Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
![]()
|
x x x x , 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 1 2 2 2 1 2 2 2 , , , , r r r r A A A B B x x x x , Глава 4. Плоская задача теории упругости 105 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 1 2 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , r r r r A A B B A x x x x , 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 4 1 2 2 2 2 2 1 2 , , , , r r r r B B A B A x x x x ; (4.4.23) восьмиузлового элемента с узлами в серединах сторон 1 : 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 4 1 3 4 2 3 2 4 1 2 1 1 2 1 1 2 ) ( ) , , , ( , r r r r A B A B B x x x x , 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 1 4 3 4 3 2 2 1 2 2 2 ( ) , , , ( ) , r r r r A B B A A x x x x , 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 3 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 , ( ) , ( ) , , r r r r A B B A A x x x x , 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 4 1 2 2 2 4 1 2 3 4 3 2 ( ) , ( ) , , , r r r r B A A B B x x x x , 2 2 1 2 2 5 1 2 2 1 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 4 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4 4 4 2 ( ) ( ) , ( ) , , ( ) , r r A A B A B B x x x 3 4 r r x , 1 Используя функции (4.4.24), несложно построить аппроксимации для произ- вольно расположенных на сторонах узлов. 106 Глава 4. Плоская задача теории упругости 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 6 1 1 2 4 2 4 2 4 2 4 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 2 4 4 2 4 2 4 2 4 4 2 ( ) , ( ) ( ) , ( ) , , r r r A A A B A A B B x x x x 4 r , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 1 1 2 2 4 2 4 2 4 2 1 2 4 2 4 2 1 2 4 2 4 2 4 2 2 1 2 4 2 4 2 1 2 4 2 4 , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , A A B B A B 1 2 3 4 r r r r x x x x , 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 8 1 1 2 2 4 2 4 2 4 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 4 2 4 4 2 4 4 2 4 2 4 ( ) , , ( ) , ( ) ( ) , r r r A A B A B B B B x x x 4 r x . (4.4.24) Аппроксимации с внутренними степенями свободы Существует пять кусочных полиномов второго порядка, которые непре- рывны и на границе области равны нулю: 1 2 1 2 1 3 1 3 4 1 1 1 1 , , , r r r r A A B B x x x x , , , , 1 4 4 2 3 1 5 2 3 4 1 1 0 1 1 0 ( ) , ( ) , , , ( ) , ( ) , , r r r r r r r r B A x x x x x x (4.4.25) При независимой аппроксимации u и v: 2 1 2 0 0 , i i i i ψ ψ , i=1,2,3,4,5. (4.4.26) Поставим в соответствие функциям (4.4.26) некие «внутренние» степени свободы, и добавим их как к аппроксимациям класса ,так и к аппрок- симациям класса С 1 ( r ). После конденсации дополнительных степеней сво- боды матрицы жесткости для обоих вариантов совпадут. Глава 4. Плоская задача теории упругости 107 4.4.9. Четырехугольники с двумя узлами на стороне Если на сторонах элемента находится по два промежуточных узла j и t, то положим в (2.12.9) [39]: 0 1,2,3,4, 5 ( ) , ( , ) , ( , ) ( , ) , ( ) ( , ) = r t t j j t t k j j j t t j r j j k r j , , k j N (4.4.27) Функции представляют собой на каждой из подобластей , k=1,2,3,4 уже полиномы третьей степени. Они непрерывны на r и удовлетворяют ус- ловиям МКЭ (2.1.7). Если принять в представлении (2.12.10), что функции λ i (ξ,η) являются то- же полиномами третьего порядка, то необходимо определить 24 коэффициен- та , j=1,2,3,4, k=1 6. Из условий непрерывности i в r следует 11 уравнений: 11 21 31 41 12 42 14 44 13 23 16 26 22 32 24 34 33 43 36 46 , , i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C , , , , , , (4.4.28) Потребуем выполнения следующих дополнительных условий: равенства для всех треугольников , k=1,2,3,4 в точке А величин: 2 2 2 2 2 , , , , i i i i i ; (4.4.29) выполнения дополнительных равенств: 1 4 2 3 1 2 3 4 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) , i i i i i i i i i i i i A B 3 1 2 3 1 4 1 3 0 3 0 1 0 3 0 3 0 , , , , , , , , ( ) ( ) , i i i i A B (4.4.30) где – величины (2.12.11). Данные условия обеспечивают единственность построения системы ап- проксимирующих функций и сохраняют симметрию в элементе при ее нали- чии. Учитывая (4.4.28), из (4.4.29) и (4.4.30), получаем систему 13-ти уравне- ний: 11 12 11 22 11 13 11 43 12 14 24 13 16 12 13 15 22 13 2 22 33 36 1 2 1 0 1 0 1 4 0 1 0 1 1 2 2 0 2 0 1 4 0 2 0 2 1 11 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C A B B A 5 22 33 35 12 33 45 2 11 3 4 11 11 , , , , , , , i i i i i i i i i i BC C C BC C C 108 Глава 4. Плоская задача теории упругости 24 25 45 36 24 36 14 15 1 6 5 16 14 1 3 6 21 41 1 2 1 1 1 2 21 41 3 0 0 3 3 3 1 1 2 2 6 6 2 2 2 2 2 2 0 6 6 2 0 , , , , , , , , ( ( ( ( ) ) , ) ) , i i i i i i i i i i i i i i i i i A C C C C C C C C A C C C C C A B A B B B 14 45 24 25 24 35 25 1 16 14 5 15 16 1 4 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , , , , , , , , i i i i i i i i i i i i i i i i i i C C C C C C C C C C C C B A B A A 35 45 36 36 3 4 1 2 1 2 2 2 2 2 , , , , i i i i i i BC C C C A B (4.4.31) Система уравнений (4.4.31) невырождена для выпуклых четырехугольни- ков: <0, <0. 4.4.10. Изопараметрические элементы Для произвольных четырехугольных элементов достаточно трудно по- строить полиномиальные аппроксимации. Данная задача еще усложняется, если стороны треугольного или четырехугольного элемента являются криво- линейными из-за наличия на них дополнительных узлов. В этих случаях час- то используются изопараметрические элементы. Запишем преобразование (2.10.1) области в Ω r в «правильный» много- угольник: 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) r r N x i i i N y i i i x x x x y y y y , (4.4.32) где , являются, как правило, соответствующими функциями формы «правильного» конечного элемента. Матрица Якоби J (2.10.3) преобразования (4.4.32) для произвольного че- тырехугольника уже не является константой. Рассматриваются выпуклые че- тырехугольники Ω r , для которых Якобиан J |J , | > 0 в любой точке эле- мента. Оператор геометрии А (4.1.16) представим в таком виде: 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 T J A J , , , (4.4.33) Представление (4.4.33) можно применить и при построении обычных ко- нечных элементов плоской задачи теории упругости для упрощения соответ- ствующих вычислений. Изопараметрический элемент с 6-ю узлами: изображен на рис. 4.4-9а. Преобразование (4.4.32) с помощью системы функций (4.4.8) приводит его к мастер-элементу, представленному на рис. 4.4-9б. Глава 4. Плоская задача теории упругости 109 а) б) Рис. 4.4-9. Изопараметрический 6-ти узловой элемент Изопараметрический элемент с 8-ю узлами: изображен на рис. 4.4-10а. Преобразование (4.4.32) с помощью системы функций (4.4.16) приводит его к мастер-элементу, представленному на рис. 4.4-10б. а) б) Рис. 4.4-10. Изопараметрический 8-ми узловой элемент Можно поместить узлы на ребрах мастер-элемента как посередине, так и пропорционально соотношению расстояний до узлов ребра. Но в этом случае будут использованы для преобразования (4.4.32) уже системы функций соот- ветственно (4.4.7) и (4.4.15). |