Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
Оглавление Список обозначений ..................................................................................................... 3 Глава 1. Задачи теории упругости ............................................................................... 6 1.1. Конструкция и ее расчетная схема ........................................................... 6 1.2. Гипотезы ................................................................................................... 10 1.3. Основные задачи ...................................................................................... 14 1.4. Вариационные задачи .............................................................................. 20 Глава 2. Метод конечных элементов ......................................................................... 25 2.1. Конечные элементы метода перемещений ............................................ 25 2.2. О связи с проекционно-сеточными методами ....................................... 31 2.3. Гибридная схема МКЭ............................................................................. 32 2.4. О погрешности решения .......................................................................... 34 2.5. Критерий полноты. .................................................................................. 37 2.6. Устойчивость дискретной задачи ........................................................... 41 2.7. Критерий несовместности ....................................................................... 42 2.8. Оценки скорости сходимости метода .................................................... 44 2.9. Внутренние степени свободы конечных элементов ............................. 47 2.10. О системах координат ............................................................................. 49 2.11. Построение систем аппроксимирующих функций ............................... 52 2.12. Метод подобластей (SubAreas, SA) ......................................................... 54 Глава 3. Трехмерная задача теории упругости ......................................................... 59 3.1. Основные уравнения ................................................................................ 59 3.2. Степени свободы трехмерных конечных элементов ............................ 68 3.3. Конечные элементы с полиномиальными аппроксимациями .............. 69 3.3.1. Тетраэдр с узлами в вершинах ........................................................... 70 3.3.2. 10-ти узловой тетраэдр ........................................................................ 70 3.3.3. Прямой параллелипипед с узлами в вершинах ................................. 71 3.3.4. Прямой 20-ти узловой параллелипипед ............................................ 72 3.3.5. Прямая треугольная призма с узлами в вершинах ........................... 73 3.3.6. Прямая треугольная 15-ти узловая призма ....................................... 73 3.4. Изопараметрические конечные элементы ............................................. 74 3.5. О точности элементов .............................................................................. 77 3.6. Тесты ......................................................................................................... 78 3.6.1. Патологические (patch) тесты ............................................................. 79 3.6.2. Расчет толстой прямоугольной плиты ............................................... 81 3.6.3. Расчет толстой круглой плиты ........................................................... 82 3.6.4. Задача Лява. .......................................................................................... 83 3.6.5. Задача Бусинеска о действии на упругое полупространство нормальной силы ....................................................................................................... 85 Глава 4. Плоская задача теории упругости ............................................................... 86 4.1. Плоское напряженное состояние ............................................................ 86 4.2. Плоская деформация ................................................................................ 91 4.3. Степени свободы и аппроксимации ....................................................... 92 4.4. Элементы с двумя степенями свободы узла .......................................... 96 4.4.1. Треугольник с узлами в вершинах ..................................................... 96 4.4.2. Шестиузловой треугольник ................................................................ 97 4.4.3. Треугольные элементы (SA) ................................................................ 98 4.4.4. Треугольники серендипового типа .................................................... 99 4.4.5. Прямоугольник с узлами в вершинах .............................................. 100 4.4.6. Восьмиузловой прямоугольник ........................................................ 100 4.4.7. Прямоугольные элементы серендипового типа .............................. 101 4.4.8. Четырехугольные элементы (SA) ..................................................... 102 4.4.9. Четырехугольники с двумя узлами на стороне ............................... 107 4.4.10. Изопараметрические элементы ........................................................ 108 4.5. Элементы с квазивращательными степенями свободы (QRDF) ........ 109 4.5.1. Трехузловой элемент (QRDF3) ........................................................ 109 4.5.2. Четырехузловой изопараметрический элемент (QRDF4IP) ......... 111 4.5.3. Четырехузловой элемент (QRDF4SA) ............................................. 112 4.6. Несовместные элементы (DDFIC) ........................................................ 114 4.6.1. Алгоритм построения несовместных элементов ............................ 114 4.6.2. Треугольник с узлами в вершинах (DDF3IC) ................................. 115 4.6.3. Шестиузловой треугольник (DDF6IC) ............................................ 117 4.6.4. Прямоугольник с узлами в вершинах (DDF4RIC) .......................... 119 4.6.5. Прямоугольник с промежуточными узлами на сторонах (DDF8IC) .. ............................................................................................................. 120 4.6.6. Четырехугольник (DDF4ISA) ........................................................... 121 4.6.7. Восьмиузловой четырехугольник (DDF8ISA) ................................. 122 4.7. Совместные элементы (DDFSA) ........................................................... 124 4.7.1. Треугольник с узлами в вершинах (DDF3SA) ................................. 124 4.7.2. Треугольник шестиузловой (DDF6SA) ............................................ 125 4.7.3. Четырехугольник с узлами в вершинах (DDF4SA) ......................... 126 4.7.4. Восьмиузловой четырехугольник (DDF8SA) .................................. 127 4.8. Тесты ....................................................................................................... 127 4.8.1. Патологические (patch) тесты ........................................................... 128 4.8.2. Температурные деформации ............................................................ 130 4.8.3. Узкая прямоугольная пластина ........................................................ 130 4.8.4. Пластинка с прямым изгибом ........................................................... 133 4.8.5. Задача Cook ........................................................................................ 135 4.8.6. Изгиб неограниченного клина сосредоточенным моментом, приложенным к его вершине (задача Инглиса) .................................................... 137 4.8.7. Изгиб прямоугольной балки-стенки, жестко подвешенной по боковым сторонам, под действием равномерно распределенной нагрузки, расположенной на верхней стороне. ...................................................................... 138 4.8.8. Анализ результатов ........................................................................... 140 Глава 5. Стержни ....................................................................................................... 142 5.1. Гипотезы ................................................................................................. 142 5.2. Сжато-растянутый стержень. ................................................................ 143 5.3. Балка Бернулли ...................................................................................... 144 5.3.1. Уравнения ........................................................................................... 144 5.3.2. Учет сдвиговых деформаций ............................................................ 146 5.3.3. Преднапряжение и сдвиг .................................................................. 147 Оглавление 273 5.3.4. Степени свободы и аппроксимирующие функции ......................... 148 5.4. Балка Тимошенко ................................................................................... 151 5.5. Кручение ................................................................................................. 155 5.6. Пространственный стержень ................................................................ 156 5.7. Тесты ....................................................................................................... 157 Глава 6. Тонкие плиты (теория Кирхгоффа-Лява) ................................................. 159 6.1. Теория изгиба тонких пластин Кирхгоффа-Лява ................................ 159 6.2. Степени свободы и аппроксимации ..................................................... 164 6.3. Прямоугольные конечные элементы .................................................... 166 6.3.1. Элемент Богнера-Фокса-Шмидта ..................................................... 166 6.3.2. Элемент Клафа ................................................................................... 168 6.3.3. Полусовместный элемент ................................................................. 168 6.4. Несовместный треугольный элемент с 9-ю степенями свободы ....... 169 6.5. Совместные треугольные элементы ..................................................... 172 6.5.1. Трехузловой элемет Клафа-Точера с 9-ю степенями свободы (PLSA3) ............................................................................................................. 172 6.5.2. Элемент Клафа-Точера c 12–ю степенями свободы ....................... 175 6.5.3. Еще один метод построения системы аппроксимирующих функций Клафа-Точера. .......................................................................................................... 176 6.5.4. Шестиузловой треугольный элемент с 18-ю степенями свободы (PLSA6) ............................................................................................................. 176 6.5.5. Трехузловой элемент Купера с 18-ю степенями свободы ............. 180 6.6. Совместные четырехугольные элементы (SA) .................................... 182 6.6.1. Элемент c 12-ю степенями свободы (PLSA4) .................................. 182 6.6.2. Элемент c 16-ю степенями свободы ................................................ 186 6.6.3. Элемент с 24-мя степенями свободы (PLSA8) ................................ 186 6.7. Тесты ....................................................................................................... 192 6.7.1. Патологические (patch) тесты ........................................................... 192 6.7.2. Прямоугольная свободно опертая по периметру пластина под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки .................. 194 6.7.3. Напряженно-деформированное состояние защемленной шестиугольной пластины под равномерно распределенной нагрузкой ............. 196 Глава 7. Изгиб плит средней толщины (теория Рейсснера-Миндлина) .............. 198 7.1. Теория изгиба плит средней толщины ................................................. 198 7.2. Степени свободы и аппроксимации ..................................................... 202 7.3. Треугольники DSG3 ............................................................................... 204 7.3.1. Элемент DSG3 .................................................................................... 204 7.3.2. Элемент DSG3М ................................................................................ 206 7.4. Изопараметрический четырехугольник с узлами в вершинах (MITС4) .. ................................................................................................................. 207 7.5. Совместная интерполяция перемещений и углов поворота (Joint interpolation of displacements and rotations , JIDR) ..................................................... 209 7.5.1. Критерии полноты и несовместности для элементов теории Рейсснера-Миндлина .............................................................................................. 209 7.5.2. Системы аппроксимирующих функций .......................................... 212 7.6. Треугольные элементы метода JIDR .................................................... 215 7.6.1. Треугольник с узлами в вершинах (JIDR3) ..................................... 215 7.6.2. Шестиузловой треугольник (JIDR6) ................................................ 217 7.6.3. Изопараметрический шестиузловой треугольник (JIDR6IP) ........ 217 7.7. Прямоугольные элементы JIDR ............................................................ 217 7.7.1. Четырехузловой элемент (JIDR4RIC) .............................................. 217 7.7.2. Восьмиузловой прямоугольный элемент (JIDR8RIC) .................... 219 7.8. Четырехугольные элементы JIDR ........................................................ 219 7.8.1. Изопараметрический четырехузловой элемент (JIDR4I) ............... 219 7.8.2. Изопараметрический восьмиузловой элемент (JIDR8I) ................. 220 7.8.3. Четырехузловой элемент (JIDRSA) .................................................. 220 7.8.4. Восьмиузловой элемент (JIDR8SA) .................................................. 220 7.9. Тесты ....................................................................................................... 220 7.9.1. Патологические (patch) тесты ........................................................... 221 7.9.2. Прямоугольная свободно опертая по периметру пластина под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки .................. 221 7.9.3. Напряженно-деформированное состояние защемленной шестиугольной пластины под равномерно распределенной нагрузкой ............. 223 Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости ............................................ 224 8.1. Тела вращения ........................................................................................ 224 8.2. Степени свободы и аппроксимации ..................................................... 226 8.3. Элементы с квазивращательными степенями свободы ...................... 227 8.3.1. Трехузловой элемент (QRDF3A) ..................................................... 227 8.3.2. Четырехузловой изопараметрический элемент (QRDF3AIP) ....... 228 8.3.3. Четырехузловой элемент с кусочно-полиномиальной аппроксимацией (QRDF4ASA) ................................................................................ 230 8.4. Элементы с вращательными степенями свободы (DDF) ................... 231 8.4.1. Треугольник с узлами в вершинах (DDF3A) ................................... 231 8.4.2. Шестиузловой треугольник (DDF6ASA) ......................................... 231 8.4.3. Четырехугольник с узлами в вершинах (DDF4ASA) ...................... 232 8.4.4. Восьмиузловой четырехугольник (DDF8ASA) ................................ 233 8.5. Тесты ....................................................................................................... 234 8.5.1. Патологические (patch) тесты ........................................................... 234 8.5.2. Задача Ляме о замкнутой сферической оболочке, нагруженной изнутри и извне равномерно распределенными давлениями .............................. 235 8.5.3. Задача Бусинеска о действии на упругое полупространство нормальной силы ..................................................................................................... 237 8.5.4. Tолстая круглая в плане плита, жестко защемленная по боковой поверхности, под действием равномерно распределенной по верхнему основанию нагрузки ................................................................................................ 239 Глава 9. Оболочки ............................................................................................ 242 9.1. Типы оболочек ....................................................................................... 242 9.2. Степени свободы и аппроксимации ..................................................... 243 9.3. Тесты ....................................................................................................... 244 9.3.1. Патологические (patch) тесты .......................................................... 247 9.3.2. Цилиндрический резервуар под. действием внутреннего давления жидкости ............................................................................................................. 247 9.3.3. Пространственная Z-образная пластинчатая конструкция ............ 249 Приложение. Численное интегрирование ............................................................... 253 П.1. Квадратурные и кубатурные формулы ................................................ 253 П.2. Квадратурные формулы ........................................................................ 253 Оглавление 275 П.3. Кубатурные формулы на плоскости ..................................................... 254 П.3.1. Прямоугольник ................................................................................... 254 П.3.2. Трехугольник ....................................................................................... 256 П.4. Кубатурные формулы в трехмерном пространстве ............................ 259 П.4.1. Параллелепипед ................................................................................ 259 П.4.2. Тетраэдр ............................................................................................ 260 П.4.3. Треугольная призма ........................................................................... 262 Литература ............................................................................................................. 264 Оглавление ................................................................................................................. 271 Наукове видання Віктор Семенович Карпіловський ORCID : 0000-0002-9437-0373 ScadGroup Ltd. 03037, Україна, м.Київ, вул. Освіти, б. 3А, оф. 2 тел: +38 044 249 71 91(3) : kvs@scadsoft.com http ://www.scadsoft.com Метод скінченних елементів і задачі теорії пружності. – Київ: «Софія А», 2022. – 275 с. Формат 70х100/16. Ум. друк. арк. 20.3 Видавництво "Софія-А" 04053, Україна, м. Київ, вул. Обсерваторна, б. 12Б тел.: +38 044 272 28 52, +38 044 272 29 31 факс: +38 044 272 28 77 E-mail: sofiya_a@ukr.net |