Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
В.С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости Киев – 2022 УДК 519.6, 539.3, 624.04 ББК 22.251, 22.193 Рецензенты: Гордеев Вадим Николаевич, доктор технич. наук, профессор, первый заместитель председателя правления ОАО «УкрНИИпроектстальконструкция им. В.Н.Шимановского»; Лизунов Петр Петрович, доктор технич. наук, профессор, заведующий кафедрой «Строительная механика» Киевского национального университета строительства и архитектуры. Карпіловський В.С. Метод скінченних елементів і задачі теорії пружності. – Київ: «Софія А», 2022. – 275 с. У книзі подано опис методу скінченних елементів на прикладі задач теорії пружності. Наведено достатні умови збіжності методу як для сумісних, так і для несумісних елементів. На основі цих умов представлено методику побудови нових скінченних елементів апроксимацій. Описано як відомі скінченні елементи, так і побудовані автором. Подано різні тестові задачі, виконані на базі обчислювального комплексу SCAD21++. Karpilovskyi V.S. Finite Element Method and Problems of the Theory of Elasticity. – Kyiv: «Sofia А» Ltd, 2022. – 275 p. The book describes the finite element method using the example of variational prob- lems of the theory of elasticity. It provides sufficient conditions for the convergence of the method for both consistent and inconsistent elements. A technique for constructing new fi- nite element approximations is given based on these conditions. Both known finite elements and those created by the author are described here. The book considers various test problems solved in SCAD21 ++. Карпиловский В.С. Метод конечных элементов и задачи теории упругости. – Киев: «Софія А», 2022. – 275 с. В книге дано описание метода конечных элементов на примере вариационных задач теориии упругости. Приведены достаточны условия сходимости метода как для совместных, так и для несовместных элементов. На основе данных условий дана ме- тодика построения новых конечноэлементных аппроксимаций. Описаны как известные конечные элементы, так и построенные автором. Приведены различные тестовые задачи, выполненыe на базе вычислительного комплекса SCAD21++. ISBN 978-617-7031-87-0 © Карпиловский В.С., 2022 г. Обозначения 3 Список обозначений n R – n-мерное эвклидово пространство; 1 { } 2 n , ,..., T x x x x – координаты точки в n R ; {x, y, z} T – координаты точки в 3 R ; Z – множество целых чисел; 1 2 , ,..., n Z ; 1 2 n | | ; 1 2 n ; 1 2 1 2 n n x x x x ; 1 12 1 2 | | = n n x x x D – оператор дифференцирования; 1 1 0,...0 0,...0 , ( ) = { , , } s i i s i P x x α α – полином степени α по направлению i в s R ; n R – упругое тело в n-мерном пространстве; 1 2 { } , ,..., T s s u u u u R – вектор перемещений точки; 1 2 { } , ,..., s T s f f f f R – вектор объемных сил; 1 2 { } , ,.. ., T k k σ σ σ σ R – обобщенные напряжения; 1 2 { } , ,.. ., T k k ε R – обобщенные деформации; ε t – деформации от температурных воздействий; D – матрица упругости; A – оператор геометрии; A u – оператор кинематических краевых условий; A σ – оператор статических краевых условий; B – оператор равновесия; Γ – граница области ; Γ u – область заданных кинематических краевых условий; Γ σ – область заданных статических краевых условий; A – оператор краевой задачи; A G – нелинейный оператор геометрической жесткости; M – оператор массы системы; u – кинематические краевые условия; – статические краевые условия. 4 Обозначения Пространства: ( ) – Соболева; C m (Ω) – функций, непрерывных вместе с m производными; L A (Ω) – краевой задачи; L u (Ω) – кинематически допустимых функций; L u,0 (Ω) – геометрически возможных вариаций перемещений, удовлетворяю- щих однородным кинематическим краевым условиям; L σ (Ω) – статически допустимых напряжений; L σ,0 (Ω) – статически возможных вариаций напряжений, удовлетворяющих однородным статическим краевым условиям. Скалярные произведения: ( , ) ( ) ( ) T d u v u x v x ; [ , ] ( ( )) ( ) T d u v Au x DAv x ; , ( ) ( ) T d u v u x v x Γ Γ Нормы: 1 2 2 || || ( ) Ω ( , ) u u u L ; 1 2 || || Ω [ ] , u u u A ; || || m, – норма в пространстве Соболева 2 ( ) m W Функционалы: ( ) u E – работа внутренних сил; ( ) u – потенциал статических воздействий; ( ) u – функционал Лагранжа; ( ) – функционал Кастельяно; ( , ) R u – функционал Рейсснера; ( , ) u – смешанный функционал; ( , ) f u – работа внешних объемных сил; , u A u σ Γ – работа внешних поверхностных сил. Дискретная задача: Ω h – сетка конечных элементов; Ω r – конечный элемент; h – сетка узлов; L h – пространство сеточных функций; Обозначения 5 1 2 { , ,..., } T h h h h s P P P P – оператор проектирования на L h ; r P – оператор проектирования на L h ( Ω r ) функциями ; h – функционал Лагранжа на h ; (j) x i – степени свободы узла x i сетки ω h ; ( ) h j – степени свободы Ω h ; ( ) r j – степени свободы Ω r ; L k – оператор степени свободы k; ( ) Ω r r i i q q – вектор значений степеней свободы Ω r ; ( ) h i i q h q – вектор значений степеней свободы h ; K r – матрица жесткости (МЖ) конечного элемента; f r – приведенные узловые нагрузки на Ω r ; K h – матрица жесткости системы; F h – суммарный вектор приведенных узловых воздействий; A h – оператор дискретной задачи; h F – нагрузка дискретной задачи; * [ ( ), ( )] [ ( ), ( )] r h h h h u x v x u x v x r ; 2 * [ , ] h h h h u u u A ; , ( ( , ) ) r h h h h h u v u v r Сокращения в именах элементов: КЭ – конечные элементы; МКЭ – метод конечных элементов; BКЭ – библиотека конечных элементов; МЖ – матрица жесткости; SubAreas, SA – метод подобластей; PL – plate QRDF – Quasi-rotational degrees of freedom (КЭ с квазивращательными степе- нями свободы); DDF – Drilling degrees of freedom (КЭ с вращательными степенями свободы); JIDR –Joint interpolation of displacements and rotations (cовместная интерпо- ляция перемещений и углов поворота); DSG – Discrete Shear Gap; MITC – Mixed Interpolation of Tensorial Components; IC – Incompatible (несовместные); IP – Isoparametric (изопараметрические); 4R – прямоугольные; A – Axisymmetric (осесимметричные). 6 Глава 1. Задачи теории упругости Глава 1. Задачи теории упругости 1.1. Конструкция и ее расчетная схема Расчетный анализ любой конструкции начинается с попытки установить, что именно в рассматриваемом случае является существенным, а чем можно пренебречь. Такого рода упрощение задачи производится всегда, поскольку выполнение расчета с учетом всех свойств реальной конструкции возможно лишь с определенной степенью приближения. Расчетная схема сооружения представляет собой упрощенную схему реальной конструкции, отображающую только те параметры сооружения и действующие на неё нагрузки, которые имеют отношение к решению рас- сматриваемой задачи. При расчете строительных конструкций и их основа- ний, например, требования к расчетным схемам приведены в нормативных документах, где указано, что расчетные схемы должны отражать действи- тельные условия работы здания или сооружения и соответствовать рассмат- риваемой расчетной ситуации с учетом их конструктивных особенностей. Рис. 1.1-1. Расчетные схемы зданий Некоторые методы построения расчетных схем получили широкое рас- пространение и имеют общий характер (идеализация материала в виде сплошной среды; предположение об однородности материала; приведение геометрической формы тела к таким стандартным схемам, как стержни, пла- стины или оболочки; схематизация внешних сил и др.). Другие методы схе- матизации вполне конкретны и связываются с каждой рассматриваемой зада- чей. Однако во всех случаях выбор расчетной схемы является важнейшим элементом анализа, одной из наиболее характерных черт инженерного искус- Глава 1. Задачи теории упругости 7 ства и характеризует уровень профессионального мастерства расчетчика [66]. На рис 1.1-1 и 1.1-2 приведены примеры расчетных схем. Рис. 1.1-2. Расчетные схемы оболочки, мачты и стержневой конструкции Уже на ранних стадиях создания расчетной схемы следует принять реше- ние о том, будет ли расчет выполняться как линейный или как нелинейный, следует ли учитывать силы инерции и выполнять динамический расчет или можно ограничиться статическим анализом. Все эти особенности ожидае- мого поведения конструкции сказываются на выборе расчетной схемы, на- пример, при определении возможных степеней свободы или при схематиза- ции нагрузок, действующих на систему. Если для анализа расчетной схемы используется метод перемещений, то при идеализации конструкции расчетная схема представляется в виде набора тел стандартного типа (стержней, пластин, оболочек и т.д.), которые называ- ются конечными элементами (КЭ) и присоединенны к узлам расчетной схемы. Чем больше библиотека конечных элементов (БКЭ) современного вы- числительного комплекса, тем больше у расчетчика возможностей при моде- лировании конструкции. Узел в расчетной схеме метода перемещений представляется в виде абсо- лютно жесткого тела исчезающе малых размеров. Положение узла в про- странстве при деформациях системы определяется координатами центра и направлениями трех осей, жестко связанных с узлом. Иными словами, узел представляется как объект, обладающий для большинства задач шестью сте- пенями свободы – тремя линейными смещениями, определяемыми как разно- сти координат в деформированном и недеформированном состояниях, и тре- мя углами поворота. В некоторых случаях узлу расчетной схемы приписыва- ются дополнительные степени свободы, которые уже не отождествляются с компонентами линейных или угловых перемещений узла как бесконечно ма- лого жесткого тела в точке, совпадающей с центром узла. Это могут быть кручение деформированной поверхности плиты или компоненты деформаций поперечного сдвига и обжатия в слоистых кусочно-неоднородных пологих оболочках. Неизвестными метода перемещений являются значения степеней свобо- ды узлов расчетной схемы. Т.к. элементы системы считаются присоединен- 8 Глава 1. Задачи теории упругости ными только к ее узлам, то континуальная задача приводится к дискретной как система уравнений равновесия по степеням свободы узлов (их направле- ниям). В силу особенностей конструктивного решения на некоторые из узловых перемещений могут быть наложены ограничения (связи). Говорят, что на систему наложена моносвязь, если она запрещает одну из компонент узлово- го перемещения (например, перемещением по оси OX). Если же в силу нало- женной на систему связи равна нулю некоторая линейная комбинация ком- понент узловых перемещений, то говорят о полисвязи. Моносвязь и поли- связь, наложенные на компоненты узловых перемещений одного и того же узла, являются внешними. Полисвязи, где фигурируют компоненты переме- щений различных узлов, являются внутренними и чаще всего обусловлены наличием в системе (в ее расчетной схеме) абсолютно жестких элементов. Учет внешних связей достаточно просто можно провести на этапе формиро- вания разрешающих уравнений метода: исключением из числа основных не- известных для моносвязей и введением специальных систем координат узлов для полисвязей. Внутренние полисвязи, как правило, реализуются специаль- ными конечными элементами. Опасностью при создании расчетной схемы является пропуск связи – от- сутствие запрета на перемещение, приводящее к появлению геометрической изменяемости. Каждый конечный элемент можно рассматривать как отдельную подкон- струкцию. Возможен вариант, когда узлы конечного элемента и узлы расчет- ной схемы не совпадают. Узел элемента, например, геометрически может располагаться в некотором удалении от узла схемы, т.е. имеет место эксцен- триситет примыкания. В этом случае считается, что узел (концевое сечение) элемента соединен с узлом схемы бесконечно жесткой вставкой, и эта вставка является частью конечного элемента. Естественно, что при наличии упомяну- той бесконечно жесткой вставки перемещение концевого сечения элемента не равно перемещению узла схемы, а их углы поворота совпадают. Несовпадение перемещений (поворотов) узла и связанного с узлом схемы концевого сечения элемента может иметь место и в силу особенностей конст- рукции примыкания. Если считать, что элементы могут быть прикреплены своими узлами к центрам узлов схемы шестью связями, каждая из которых препятствует одному из шести возможных взаимных перемещений, то можно представить себе и отсутствие любой из этих шести связей. Отсутствие одной связи между угловыми перемещениями соответствует цилиндрическому шарниру, отсутствие трех связей для всех взаимных угловых перемещений – сферическому шарниру, отсутствие связи между линейными смещениями – «ползуну» и т.п. Для краткости в дальнейшем все такие случаи называются «шарнирами», хотя тут имеется и определенная неточность. Следует заметить, что возможность введения неполного совпадения пе- ремещений узла элемента и узла схемы, равно как и возможность эксцен- Глава 1. Задачи теории упругости 9 тричного примыкания, предусмотрена только для некоторых типов элемен- тов. а) б) в) Рис. 1.3-2. Варианты примыкания элементов Особое внимание необходимо обратить на стыковку разнотипных эле- ментов. На рис. 1.3-2 приведены различные варианты стыковки пространст- венного стержня и объемных элементов: шарнирное (рис. 1.3-2а), т.к. многие элементы для решения простран- ственной задачи теории упругости не учитывают углы поворота; заделка (рис. 1.3-2б), когда стержень заделан на соответствующую длину в тело; применение жесткого тела, изображенного в виде паука (рис. 1.3-2в). Совокупность нагрузок и воздействий, одновременно приложенных к системе и рассматриваемых совместно, называется ее |