Главная страница
Навигация по странице:

  • совпадут

  • 4.4.10. Изопараметрические элементы

    		•

    Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости


    Скачать 5.35 Mb.
    НазваниеВ. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
    АнкорМетод конечных элементов и задачи теории упругости
    Дата22.06.2022
    Размер5.35 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаКарпиловский_FEM.pdf
    ТипДокументы
    #610414
    страница14 из 32
    1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   32
    x
    x
    x
    x
    ,
    2 2
    1 2
    2 2
    2 2 2 3
    2 2
    4 2
    1 2
    2 2
    1 2
    2 2
    ,
    ,
    ,
    ,
    r
    r
    r
    r
    A
    A
    A
    B
    B

     
    



    








     
     
     
     



     


    


    













    x
    x
    x
    x
    ,

    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    105 2
    2 1
    2 2 2
    2 2 2 2 2 3
    2 2
    3 1
    2 4
    1 2 1 2 1
    2 1 2 1 2
    ,
    ,
    ,
    ,
    r
    r
    r
    r
    A
    A
    B
    B
    A

      

     



     

     
     





     



    


    


    


    
    x
    x
    x
    x
    ,
    2 2
    1 2
    2 2
    2 2
    2 2
    4 3
    2 4
    1 2
    2 2
    2 2
    1 2
    ,
    ,
    ,
    ,
    r
    r
    r
    r
    B
    B
    A
    B
    A























    

    






    


    






    




    

    x
    x
    x
    x
    ;
    (4.4.23)
     восьмиузлового элемента с узлами в серединах сторон
    1
    :
    2 2
    1 2 2 2
    2 2 2 2 2 2
    2 1
    3 2
    4 1
    3 4 2
    3 2
    4 1 2 1
    1 2
    1 1 2
    )
    (
    )
    ,
    ,
    ,
    (
    ,
    r
    r
    r
    r
    A
    B
    A
    B
    B
     







     




     
     


    


    

     
    


     



     





    x
    x
    x
    x
    ,
    2 2
    1 2
    2 2
    2 2 2 3
    2 2 2 4
    2 1
    4 3 4 3 2
    2 1
    2 2
    2
    (
    )
    ,
    ,
    ,
    (
    )
    ,
    r
    r
    r
    r
    A
    B
    B
    A
    A


     
    



    




     


     
     

     

    


    


    
     


     






    
    
    x
    x
    x
    x
    ,
    2 2
    1 2 2 2
    2 2 2 2 2 3
    2 2 2 4
    3 1
    1 2 1 2 1
    2 1 2 3 4 1 2 3 4
    ,
    (
    )
    ,
    (
    )
    ,
    ,
    r
    r
    r
    r
    A
    B
    B
    A
    A



      

     



     



    
     

    
     

    


     
     

     



     



    x
    x
    x
    x
    ,
    2 2
    1 2
    2 2
    2 2
    2 2
    3 2
    2 4
    4 1
    2 2
    2 4
    1 2
    3 4 3 2
    (
    )
    ,
    (
    )
    ,
    ,
    ,
    r
    r
    r
    r
    B
    A
    A
    B
    B




















    

     


     
    

     










    





    
    x
    x
    x
    x
    ,
    2 2
    1 2
    2 5
    1 2
    2 1
    2 2
    2 2 2 4
    2 2 4
    2 2 4
    2 2
    4 4
    2 4
    4 2
    2 4
    4 2
    2 2
    2 4
    4 4
    2
    (
    )
    (
    )
    ,
    (
    )
    ,
    ,
    (
    )
    ,
    r
    r
    A
    A B
    A
    B
    B
    






    






    




    









    




    


















    

















    









    x
    x
    x
    3 4
    r
    r
    
    
    x
    ,
    1
    Используя функции (4.4.24), несложно построить аппроксимации для произ- вольно расположенных на сторонах узлов.

    106
    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    2 2
    1 2
    2 2
    2 2
    3 2
    2 6
    1 1 2
    4 2
    4 2
    4 2
    4 4
    4 2
    4 4 2 4
    4 2 4 2 4
    4 2 4
    2 4
    2 4
    4 2
    (
    )
    ,
    (
    )
    (
    )
    ,
    (
    )
    ,
    ,
    r
    r
    r
    A
    A
    A
    B
    A
    A
    B
    B












    




    




    





    

    









     
     








    




     
    















    x
    x
    x
    x
    4
    r
    
    ,
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    7 1 1 2
    2 4
    2 4
    2 4
    2 1 2 4
    2 4
    2 1 2 4
    2 4 2 4 2
    2 1 2 4
    2 4
    2 1 2 4
    2 4
    ,
    (
    )
    ,
    (
    )
    (
    )
    ,
    (
    )
    ,
    A
    A
    B
    B
    A B




     



     
     


     
    




    


     
     


















     







    1 2
    3 4
    r
    r
    r
    r

    
    




    
    x
    x
    x
    x
    ,
    2 2
    1 2
    2 2
    2 2
    3 2
    8 1 1 2
    2 4
    2 4
    2 4
    4 2 4
    2 4
    2 4
    2 4
    2 4
    4 2 4
    4 2 4
    4 2 4
    2 4
    (
    )
    ,
    ,
    (
    )
    ,
    (
    )
    (
    )
    ,
    r
    r
    r
    A
    A
    B
    A
    B
    B
    B
    B


    
     
    
    


    

    
    


    

     



    




     
     
     






     

     


    




    





    

     




    x
    x
    x
    4
    r
    
    x
    . (4.4.24)
    Аппроксимации с внутренними степенями свободы
    Существует пять кусочных полиномов второго порядка, которые непре- рывны и на границе области равны нулю:
    1 2
    1 2
    1 3
    1 3
    4 1
    1 1
    1
    ,
    ,
    ,
    r
    r
    r
    r
    A
    A
    B
    B






     
     





      
    
      
    







    

      
    

    x
    x
    x
    x
    ,
    ,
    ,
    ,
    1 4
    4 2
    3 1
    5 2
    3 4
    1 1
    0 1
    1 0
    (
    ) ,
    (
    ) ,
    ,
    ,
    (
    ) ,
    (
    ) ,
    ,
    r
    r
    r
    r
    r
    r
    r
    r
    B
    A



      

     
      
     
      
    


     
    


    


      
    




    


    


    x
    x
    x
    x
    x
    x


    (4.4.25)
    При независимой аппроксимации u и v:
       
    2 1 2
    0 0
    ,
    i
    i
    i
    i





    ψ
    ψ
    , i=1,2,3,4,5.
    (4.4.26)
    Поставим в соответствие функциям (4.4.26) некие «внутренние» степени свободы, и добавим их как к аппроксимациям класса
     ,так и к аппрок- симациям класса С
    1
    (

    r
    ).
    После конденсации дополнительных степеней сво- боды матрицы жесткости для обоих вариантов совпадут.

    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    107
    4.4.9. Четырехугольники с двумя узлами на стороне
    Если на сторонах элемента находится по два промежуточных узла j и t, то положим в (2.12.9) [39]:
    0 1,2,3,4, 5
    (
    )
    ,
    ( , ) , ( , ) ( , )
    ,
    (
    )
    ( , )
    =
    r
    t
    t
    j
    j
    t
    t
    k
    j j
    j t
    t j
    r
    j
    j
    k
    r
    j

       
       
     
         
     


    


     

    
     

    ,
    ,
    k
    j N
    (4.4.27)
    Функции представляют собой на каждой из подобластей
    , k=1,2,3,4 уже полиномы третьей степени. Они непрерывны на

    r и удовлетворяют ус- ловиям МКЭ (2.1.7).
    Если принять в представлении (2.12.10), что функции λ
    i
    (ξ,η) являются то- же полиномами третьего порядка, то необходимо определить 24 коэффициен- та
    , j=1,2,3,4, k=1
    6.
    Из условий непрерывности

    i
    в

    r
    следует 11 уравнений:
    11 21 31 41 12 42 14 44 13 23 16 26 22 32 24 34 33 43 36 46
    ,
    ,
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C











    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    (4.4.28)
    Потребуем выполнения следующих дополнительных условий:
     равенства для всех треугольников  , k=1,2,3,4 в точке А величин:
    2 2
    2 2
    2
    ,
    ,
    ,
    ,
    i
    i
    i
    i
    i







     









     


    ;
    (4.4.29)
     выполнения дополнительных равенств:
    1 4
    2 3
    1 2
    3 4
    2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1
    2 1
    4 1
    2 1 2 1 1
    1 2 1 2 0
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    (
    )
    (
    )
    ,
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    A
    B




















    3 1
    2 3
    1 4
    1 3 0 3 0 1
    0 3 0 3 0
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    (
    )
    (
    )
    ,
    i
    i
    i
    i
    A
    B








    (4.4.30) где

     – величины (2.12.11).
    Данные условия обеспечивают единственность построения системы ап- проксимирующих функций и сохраняют симметрию в элементе при ее нали- чии. Учитывая (4.4.28), из (4.4.29) и (4.4.30), получаем систему 13-ти уравне- ний:
    11 12 11 22 11 13 11 43 12 14 24 13 16 12 13 15 22 13 2
    22 33 36 1
    2 1 0 1 0 1
    4 0 1 0 1 1
    2 2 0 2 0 1
    4 0 2 0 2 1
    11 2
    2 2
    2 2
    2 2
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    A
    B
    B
    A

















     




     




     




     








    5 22 33 35 12 33 45 2
    11 3
    4 11 11
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    BC
    C
    C
    BC
    C
    C















    108
    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    24 25 45 36 24 36 14 15 1
    6 5
    16 14 1
    3 6
    21 41 1
    2 1 1
    1 2 21 41 3 0 0 3 3
    3 1
    1 2
    2 6
    6 2
    2 2
    2 2
    2 0
    6 6
    2 0
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    (
    (
    (
    (
    )
    )
    ,
    )
    )
    ,
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    A
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    A
    C
    C
    C
    C
    C
    A
    B
    A
    B
    B

























    B




    14 45 24 25 24 35 25 1
    16 14 5
    15 16 1
    4 2 1 2 1 2
    3 2 1 2 1 1
    2 1 2 1 2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    ,
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    C
    B
    A
    B
    A
    A











     




     




     


    35 45 36 36 3
    4 1 2 1 2 2
    2 2
    2
    ,
    ,
    ,
    ,
    i
    i
    i
    i
    i
    i
    BC
    C
    C
    C
    A
    B





     


    (4.4.31)
    Система уравнений (4.4.31) невырождена для выпуклых четырехугольни- ков:
    <0, <0.
    4.4.10.
    Изопараметрические элементы
    Для произвольных четырехугольных элементов достаточно трудно по- строить полиномиальные аппроксимации. Данная задача еще усложняется, если стороны треугольного или четырехугольного элемента являются криво- линейными из-за наличия на них дополнительных узлов. В этих случаях час- то используются изопараметрические элементы.
    Запишем преобразование (2.10.1) области в Ω
    r
    в «правильный» много- угольник:
    1 1
    1 1
    1 1
    ( , )
    (
    ) ( , )
    ( , )
    (
    ) ( , )
    r
    r
    N
    x
    i
    i
    i
    N
    y
    i
    i
    i
     
      
     
      


     
     


    

      
     


    
    x
    x
    x
    x
    y
    y
    y
    y
    ,
    (4.4.32) где
     
    ,

    являются, как правило, соответствующими функциями формы
    «правильного» конечного элемента.
    Матрица Якоби J (2.10.3) преобразования (4.4.32) для произвольного че- тырехугольника уже не является константой. Рассматриваются выпуклые че- тырехугольники Ω
    r
    , для которых Якобиан J
    |J

    ,

    | > 0 в любой точке эле- мента.
    Оператор геометрии А (4.1.16) представим в таком виде:


    1 1
    1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0
    0
    T
       


       
     
     

     







     



    J
    A
    J
    ,
    ,
    ,
    (4.4.33)
    Представление (4.4.33) можно применить и при построении обычных ко- нечных элементов плоской задачи теории упругости для упрощения соответ- ствующих вычислений.
    Изопараметрический элемент с 6-ю узлами: изображен на рис. 4.4-9а.
    Преобразование (4.4.32) с помощью системы функций (4.4.8) приводит его к мастер-элементу, представленному на рис. 4.4-9б.

    Глава 4. Плоская задача теории упругости
    109 а) б)
    Рис. 4.4-9.
    Изопараметрический 6-ти узловой элемент
    Изопараметрический элемент с 8-ю узлами: изображен на рис. 4.4-10а.
    Преобразование (4.4.32) с помощью системы функций (4.4.16) приводит его к мастер-элементу, представленному на рис. 4.4-10б. а) б)
    Рис. 4.4-10.
    Изопараметрический 8-ми узловой элемент
    Можно поместить узлы на ребрах мастер-элемента как посередине, так и пропорционально соотношению расстояний до узлов ребра. Но в этом случае будут использованы для преобразования (4.4.32) уже системы функций соот- ветственно (4.4.7) и (4.4.15).
    1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   32

    написать администратору сайта