системы с окружающей средой представляется обычно в виде на- грузок или воздействий, приложенных к узлам системы (узловых нагрузок) или к внутренним точкам ее конечных элементов (местных нагрузок). Мест- ные нагрузки могут быть силами и моментами, сосредоточенными или рас- пределенными по линиям, площадям и объемам. Воздействия могут быть не только силовыми, но и кинематическими: в форме температурных воздей- ствий на элементы или заданными смещениями в узлах. Если воздействия меняются во времени, то вызванные ими ускорения системы приводят к по- явлению инерционных сил. В тех случаях, когда силами инерции пренебречь нельзя, говорят о динамическом характере воздействия, но всегда следует помнить, что отнесение воздействий к виду статических или динамических связано не только с их собственными свойствами, но и с инерционными ха-
рактеристиками системы. Очевидно, что любая нагрузка моделируется эк- вивалетной статической узловой. Возможность задания разнообразных мест- ных нагрузок на конечные элементы значительно облегчает создание расчет- ной схемы.
Все узлы и элементы расчетной схемы нумеруются. Номера, присвоенные им, следует трактовать как имена, которые позволяют делать необходимые ссылки. Например, можно указать узел, где приложена некоторая нагрузка, перечислить узлы, к которым присоединен вполне конкретный элемент, пе- речислить элементы для задания местной нагрузки и т.п. Выдача результатов

10
Глава 1. Задачи теории упругости
расчета также производится по номерам узлов (перемещения, реакции) или элементов (внутренние усилия). Вычислительный комплекс нумерует сам все степени свободы расчетной схемы таким образом, чтобы оптимизировать число операций при решении получаемой системы уравнений.
Существующую расчетную схему можно уточнить, раздробив включен- ные в нее конечне элементы на элементы меньшего размера. Однако чрез- мерно мелкое дробление приводит к увеличению времени расчета и связано с запросом на использование больших ресурсов памяти компьютера для хране- ния и обработки данных. Могут при этом проявляться и эффекты неустойчи- вости самого процесса расчета. Слишком грубое дробление может привести к потере точности результатов, особенно в тех случаях, когда рассчитываются пластинчатые или оболочечные конструкции. Общих рекомендаций по выбо- ру оптимального уровня дробления системы на конечные элементы не суще- ствует.
В теории метода конечных элементов большое внимание уделяется оцен- ке точности получаемого приближенного решения при неограниченном сгу- щении сетки конечных элементов.
«Оценки скорости сходимости» имеют асимптотический характер и являются слишком абстрактными для конструктивного использования в кон- кретном случае расчета (в том числе и в данной работе). Поэтому приходится полагаться, главным образом, на опыт и результаты некоторых контрольных расчетов, выполняемых для одной и той же конструкции при различных сис- темах разбиения на конечные элементы. Могут быть также рекомендованы приемы последовательной серии расчетов некоторых фрагментов системы с введением на этих фрагментах более детального разбиения на конечные эле- менты.
1.2.
Гипотезы
Как сформулировал С.П.Тимошенко в [92] «основная задача теории упру- гости заключается в том, чтобы по заданным действующим на твердое тело внешним силам находить те изменения формы, которое тело претерпевает, и те внутренние силы упругости, которые при этих изменениях формы возни- кают между частями тела».
При рассмотрении «гипотетически идеального упругого тела» предпола- гается, что:
 среда заполняет тело сплошным образом и не меняет свою непрерыв- ность в процессе деформирования при приложении нагрузок;
 выделенный из тела элемент любой малости имеет те же свойства, что и тело в целом. Атомистическая структура вещества не учитывается, а ме- ханические свойства тела в любой его точке считаются одинаковыми;
 начальные деформации и напряжения в теле равны нулю;

Глава 1. Задачи теории упругости
11
 деформации и перемещения малы по сравнению с размерами тела и яв- ляются непрерывными функциями координат. Перемещения тела как твердого, при котором не изменяются его форма и размер, происходит при отсутствии деформаций;
 перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения;
 линейная зависимость между деформациями и напряжениями (закон Гу- ка).
Из гипотез следует:
 идеальная упругость, когда происходит полное исчезновение деформаций после снятия нагрузки. Т.е. тело способно восстанавливать свою перво- начальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию;
 напряженно деформированное состояние тела не зависит от порядка при- ложения нагрузок;
 аддитивность действия нагрузок – напряженно-деформированное со- стояние тела от суммы нагрузок равно сумме напряжений и деформаций от составляющих нагрузок. Данное свойство называют еще принципом
суперпозиции;
 при заданных внешних нагрузках и краевых условиях тело находится в равновесии – существует единственная равновесная система напряжений и перемещений;
 справедлив принцип Сен-Венана: уравновешенная система сил, прило- женная к некоторой части твёрдого тела, вызывает в нём напряжения, очень быстро убывающие по мере удаления от этой части и на расстояни- ях, существенно превышающих наибольший линейный размер области приложения нагрузок, напряжения и деформации оказываются пренебре- жимо малыми. Это позволяет силы, приложенные на небольшом участке, заменить действующей на том же участке статически эквивалентной сис- темой сил, что приводит лишь к изменению напряженно- деформированного состояния в малой окрестности данного участка.
Нелинейность – то это может быть:
 геометрическая нелинейность при больших деформациях [61] при сохра- нении закона Гука;
 физическая нелинейность, которую изучают теория пластичности о свойствах тел сохранять деформированную форму после снятия нагрузки и теория ползучести об изменениях под действием нагрузки с течением времени [30, 51, 81];
 конструктивная нелинейность — изменение расчетной схемы сооруже- ния в процессе его нагружения, связанное с взаимными смещениями (на- пример, раскрытием швов и трещин, проскальзыванием) отдельных час- тей сооружения и основания, свойством отдельных элементов конструк-

12
Глава 1. Задачи теории упругости
ции включаться в работу в зависимости от различных факторов напря- женно-деформированного состояния;
 генетическая нелинейность при изменении расчетной схемы сооружения в процессе его загружения или монтажа: добавление/исключение элемен- тов конструкции, изменение жесткостных характеристик у части соору- жения и т.п.
При этом перемещения точек конструкции уже не прямо пропорциональ- ны силам, вызывающим эти перемещения, и напряженно деформированное состояние тела может зависеть от порядка приложения нагрузок: нет суперпо-
зиции действия нагрузок.
Материал считается в зависимости от своих физико-механических свойств [50]:
 изотропным, когда они одинаковы по всем направлениям;
 трансверсально-изотропным, когда они одинаковы по двум направ- лениям (плоскость изотропии);
 ортотропным, когда они переменны по разным направлениям, а главные направления упругости совпадают с направлениями рассмат- риваемой системы координат;
 анизотропным, когда свойства материала зависят от направления, в котором они определяются, а главные направления упругости не сов- падают с направлениями рассматриваемой системы координат.
Дерево, пластики, композиты и некоторые другие материалы являются ортотропными и даже анизотропными.
Часто рассматривается также конструктивная ортотропия/анизотропия, когда определяют обобщенные жесткостные характеристики конструктивных элементов. Например, плит, подкрепленных ребрами.
Из-за сложности решения трехмерной (пространственной) задачи
теории упругости рассматривают более простые задачи с пониженной раз- мерностью пространства.
Стержень(брус)
Стержнем (брусом) называется тело удлиненной формы, два размера ко- торого значительно меньше третьего. Стержень может сопротивляться только усилиям сжатия-растяжения, или работать преимущественно на изгиб (т.н. балка), или воспринимать и то и другое.
Стержни могут иметь прямую и кривую оси, постоянное и переменное поперечное сечение, сплошное (массивное) или тонкостенное с открытым или закрытым контуром сечение, и другие особенности, которые учитывают- ся при построении разрешающих уравнений.
Плоская задача теории упругости
Объединяет два типа тел, описываемых одинаковыми системами матема- тических уравнений на плоскости:

Глава 1. Задачи теории упругости
13
 плоская деформация. Реализуется в призматическом или цилиндрическом теле, у которых один из размеров существенно превышает два других, а возникающие перемещения не зависят от направления этого размера;
 плоское напряженное состояние. Характеризуется отсутствием нормаль- ных напряжений на площадках, параллельных одной из координатных плоскостей. Представляет собой тонкую пластинку, нагруженную только в своей плоскости.
Пластины
Упругие тела, ограниченные двумя плоскостями или близкими к ним по- верхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими его размерами. В общем случае это расстояние может быть переменным.
В дальнейшем будем рассматривать только пластины постоянной тол-
щины, когда тело ограничено параллельными плоскостями (основаниями, гранями). Расстояние между данными плоскостями h называют высотой или толщиной пластины, а равноудаленную от оснований плоскость,– срединной
плоскостью. Контур пластины представляет собой линию пересечения сре- динной поверхности с ее боковыми гранями.
На пластину могут действовать как внешние нагрузки, так и объемные силы. Все нагрузки считаются приложенными к точкам срединной поверхно- сти. Пластина, нагруженная перпендикулярно её срединной поверхности и работающая преимущественно на изгиб из собственной плоскости, называет- ся плитой. Если нагрузки действуют в плоскости пластины, то она находится в плоском напряженном состоянии или плоской деформации.
В зависимости от отношения толщины h к минимальному размеру a в плане пластины квалифицируют как:

80
a
h

– мембраны. Обладают незначительной изгибной жесткостью и работают в основном на растяжение;

80 10
a
a
h
 
– тонкие пластины;

10 5
a
a
h


– пластины средней толщины;

5
a
h

– толстые пластины.
В некоторых работах к толстым относятся пластины, у которых
/ 3

h a
В зависимости от величины прогиба под нагрузкой, рассматривают пла- стины:
 жесткие, когда прогиб не превосходит 0.2h и можно без заметной по- грешности считать срединный слой свободным от напряжений;
 гибкие, когда прогибы не малы (обычно от 0.2h до 5h) по сравнению с толщиной и при расчете на действие поперечной нагрузки наряду с изги-

14
Глава 1. Задачи теории упругости
бающими и крутящими моментами необходимо учитывать нормальные усилия;
 абсолютно гибкие (мембраны), когда преобладающими являются напря- жения в срединной поверхности, и напряжениями собственно изгиба можно пренебречь.
Практически для всех типов пластин их расчет можно значительно упро- стить за счет введения дополнительных гипотез.
Оболочки
Упругие тела, ограниченные двумя поверхностями, расстояние между ко- торыми мало по сравнению с другими его размерами. В общем случае это расстояние может быть переменным. Уравнения теории оболочек выводятся для ее срединной поверхности, которая равноудалена от наружной и внут- ренней поверхностей оболочки.
Осесимметричные тела
Если рассматривается тело вращения, у которого краевые условия и при- ложенные к нему нагрузки тоже симметричны относительно оси вращения этого тела, то очевидно, что трехмерную задачу теории упругости можно све- сти как минимум к двумерной.
Упругое основание
При расчете сооружения во многих случаях необходимо учитывать де- формируемость упругого основания, на которое оно опирается. Как правило, вместо трехмерного моделирования всех слоев грунтов под конструкцией, в соответствующих расчётах используют различные теоретические положения, описывающие свойства грунтов и сводящие задачу к двумерной, когда вво- дятся коэффициенты жёсткости основания (коэффициенты постели) по тео- риям Пастернака, Винклера и др.
1.3.
Основные задачи
Упругое тело
Рассмотрим находящееся в n-мерном пространстве
n
R упругое тело Ω с кусочно-гладкой границей Γ:
1 2
{
}
( )
( ), ( ),..., ( )
T
s
s
u
u
u


u x
x
x
x
R
– вектор-функция перемещений точек телав
s
-мерном пространстве;
1
{
}
2
n
, ,...,
T
n


x
x x
x
R
– координаты точки,
1 2
{
}
( )
( ), ( ),..., ( )
s
T
s
f
f
f


f x
x
x
x
R
– вектор объемных сил.

Глава 1. Задачи теории упругости
15
Напряженно-деформированное состояние тела Ω описывается векторами напряжений
1
и деформаций [49, 54, 60, 92] размерности k:
1 2
{
}
( )
( ), ( ),..., (
)
T
k
k
σ
σ
σ


σ x
x
x
x
R
,
1 2
{
}
( )
( ), ( ),..., ( )
T
k
k





ε x
x
x
x
R
, которые для линейной задачи теории упругости связаны соотношениями:
( )
( )
( )
(
)
t


σ x
ε x
ε x
C
– физические уравнения;
(1.3.1)
( )
( )
k


ε x
Au x
R
– геометрические уравнения;
(1.3.2) где: C – матрица упругости порядка k, зависящая только от жесткостных ха- рактеристик материала конструкции. Она симметрична и положительно оп- ределена;
A – линейный матричный дифференциальный оператор, в котором поря- док дифференцирования не выше m, и который называют также оператором
геометрии
2
;
ε
t
(x) – деформации от температурных воздействий, зависящие от коэффи- циентов температурного расширения, температуры в пространственных и плосконапряженных телах, разности температур на поверхностях для оболо- чек
3
Тело рассматривается в равновесном состоянии. Уравнения равновесия в точке xΩ можно представить в следующем виде:
( )
( )

Βσ x
f x
,
(1.3.3) где B – дифференциальный оператор, связывающий напряжения и внешние воздействия, который называют также оператором равновесия. Если все эле- менты оператора Aимеютпорядок дифференцирования m, то
(‐1)
m
T

B
A
(1.3.4)
На части границы Γ
u
 Γ (Γ
u
) рассматриваются кинематические (глав-
ные), а начастиΓ
σ
 Γ статические (естественные) краевые условия
4
:
( )|
u


u
x
A u x
u
Γ
Γ
,
( )
l


u x
R
,
(1.3.5)
( )|
( )|




σ
σ
σ
x
σ
x
A σ x
A CAu x
σ
Γ
Γ
Γ
,
( )
l

σ x
Γ
R
(1.3.6) где:
1
Это могут быть как напряжения трехмерной задачи теории упругости, так и усилия в стержнях, моменты в плитах и оболочках, отпор грунта ….
2
Если в A входят также члены с порядком дифференцирования ниже m, то это может быть суперпозиция разных задач. Например, изгиб и упругое основание.
3
Это, как правило, изменение температуры, соответствующей замыканию конст- рукции или ее части в законченную систему в теплое или холодное время года.
4
Смешанные граничные условия, когда усилия связаны с перемещениями, рас- сматриваются, например, в контактных задачах.

16
Глава 1. Задачи теории упругости
 A
σ
и A
u
– матричные дифференциальные операторы краевых условий сте- пени не выше m–1;
 u
Γ
и σ
Γ
– векторы с соответствующими друг другу компонентами, размер- ность которых l зависит от числа рассматриваемых деформаций на гра- нице

1
В точке

может быть задано несколько кинематических (перемещения, углы поворота) или статических (поверхностные силы и моменты) краевых условий. Причем, если задано, например, кинематическое краевое условие, то не может быть задано соответствующее ему статическое краевое условие и наоборот. Если m > 1 или k > 2, то на одном и том же участке границы могут быть заданы и кинематические и статические краевые условия и тогда
Γ
u
⋂ Γ
σ
. Например, на контуре пластины могут быть заданы одновремен- но и перемещения и моменты или углы поворота и перерезывающие силы.
Объединяя дифференциальные уравнения условий равновесия (1.3.3) с краевыми условиями (1.3.5) и (1.3.6), задачу определения напряженно- деформированного состояния тела можно записать в операторном виде [11,
56, 75, 78, 83]:
( )
( )

u x
f x
A
,
(1.3.7) где
A
– самосопряженный оператор краевой задачи.
Будем рассматривать только геометрически неизменяемые системы, для которых оператор
A
положительно определен.
Динамическая задача
Если нагрузки на систему меняются во времени f = f(x,t), то, соответст- венно, меняются во времени перемещения, деформации и усилия: u=u(x,t),
ε=ε(x,t) и σ=σ(x,t). Обозначим точками сверху дифференцирование по време- ни, а
M
– оператор, описывающий массу системы. Если возникающие при изменении нагрузок во времени инерционные силы
M
ü не могут считаться пренебрежимо малыми по сравнению с нагрузками на систему и силами уп- ругости, то их следует учесть при формировании условий равновесия, кото- рые примут вид без учета внутреннего трения [21, 41, 87]:
+
( )
t

u
u
f

M
A
,
(1.3.8) где
A
– оператор краевой задачи (1.3.7).
Задача определения характеристик собственных колебаний системы (мо- дальный анализ) заключается в нахождении условий, при которых ненагру- женная система совершает гармонические колебания по закону
( , )
( )
(
)
t
sin t
 


u x
x

,
(1.3.9)
1
Значение l зависит от порядка операций дифференцирования в операторе гео- метрии A, размерностей пространств
R
n
иR
s

Глава 1. Задачи теории упругости
17 где вектор

(x) характеризует форму собственных колебаний (соотношения между смещениями узлов) и не зависит от времени;
 – их частоту;  – на- чальную фазу (смещение).
Подставляя представление (1.3.8) в (1.3.9) и учитывая, что начальная на- грузка f(x,0), получаем уравнение для собственных колебаний
2
(
)
0




A
M
(1.3.10)
Так как оператор
A
положительно определен, то нетривиальное решение данного уравнения существует лишь при дискретных значениях величин

i
(i = 1,2,...), называемых собственными частотами. Если рассматривается задача с конечным числом степеней свободы, то
A
и
M
имеют вид матриц и можно сказать, что эти значения обращают в нуль детерминант матрицы
A
–

2
M
. Очевидно, что соответствующие им формы собственных колебаний

i
вычисляются лишь с точностью до произвольного множителя. Следует также отметить свойство ортогональности собственных векторов как в про- странстве операторов
A
, так и
M
:
0 0
( )
( )
,
( )
( )
,
(
)
T
T
i
j
i
j
d
d
i
j


 
 



A
x DA
x
x
x
M




(1.3.11)
Представим решение динамической задачи (1.3.10) в виде разложения по формам колебаний
( , )
( )
( )
i
i
i
t
y t
 
u x
x

(1.3.12)
В силу свойств ортогональности (1.3.11) получаем систему независимых дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат y
i
(t).
Эти уравнения с учетом дополнительного члена, пропорционального скоро- сти (с его помощью учитывается сопротивление движению), имеют вид:
2 2
+
+
( ) /M
i
i i i
i
i
i
i
f t
 


y
y
y


,
(1.3.13) где
( )
( )
+
( )
T
T
i
u i
f t
d
A
d







f
x
σ
x
i
Γ
Γ


– обобщенные силы;
( )
( )
T
i
i
i
M
d




x
x
M


– обобщенные массы;
i

– параметр затухания.
Начальные условия для уравнения (1.3.13) имеют вид:
0 0
( )
( )
(
)
T
i
i
y
d




x
u x,

M
,
0 0
( )
( )
(
)
T
i
i
y
d




x
u x,



M
(1.3.14)
Решение задачи (1.3.13), (1.3.14) имеет вид:

18
Глава 1. Задачи теории упругости
2 1
0 0
0 1
(
)
( )
+ ( )
( ) e
(
) + ( )
(
)
( ) e
( (
))
,
,
i i
i i
t
i
i
i
i
i
i
i
i
i
t
t
i
i
i
i
i
i
i
t
sin
t
cos
t
f
sin
t
d
M
 
 


 





 
 

















y
y
y
y

(1.3.15) в котором первое слагаемое учитывает начальные условия, а второе – носит название интеграла Дюамеля. Входящая в данное выражение частота демп- фированных колебаний
i

мало отличается от

i
при обычных значениях
i

.
Геометрическая нелинейность
Уравнения классической линейной теории упругости получены при пред- положении, что:
 удлинения и сдвиги значительно меньше единицы;
 можно пренебречь квадратами углов поворота по сравнению с удлине- ниями и сдвигами;
 напряжения и деформации связаны законом Гука (1.3.1).
Геометрически нелинейная работа упругой системы связана уже с необ- ходимостью учитывать большие изменения геометрии системы при ее де- формации под нагрузкой [61]. Могут рассматриваться геометрические иска- жения различной величины, но в большинстве рассчетов рассматривается учет только так называемого «приближения Кармана», когда предполагается, что квадраты углов поворота элементов рассматриваемой расчетной схемы являются величинами того же порядка малости, что и относительные удлине- ния в материале, которые в свою очередь считаются малыми по сравнению с единицей.
Будем рассматривать равновесие системы, у которой деформации уже геометрически нелинейно зависят от перемещений, но выполнены физиче- ские уравнения (1.3.1).
Тогда вместо (1.3.7) получаем краевую задачу
(
+
) ( )
( )
G

u x
f x
A A
,
(1.3.16) где
A
– оператор линейной задачи, а
A
G
– нелинейная составляющая (гео- метрическая жесткость).
Устойчивость равновесия
Будем рассматривать равновесие системы, потенциальная энергия кото- рой геометрически нелинейно зависит от перемещений. Если перемещения относительно невелики, но все же требуют геометрически нелинейного ана- лиза, то необходимо решать задачу (1.3.16). При этом при каких-то значениях нагрузки уже нельзя гарантировать, что оператор задачи
A
+
A
G
будет поло- жительно определенным. Поиск, при каких значениях нагрузки система по- теряет устойчивость в нелинейной постановке, является достаточно тяжелой и трудозатратной работой. Поэтому вводятся различные упрощения поста- новки задачи [14, 67, 94].

Глава 1. Задачи теории упругости
19
Допустим, что σ

, ε

, u

– решение линейной задачи (1.3.7) при значении нагрузки f, σ
Γ
, u
Γ
, ε
t
. Будем менять нагрузку с коэффициентом пропорцио- нальности λ и считать, что пропорциональны λ:
 изменение деформаций;
 изменение усилий (напряжений) при сохранении физических соотно- шений (1.3.1) закона Гука;
 перемещения (или их производные).
Разложим
A
G
в ряд таким образом, чтобы оставить только члены, линей- ные относительно λ и квадратичные относительно перемещений. Получим, что необходимо определить такие значения λ, чтобы имела нетривиальное решение задача
= 0
(
+
)
G
λ 

A A
,
(1.3.17) где

G
A
– линеаризированный оператор геометрической жесткости, завися- щий от σ

, ε

, u
 и не зависящий от λ.
Наименьшее собственное значение этого уравнения

1
определяет крити- ческую нагрузку как

1
f,

1
σ
Γ
,

1
u
Γ
,

1
ε
t
,а сама величина

1
называется коэф-
фициентом запаса устойчивости,

1 является формой потери устойчиво- сти с точностью до константы, а

1
σ

,

1
ε

,

1
u
 определяют поле напряженно- деформированного состояния в системе при потере устойчивости.
Как правило, поиск решения уравнения (1.3.17) производится методом деления пополам интервала возможных значений λ, когда определяется число перемен знаков в линеаризованной системе уравнений. Следовательно, усло- вие линеаризации уравнений (1.3.17) по λ не является обязательным, ибо не приводит к упрощению вычислительного процесса, а отказ от него позволяет более точно определить условия потери устойчивости. При этом можно отка- заться и от условия пропорциональности λ перемещений или их производ- ных, которые входят в уравнения (1.3.17) наравне с деформациями и напря- жениями (усилиями).
Можно выполнить поиск нескольких наименьших собственных значений уравнения (1.3.17). Например, в случае их кратности.
По сути, предполагается пропорциональность распределения внутренних усилий в системе при увеличении интенсивности нагрузки с коэффициентом

. Это свойство не всегда выполняется, в особенности для нелинейно дефор- мирующихся систем.
Можно рассмотреть также устойчивость при увеличении интенсивности только временной нагрузки f, σ и неизменном значении постоянной нагрузки
f
0
, σ
Γ,0
, u
Γ,0
, ε
t,0
.:
(
+
( + λ
))( + λ
)
( )+ λ
( )
G
λ







u
u u
u
f x
f x

A A
,
(1.3.18)
u
0
– соответствующее постоянной нагрузке решение, которое может быть ре- зультатом и нелинейного расчета.

20
Глава 1. Задачи теории упругости
1.4.
Вариационные задачи
Вариационный подход в механике твердого деформируемого тела ис- пользуется как универсальное средство описания физических закономерно- стей при простоте алгоритмизации и, соответственно, как источник построе- ния и обоснования численных методов.
Существуют разные вариационные постановки задач теории упругости:
Лагранжа, Кастильяно, Рейсснера и другие [11, 56, 75, 78, 83]. Наибольшее применение из них получил функционал Лагранжа, минимизация которого лежит в основе метода конечных элементов (МКЭ) в форме метода переме- щений строительной механики.
Пространства функций
Введем скалярные произведения:
( , )
( ) ( )
T
d





u v
u x v x
,
[ , ]
(
( ))
( )
T
d





u v
Au x
DAv x
,
,
s

u v
R
,
(1.4.1)
,
( ) ( )
T
d





 
u v
u x v x
 


,
, 
u v
l
 
R
(1.4.2)
Считаем, что интегралы в (1.4.1) всегда существуют, и функция обоб- щенных перемещений u(x), как минимум, принадлежит обобщенному Гиль- бертову пространству функций
L
2
(Ω) с нормой
1 2
2
|| ||
( )
Ω
,
,
(
)
n
s




u
u u
x
u
L
R
R
,
.
(1.4.3)
Рассмотрим также энергетическое пространство [56]
L
A
(Ω) краевой зада- чи (1.3.7) с нормой
1 2
|| ||
Ω
[
] ,
,
n
s



u
u u
x
u
A
R
R
,
.
(1.4.4)
Положительная определенность оператора краевой задачи (1.3.7)
A
оз- начает, что
2 1
1
||
||
|| ||
|| ||
( )
( )
i
s
i
i
C
u
C






u x
u
A
m ,
L
,
(1.4.5) где:
|| ||


m,
– норма в пространстве Соболева
2
( )
m

W
[53, 85];
m
i
– максимальный порядок дифференцирования компоненты i вектора перемещений u(x) в операторе
A
;
С, C
1
– константы, не зависящие от u(x) 
L
A
(Ω).
Если u(x), v(x) 
L
A
(Ω), то справедливы следующие интегральные тожде- ства, связывающие операторы A, A
σ
, A
u
, и B согласноформуле Остроградско- го-Гаусса:
[ , ]
[ , ]
(
,
)
(
, )
,
u












u v
v u
DAu Av
BDAu v
A u A u
(1.4.6)
Введем следующие подпространства пространства
L
A
:

Глава 1. Задачи теории упругости
21

L
u
(Ω) – кинематически допустимых функций u(x), которые удовлетворя- ют физическим (1.3.1), геометрическим уравнениям (1.3.2) и кинематиче- ским краевым условиям (1.3.5)


( )
( )
, ( )
, ( )
,
|
u
u
u
t
x


 





u x
ε x
Au ε
x
Dε A u
u
Γ
Γ
L
L

;
(1.4.7)

L
u,0
(Ω) – геометрически возможных вариаций вектора перемещений
δu(x), которые удовлетворяют физическим (1.3.1), геометрическим урав- нениям (1.3.2) и однородным кинематическим краевым условиям (1.3.5)


,0
,0 0
( )
( )
,
( )
,
( )
,
|
u
u
u
x



 



 




u x
ε x
A u
x
D ε A u
Γ
L
L

(1.4.8)
Если u
Γ
≡
0 на Γ
u
, то
L
u
(Ω) 
L
u,0
(Ω);

L
σ
(Ω) – статически допустимых напряжений σ(x), которые удовлетворя- ют уравнениям равновесия (1.3.3) и статическим краевым условиям
(1.3.6)


( )
( )
,
,
|
x





 



x
B
f A
Γ
Γ
L
L




;
(1.4.9)

L
σ,0
(Ω) – статически возможных вариаций вектора напряженийδσ(x), ко- торыеудовлетворяют однородным уравнениям равновесия (1.3.3) и одно- родным статическим краевым условиям (1.3.6)


,0
,0 0
( )
( )
,
0,
|
x








 



x
B
A
Γ
L
L



(1.4.10)
Если σ
Γ
≡
0 на Γ
σ
и f ≡ 0, то
L
σ
(Ω) =
L
σ,0
(Ω).
При ненулевых краевых условиях пространства функций
L
u
и
L
σ
можно сделать линеалами, переопределив в них операции сложения и умножения на константу так, чтобы сохранялись заданные значения на границе области.
Функционал Лагранжа
Запишем функционал Лагранжа для полной потенциальной энергии тела, включающий соответственно работу внутренних сил, внешних объемных и поверхностных сил :
( )
( )
( )





u
u
u
E
,
(1.4.11) где:
1 2
( )
( (
),
)
t
t 



u
D Au
Au


E
– работа внутренних сил;
(1.4.12)
( ) ( , )
,
u








u
f u
A u
Γ
Γ

– потенциал статических воздействий;
( , )

f u
– работа внешних объемных сил;
,
u




A u
Γ

– работа внешних поверхностных сил.
Функционал (1.4.11) определен на пространстве кинематически допусти- мых функций
L
u
если выполнены физические (1.3.1), геометрические уравне- ния (1.3.2) и кинематические краевые условия (1.3.5).

22
Глава 1. Задачи теории упругости
Положим в (1.4.11) u = u

+δu, где u

 L
u
– решение краевой задачи
(1.3.7), а δu
 L
u,0
– пространству геометрически возможных вариаций век- тора перемещений.
C учетом интегрального тождества (1.4.6) получаем:
1 2
*
*
*
*
*
( +
)
( +
)
( +
)
( )+ [
,
]
( )







 






u
u
u
u
u
u
u
u u
u
E
(1.4.13) т.к.
0
*
*
(
,
)
(
) (
(
)
,
)
t
t


 








Au
DA u
u
BD Au
f
u


Из (1.4.13) следует принцип возможных перемещений: если u

(x) 
L
u
и для любой функции v(x) 
L
u,0
выполнено равенство
[ , ]
(
,
)
( ( )) (
,
)
( , )
,
t
t
u
f












u v
D
Av
v x
D
Av
v
A v
Γ
Γ



,
(1.4.14) то функция u

(x) является точкой минимума рассматриваемого функционала
Лагранжа (1.4.11).
Очевидно, что для функционала Лагранжа кинематические краевые усло- вия (1.3.5) являются главными, а статические (1.3.6) – естественными, т. к. будут выполнены автоматически в точке его минимума при равенстве их ну- лю.
Функционалы Кастельяно
Если вариационный принцип Лагранжа основан на возможных переме- щениях, то функционал Кастельяно использует принцип возможных измене- ний напряжений:
1 1
2
( )
(
, )
( )
u





D

 

,
(1.4.15) где
( )
,
u
u




u A
Γ
Γ



– потенциал кинематических воздействий, работа на заданных смещениях.
Функционал (1.4.15) определен на энергетическом пространстве статиче- ски допустимых напряжений
L
σ
, когда σ(x) удовлетворяют уравнениям рав- новесия (1.3.3) и статическим краевым условиям (1.3.6).
Положим в (1.4.15) σ = σ

+δσ, где σ

 L
σ
– решение краевой задачи
(1.3.7), а δσ принадлежит пространству
L
σ,0
статически возможных вариаций вектора напряжений.
Но в силу основного интегрального тождества (1.4.6):
1 1
1 1
1 2
2
*
*
*
(
)
( )
(
,
) (
,
)‐
(
)
( )
(
,
)
u



 

 

 









D
D
D



 
 


 
, т.к. D
‐1
σ

= AD
‐1
u

, где u

– решение краевой задачи (1.3.7).
Следовательно, на решении краевой задачи (1.3.7) функционал Кастелья- но принимает минимальное значение.
Для функционала Кастельяно кинематические краевые условия (1.3.5) яв- ляются естественными, т. к. будут выполнены автоматически в точке его минимума, а статические (1.3.6) – главными.

Глава 1. Задачи теории упругости
23
Функционал Рейсснера
В функционале Рейсснера напряженно деформированное состояние тела описывается уже одновременно функциями напряжений σ(x) и перемещений
u(x):
1 1
2
( , )
(
, )
(
, )
( )‐
( )+
,
u
u
u
t
R







 



u
D
Au
u
u
A u A
Γ





 
. (1.4.16)
Рассмотрим в окрестности решения краевой задачи (1.3.7) u

и σ

их воз- мущенияδu и δσ. Используя основную интегральную формулу (1.4.6), полу- чаем первую вариацию функционала (1.4.16):
1
( , ) (
,
)
(
)
,
,
,
t
R
















u
u
u
D
Au +
u B
f
A
A u
A
A u u
Γ
Γ
Γ Γ





 

 
 




Но u

и σ

удовлетворяют уравнениям (1.3.1), (1.3.2), (1.3.5) и (1.3.6), и то- гда δR(u

,σ

)≡0 для любых вариаций δu и δσ. Следовательно, решение крае- вой задачи (1.3.7) является стационарной точкой функционала (1.4.16). При этом оно не обеспечивает экстремум функционала, а является седловой точ- кой, потому что:
1 1
2
*
*
*
*
*
*
*
*
(
,
+
)
(
, )
(
+
, )
(
, )
(
,
)
R
R
R
R


 






u
u
u
u
u
D





 
И кинематические и статические краевые условия являются при реше-
нии вариационной задачи Рейсснера естественными.
Смешанный функционал
Широкому распространению численных методов на основе функционала
Рейсснера мешает:
 отсутствие экстремума в точке стационарности;
 функционал не определен положительно, и поэтому получаемые системы уравнений тоже не определены положительно. А это приводит к услож- нению алгоритмов, особенно при решении задач динамики и устойчиво- сти.
Смешанный функционал записывается в следующем виде:
1 1
1 2
1 2
( , )
( )+
(
, )
(
)(
, )
(
)
( )
t












 



u
u
D
Au ε
u

 

E
, (1.4.17) где

– произвольный числовой параметр.
Данное выражение можно представить в следующем виде как линейную комбинацию функционалов Лагранжа и Рейсснера:
1
( , )
( )+(
) ( , )
R





u
u
u


(1.4.18)
Функционал (1.4.18) определен на функциях u(x) из энергетического про- странства
L
u
(Ω),все элементы которого удовлетворяют кинематическим краевым условиям (1.3.5) и при достаточно гладких σ(x).

24
Глава 1. Задачи теории упругости
Положим в (1.4.18) u = u

+δu, и σ = σ

+δσ, где u

, σ

– решение краевой задачи (1.3.7), а δu принадлежит пространству
L
u,0
геометрически возмож- ных вариаций вектора перемещений. Получаем:
1 1
1 1
2 1
2 2
*
*
*
*
*
*
*
(
,
+
)
( +
)+(
) (
,
+
)
(
, )+
( (
),
)
[
,
] .
R









 





 













u
u
u
u
u
u
u
D A u D
A u D
u u







Т.е. при любых ненулевых δu и δσ при 0.5<κ<1
*
*
*
*
(
,
) <
(
+
,
+
)


u
u
u
 
 

Следовательно, обобщенное решение краевой задачи (1.3.7) доставляет минимум смешанному функционалу (1.4.18).
Как и для функционала Лагранжа, кинематические краевые условия
(1.3.5) являются для данной вариационной задачи главными, а статические
(1.3.6) естественными.
Смешанный функционал в записи (1.4.18) преобразуем к виду [83], удоб- ному для реализации в вычислительных комплексах:




1 1
2 1
2
( , )
( ) + (1
) ( , )
( )
( )
( , )
( ) + (
(
),
) ,
t
t
R
R



 















u
u
u
u
u
u
u
D Au ε D
Au + ε


 




(1.4.19) где коэффициент
1 2
1







, 0 <
 


можно уже рассматривать как весовой коэффициент, учитывающий погрешность аппроксимации усилий.
При записи функционала (1.4.19) приведение статических нагрузок к уз- ловым полностью совпадает с МКЭ, основанном на функционале Лагранжа.

Глава 2. Метод конечных элементов
25