Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
J J xz yz (7.4.10) Из (7.4.10) получаем функции (7.4.2): 11 12 13 1 1 1 11 12 13 21 22 23 1 1 21 22 23 1 0 1 1 1 1 1 2 2 1 0 2 ( ) , , , ( ) , , xz xz xz yz yz yz xz xz xz yz yz yz a c b e J J J J J 1 31 32 33 1 1 1 31 32 33 41 42 1 41 42 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 ( ) , ( ) ( ) ( ) , , , ( ) ( ) , xz xz xz yz yz yz xz xz yz yz a d a c e d b c b J J J J J 43 1 1 43 1 2 2 ( ) ( ) , ( ) xz yz c e d b e d a J J . (7.4.11) 7.5. Совместная интерполяция перемещений и углов поворота (Joint interpolation of displacements and ro‐ tations, JIDR) 7.5.1. Критерии полноты и несовместности для элементов теории Рейсснера‐Миндлина Рассмотрим невязку для аппроксимаций JIDR: 1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i y i i i i w A w x x x x φ x φ x φ x x x,i y,i , (7.5.1) где: 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 A – матричный оператор, преобразующий функции из пространства 5 ( ) R в 3 ( ) R Из уравнений равновесия (7.1.13): 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 w w w w w y x x x y x y y x y y x y x y 210 Глава 7. Изгиб плит средней толщины 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 w w w w w y y x y x x y x y x x x y x y (7.5.2) Следовательно: 1 1 ( ) ( ) ( ) y w w w w w w x x x x y x y x (7.5.3) Разложив в (7.5.1) значения перемещений относительно центра коорди- нат, получим: 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w w w w w w w w w w w w w w w w w w x x x x x x x x x x x x x x x x x x ζ x x y xx xy yy y xy yy xxy xyy yyy x xx xy xxx xxy xyy x y x xy y + x + y x xy y x y x xy y 2 2 0 1 2 2 0 2 2 2 0 3 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) r r r i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i w w w w w w w w w w w w w w w w w w x x x φ φ φ A A A x y xx xy yy y xy yy xxy xyy yyy x xx xy xxx xxy xyy x y x x y y x y x x y y x y x x y y (7.5.4) Получаем тождества критерия полноты (2.5.7): порядка p=1: 1 1 1 1 3 1 1 2 1 0 0 0 1 1 0 , , , ( ) , , , ( ) , , ; r r r T i i T i i i i T i i i i A φ A φ φ A φ φ x x y y (7.5.5) порядка p=2: 2 2 1 1 3 2 2 1 1 2 1 1 2 3 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 ( ) , , , ( ) , , , ( ) , , ; r r r T i i i i i T i i i i i T i i i i i i i i A φ φ A φ φ A φ φ φ x x x x y y y y x y x y xy x y (7.5.6) Глава 7. Изгиб плит средней толщины 211 порядка p=3: 3 2 3 2 1 1 3 2 2 2 2 1 1 2 3 2 2 2 2 1 1 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 0 6 2 6 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 6 ( ) , , , ( ) , ( ) , r r r T i i i i i T i i i i i i i i i T i i i i i i i i i i i A φ φ A φ φ φ A φ φ φ A φ x x x x x y x x y x y, x , xy x y x y y xy , xy, y y 2 3 2 1 2 1 1 1 1 1 0 2 6 2 ( ) , , r T i i i φ y y y (7.5.7) Тождества критерия полноты (7.5.5) и (7.5.6) совпадают с соответствую- щими тождествами элементов тонкой плиты Кирхгофа-Лява (6.2.9). Совпа- дают и тождества порядка p=3 (7.5.7) с (6.2.10), если 1 1 N j ij i , j=2,3. (7.5.8) Тождества критерия полноты порядка p=1 являются уравнениями смеще- ния конечного элемента как твердого тела. Выполнение тождеств критерия полноты порядка p 1 по теореме 2.5.1 в случае совместных аппроксимаций достаточно для сходимости метода при расчете плит средней толщины. Но невыполнение тождеств критерия полноты порядка p=2 приводит к так называемому эффекту запирания, ко- гда при расчете тонких пластин метод сходится не к аналитическому реше- нию. При этом невозможно реализовать тесты о постоянных моментах. Для всех построенных элементов допускается несовместность только для функций , j=4,5 в (7.2.7). Т.к. в функционал при построении матрицы жесткости конечного элемен- та входят выражения: 4 1 2 5 1 3 , k ij ij k ij ij y x , (7.5.9) то критерий несовместности (2.7.3) минимального порядка сводится к про- верке равенств: 0 к j k d , j=4,5, k 4. (7.5.10) Равенства (7.5.10) получаем в силу того, что функции (7.2.7) соответст- вуют внутренним степеням свободы и не влияют на выполнение тождеств критерия полноты соответствующей совместной системы функций в услови- ях теоремы (2.7.1). При выполнении тождеств критерия полноты (7.5.5) и (7.5.6) порядка р=2 и равенств критерия несовместности (7.5.10) будет обеспечена сходимость метода. 212 Глава 7. Изгиб плит средней толщины 7.5.2. Системы аппроксимирующих функций В (7.2.6) зададим: 1 2 3 1 2 3 i i i i ; 2 3 3 2 4 5 1 1 2 3 0 0 1 2 3 , , , , i i i i ij ij j ; 1 1 2 3 , i i – не равны нулю; (7.5.11) – классические аппроксимации элементов плоской задачи теории упру- гости. Для изопараметрических элементов и классических элементов плоской задачи теории упругости выполнены тождества критерия полноты порядка р=1: 1 ( ) ( ) ( ) , , r r r i i i i i i i i x x y y (7.5.12) Из тождества, соответствующего xy в (7.5.6) с учетом (7.5.12): 1 1 2 3 ( ) ( ),( ) ( ) r r i i i i i i i i j i j j i i x y + x y x y (7.5.13) Для сохранении симметрии в расчетных схемах, заданим [118]: 1 2 1 3 1 1 2 2 1 1 2 2 , r r i i j j i i i j i i j j i i i j y y y y x x x x . (7.5.14) При представлении (7.5.14) выполнены все тождества (7.5.5) и (7.5.6), т.к. согласно (7.5.12): 1 2 1 3 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 r r r r r r r r r r i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y y y y y , x x x x x (7.5.15) Данный алгоритм уже обеспечивает сходимость метода без эффекта за- пирания, что подтверждается проведенными численными экспериментами. Для элементов с 3-мя и 4-мя узлами не могут быть выполнены тождества критерия полноты порядка р=3. Для повышения точности элементов постро- им функции (7.2.7), воспользовавшись невязками тождеств критерия полноты (7.5.7) порядка р=3: 3 2 3 2 1 1 1 3 2 2 2 2 2 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 0 6 2 6 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 , , ( ) , ( ) , r r T i i i i i T i i i i i i i i i ζ A φ φ ζ A φ φ φ x x x x x y, x , xy x y x x y Глава 7. Изгиб плит средней толщины 213 2 2 2 2 3 1 1 2 3 3 2 3 2 4 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 6 2 6 2 ( ) , , , ( ) r r T i i i i i i i i i T i i i i i ζ A φ φ φ ζ A φ φ xy , xy, y x y x y y y y y y . (7.5.16) Отличные от нуля функции (7.5.16) имеют, как правило, разрывы на сто- ронах элемента. Сформируем из невязок (7.5.16) вектора: 1 3 1 2 k k k k k ω x y , k= 1,2,3,4. (7.5.17) Компоненты функций (7.2.7) зададим следующим образом: 1 2 4 5 , , k k k k k k a b k= 1,2,3,4. (7.5.18) Константы a k , b k в (7.5.18) находим из уравнений критерия несовместно- сти (7.5.10). Дополним систему аппроксимирующих функций (7.2.7) отличными от нуля и линейно-независимыми функциями (7.5.18), соотнеся их с некоторыми внутренними степенями свободы. При этом, фактически, будет обеспечено условие постоянства перерезывающих сил для соответствующих тестов. Вместо того, чтобы вводить внутренние степени свободы, можно «раз- бросать» функции (7.2.7) по аппроксимациям элемента, задавая в (7.2.4) m k m ij ij k k c , i= 1 N, j=1,2,3, m=4,5, (7.5.19) где – коэффициенты, для определения которых придется решать системы уравнений, основанные на тождествах критерия полноты. Пусть используются высокоточные элементы, для которых выполнены для аппроксимаций i тождества критерия полноты порядка р=2: 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , , r r r i i i i i i i i i i x x x y xy y y . (7.5.20) Для сохранения симметрии в расчетных схемах положим, используя пер- вое и последнее тождества (7.5.7) [118]: 1 2 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 , r r i i j j i i i j i i j j i i i j y y y y x x x x . (7.5.21) Но тогда: 214 Глава 7. Изгиб плит средней толщины 1 2 1 2 2 1 2 3 1 3 1 1 0 3 3 1 1 0 3 3 1 1 0 3 3 r r r r r r r r r r r r i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x y y y x x y , y y y y y y y , x x x x x x x x y , y 1 1 0 3 3 r r r r i i i i i i i i i i y x x y x x y . (7.5.22) Следовательно, будут выполнены тождества (7.5.6) критерия полноты второго порядка. Проверим выполнение двух оставшихся тождеств (7.5.7), чтобы убедить- ся в выполнении критерия полноты 3-го порядка: 2 1 2 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 6 3 2 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) r r r r i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x y x x y x y x y y + x y x x x y x y y + x y x x x y , x y + x y y 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 3 2 3 1 1 1 1 2 3 6 2 ( ) r r i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x y x y y y + y x x x y x y y y + y x x xy (7.5.23) Для построения аппроксимаций (7.2.4) в методе JIDR можно использо- вать аппроксимирующие функции конечных элементов теории тонких пла- стин Кирхгофа-Лява 1 Пусть в (7.2.6): 1 2 3 2 3 3 2 4 5 1 1 2 3 0 , , , ij ij ij ij i ij ij i i i i i=1 N, j=1,2,3, (7.5.24) где ij – система аппроксимирующих функций элемента тонкой пластины Кирхгофа-Лява, соответствующая степеням (7.2.2). Как правило, они удовлетворяют тождествам критерия полноты второго порядка, если не 1 Численные эксперименты не дали, правда, увеличения точности расчетов при значительном усложнении построения соответствующих аппроксимаций. Глава 7. Изгиб плит средней толщины 215 третьего. При этом для совместности уже достаточно, чтобы они принад- лежали пространству Соболева , а не ; i – система аппроксимирующих функций элемента плоской задачи тео- рии упругости. По невязкам (7.5.16) строим функции (7.5.17). Вычисляем константы в (7.5.18) из уравнений (7.5.10). Анализируем построенную систему функций (10) и дополняем систему аппроксимирующих функций (7.2.4) отличными от нуля и линейно-независимыми функциями, соотнеся их с некоторыми внутренними степенями свободы. Ошибкой будет задать функции, соответствующие углам поворота, че- рез производные ij : 2 3 , j j ij ij i i y x i=1 N, j=1,2,3. (7.5.25) Зависимость аппроксимаций функций углов поворота от вертикальных перемещений приводит к существенному сужению искомого пространства для решения вариационной задачи. Так, например, при расчете шарнирно опертой пластины получим нулевые перерезывающие силы при хорошей схо- димости по перемещениям и моментам. 7.6. Треугольные элементы метода JIDR 7.6.1. Треугольник с узлами в вершинах (JIDR3) Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 7.3-1. Преобразованием (6.4.1) приводим его к прямоугольному треугольнику с единичными катетами. В каждом узле i-го элемента вводится три степени свободы (7.2.2). В системе аппроксимирующих функций (7.2.6) зададим линейные ап- проксимации (4.4.5). Тогда, учитывая (7.5.14), получаем полиномы второго порядка: 1 2 3 11 12 13 1 12 1 13 1 2 3 21 22 23 1 22 1 23 1 2 3 31 32 33 1 1 2 1 1 2 2 1 2 , ( ), ( )( ), , , ( ), , c a b с a b a 216 Глава 7. Изгиб плит средней толщины 1 32 1 33 1 2 1 2 ( ), ( ) с a b b (7.6.1) 2 3 4 5 1 1 0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 , , , , , , , , , , i i ij ij i= i= j= Невязки (7.5.16) равны: 3 3 3 2 2 2 2 2 1 6 6 6 4 4 0 2 2 2 ( ) ( ) a b a b a b a b ζ x x x x , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 ( ) ( ) b c a b bc c b a b bc ζ x y y y x x xy , 2 2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 ( ) ( ) bc bc c c b bc c ζ xy y x xy y , 3 3 2 2 2 4 6 6 4 2 2 0 ( ) c c c c ζ y y y (7.6.2) Строим вектора (7.5.17): 2 2 1 3 1 12 3 ( ) ( ) a с b a b с a b a b ω y x , 2 2 4 b a x ω y , 3 4 c b ω x y , 2 4 1 12 0 c ω (7.6.3) Подставив (7.6.3) в (7.5.18), находим значения констант a k , b k из уравне- ний критерия несовместности (7.5.10). Отбрасывая функции, равные нулю и линейнонезависимые, получаем только одну функцию (7.2.7): 1 0 0 0 3 1 3 , , , ( ) , ( ) T с a b a b μ , (7.6.4) соответствующую внутренней степени свободы. Глава 7. Изгиб плит средней толщины 217 7.6.2. Шестиузловой треугольник (JIDR6) Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 4.4-2а. Преобразование (4.4.3) приводит его к виду на рис. 4.4-2б. В каждом узле i-го элемента вводится три степени свободы (7.2.2). В системе аппроксимирующих функций (7.2.6) определим аппроксима- ции (4.4.8). Т.к. функции (4.4.8) удовлетворяют тождествам критерия полно- ты второго порядка (7.5.20), то можно использовать формулы (7.5.21) для за- дания , . При этом будут выполнены все тождества критерия полноты третьего порядка (7.5.7), а все невязки (7.5.16) равны нулю. 7.6.3. Изопараметрический шестиузловой треугольник (JIDR6IP) Изопараметрическим преобразованием (4.4.32) c помощью системы функций (4.4.8) приводим его к треугольнику, изображенному на рис. 4.4-9б. В каждом узле i-го элемента вводится три степени свободы (7.2.2). В системе аппроксимирующих функций (7.2.6) определим аппроксима- ции (4.4.8). Строим невязки (7.5.16) и, соответственно, функции (7.5.17). Подставив полученные функции в (7.5.18), находим значения констант a k , b k из уравне- ний критерия несовместности (7.5.10). Если узлы 4, 5, 6 находятся на серединах сторон элемента, то имеем ли- нейный Якобиан преобразования. Т.к. функции (4.4.8) удовлетворяют тожде- ствам критерия полноты второго порядка (7.5.20), то можно использовать формулы (7.5.21) для задания , . При этом будут выполнены все тож- дества критерия полноты третьего порядка (7.5.7), а все невязки (7.5.16) рав- ны нулю. 7.7. Прямоугольные элементы JIDR 7.7.1. Четырехузловой элемент (JIDR4RIC) Рассмотрим прямоугольник, изображенный на рис. 7.7-1а. Выполним преобразование системы координат в единичный квадрат: , y x a b (7.7.1) В каждом узле i-го элемента вводится три степени свободы (7.2.2). В системе аппроксимирующих функций (7.2.6) зададим полилинейные аппроксимации (4.4.10). Тогда, учитывая (7.5.14): 218 Глава 7. Изгиб плит средней толщины а) б) c) Рис. 7.7-1. Прямоугольные элементы 1 2 3 11 12 13 1 12 1 13 1 2 3 21 22 23 1 22 1 23 1 2 3 31 32 33 1 32 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 ( )( ), ( ) ( ), ( )( ), ( ), ( ), ( )( ), ( ) , ( ) ( ), b a b a b 1 33 1 2 3 41 42 43 1 42 1 43 1 2 1 2 1 2 ( ) , , ( ), ( ) , a b a (7.7.2) 2 3 4 5 1 1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2 3 , , , , , , , , , , , , . i i ij ij i= i= j= Невязки (7.5.16) равны: 2 3 2 2 2 3 2 2 1 2 3 4 0 0 0 3 2 1 12 2 6 1 0 3 2 0 6 1 2 12 1 0 , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a b b b ζ ζ ζ ζ (7.7.3) Строим вектора (7.5.17): 2 1 0 2 1 1 a ω , 2 2 0 1 2 ( ) a ω , Глава 7. Изгиб плит средней толщины 219 2 3 0 1 2 ( ) b ω , 2 4 0 1 12 b ω (7.7.4) Подставив (7.7.4) в (7.5.18), находим значения констант a k , b k из уравне- ний критерия несовместности (7.5.10). Отбрасывая функции равные нулю, получаем две функции (7.2.7): 2 1 2 2 0 0 0 0 1 6 6 0 0 0 1 6 6 0 , , , , , , , , , , T T μ μ (7.7.5) соответствующие внутренним степеням свободы. 7.7.2. Восьмиузловой прямоугольный элемент (JIDR8RIC) Рассмотрим прямоугольник, изображенный на рис. 7.7-1b. Преобразова- ние (7.7.1) приводит его к виду на рис. 7.7-1с. В каждом узле i-го элемента вводится три степени свободы (7.2.2). В системе аппроксимирующих функций (7.2.6) определим аппрокси- мации (4.4.15). Т.к. функции (4.4.15) удовлетворяют тождествам критерия полноты второго порядка (7.5.20), то можно использовать формулы (7.5.21) для задания , . При этом будут выполнены все тождества критерия полноты третьего порядка (7.5.7), а все невязки (7.5.16) равны нулю. 7.8. Четырехугольные элементы JIDR 7.8.1. Изопараметрический четырехузловой элемент (JIDR4I) Рассмотрим четырехугольник, изображенный на рис. 7.4-1. Преобразованием (4.4.32) приводим его к единичному квадрату, исполь- зуя полилинейные аппроксимации (4.4.13). В каждом узле i-го элемента вводится три степени свободы (7.2.2). В системе аппроксимирующих функций (7.2.6) используем полили- нейные аппроксимации (4.4.13). Применив (7.5.14): 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 , , , , , i i i i i 1 1 12 1 13 1 1 1 22 2 23 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , , , ( ) , a y x y x 1 1 32 3 33 3 1 1 42 4 43 4 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) c b e d y x y x . (7.7.1) Строим невязки (7.5.16) и, соответственно, функции (7.5.17). Подставив полученные функции в (7.5.18), находим значения констант a k , b k из уравне- ний критерия несовместности (7.5.10). Для прямоугольника остаются только две функции (7.7.5). 220 Глава 7. Изгиб плит средней толщины 7.8.2. Изопараметрический восьмиузловой элемент (JIDR8I) Рассмотрим четырехугольник, изображенный на рис. 4.4-10a. Изопараметрическим преобразованием (4.4.32) приводим его к единич- ному квадрату, используя кубические аппроксимации (4.4.16). В каждом узле i-го элемента вводится три степени свободы (7.2.2). В системе аппроксимирующих функций (7.2.6) возьмем функции (4.4.16) и воспользуемся формулами (7.5.14). Строим невязки (7.5.16) и, соответственно, функции (7.5.17). Подставив полученные функции в (7.5.18), находим значения констант a k , b k из уравне- ний критерия несовместности (7.5.10). Для параллелограмма, если узлы 5, 6, 7, 8 находятся на серединах сторон элемента, то имеем линейный Якобиан преобразования. Следовательно, функции , можно определить по формулам (7.5.21). В этом случае бу- дет выполнен критерий полноты 3-го порядка, а все невязки (7.5.16) равны нулю. 7.8.3. Четырехузловой элемент (JIDRSA) Рассмотрим четырехугольник, изображенный на рис. 6.6-1a. Преобразованием (2.12.6) приводим его к четырехугольнику, изображен- ному на рис. 6.6-1б. В каждом узле i-го элемента вводится три степени свободы (7.2.2). В системе аппроксимирующих функций (7.2.6) возьмем функции (4.4.23) и воспользуемся формулами (7.5.14). Строим невязки (7.5.16) и, соответственно, функции (7.5.17). Подставив полученные функции в (7.5.18), находим значения констант a k , b k из уравне- ний критерия несовместности (7.5.10). 7.8.4. Восьмиузловой элемент (JIDR8SA) Рассмотрим четырехугольник, изображенный на рис. 6.6-1a, у которого узлы находятся на сторонах элемента. Преобразованием (2.12.6) приводим его к четырехугольнику, изображенному на рис. 6.6-1б. В каждом узле i-го элемента вводится три степени свободы (7.2.2). В системе аппроксимирующих функций (7.2.6) возьмем функции (4.4.24). Функции , определяем по формулам (7.5.21), т.к. выполнен крите- рий полноты 2-го порядка для функций (4.4.24). Т.е. все невязки (7.5.16) рав- ны нулю. 7.9. Тесты Все описанные в данной главе конечные элементы используют или поли- номиальные аппроксимации поля перемещений по всему телу, или кусоч- нополиномиальные. При этом по построению всегда выполнены условия Глава 7. Изгиб плит средней толщины 221 критерия полноты (2.5.7) порядка p≥1 для всех рассмотренных элементов, а для несовместных элементов - критерии несовместности порядка 1. Все рассмотренные элементы обеспечивают, как минимум, первый поря- док сходимости по напряжениям, а по перемещениям - второй. Для совмест- ных элементов с промежуточными узлами на сторонах. удовлетворяющих критерию полноты порядка p=3, скорости сходимости увеличиваются. Для элементов задействованы все приведенные в статье аппроксимации, соответствующие «внутренним» степеням свободы элементов. В таблице 7.9-1 приведены цифровые коды типов элементов, которые приняты в вычислительном комплексе SCAD [15]. Данные коды используют- ся при описании результатов числовых экспериментов. Таблица 7.9-1. Типы элементов для расчета плит средней толщины Тип элемента Число узлов Описание 111 4 прямоугольный, JIDR4R, разд.7.7.1 112 3 треугольный, JIDR3, разд.7.6.1 115 3-6 треугольный, JIDR, p.7.6.1, 7.6.2 116 4-8 четырехугольный, JIDRIP, разд.7.8.1, 7.8.2 118 3-6 треугольный, JIDRIP, разд.7.6.3 119 4 четырехугольный, JIDRSA, разд.7.8.3 120 4-8 четырехугольный, JIDRSA, разд.7.8.3, 7.8.4. 512 3 треугольный, DSG3M, разд.7.3.2 517 4 четырехугольный, MITC4, IP, p.7.4 518 3 треугольный, DSG3, разд.7.3.1 7.9.1. Патологические (patch) тесты Все патологические тесты, приведенные в разд. 6.7.1, выполнены с точно- стью до вычислительной погрешности. 7.9.2. Прямоугольная свободно опертая по периметру пласти‐ на под действием поперечной равномерно распреде‐ ленной нагрузки Рассмотрим свободно опертую по периметру прямоугольную пластину под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки (рис. 6.7-2). Зададим, как и в разд. 6.7.2: E = 30000 kПа, ν = 0.3, h = 0.2 m, a = 2.4 m , b = 4.8 m , p = 1.0 kПа. По контуру плиты задано шарнирное закрепление: 0 w Г = , 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) , ) a b x x y y y y x (x Для исследования режима запирания толщина пластины варьировалась от h=0.001=a/2400 до h=1.2=a/2. 222 Глава 7. Изгиб плит средней толщины Глава 7. Изгиб плит средней толщины 223 Расчетные схемы 2x2 приведены на рис. 7.7.3. Они такие же, как и для тонкой плиты. В таблице 7.9-2 даны результаты расчета для тонкой пластин- ки при h=0.08=a/30. Аналитическое решение данной задачи 1 : w| A = 0.239759m, M x | A , = 0.585695(kHm/m), M y | A = 0.266978(kHm/m), Q x | B ,= 1.11602(kH/m). 7.9.3. Напряженно‐деформированное состояние защемленной шестиугольной пластины под равномерно распреде‐ ленной нагрузкой Рассмотрим защемленную по контуру правильную шестиугольную пла- стину под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки, рас- смотренную в разд. 6.7.3. Получено численное решение данной задачи по теории Рейсснера- Миндлина с высокой степенью точности 2 : в центре пластины в точке А: w A =-38.749 mm, M x =0.6511 kHm/m 3 Результаты расчетов для расчетных схем, приведенных на рис. 6.7-6, при- ведены в таблице 7.9-3. Таблица 7.9-3. Перемещения и моменты в центре шестиугольной пластинки Тип сетки Тип элемента Перемещение w A (mm) Момент М x,A (kHm/m) Сетка Сетка 1x1 2x2 4x4 8x8 1x1 2x2 4x4 8x8 A 517, MITC4 -36.619 -37.916 -38.57 -38.704 0.7259 0.6573 0.656 0.6524 116, JIDR4I -27.752 -35.899 -38.081 -38.584 0.5335 0.6405 0.6479 0.6504 120, JIDR4SA -29.89 -35.932 -38.09 -38.586 0.5236 0.6439 0.6478 0.6504 B 112,JIDR3 -21.339 -34.954 -37.885 -38.53 0.418 0.6197 0.645 0.6497 512, DSG3M -25.151 -36.226 -38.215 -38.613 0.501 0.6536 0.6551 0.6526 518, DSG3 -21.051 -34.293 -38.079 -38.655 0.3563 0.6328 0.6495 0.6507 C 116, JIDR8 -36.853 -38.559 -38.717 -38.743 0.7235 0.6602 0.654 0.6518 120, JIDR8SA -37.37 -38.614 -38.734 -38.747 0.7317 0.6657 0.6549 0.6521 D 115, 118, JIDR6 -37.47 -38,66 -38.739 -38.747 0.6842 0.6613 0.6538 0.6518 1 Аналитическое решение по пространственной теории w| A = 0.239663, по теории Кирхгоффа-Лява – w| A = 0.238907m, значения моментов и перерезывающих сил сов- падают. 2 Решения выполнялись различными типами конечных элементов. Максималь- ный порядок системы уравнений – 2747925. 3 Сравните с решением по теории тонких пластин Кирхгофа-Лява, приведенное в разд. 6.7.7. |