Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 17 из 32

φ
φ
φ
φ
,
,
,
(4.6.25)
Определим в (4.6.1), (4.6.3):
 функции , i=1,2,3,4:

Глава 4. Плоская задача теории упругости
121 3
8 3
5
k
r
r
r
i
i
k
i
k
  
λ
γ
φ
γ
L
, i=1,2,3,4,
(4.6.26)
2 2
1 1
1 1
1 1
1
(
) (
) (
/ )
(
) (
)(
/ )
b
e
a
f
 




















γ
,
2 2
2 1
1 1
1
(
) (
/ )
(
)
(
/ )
b
c
a
f




 














γ
,
2 3
2 1
1 1
1 1
(
)
(
)(
/ )
(
)
(
/ )
b
e
a
d
 



 













γ
,
2 4
2 1
1 1
1
(
)(
/ )
(
) (
/ )
b
c
a
d




 













γ
;
(4.6.27)
 функции
, i=1,2,3,4:
 
 
1 2
1 2
0 0
, )
,
,
(
(
)
,
r
r


 
 


μ
μ
 
 
3 4
1 2
0 0
, )
,
(
, )
(
r
r
 
 




μ
μ
,
(4.6.29)
3 2
1 2
3 2
1 1
, ) (
) (
) (
(
) )(
(c e)
),
, ) (
) (
) (
(
) )(
(c e)
).
(
(
f
f d
e
f
f d
e
  
 
 


 
  
 
 


 

 
   
 


 
   
 

=
=
Окончательно, после решения систем уравнений (4.6.2):
3
r
r
i
i

φ
λ
, i=1,2,3,4.
(4.6.30)
Функции
, i=1
8, j=1,2, соответствующие перемещениям узлов, полу- чим после корректировки (4.6.6) системы функций (4.4.15) соответствующего элемента с двумя степенями свободы в узле.
Построенная система аппроксимирующих функций элемента по построе- нию удовлетворяет критериям полноты (4.3.17) порядка 2 и несовместности порядка 1 и сохраняет симметрию расчетной схемы.
4.6.6. Четырехугольник (DDF4ISA)
Рассмотрим выпуклый четырехугольник на рис. 4.5-2. Преобразованием системы координат (2.12.7) получим четырехугольник как на рис. 4.4-8б. То- гда из (2.12.7):
11 21 12 22
,
,
r
r
r
r




















x
y
(4.6.31) и, следовательно,
11 21 12 22 1
1 2
2
(
)
(
)
z
v
u
r
v r
v r
u r
u























x
y
. (4.6.32)
Из (2.12.7) следует, что для выпуклого четырехугольника r
11
≠0 и r
21
≠0.

122
Глава 4. Плоская задача теории упругости
Систему аппроксимирующих функций (4.3.14) элемента будем искать в виде кусочных полиномов четвертой степени по области конечного элемента
[117].
Построим совместные аппроксимирующие функции
, i=1,2,3,4, под- ставив в (4.3.8) функции (4.5.16) при
=–1.
В (4.6.3)
,
 
 
 
 
4 1
1 2
3 2
1 2
0 0
0 0
( , )
( , )
,
,
,
( , )
( , )
H
H
H
H
 
 
 
 




μ
μ
μ
μ
(4.6.33)
1 2 2 2 2 2 2 4
1 2
2 3
1 2
2 2 2 2 3
4
( , )
( , )
,
( , )
( , )
r
r
r
r
r
r
r
r
H
H

 
 
 
  

 
 
 























,
,
,
,




Функции
, i=1,2,3,4, j=1,2, соответствующие перемещениям узлов, по- лучим после корректировки (4.6.6) системы функций (4.4.23) соответствую- щего элемента с двумя степенями свободы в узле.
Для построенных аппроксимаций выполнен критерий полноты (4.3.17), т.к. из свойств функций (4.5.16) следует, что (x)удовлетворяют уравнениям
(4.6.2) и




 
4 4
4 4 1
1 1 1 3
0 0
( )
( )
( )
( )
( )
k
i
i
i
k
i
i
i
i
i
k
b


 
 







 φ x
λ x
ζ x
λ x
μ x
Построенная система функций удовлетворяет критериям полноты и несо- вместности порядка 1 по построению, что обеспечивает сходимость метода.
При этом сохраняется симметрия расчетной схемы.
4.6.7. Восьмиузловой четырехугольник (DDF8ISA)
Рассмотрим выпуклый четырехугольник, изображенный на рис. 4.5-2, и выполним преобразование системы координат (2.12.7). Систему аппроксими- рующих функций (4.3.14) будем искать в виде кусочных полиномов непол- ной шестой степени по области конечного элемента [117].
Для узлов на сторонах:
4 3
4 1
2
x
( )
r
yi
i
i
i
i
n
f
n





 




x
φ
, i=5,6,7,8,
(4.6.34) где {n
xi
,n
yi
}
T
– нормаль к стороне, на которой находится узел i;
4 4
11 12 21 22 4
(
)
( )
(
)
)
( )
,
|
(
)
|















 




 



x
x
i
i
i
xi
yi
i
xi
yi
xi
yi
i
f
n
+ n
x
y
n r
n r
n r
+
+ n r
x
x

Глава 4. Плоская задача теории упругости
123 1
2 3
2 1
3 4
2 1
1 1 1
1 2 3 1
1 1 2 3
(
) ( ,
)
(
) (
(
) )
(
)
(
) (
(
)
)
r
r
r
r

 
 








 

  

 

 



  









x
x
x
x
A
p A, ,B ,
A
B ,
A
B
,
B
A
B ,
,
1 2
3 2
2 3
4 2
1 1
2 3 1
1 1 1
1 2 3
1
(
) (
(
) )
(
) (
,
)
(
) (
(
)
)
(
)
r
r
r
r


 


 






  
  
  

  














x
x
x
x
B ,
A
p A, ,B ,
A
B
B
A
B ,
,
,
1 2
3 3
2 3
4 2
1 1
1 2 3
1 1 1 1
1 2
3
(
)
(
) (
(
)
)
(
) (
)
(
) (
(
) )
r
r
r
r


 
 
 






  
 








  

 
 





x
x
x
x
,
A
A
,
A
B p A, ,B, ,
B
,
B
,
2 1
2 2
3 4
4 3
1 1 2 3 1
1 1
2 3
1 1
1
(
) (
(
)
)
(
)
(
) (
(
) )
(
) (
)
r
r
r
r
 
 
 








  
 

  







 







x
x
x
x
A
,
A
,
A
B
A
B
,
B p ,A,B,
,
,
(4.6.35)
2 2
4 1
3 3
3 2
2 3
3 6
3 2
( ,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
a b c d
a
b
c
d
b
a
ac
b
d
b
d
c





  
 








p
, ,
z
Определим в (4.6.3):
3 8
3 5
k
r
r
i
i
k
i
k
  
λ
H
φ L H

, i=1,2,3,4,
3
( )
( ) ( )
r
i
i
i
T

H x
ψ x
x
,
(4.6.36) где
(x) – совместные функции четырехугольного четырехузлового эле- мента, определенные с помощью (4.5.14) в (4.3.8) при

= –1;

, 
, 
, 
,
(
)(
) (
)(
)
( )
(
)(
) (
)(
)
i
j
i
i
j
i
ijk
k
i
j
i
k
i
j
i
P
   
   
   
   


 







x
,
3 8 1
5
(
( )
)
kj
r
i
i
kj
i
j
k
 
   
μ x
Z
φ L Z , i=1,2,3,4,

, 0 ,
 0,
, i=1,2,
1 1
3 3
3 3 3 3 2
2 3 3 3 3 3
3 3
3 2
4 4
1 1
1
,
,
,
,
( )
,
( )
,
,
,
,
r
r
r
r
r
r
r
r
H
H
A
A
A B
A B
B
B
 
 




























x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
. (4.6.37)
Решив системы уравнений (4.6.2) для определения коэффициентов b
ij в
(4.6.3), окончательно получаем:

124
Глава 4. Плоская задача теории упругости
3 8
1 3
3 1 2 3 4 1 2 1 8
( )
( ) (
( ) ,
, , , ,
, ,
( ),
,
( )
)
( )
i
r
ij
i
ij
i
r
ij
r
i
r
i
j






 

φ
L
Φ x
λ
x
x
Φ x
φ
λ x
x
i
i
(4.6.38) где
ij
– аппроксимации, построенные по (4.4.24) элемента без вращательных степеней свободы.
Построенная система аппроксимирующих функций элемента сохраняет симметрию расчетной схемы и по построению критериям полноты (4.3.17) порядка 2 и несовместности (4.6.2) порядка 1.
4.7. Совместные элементы (
DDFSA)
4.7.1. Треугольник с узлами в вершинах (DDF3SA)
Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 4.5-1, и выполним пре- образование системы координат (2.12.5) в треугольник, изображенный на рис. 2.12-2a.
Построим функции

(x), i=1,2,3, которые должны быть на каждой из по- добластей полиномами второго порядка, равны нулю на сторонах треуголь-
ника, непрерывны на
 и удовлетворять условиям:
3
( ( ))
r
j
i
j
i


x
λ
L
, i,j=1,2,3.
Получаем единственное решение [117]:
 
 
 
3 1
2 3
1 2
2 2
2 2
2 2
9 9
9
( )
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
r
r
r
c
c
c
a b
a b
b a








 


λ
λ
x
x
x
λ
x
x
x
(4.7.1)






1 1
2 2
3 3
1 1
1 2 1 2 1
2 1
2
,
,
,
,
,
,
r
r
r








 
 

 




  

 



 




 
 






x
x
x
Функции

i
, i=1,2,3 имеют разрывы

z
на границах
 (стороны элемента при стыковке, отрезки медиан), но

z
(

(x)) непрерывны в узлах элемента.
Функции, соответствующие вращательным степеням свободы, аналогич- но (4.6.12), зададим в следующем виде:


3 1 4 3
( )
( )
( )
r
i
i


φ x
χ x
ζ x
,
(4.7.2)
1 2
3
( )
( )
( )
( )
r
r
r



ζ x
λ x
λ x
λ x
, где

i
– функции (4.5.6) в системе координат (2.12.5).
Функции, соответствующие перемещениям, получим корректировкой
(4.6.11), подставив функцию x из (4.7.2) и линейные функции в системе координат элемента:
1 2
3 1
1 1
1 1 2 1
2 3
3 3
(
),
(
),
(
)

  
  



 




 
(4.7.3)

Глава 4. Плоская задача теории упругости
125
Можно увеличить точность расчета, добавив как соответствующие внут- ренним степеням свободы, равные нулю на сторонах функции:
 
 
2 1
2 2
1 2
2 3
1 0
1 2 0
1 2
(
) ,
( )
,
( )
,
( )
(
) ,
(
) ,
r
r
r
H
H
H
 
 


  









  


x
Ψ x
Ψ x
x
x
x
(4.7.4)
4.7.2. Треугольник шестиузловой (DDF6SA)
Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 4.6-2a, и выполним пре- образование системы координат (2.12.5) в треугольник, изображенный на рис. 2.12-2a. Построение будем делать на полиномах третьего порядка на ка- ждой из подобластей [117].
Функции, соответствующие вращательным степеням свободы в узлах, за- дадим следующим образом:
3 6
3 4
( )
( )
( )
( ))
(
k
r
r
r
k
i
i
i
r




φ x
λ x
φ
x L
λ x
k3
, i=1,2,3,
(4.7.5) где

(x) – функции (4.7.1), а
3
( )
i
r
φ x
, i=4,5,6 1
:
 


 
 


 
1 1
4 4
4 2
2 13 5 3
43 1
2 2
53 2
1 3
5 5
1 4c
0 3
4 3
1 2
0 1 2 0
(
)(
),
,
,
,
(
)(
),
,
,
,
r
r
r
r
r
r
r
r
H
H
ac
H
H
a
b
c


  


 
  
 
 


 


 










 








x
φ
x
x
φ
x
x
x


 
 
1 63 3
2 3
6 3
2 23 6 4
3 1
0
(
),
,
,
r
r
r
r
a b
ac
H
H
a
c

 
 


 


 





x
φ
x
x

(4.7.6)
Функции, соответствующие перемещениям, получим из переведенных в заданную систему координат аппроксимаций (4.4.7) или (4.4.8) элемента без вращательных степеней свободы, корректируя их по (4.6.6) с помощью функ- ций
, i=1,2,…,6.
Можно увеличить точность расчета, добавив как соответствующие внут- ренним степеням свободы функции:
 
 
2 1
2 2
4 5
2 3
1 0
1 2 0
1 2
(
) ,
( )
,
( )
,
( )
(
) ,
(
) ,
r
r
r
R
R
R
 
 


  









  


x
Ψ x
Ψ x
x
x
x
1
Можно применить функции (4.6.13), что приведет к повышению степени поли- нома до 4-й.

126
Глава 4. Плоская задача теории упругости
4.7.3. Четырехугольник с узлами в вершинах (DDF4SA)
Рассмотрим выпуклый четырехугольник, изображенный на рис. 4.4-8a, и выполним преобразование системы координат (2.12.7) в четырехугольник, изображенный на рис. 4.4-8б [117].
Построим функции

(x), i=1,2,3,4, которые должны быть на каждой из подобластей полиномами второго порядка, равны нулю на сторонах тре-
угольника, непрерывны на
 и удовлетворять условиям
 
 
 
 
 
 
 
 
11 21 1
2 12 22 11 22 12 21 2
3 1
11 2
1 3
12 2
4 2
4 2
2 2
2
,
,
,
r
r
r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
p
p
p r
r
p
p r





 


 

λ
x
x
x
x
λ
λ
λ
,
(4.7.7)
3 4
1 2
1 4
2 3
1 2
3 2
3 1
1 0
1 1
0 1
1 0
(
),
( )
(
),
,
(
),
( )
(
),
,
(
),
( )
(
),
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A
B
B
B
A
A
B








 




 











 







 



 













x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
,
,


1 4
1 2
3 4
4 1
1 0
,
(
),
( )
(
),
r
r
r
r
r
r
A

 












 











x
x
x
x
x
,


(4.7.8)
Как и у треугольного элемента, функции

(x), i=1,2,3,4 имеют разрывы

z на границах
 (стороны элемента при стыковке, отрезки диагоналей), но

z
(

(x)) непрерывна в его узлах.
Совместные функции, соответствующие вращательным степеням свобо- ды, сохраняющие тождества (4.3.17), зададим в следующем виде с учетом опыта построения треугольных элементов:
4 3
1 1 4
,
)
3
( )
(
( )
( , ) ( )
r
r
i
i
k
k



φ x
χ x
λ x
i k
k
(4.7.9) где χ
i
(x) – функции (4.5.12), i=1,2,3,4,

1 сторона
0 диагональ
,
( , )
,
k 
i
k
Функции, соответствующие перемещениям, получим из аппроксимаций
(4.4.23) элемента без вращательных степеней свободы, корректируя их по
(4.6.6) с помощью функций (4.7.7).

Глава 4. Плоская задача теории упругости
127
Построенная система функций совместна и удовлетворяет критерию пол- ноты порядка 1.
Можно увеличить точность расчета, добавив как соответствующие внут- ренним степеням свободы функции:
 
 
2 1
2 2
1 2
2 3
2 4
1 0
1 0
1 1
(
) ,
(
) ,
( )
,
( )
,
( )
(
) ,
(
) ,
r
r
r
r
A
A
B
B
 
 




  

  




 




  


x
x
Ψ x
Ψ x
x
x
x
H
H
H
. (4.7.10)
4.7.4. Восьмиузловой четырехугольник (DDF8SA)
Рассмотрим выпуклый четырехугольник, изображенный на рис. 4.4-8a, и выполним преобразование системы координат (2.12.7) в четырехугольник, изображенный на рис. 4.4-8б. Построение будем делать на полиномах третье- го порядка на каждой из подобластей [117].
Функции, соответствующие вращательным степеням свободы в узлах, за- дадим следующим образом:
3 3
3 8
3 5
5 6 7 8 1 2 3 4
( )
( ),
, , , ,
( )
( )
( )
( )
,
(
),
, , ,
k
r
r
r
r
i
r
i
i
i
i
k
r







φ x
ψ x
φ x
λ x
φ
x L λ x
k3
i
i
(4.7.11)
i3
(x)– функции (4.6.34),
i
(x)– функции (4.7.7).
Функции, соответствующие перемещениям, получим из аппроксимаций
(4.4.24) элемента без вращательных степеней свободы, корректируя их с по- мощью функций (4.7.11).
Можно увеличить точность расчета, добавив как соответствующие внут- ренним степеням свободы, функции (4.7.10).
4.8. Тесты
Все тесты для элементов с квазивращательными степенями свободы вы- полнены при значении

=0.001. В приведенных тестах не приведены значе- ния перемещений и напряжений для элементов с

=0 по гипотезе (4.3.6), т.к. они при заданном

по гипотезе (4.3.7) отличаются только в четвертой зна-
чащей цифре (да и то только на самой крупной сетке).
Для элементов задействованы все приведенные в статье аппроксимации, соответствующие «внутренним» степеням свободы элементов.
Заданные как равномерно-распределенная, трапециевидная и параболиче-
ская нагрузки к узловой приводились точно с учетом конденсации «внутрен- них» степеней свободы.
В таблице 4.8-1 приведены цифровые коды типов элементов, которые приняты в вычислительном комплексе
SCAD [15]. Данные коды используются при описании ре- зультатов числовых экспериментов.

128
Глава 4. Плоская задача теории упругости
Таблица 4.8-1. Типы элементов для решения плоской задачи
Степени свободы
Тип элемента
Число узлов
Описание
u, v
21 4 прямоугольный, разд.4.4.5 22 3 треугольный, разд.4.4.1.
25 3-6 1
треугольный, SA, разд.4.4.3.
30 4-8 четырехугольный, SA, разд.4.4.8.
u, v, w
23 4 прямоугольный, разд.4.4.5 24 3 треугольный, разд.4.4.1.
26 4-8 четырехугольный, IP, разд.4.4.10.
27 4-8 четырехугольный, SA, разд.4.4.8.
28 3-6 треугольный, IP, разд.4.4.10.
u, v,

z
121 4 прямоугольный, DDR4RIC, разд.4.6.4 122 3 треугольный, DDR3IC, разд.4.6.2.
125 3-6 треугольный, DDRCSE, разд.4.7.
129 4-8 четырехугольный, DDRICSE, разд.4.6 130 4-8 четырехугольный, DDRCSE, разд.4.7.
u, v,

z
526 4 четырехугольный, QRDF4IP, разд.4.5.2 527 4 четырехугольный, QRDF4SA, разд.4.5.3 528 3 треугольный, QRDF3, разд.4.5.1
Примечание. В элементах 23, 24, 26, 27, 28 степень свободы w введена для рабо- ты в трехмерном пространстве: соответствующие ей строки и столбцы матрицы же- сткости нулевые.
4.8.1. Патологические (patch) тесты
Прямоугольная пластина в условиях постоянных напряжений
Рис. 4.8-1. Пластина
Прямоугольная изотропная пластина 0.24x0.12m постоянной толщины, изображенная на рис. 4.8-1, подвергается воздействию смещений наружных кромок, обеспечивающих условия постоянных напряжений по всей области.
В работах [121, 127], где рассматривались последние три загружения дан- ного теста, было принято:
E = 1.0·10 6
кПа
– модуль упругости;
ν = 0.25
–
– коэффициент Пуассона;
 = 0.001 m
– толщина пластины.
1
Кроме узлов в вершинах допускается не более одного узла на стороне.

Глава 4. Плоская задача теории упругости
129
Рис. 4.8-2.
Расчетные схемы прямоугольной пластины
На рис. 4.8-2 приведены расчетные схемы для различных типов элемен- тов плоской задачи теории упругости.
Рассматривались две группы кинематических загружений, для которых известны теоретические значения, приведенные в табл. 4.8-2.
Первые три загружения являются проверкой смещения прямоугольника как твердого тела, когда напряжения по всей области пластины равны нулю:
 смещение как твердого тела по оси ОХ: u|

=1m, v|

=0;
 смещение как твердого тела по оси ОY: u|

=0, u|

=1m;
 поворот как твердого тела по оси ОZ: u |

=0.001y, v|

=–0.001x.
Таблица 4.8-2.
Теоретические значения напряжений в пластине
Загружение
Напряжения(
kПа)

x

y

xy
1-3 0
0 0
4 1066.(6)
266.(6)
0 5
266.(6)
1066.(6)
0 6
0 0
800
Для всех рассмотренных в данной главе элементов результаты расчета совпадают с теоретическими с точностью до вычислительной погрешности.
Следующие три загружения обеспечивают не равные нулю постоянные напряжения по всей области пластины:
 растяжение по оси OX: u |

=0.001x, v|

=0;
 растяжение по оси OY: u |

=0, u|

=0.001y;
 поворот как твердого тела по оси ОZ: u |

=0.001y, u|

=0.001x.
Т.к. для всех элементов выполнены тождества критерия полноты (4.3.16) и, возможно, (4.3.17), то данные тесты являются критерием корректности программного кода.

130
Глава 4. Плоская задача теории упругости
4.8.2. Температурные деформации
Рассмотрим прямоугольную пластинку, изображенную на рис. 4.8-1. За- дадим следующие связи: u|
x=0
=0 и v|
y=0
=0, которые не препятствуют темпера- турному расширению.
1
Коэффициент температурного линейного расширения материала пла- стинки α=1e-5 К
-1
(°C
-1
). Если нагрев выполнен до температуры t=100ºC, то перемещения точек пластинки равны: u= αtx, v= αty, т.к. краевые условия не препятствуют деформации тела, и, соответственно, нормальные и касатель- ные напряжения равны нулю.
4.8.3. Узкая прямоугольная пластина
Пластина прямоугольного поперечного сечения, изображенная на рис. 4.8-3, находится под воздействием на торцах трапециевидной нагрузки
P=
2kEy, E=100 кПа, ν=0, h=1m, a=10 m, b=1 m. Коэффициент k=0.06 обеспе- чивает единичные моменты на концах пластины, если рассматривать ее как стержень.
Рис.4.8-3.
Узкая пластина
Расчетные схемы, представленные на рис. 4.8-4, возьмем из [128], где рассматривалась данная задача. В табл. 4.8.2 приведены вычисленные верти- кальные перемещения в точке А(0,5), напряжения

x
в точке B(0,–5) и углы поворота
в точке Е(1.6(6),0).
Задача имеет аналитическое решение, известное из курса теории упруго- сти:
2 2
2 2
1 4
,
a
u
k
v
k
b
b



 







xy
y
x
(4.8.1)
Рис.
4.8-4
.
Расчетные схемы 1x6 для узкой прямоугольной пластины
1
Краевые условия достаточно задать только в вершинах прямоугольника.

Глава 4. Плоская задача теории упругости
131

132
Глава 4. Плоская задача теории упругости

Глава 4. Плоская задача теории упругости
133
При заданных параметрах:
v
A
=–1.5m,

x,B
=6kПа,

E
=0.4rad.
Если рассматривать данную пластину как стержень, то, задав на его кон- цах пару моментов M
y
=2kEh
2
/12, получим те же вертикальные прогибы и уг- лы поворота по теории стержней.
Для изучения работы с моментными нагрузками рассматривались стати- чески эквивалентные для трапециевидной нагрузки два загружения:
 в узлах C и D задается момент 1kHm;
 на торцах пластины заданы равномерно-распределенные моменты
2
y
bk
h
EJ
M  
, где
3 12
y
bh
J 
– момент инерции сечения пластины.
Интегрируя по стороне пластины, получаем, что суммарный момент на торцах пластины равен
1kHm.
Приведенные узловые моменты вычисляем по формуле (4.3.12).
В табл. 4.8.4 приведены вычисленные вертикальные перемещения в точке
А, напряжения

x
в точке B и углы поворота

в точке Е для элементов с вра- щательными степенями свободы только для загружения двумя узловыми мо- ментами, т.к. для второго загружения результаты практически идентичны.
Численные эксперименты показали некорректность результатов для эле- ментов с квазивращательными степенями свободы. Поэтому для них не при- ведены результаты вычислений.
4.8.4. Пластинка с прямым изгибом
Рассматривается пластинка, изображенная на рис. 4.8-5.
Рис. 4.8-5.
Консольная пластина
Материал пластинки изотропный. Заданы только изображенные на ри- сунке связи – закрепление перемещений в двух узлах. Пластинка находится под действием следующих нагрузок:
 на стороне x=a : f
y
=-6rу(a-y);
 на стороне x=0 1
: f
x
= 6ra(h-2y); f
y
= 6r у(h -y);
r – коэффициент пропорциональности к нагрузке.
Данная задача имеет аналитическое решение, которому соответствует функция напряжений Эри
2 3
3 2
(
)(
)
r b
a



Φ
y
y x
1
Во всех работах, где исследовалась данная задача, нагрузка на стороне
x=0 не рассматривалась. Это является приближением уже при наличии третьей степени сво- боды даже в случае отсутствия дополнительных узлов на левой стороне консоли.

134
Глава 4. Плоская задача теории упругости
Рис. 4.8-6
. Расчетные схемы для решения задачи о пластинке с прямым изгибом
Следуя [98], зададим:
Е=3e7kH/m
2
– модуль упругости материала;
=0.25 – коэффициент Пуассона;
а=48m, h =12m – размеры пластинки;
r = f/h
3
/E, f=40kH.
Таблица
4.8-5. Перемещения и напряжения в пластинке
Тип сетки
Тип элемента
Степени свободы
Перемещения w
A
(
m)
Напряжения

B
(
kПa)
Сетка
Сетка
1x4 2x8 4x16 8x32 1x4 2x8 4x16 8x32
A
21,26
u,v
-0.2424 -0.3171 -0.3423 -0.3502 43.636 56.507 59.274 60.063 30
-0.2864 -0.334 -0.3477 -0.3517 46.054 55.154 58.33 59.371 121
u,v,

-0.3541 -0.3583 -0.3586 -0.3572 64.969 61.874 61.028 60.509 129
-0.3480 -0.3556 -0.3572 -0.3564 63.811 61.823 60.990 60.500 130
-0.2742 -0.3264 -0.3451 -0.3510 43.205 54.035 57.923 59.226 526
u,v,

-0.3283 -0.3456 -0.3511 -0.3527 59.988 60.998 60.746 60.438 527
-0.3283 -0.3458 -0.3512 -0.3527 59.988 60.980 60.746 60.437
B
30
u,v
-0.2495 -0.3231 -0.3444 -0.3508 40.761 52.726 57.415 59.03 26
-0.2098 -0.3002 -0.3364 -0.3484 37.96 53.159 58.329 59.785 129
u,v,

-0.3227 -0.3487 -0.3544 -0.3553 61.805 62.292 61.366 60.725 130
-0.2614 -0.3216 -0.3434 -0.3504 39.607 52.825 57.497 59.064 526
u,v,

-0.3342 -0.3465 -0.3513 -0.3527 61.512 61.304 60.945 60.501 527
-0.3271 -0.3462 -0.3513 -0.3528 59.743 61.140 60.934 60.501
C
22, 25
u,v
-0.0956 -0.1967 -0.2848 -0.3301 4.8989 24.707 43.936 53.216 122
u,v,

-0.2673 -0.3236 -0.3440 -0.3505 44.407 52.306 57.177 59.052 125
-0.2141 -0.2902 -0.3297 -0.3457 35.949 48.270 55.999 58.521 528
u,v,

-0.2471 -0.3179 -0.3427 -0.3503 36.867 50.599 56.499 58.611
D
21,26
u,v
-0.3531
-0.3533 60.006 59.997 60 30
-0.3536 -0.354
-0.3533 59.974 60 129
u,v,

-0.3567 -0.3522 -0.3521 -0.3525 64.896 61.840 60.458 60.128 130
-0.3540 -0.3534 -0.3533 -0.3533 60.004 60
E
26
u,v
-0.353 -0.3534
-0.3533 58.529 59.704 59.933 59.984 30
-0.3521
-0.3533 58.521 59.726 59.967 59.996 129
u,v,

-0.3585 -0.3529 -0.3522 -0.3525 63.849 61.159 60.288 60.092 130
-0.3533 59.328 59.804 59.960 59.991
F
25
u,v
-0.3493 -0.3528
-0.3533 62.145 60.461 60.091 60.019 122
u,v,

-0.3398 -0.3488 -0.3519 -0.3529 41.195 52.981 57.554 58.844 125
-0.3470 -0.3523 -0.3532 -0.3533 62.438 60.555 60.090 60.017

Глава 4. Плоская задача теории упругости
135
Будем исследовать получаемые значения вертикального перемещения w в точке А(48,6) и напряжение

x
в точке B(12,12). Аналитические решения данной задачи: w
A
= -0.353(3)m,

х,B
=60 kПа.
Рассмотрим расчетные схемы, представленные на рис. 4.10-5. За основу взяты разбиения работы [112]. Приведение нагрузки к узловой выполнялось
точно.
В таблице 4.8-5 приведены результаты вычислений.
4.8.5. Задача Cook
Рассматривается клин, изображенный на рис. 4.8-7, по левому краю кото- рого задано защемление. На правом краю действует равномерно- распределенная нагрузка интенсивностью P.
Следуя [112], примем: E = 1Па, ν = 0.3(3), h = 1m, P = 0.0625 H/m, u|
x=0
=0,
v|
x=0
=0.
Для данной задачи не известно аналитическое решение. Устойчивое чис- ленное решение с точностью до 6-ти значащих цифр, полученное различны- ми типами конечных элементов при сгущении сетки до 1024х1024 (3149825 узлов, 2 20
элементов)
1
: вертикальное перемещение w
A
=–23.9677 m, главные напряжения

1,B
=0.203525 Па
и

3,C
=–0.23687 Па.
Рис. 4.8-7.
Клин и его расчетные схемы
В таблице 4.8-6 приведены результаты вычислений.
1
В некоторых работах принимается ν=0.3. В этом случае значения незначительно отличаются: w
A
=–23.9119
m,

1,B
=0.20353
Па
и

3,C
=–0.23692
Па

136
Глава 4. Плоская задача теории упругости

Глава 4. Плоская задача теории упругости
137
4.8.6. Изгиб неограниченного клина сосредоточенным момен‐
том, приложенным к его вершине (задача Инглиса)
Рис. 4.8-8
. Задача Инглиса
Рассмотрим область
R
 24
m
,
=22.5 и зададим краевые условия, по- казанные на рис.
4.8-8(
b). По принципу Сен-Венана данные ограничения не окажут существенного влияния на результат, т.к будем рассматривать точки A(4,-22°) и B(4,0°).
Зададим: E = 3.0·10 7
кПа,
 = 0.2, h=1 m, M=–1кНm.
Рис. 4.8-9.
Фрагменты расчетных схем клина с четырехугольными элементами

138
Глава 4. Плоская задача теории упругости
В расчетных схемах на рис. 4.8-9 радиусы положения точек: 0.5, 0.625, 1,
1.75, 2.5, 3.25, 4, 4.75, 5.5, 6.5, 7.75, 9.25, 11,13, 15.5, 18, 21, 24.
Данная задача имеет аналитическое решение:
2 2
2 2
2 2
2 0
2 2
2 2
2 2
(






cos(
) cos(
) )
sin(
)
,
,
(
cos(
) sin(
) )
(
cos(
) sin(
) )
r
r
M
M
r
r














, где r,

– полярные координаты точки.
Т.е.:


,A
= 0.582474 кПа,

r

,B
= 0.120634 кПа.
Таблица
4.8-7. Напряжения в задаче Инглиса
Тип сетки
Элемент
Напряжения

r,A
(
Па)
Напряжения

r
,B
(
Па)
Сетка
Сетка
A
A2
A4
A8
A
A2
A4
A8
A
129 0.6108 0.5909 0.5851 0.5834 0.0914 0.1172 0.1216 0.1218 130 0.5759 0.5781 0.5801 0.5812 0.1216 0.1208 0.1208 0.1207
B
122 0.6578 0.6108 0.5940 0.5875 0.1135 0.1121 0.1164 0.1185 125 0.5541 0.5761 0.5811 0.5822 0.1043 0.1217 0.1232 0.1224
C
129 0.5637 0.5784 0.5816 0.5823 0.1522 0.1263 0.1220 0.1210 130 0.5737 0.5809 0.5821 0.5824 0.1414 0.1259 0.1219 0.1210
D
122 0.6066 0.5892 0.5843 0.5830 0.1283 0.1244 0.1230 0.1220 125 0.5418 0.5706 0.5791 0.5816 0.1220 0.1213 0.1209 0.1207
Рассматриваются напряжения в точках А и B, которые находятся на рас- стоянии 4м от вершины. В соответствии с принципом Сен-Венана ограничим размеры клина радиусом R=24м и зададим связи только в трех точках, как изображено на рисунке.
В табл. 4.8-7 приведены результаты расчетов только для элементов со степенями свободы

z,
т.к. для элементов с квазивращательными степенями свободы они некорректны.
4.8.7. Изгиб прямоугольной балки‐стенки, жестко подвешен‐
ной по боковым сторонам, под действием равномерно
распределенной нагрузки, расположенной на верхней
стороне
Рассмотрим жестко подвешенную на сторонах х=0 и х=а прямоугольную балку-стенку (рис. 4.8.10), нагруженную по верхнему краю равномерно рас- пределенной нагрузкой. Данная задача имеет аналитическое решение в рядах, приведенное в [31]. В работе [20] были получены численные значения при следующих данных:
E = 2.65·10 6
Па
– модуль упругости;
ν = 0.15
– коэффициент Пуассона; h = 0.1 m
– толщина балки-стенки;
a = 1.6 m
– длина пролета балки-стенки;
b = 1.6 m
– высота балки-стенки; p = 500.0 Н/m
– равномерно распределенная нагрузка.

Глава 4. Плоская задача теории упругости
139
Расчет выполнялся на половине балки-стенки с учетом оси симметрии CD при заднии краевых условий: w|
x=0
= и|
x=1.2
=
/

|
x=1.2
=0.
Таблица
4.8-8. Перемещения и напряжения в пластинке
Тип сетки
Тип элемента
Степени свободы
Перемещения w
A
(
m)
Напряжения

B
(
kПа)
Сетка
Сетка
2x2 4x4 8x8 16x16 2x2 4x4 8x8 16x16
A
21,26
u,v
-3.3028 -3.5671 -3.7144 -3.7511 0.8936 1.5729 1.9136 2.0717 30
-3.3897 -3.5877 -3.7202 -3.7526 0.9526 1.6114 1.9329 2.0811 121
u,v,

-3.5971 -3.6802 -3.7410 -3.7577 2.0216 2.0975 2.1564 2.1875 129
-3.5344 -3.6762 -3.7395 -3.7573 1.8855 2.0341 2.1258 2.1725 130
-3.3881 -3.6433 -3.7312 -3.7554 1.9479 2.0749 2.1505 2.1858 526
u,v,

-3.4643 -3.6726 -3.7415 -3.7580 1.9846 2.1234 2.1739 2.1966 527
-3.4603 -3.6686 -3.7414 -3.7580 1.8881 2.0835 2.1546 2.1870
B
22
u,v
-2.8562 -3.4602 -3.7167 -3.7641 0.7733 1.3595 1.7864 2.009 122
u,v,

-3.3494 -3.6562 -3.7377 -3.7582 2.1242 2.1274 2.1736 2.1967 125
-3.0276 -3.5946 -3.7042 -3.7468 1.9472 2.0158 2.1133 2.1674 528
u,v,

-3.2005 -3.6080 -3.7249 -3.7547 1.8805 2.0160 2.1214 2.1715
C
26
u,v
-2.8845 -3.5181 -3.6976 -3.7463 0.6828 1.1605 1.6065 1.8599 30
-2.8677 -3.5156 -3.6913 -3.7445 0.6686 1.1269 1.533 1.7995 129
u,v,

-3.1957 -3.6065 -3.7582 -3.7745 1.6774 1.6550 1.8636 2.0106 130
-2.8401 -3.4950 -3.6285 -3.7053 1.8166 2.0413 2.1162 2.1461 526
u,v,

-3.1204 -3.6785 -3.7518 -3.7627 1.4033 1.9437 2.0779 2.1411 527
-3.1483 -3.6716 -3.7507 -3.7626 1.5706 1.9523 2.0554 2.1257
D
22,25
u,v
-2.6571 -3.2203 -3.53 -3.682 0.5303 0.8634 1.2578 1.6429 122
u,v,

-3.2120 -3.5619 -3.7015 -3.7492 2.0067 2.0686 2.1351 2.1736 125
-2.7636 -3.1829 -3.3407 -3.4860 1.8346 1.8803 1.9712 2.0734 528
u,v,

-3.0684 -3.5233 -3.6936 -3.7464 1.7172 1.9280 2.0795 2.1497
E
21,26
u,v
-3.7429 -3.7546 -3.7632 -3.7636 1.9522 2.0872 2.1526 2.1852 30
-3.7384 -3.7648 -3.7637 -3.7636 1.8594 2.047 2.133 2.1755 129
u,v,

-3.8112 -3.7866 -3.7752 -3.7677 1.9724 2.1122 2.1663 2.1923 130
-3.7435 -3.7543 -3.7630 -3.7635 1.8486 2.0507 2.1359 2.1770
F
25
u,v
-3.8502 -3.7775 -3.765 -3.7637 1.6852 1.9824 2.1025 2.1605 122
u,v,

-3.8582 -3.7694 -3.7593 -3.7621 1.7710 2.0022 2.1109 2.1648 125
-3.4784 -3.7437 -3.7620 -3.7634 1.6815 1.9797 2.1015 2.1600
G
26
u,v
-3.6423 -3.7707 -3.7666 -3.764 1.3464 1.8638 2.0421 2.1274 30
-3.559 -3.7714 -3.767 -3.7641 1.2797 1.8531 2.0376 2.1238 129
u,v,

-3.8661 -3.8615 -3.8079 -3.7799 1.6800 1.9761 2.0908 2.1497 130
-3.5164 -3.7586 -3.7651 -3.7639 1.3827 1.8735 2.0504 2.1316
H
25
u,v
-3.659 -3.7625 -3.7654 -3.7639 1.3322 1.819 2.0351 2.1295 122
u,v,

-3.6114 -3.7890 -3.8003 -3.7818 1.7490 1.9895 2.1021 2.1594 125
-3.4959 -3.7713 -3.7742 -3.7665 1.4127 1.8596 2.0539 2.1392

140
Глава 4. Плоская задача теории упругости
Рис. 4.8-10.
Балка-стенка и расчетные схемы
Расчетные схемы приведены на рис.
4.8-10
. Причем схемы С и D являют- ся повторением схемы патологических тестов [121,127]. Результаты расчетов приведены в табл. 4.8-8.
4.8.8. Анализ результатов
Все описанные в данной главе конечные элементы используют или поли- номиальные аппроксимации поля перемещений по всему телу, или являются изопараметрическими. При этом по построению всегда выполнены условия критерия полноты (2.5.7) порядка p≥1 для всех рассмотренных элементов, а для несовместных элементов – критерии несовместности порядка 1.
Все рассмотренные элементы обеспечивают, как минимум, первый поря- док сходимости по напряжениям, а по перемещениям – второй. Для совмест- ных элементов с промежуточными узлами на сторонах, которые все удовле- творяют критерию полноты порядка p=2, скорости сходимости увеличивают- ся.
Проведенные численные эксперименты подтвердили теоретические осно- вы построения конечных элементов:
 все элементы со степенями свободы
θ
и
ω
z показывают значительно лучшие результаты по сравнению с аналогичными элементами с дву- мя степенями свободы узла;
 элементы с квазивращательными степенями свободы инесовместные элементы с
ω
z показывают приблизительно одинаковые результаты по перемещениям и напряжениям;
 по углам поворота элементы с квазивращательными степенями сво- боды могут давать некорректные результаты;

Глава 4. Плоская задача теории упругости
141
 совместные элементы с ω
z
без дополнительных узлов на сторонах по- казывают незначительно худшие результаты по сравнению аналогич- ными элементами с квазивращательными степенями свободы инесо- вместными с
ω
z
;
 все элементы со степенями свободы 
z позволяют рассчитывать кон- струкции с нагрузкой в виде как сосредоточенных, так и равномерно- распределенных моментов.

142
Глава 5. Стержни