Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 16 из 32

φ x
x
x
λ x
i3
i
i
i


(4.6.8)
Пусть построенная система функций (4.3.14) уже удовлетворяет критери- ям полноты и несовместности соответствующего порядка по построению и обеспечивает сходимость метода.
Для увеличения точности вычислений, возможно, будем добавлять к сис- теме функций (4.3.14) аппроксимации, соответствующие внутренним степе- ням свободы:


0,
1 2 1 2 3
=
( )
(
,
, ,...., ,
,
( )
,
)
,
ij
k
r
r
k
r
r
j



Ψ x
Ψ x
i
k
k
L
,
(4.6.9)
k
r
– число дополнительных внутренних степеней свободы элемента.
Все степени свободы в узлах элемента у них равны нулю. Для выполне- ния критерия несовместности для сходимости метода достаточно, чтобы они удовлетворяли уравнениям (4.6.2).
Если начальные приближения функций
x не удовлетворяют уравне- ниям (4.6.2), то производим их корректировку, используя функции

x из
(4.6.3).
Необходимо заметить, что при построении элементов предложенным ал- горитмом были использованы полиномы минимально возможной степени.
Однако, могут существовать и аппроксимации более низкого порядка для оп- ределенных форм области при меньшем числе узлов элемента.
Все рассмотренные в данном разделе системы аппроксимирующих функ-
ций обеспечивают сходимость метода и сохраняют симметрию расчетной
схемы в результатах расчета [117].
4.6.2. Треугольник с узлами в вершинах (DDF3IC)
Рассмотрим треугольник в местной системе координат, изображенный на рис 4.6-1. Заменой координат (4.4.3) он преобразуется к треугольнику, изо- браженному на рис. 4.4-1б.

116
Глава 4. Плоская задача теории упругости
Рис. 4.6-1.
Треугольный элемент
Систему аппроксимирующих функций (4.3.14) элемента будем искать в виде полиномов третьей степени
1
по области конечного элемента [117].
Уравнениям (4.6.2) удовлетворяют функции:
1 2
3 4
( )
( )
( ),
( )
( )
( )
( )
r
I
i
 




λ x
ζ x
ζ x
ζ x
ζ x
ζ x
ζ x
, i=1,2,3,
(4.6.10)
( )
i
ζ x
, i=1,2,3 – совместные аппроксимации (4.5.6);






1 2
1
(
1 1 2 1
2 1
(
) (
)(
)
)
(
)(
)
(
)
[(
) (
)(
)
c
a
   
  


 
    
   
  


   



 


 

 


   




ζ x
b
Функция
x удовлетворяет уравнениям (4.6.2). С ее помощью коррек- тируем по формуле (4.6.6) функции, соответствующие линейным степеням свободы. Получаем:
 
 
 
 
 
 
11 12 21 22 31 32 1
0 1
(
(
0 1
2 2
0 1
(
(
0 2
2 0
1 (
0 2
( )
),
( )
),
( )
),
( )
),
( )
),
( )
r
r
r
r
r
r
a b
ac
a
b
ac
a
c
 
 




 





 







φ x
ζ x
φ x
ζ x
φ x
ζ x
φ x
ζ x
φ x
ζ x
φ x
(4.6.11)
Полученные аппроксимации являются уже несовместными, потому что не обеспечивается равенство перемещений на сторонах элемента при его стыковке с другими элементами расчетной схемы, но удовлетворяют уравне- ниям критерия несовместности (4.6.2).
Система аппроксимирующих функций элемента обеспечивает сходимость метода. Выполнены:
 тождества критерия полноты (4.3.16) порядка m=1;
 критерия несовместности (4.6.2) порядка m=1.
При этом сохраняется симметрия расчетной схемы в результатах расче- тов.
Для увеличения точности расчетов воспользуемся в (4.6.7) совместными функциями (4.5.3) элемента с квазивращательными степенями свободы и не- совместной x . Получаем единственную возможную комбинацию, при ко-
1
Необходимо заметить, что на множестве полиномов второй степени невозмож- но выбрать такие функции

i в (4.6.3), чтобы система уравнений (4.6.2) всегда была невырожденной.

Глава 4. Плоская задача теории упругости
117 торой выполнены тождества критерия полноты (4.3.17) и несовместности
(4.6.2)
1
:
3 3
4
(
3
( )
( )
)
r
r


φ x
Φ x
ζ x
i
i
, ( )
r

i
(4.6.12)
x – функции (4.5.3).
Имеет смысл также добавить 5 внутренних степеней свободы, которые будут соответствовать следующим аппроксимациям, удовлетворяющим ус- ловиям (4.6.2) после их корректировки функциями (4.6.10):
   
3 3
1 4
5
,
1 2 3 0
1 0
,
,u
( )
( )
( )
( ))
,
, , ,
,
,
(
).
(
k
k
i v
i
i
i
r
Z
H
H



 















 

Ψ x
Z x
λ x L
x
Z
Ψ
Ψ
i
k
i
i
H
4.6.3. Шестиузловой треугольник (DDF6IC)
Рис. 4.6-2.
Шестиузловой треугольный элемент
Рассмотрим элемент с узлами на сторонах, изображенный на рис 4.6-2.
Заменой координат (4.4.3) он преобразуется к треугольнику, изображенному на рис. 4.4-2б.
Будем использовать полиномы четвертой степени [117].
Определим функции, соответствующие степеням свободы:
 углам поворота на сторонах:
 
 
 
43 13 53 63 23 2
1 1 1
(1
)(e(1
)+(
) )
2 1
1 0
(1
)(
1
)
2 1
(1
)(
1
)
(
)( (
) (
)
(
) )
,
(
)(
(
)
)
,
(
)
(
)(
)
(
)
r
r
r
b
ac
e g
g
e g
c
a d
d
g
g e d
c
dg
g d
g
e
e dg
g d e
a b
ac
ed d
e
c
a g
g ed dg e
g

 



 
 

 
 
 
  
 
 




 
  



  

 




 

φ
φ
φ
(4.6.13)
 перемещениям на сторонах:
1
Если воспользоваться функциями
 x , i=1,2,3, то возможны и другие варианты представления функций
 x . Но (4.6.12) показало самые лучшие результаты в тес- тах.

118
Глава 4. Плоская задача теории упругости
3 3
r
r
r
r
ij
ij
i
i
ij


φ
H
φ
H
L
, i=4,5,6, j=1,2,
(4.6.14)
 
 
3 1 3 2 2 2 2
2 2 2 1
2 3
2 2
2 2
2 2
0 1 2 3 0
1 1
1 1
1
,
,
,
,
, , ,
(
)
(
)
,
,
;
(
)
(
)
(
)
r
r
i
i
i
i
P
P
P
P
P
d
d
e
e
g
g
  

 
 




 
 






H
H
i=
 углам поворота в вершинах треугольника, аналогично (4.6.12):


3 6
3 3
4 1 4 3
),
( )
( )
(
j
r
r
r
i
i
j
i
i
i
j






φ
Φ
φ
Φ
Φ
χ x
ζ x
L
, i=1,2,3,
(4.6.15)




1 1
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
3 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
1 2
(
(
) )
,
,
(
(
))
(
(
) )
(
)
(
)
,
,
(
)
(
)(
(
)) (
)
(
)
(
)
(
)(
(
) )
(
) (
)
r
c
d
d
a
e
b
d
d
d
c
g
r
e
e
e
a
e
a b
g
c
g
c
d
r
a b
g
b

  
 

  

  



  
  




 
  




 
 



  

 







 

   


  

 









1 1
1 1
1 1
1
,
(
)(
(
) )
(
)
g
d
g
g
 
  

 

 

(4.6.16)
При этом
  0.
Совместные функции χ
i
(x) получены из условия, что на стороне ij каса- тельное перемещение u
τ
изменяется по квадратичному закону, а нормальное перемещение u
n
зависит от

по закону:
2 1
1 1
(
)
(
)(
)(
)
n
ij
j
i
u
a
a
a a
 


 

 



ij
ik jk
(4.6.17)
Формула (4.6.17) аналогична формуле (4.3.6) с учетом промежуточного узла x
k
на стороне ij.
 
 
 
1 1
2 2
3 3
0
( )
( )
( )
( )
c
c
b
H
b
H
b
H
a b
b
a






ζ x
x
x
x
,
(4.6.18)

1 2
3 0 5 1
0 5 2
1
(5 -2)
(3-5 )
0 5 2 1
(3 5 10 5 2 1 3 5 10
((
)
),
( , )
((
)
)(
),
. ,
( , )
(
)(‐
)( ‐
) (
‐ ) ),
( , )
(
)(
)(( ‐
) (
g
g
g
H
g
g
g
g
g
H
d d
d
d
H
e
e
e



 





 

 
 

 

 











 




 
 

5
‐ ) ).
e

(4.6.19)
Функции (4.6.19) удовлетворяют уравнениям (4.6.2), а коэффициенты b
j
,
i=1,2,3 в (4.6.18) находятся из уравнений
3 1
( )
i

ζ x
L
, i=1,2,3;
(4.6.20)
 перемещения в узлах элемента:
3 6
3 1
6 4
( )
( )
( )),
( )
( )
(
( )).
(
k
kj
r
r
r
r
ij
ij
k
ij
k
r
r
r
r
ij
ij
kj
ij
k



 

 
φ x
Φ x
φ
Φ x
Φ x
Ψ x
φ
Ψ x
L
L
(4.6.21)
i=1,2,3, j=1,2,
– линейные функции (4.4.5).

Глава 4. Плоская задача теории упругости
119
Построенная система функций удовлетворяет критерию полноты (4.3.17) и критерию несовместности (4.6.2) по построению. Т.е. обеспечена сходи- мость метода при сохранении симметрии расчетных схем.
Можно увеличить точность расчета, добавив как соответствующие внут- ренним степеням свободы, совместные функции:




3 2
6 4
, =1,2,
0 0
1
( )
( )
( )
( ))
,
,
,
,
(
).
(
k
i
i
i
T
T
i
k
r
i
H
H

 









Ψ x
Z x
φ
x L
Z x
Z
Z
k3
H
Критерий несовместности при этом не будет нарушен. Будет также со- хранена симметрия расчетной схемы.
4.6.4. Прямоугольник с узлами в вершинах (DDF4RIC)
Рассмотрим прямоугольник, изображенный на рис. 4.6-3. Положим x=a

,
y=b

.
Рис. 4.6-3.
Прямоугольный элемент
Построим совместные аппроксимирующие функции, соответствующие углам поворота, подставив в (4.3.8) функции (4.5.6) при
=–1 [117]:
13 23 33 43 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
(
) (
)
,
(
) (
)
(
)
,
(
)(
)
(
)(
)
,
(
)
(
)
(
)
r
r
r
r
b
a
b
a
b
a
b
a
 




  







 

 

 







 













 














 











 







φ
φ
φ
φ
(4.6.22)
Определим в (4.6.1) функции, удовлетворяющие уравнениям (4.6.2):
1 13 2
23 3
33 4
43
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
r
r
r
r
r
r
r
r








λ x
φ
H
λ x
φ
H
λ x
φ
H
λ x
φ
H
(4.6.23)
2 2
2 2
1 2 1
5 4
1 2 1
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
b
a
  
  
















H x

120
Глава 4. Плоская задача теории упругости
Выполним корректировку (4.6.6) билинейной системы функций
(4.4.13) прямоугольного элемента с двумя степенями свободы в узле:
11 11 1
3 2
12 12 1
1 1
2 2
(
),
(
),
r
r
r
r
r
r
r
r
b
a






φ
Φ
λ
λ
φ
Φ
λ
λ
21 21 2
4 2
22 22 1
1 1
2 2
(
),
(
),
r
r
r
r
r
r
r
r
b
a






φ
Φ
λ
λ
φ
Φ
λ
λ
31 31 1
3 4
32 32 3
1 1
2 2
(
),
(
),
r
r
r
r
r
r
r
r
b
a






φ
Φ
λ
λ
φ
Φ
λ
λ
41 41 2
4 4
42 42 3
1 1
2 2
(
),
(
).
r
r
r
r
r
r
r
r
b
a






φ
Φ
λ
λ
φ
Φ
λ
λ
(4.6.24)
Полученные аппроксимации удовлетворяют критериям полноты и несо- вместности порядка 1 и, соответственно, обеспечивают сходимость и сохра- няют симметрию расчетной схемы.
4.6.5. Прямоугольник с промежуточными узлами на сторонах
(DDF8IC)
Рассмотрим прямоугольник, изображенный на рис. 4.6-4.
Рис. 4.6-4.
8-ми узловой прямоугольный элемент
Преобразованием системы координат x=a

, y=b

получаем квадрат как на рис. 4.4-6б. Систему аппроксимирующих функций элемента будем искать в виде полиномов седьмой степени [117].
Функции, соответствующие вращательным степеням свободы на сторо- нах, зададим так:
53 2
2 63 73 2
2 83 2
1 2
1 0
1 1
1 1
0 0
2 1
1 1
1 1
0 2
1
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
) .
(
)
(
)
(
)
(
)
r
r
r
r
a
e
e
b
f
f
a
c
c
b
d
d

 


 


 


 


































 

 
 

