Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 4 из 32

K


,
(2.1.17)
 
( )
h
i i 

f
F
– суммарный вектор приведенных узловых воздействий:
,
(
) ( ,
)
(
)
r
r
r
r
i
i
i t
i
u i
i
t
r
r




 






f φ
A φ
DAφ
f
f
f


,
Ω
(2.1.18)
Систему алгебраических уравнений МКЭ для определения значений сте- пеней свободы дискретной схемы получаем из условия минимума функцио- нала (2.1.16):
= 0
( )
h
h h
h
i
q












q
i
K
F
(2.1.19)
Как правило, учет краевых условий в МКЭ сводится к приравниванию к заданным значениям u

значений соответствующих степеней свободы q
i
в уз- лах, принадлежащих границе области

Дополнив уравнения (2.1.19) уравнениями, учитывающими краевые усло- вия, получаем дискретную задачу
=
h h
h
q

A
F
,
(2.1.20) где
A
h
– ее оператор,
h

F
– нагрузка.
1
Сохраняется поэлементное суммирование, т.к. не наложены никакие ограниче- ния на гладкость функций на границах элементов.

Глава 2. Метод конечных элементов
31
2.2. О связи с проекционно‐сеточными методами
Поставим в соответствие каждой степени свободы q
i
узла x
k
сетки

h
функцию, моделирующую перемещения точек расчетной схемы при единич- ном перемещении в направлении данной степени свободы и закреплении всех остальных степеней свободы системы:
, ( )
(
( ),
( )
), ( )
{
}
r
r
i
i
i
r




φ x
φ x
φ x
i
i
(2.2.1)
Т.к. функции
(x) определены на Ω
r
, то каждая из функций системы
(2.2.1) отлична от нуля на так называемой звезде конечных элементов
i
i


supp
Θ
узла x
k
, в котором определена i-ая степень свободы.
Как правило, степень свободы определена на всех конечных элементах, которые примыкают к узлу, и тогда можно сказать, что звезда конечных эле- ментов не зависит от степени свободы узла. Но в случае примыкания к узлу разнотипных элементов (например, пространственного тела и изгибаемой плиты) это неверно. На рис. 2.2-1 даны примеры плоских звезд конечных элементов.
Рис. 2.2-1. Плоские звезды конечных элементов
Введем пространство сеточных функций
L
h
, элементы которого опреде- ленны на Ω
h
и удовлетворяют в граничных узлах главным краевым условиям задачи (1.3.7):
( )
( )
,
( )
( )
{
}
h
h
h
i
i
q


 
u x
u x
φ x
i
L
,
( )
h
q

u x
i
i
L
(2.2.2)
Т.к. на линиях (поверхностях) между элементами не накладывается ника- ких ограничений на гладкость функций системы (2.2.2), то в
L
h
вводятся сле- дующие скалярное произведение и норма, определенные для любых функций
)
( ),
(
h
h
h

u x v x
L
:
2
*
*
,
,
[ ( ), ( )]
[ ( ), ( )]
[ , ]
, )
(
) .
(
r
h
r
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h








u x v x
u x v x
u
u u
u v
u v
r
r
A
Функционал (2.1.16), компоненты матрицы жесткости (2.1.17) и приве- денных узловых сил (2.1.18) с использованием введенных обозначений для любой функции u
h
(x) 
L
h
принимают вид:

32
Глава 2. Метод конечных элементов
1 2
*
,
( )
[
]
( , )
h
h
h
h
h
h
h
u








u
u u
f u
u

,
A
,
(2.2.3)
*
[ ( ),
( )]
ij
i
j
K 
φ x φ x
,
(2.2.4)
,
( , )
( )
(
)
h
h
i
i
u i
i
t
F








f φ
A φ x
DAφ


,
(2.2.5)
Таким образом, МКЭ сформулирован уже в терминах проекционно- сеточных методов [55]. Очевидно, что он представляет собой обобщение ме- тода Ритца–Галеркина: пространство сеточных функций
L
h
может не принад- лежать энергетическому пространству
L
A
вариационной задачи (1.4.11).
Для того, чтобы подчеркнуть совпадение или несовпадение рассмотрен- ной конечно-элементной модели с методом Ритца, в МКЭ вводятся понятия
совместных (конформных) элементов, когда система аппроксимирующих функций (2.2.1), определенная на звездах элементов, принадлежит энергети- ческому пространству вариационной задачи, и
несовместных
(неконформных), когда она ему не принадлежит. Так, например, в прямо- угольных элементах, моделирующих тонкие плиты по теории Кирхгофа–Лява
(Клафа [42], полусовместном [36]), существуют разрывы нормальных произ- водных аппроксимирующмх функций на границах элементов и, следователь- но, они не принадлежат соответствующему энергетическому пространству решаемой задачи
2 2
( )
W  .
Для несовместных аппроксимаций не равна нулю энергия взаимосвязи конечных элементов. В функционале (2.1.16) не учтена работа, которую не- обходимо выполнить для устранения разрывности деформаций. А это может обуславливать основную погрешность метода.
2.3. Гибридная схема МКЭ
Рассмотрим смешанный функционал (1.4.18) и разбиение области
 на конечные элементы (2.1.1).
На каждом конечном элементе введем дополнительно к степеням свобо- ды (2.1.5) еще значения степеней свободы напряжений в точках элемента и соответствующие им аппроксимирующие функции:


,
)
( ),
(
,
(
,
)
r
r
j
r
r
s
i
i

 

 
ψ
ψ
x ψ
x
su p p
r
i
R
,
(2.3.1) где (i)  Ω
r,σ
– степени свободы для определения напряжений конечного эле- мента.
,
,
( ),(
)
r
j




ψ
r
i
j
i
i,σ
i
L
,
(2.3.2)
,
i
L
– оператор степени свободы, соответствующий напряжениям;
,
,
,
( )






u A u x
i
i
i
i
q
|
L
x x
– значение степени свободы.
Система функций (2.3.1) определяет напряжения в любой точке элемента по значениям его степеней свободы:

Глава 2. Метод конечных элементов
33
,
,
(i)
( )
( )
r
r
i
r
i
q



 
x
ψ x

(2.3.3)
Т.к. в смешанный функционал (1.4.18) напряжения входят без операций дифференцирования, то можно не накладывать никаких условий гладкости на функции (2.3.1) при стыковке конечных элементов
1
Подставим представления (2.1.6) и (2.3.1) в (1.4.19) и получим:
(
,
,
,
,
, ,
,
1
(
, ) (1
)
(
))
2 1
(
)
2
r
T
T
r
r
r
r r
rt r
t
r
T
T
T
T
r
r
r
r
r r
r t
r
r
r
Z







 





u
f
f
f





Ω

K
q
q
q
q K q
q
q
+
q
q
E
κ
κ
κ
,
(2.3.4) где: K
r
– матрица жесткости элемента (2.1.11);
 
( )
r
r
i
i
q


q
– вектор всех степеней свободы КЭ

r для перемещений;
,
,
,
(i),(j)
r
r
r
ij
K









K
,
,
,
(
( ),( )
( ),
( )) ,
r
r
r
r
ij
i
j
r
K





ψ x ψ x
i j
;
 
,
,
,
( )
r
r
i
i
q





q
– вектор всех степеней свободы КЭ

r
для напряжений;
,
(i),
,(j)
r
r
r
r
ij
Z




 
 
Z
– матрица, связывающая степени свободы перемеще- ний и напряжений;
,
(
( ),
( )) , ( )
, ( )
r
r
r
r
ij
i
j
r
r
Z





φ x ψ x
A
i
j
;
 
,
, ,
, ,
(i)
r
i t
r
r t
f





f
,
,
, ,
(
)
r
i t
r
r
i
t
f

 ψ
Ω

Неизвестные q
r,σ
определены только на r-ом КЭ. Получаем уравнения для их определения из условия минимума функционала:
0
*
,
,
, ,
,
(i)
r
r
r
r
r r
r t
i
q

















q
q
f

K
Z
= .
(2.3.5)
Т.к. степени свободы L
i,σ
должны быть линейно независимыми, матрица упругости С положительно определена, то и матрица K
r,σ
тоже положительно определена. Она может быть интерпретирована как матрица податливости конечного элемента по отношению к его статическим степеням свободы.
Из (2.3.5) следует, что
1
,
,
, ,
(
)
r
r
r r
r t
K





q
q
f
=
Z
(2.3.6)
Подставляя (2.3.6) в (2.3.4) получаем, что
1 2
,t
,
(
)
r
r
T
T
T
r
r r
r
r t
r
K




q
q
f
f
q
Φ
Φ



,
(2.3.7) где
r
K
– "откорректированная" новая матрица жесткости элемента:
1
Например, систему функций (2.3.1) можно определить как набор одночленов некоторой степени, приписав каждому из них «абстрактные» степени свободы.

34
Глава 2. Метод конечных элементов
1 1
,
(
)
T
r
r
r
r
r


 

K
K
K


Z
Z
κ
κ
,
(2.3.8)
Φ
r,t
– константа, зависящая от температурной нагрузки.
Вектор приведенных узловых воздействий f
r
совпадает с (2.1.12),а тем- пературные нагрузки приводятся к узловым:
1 1
,
,
,
, ,
(
)
T
r t
r t
r r
r t
K



 

f
f



f
Z
κ
κ
(2.3.9)
Формирование суммарной матрицы жесткости, приведенных узловых на- грузок и дальнейшие действия по решению задачи полностью совпадают со стандартной схемой МКЭ.
Гибридную схему имеет смысл применять при учете естественных крае- вых условий (1.3.6). Пусть пространство аппроксимирующих функций (2.3.1) содержит пространство функций, полученного из системы (2.1.5) применени- ем оператора дифференцирования A из (1.3.2). Тогда без дополнительных краевых уравнений минимумы функционала Лагранжа (1.4.11) и Смешанно-
го функционала (1.4.18) совпадают.
2.4. О погрешности решения
В МКЭ дискретная схема Ω
h
зависит от размеров конечных элементов
(параметр h), положения узлов в элементах, типов степеней свободы в узлах, вида аппроксимаций. Меняя h и зафиксировав остальные параметры расчет- ной схемы Ω
h
, получим последовательность решений {u
h
} дискретной задачи
(2.1.20).
Один из основных вопросов любого численного метода, и МКЭ не ис- ключение, – точность приближения точного решения u

(x) задачи (1.3.7) по- следовательностью решений МКЭ {u
h
} при h
0.
Основными источниками ошибок в МКЭ являются
1
:
 математическая точность конечных элементов;
 аппроксимация геометрии, когда, например, в пологую оболочку вписы- вают многогранник;
 задание связей и нагрузок.
Очень важен выбор шага сетки. Теоретические исследования показывают только так называемый порядок сходимости результатов к аналитическим решениям при h
0. Практически рекомендуется рассчитывать несколько расчетных схем для задачи с уменьшением шага сетки в два раза для оценки реальной точности расчета. При этом возможна экспериментальная оценка скорости сходимости. Пусть есть некоторая ненулевая величина H, значение которой вычислено на сетках h, h/2 и h/4.Тогда порядок сходимости можно оценить по формуле:
1
Не рассматриваются ошибки в расчетной схеме, связанные с недостоверными жесткостными характеристиками, неправильным использованием конечных элемен- тов, некорректной подготовкой исходных данных и т.п.

Глава 2. Метод конечных элементов
35 2
2 2
4
/
/
/
(|
|)
h
h
h
h
H
H
log
H
H


МКЭ начал развиваться как метод расчета стержневых систем. При этом удавалось получать в простейших случаях точные значения перемещений уз- лов и усилий в элементах.
Теорема 2.4.1.
Пусть в расчетной схеме задействованы только одномерные конечные элементы (стержни), у которых системы аппроксимирующих функций (2.1.6) совпадают с точным решением соответствующих однородных уравнений равновесия
1
. Тогда МКЭ в форме метода перемещений позволяет получить точные значения перемещений и усилий в узлах расчетной схемы при выпол- нении статического расчета
2
Доказательство
Рассмотрим задачу минимизации функционала Лагранжа (1.4.11) Λ(u), положив u=u
h
+ũ, где u
h
– конечно-элементное решение, а ũ – решение на каж- дом конечном элементе краевой задачи (1.3.7) с жестким защемлением всех степеней свободы узлов (концов стержней). Тогда
(
)
( )
( )
h
h



 

u
u
u
u


, т.к
*
[ ( ), ( )]
h
h

x
x
u
u
Следовательно, если аппроксимации (2.2.1) представляют на каждом КЭ полное решение однородного уравнения равновесия, то функция u
h
доставля- ет минимум функционалу Лагранжа на множестве всех возможных аппрок- симаций и представляет точное значение перемещений в узлах расчетной схемы, т.к.
(
)
(
, (
)
)
k
k
h
h
L
L
k
 

u
u
u

.
МКЭ в форме метода перемещений позволяет получить точные значения перемещений и усилий в узлах расчетной схемы при статическом расчете не- которых стержневых систем и систем, состоящих из других специальных од- номерных конечных элементов
3
. Но уже двумерные задачи теории упругости имеют бесконечный базис в пространстве решений однородных уравнений равновесия, и поэтому МКЭ в общем случае не может обеспечить абсолют- ную точность их решения.
Говорят, что решение