Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 24 из 32

6.6.2. Элемент c 16‐ю степенями свободы
Рассмотрим четырехугольный элемент, у которого на каждой из сторон находится по одной дополнительной точке, в которой определена только од- на степень свободы – значение нормальной производной [114, 38].
Условие линейности нормальной производной теперь является лишним, ибо будет обеспечена непрерывность нормальной производной при стыковке элементов.
Строим систему функций:


1 2
1 2 3 4 5
1 3
7 8 6
1
( )
,
, , ,
( , ),
, , ,
, , ,
,
,
r
r




ij
ij
j
φ x y
i =
j
φ
i =
R
. (6.6.15)
Функции, соответствующие нормальным производным на сторонах, по- лучаем из (6.6.7):
1 1
( , )
i
i i
r

 
  

i
,
i=5,6,7,8,
(6.6.16)
γ
i
– функции (6.6.12),
8 5
1
( , )
( , )
( , )
k
k
r
r
r
r
n
  
 
  





 


x x
ij
ij
ij
k
,
(6.6.17)
i=1,2,3,4, j=1,2,3,
r

ij
– функции (6.6.1) элемента с 12-ю степенями свободы.
Построенная система функций совместна и удовлетворяет критерию пол- ноты порядка
m=3 в силу того, что в аппроксимации перемещений использу- ется полный полином 3-й степени.
6.6.3. Элемент с 24‐мя степенями свободы (PLSA8)
Рассмотрим четырехугольник, изображенный на рис 6.6-1a в местной системе координат. Заменой координат (2.12.6) он преобразуется к четырех- угольнику, изображенному на рис. 6.6-1b [38].
В каждом узле в вершинах треугольника рассматривается по три степени свободы (6.2.1) w
i
,
θ
xi
,
θ
yi
, которым соответствует система функций:


1 1
3 6
2 1
( )
,
, ,
( , ),
,
r
r
j




ij
ij
φ x y
i =
φ
R
(6.6.18)
Построим вспомогательную систему функций:


1 1
3 6
2 1
( )
,
, ,
( , ),
,
r
r
j






ij
ij
x
y
i =
R
,
(6.6.19) считая, что в вершинах треугольника определены степени свободы (6.2.7),
i=1,2,3,4., В узлах на сторонах элемента – (6.5.22), i=5,6,7,8.

Глава 6. Тонкие плиты
187
Рассмотрим вспомогательные функции:
1 1 2
2 3
3
i
i
i
i
C
C
C







i
i
i
,
i=1,2,3,4,
(6.6.20)
2 2 1
2 2
2 2
2 2
3 2
0 1
1 0
0 0
1 1
0 0
0
,
,
(
) ,
,
(
)
(
) ,
,
,
(
)
i
r
i
i
r
i i
i i
i
i
i
i
i
i i
i
i
i
i
i
i
a
B
b
B
A
b
a
A
 















 




















x
x
,
,
(6.6.21)




1 1 4 1
1 2 2 3 3 4 1
2 3 1
3 4 1 4 1 2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
i
i
i
i
i
i
a
A i
B i
i
i
A i
B i












b
A
B
Уравнения для определения констант C
ik
, k=1,2,3,4 в (6.6.20) для каждой функции получаем из условий:
0
i
n




Γ
,
1
( , )
i
i
i
 


, i=5,6,7,8,
(6.6.22) где ξ
i
,η
i
– координаты точки на стороне подобласти Ω
i


2 1
2 3
1 2
3 1
0
/ (
) ,
/ (
)
,
i
i
i
i i
i
i
i i
i i
i
i
C
C
C
C n
C n
C n A
n b
a
A




 










1 2
3 0
/ (
)
i
i i
i i
i
i
i
C n
C n a
n B
b
B
C n









(6.6.23)
Решение системы уравнений (6.6.23):
1 2
3 2
3 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 1
,
(
)
(
)
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i i
i i
i
i
i i
i i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i i
i i
i
i
i i
i i
C
C
C
n b B
n a
A
C
C
n a
n b
n a
n b
n b B
n a
A
C
C
n a
n b
n a
n b












 
 
 
 
 













(6.6.24)
Функции, соответствующие касательным производным на сторонах эле- мента, определим с помощью (6.6.20):


1 2
3 43
( , )
i
i
i
i
i
r
D
D
D








i ,
x y
(6.6.25)
Коэффициенты D
ij
находятся из условий:
4 3 4 3 4 3 1
0 0
( )
,
,
i
i
i
r
r
r
n














x
x
x
i
,
i
,
i
,
(6.6.26)
Функции, соответствующие значениям w на сторонах элемента:
4 41 4 3
( , )
( , )
i
r
r


 








x
i
i
i
,
i
,
x y
x y
, i=1,2,3,4.
(6.6.27)

188
Глава 6. Тонкие плиты
Если точка находится на середине стороны, то значение касательной про- изводной в ней равно нулю.
Построим систему аппроксимирующих функций четырехугольного эле- мента с 16-ю степенями свободы:


1 4
1 2 3 5 6 7 8 3
1 1 2
( )
,
, , ,
,
, ,
( , ),
, ,
r
r
j







ij
ij
i
,
x y
i
=
,
j
R
(6.6.28)
Т.к. уже определены
1 3
,
r
r
 
i
i
, i=5,6,7,8, то:
8 5
1 3
( )
k
r
r
r
k
k
k
r
r














 




x
x
ij
ij
ij
ij
k
r
,
(6.6.29)
i,j=1,2,3,4, , i=5,6,7,8, j=2.
Преобразуем теперь систему функций (6.6.19) в (6.6.18). Для функций, соответствующих степеням свободы в узлах элемента, действует преобразо- вание (6.5.15). Для функций, соответствующих степеням свободы на сторо- нах элемента, – преобразование (6.5.29).
Полученная система функций (6.6.18) совместна, как и для элемента с 16- ю степенями свободы, удовлетворяет критерию полноты порядка m=3, что обеспечивает сходимость метода.
Для повышения точности элемента найдем функции, принадлежащие пространству
 и равные нулю вместе со своими первыми производ- ными на сторонах элемента:
2 2
1 2
3 4
5 6
3 2
2 3
7 8
9 10 2
2 1
2 3
4 5
6 3
2 2
3 7
8 9
10 2
2 1
2 3
4 5
6 3
2 2
7 8
9
,
,
(
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C






 








 


 






 





























1 2
3 3
10 2
2 1
2 3
4 5
6 3
2 2
3 4
7 8
9 10
,
,
r
r
r
r
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B







 




























x
x
x
x
,
(6.6.30)
2 1
2 2
2 3
2 4
1 1
1 1
(
) ,
(
) ,
(
) ,
(
) ,
r
r
r
r
A
A
B
B
 
 





  

  


 




  


x
x
x
x
(6.6.31)
Из условий непрерывности функций (6.6.30) и их производных получаем систему 29-и уравнений с 40-ка неизвестными:

Глава 6. Тонкие плиты
189 1
1 1
1 2
2 3
3 4
4 6
6 7
7 10 10 2
2 4
4 7
7 3
3 6
6 10 10 1
3 3
2 5
5 3
3 4
8 8
5 5
7 8
8 2 1 0
2 1 0
2 1 0
2 1 0
2 1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
D
E
B
B
D
B
D
B
D
E
E
E
B
B
B
B C
C
E
B C
C
B
C
E
B C
C
B
C
B
B C
C
B
C
C
C
C
C
C
C
D

 












 



 

 


 

 


 




,
D
D
,
D
D
D
1 2
2 3
5 5
2 2
6 9
9 5
5 10 9
9 2
5 5
3 3
4 8
8 5
5 7
8 8
3 5
5 2
2 6
9 9
5 5
0 2 1 0
2 1 0
2 1 0
2 1 0
2 1 0
2 1 0
2 1 0
2 1 0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
A C
C
D
A C
C
D
C
D
A C
C
D
C
D
A C
C
D
B D
D
B
AC
AE
B D
D
E
AD
AE
B D
AD
AE
A C
C
D
C
D
A C
C
D
C
D




 





 





 



 

 


 

 


 



 





 





10 9
9 2 1 0
,
(
)
A C
C
D
 



(6.6.32)
Причем ранг матрицы системы уравнений (6.6.32) равен 28.
Определим в качестве базисных переменных С
5
, С
8
, С
9
, D
5
, D
8
, D
9
, E
5
, E
8
, E
9
,
B
5
, B
8
, B
9
. Тогда:
5 5
5 5
5 5
1 2
2 1
5 5
8 8
5 5
3 3
1 4
4 9
9 5
5 6
6 9
9 10 10 9
9 5
5 6
6 8
8 7
7 6 1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
,
,
(
)(
)
(
)
,
(
)
(
,
(
)
,
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
D
E
B
B
B
A
B
B
D
B
B
C
D
B
A
B
D
D
C
D
A
D
D
A
E
B
B E
B
E
B
A
D
E
D
E
A
B
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C













 

















 








8 8
7 7
5 5
3 3
1 9
9 10 10 5
5 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
,
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
k
B
B
B
E
B
E
B
B
A
B
E
E
B
A
E
D
D
E
A
B
C
C
C
C


















8 8
5 5
4 4
2 1
(
)
(
)
E
D
A E
D
D
E
B
 




(6.6.33)
Получили 12 дополнительных достаточно гладких функций μ
k
, k=1
12 при различных комбинациях базисных коэффициентов, являющихся кусоч- ными полиномами 5-го порядка, у которых все рассматриваемые степени свободы узлов равны нулю:

190
Глава 6. Тонкие плиты
2 2
1 2
2 1
3 2
4 1 2 3 2 3 3 1 6 1 1
3 1 1
2 3 3 1 1
1 2 3 3 1
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
,
(
)
(
)
,
r
r
r
r
A
B
A
A
B
B
A
B
B
A
B
A
B
A

















 
 









 
 


 




  





x
x
x
x
,
2 1
2 2
2 2
2 3
4 1
2 3 3 1 1 2 3
2 3 3 1 6 1 1
3 1 1 2 3
3 1 1
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
,
r
r
r
r
B
B
A
B
A
A
B
B
A
B
A
B

















  




 

 







 







  


x
x
x
x
,
1 2
2 3
2 2
3 2
4 1
1 2 3
3 1 1 2 3
2 3
3 1 6 1 1
3 1 1
2 3
3 1
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
,
(
)
(
)
,
r
r
r
r
A
A
A
A
B
A
A
A
B
B
B
B
B
B
 
 











 


 

 



 













  





x
x
x
x
,
2 1
2 4
2 3
2 2
4 1
3 1 1
1 2
3 3 1 1
2 3
3 1 6 1 1
3 1
(
)
,
,
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
,
r
r
r
r
A
A
A
B
B
B
B
A
A
B
B
B
 

 












  

  


 







  










x
x
x
x
,
2 3
2 1
2 3
5 4
2 3
2 3
2 1
2 3
6 2
3 4
2 1 0
2 1 0
(
)
,
,
,
,
(
)
,
,
,
,
r
r
r
r
r
r
r
r
B
A


 

 





 

  











  











x
x
x
x
x
x
x
x


2 3
2 2
3 2
7 3
1 4
2 1 0
,
(
)
,
,
,
r
r
r
r
A
A
B



 

 
 












x
x
x
x

2 3
2 3
2 3
8 4
1 2
2 1 0
(
)
,
,
,
r
r
r
r
B
A
B




 

 












x
x
x
x
,

2 1
4 9
2 3
2 1
2 10 3
4 0
0
,
,
,
,
,
,
r
r
r
r
r
r
r
r
 









 







 



x
x
x
x
x
x
x
x





Глава 6. Тонкие плиты
191 2
2 3
11 1
4 0
,
,
,
r
r
r
r
 






 



x
x
x
x


2 3
4 12 1
2 0
,
,
r
r
r
r







 



x
x
x
x


(6.6.34)
Как и для треугольного элемента с 18-ю степенями свободы, рассмотрим два варианта использования функций (6.6.34):
Вариант A
Корректируем систему функций (6.6.18):
12 1
( , )
( , )
k
ij
k
k
r
r
C





ij
ij
φ x y
φ x y

,
(6.6.35)
где величины находим из 12-ти уравнений: условий равенства следующих величин:
 11–ти уравнений:
1 2
3 4
(
)
(
)
(
)
(
)
r
r
r
r
A
A
A
A
k
k
k
k
r
r
r
r







 
x
x
x
x
ij
ij
ij
ij
φ
φ
φ
φ




,
(6.6.36) k=0
9;
 12-го уравнения:




1 2
3 4
1 2
3 4
10 10 10 10 11 11 11 11 1
1 1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
r
r
r
r
A
A
A
A
r
r
r
r
A
A
A
A
r
r
r
r
r
r
r
r
A
B









 
 
 




 
 
 

x
x
x
x
x
x
x
x
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ








. (6.6.37)
ϒ – операторы:
2 2
1 2
2 2
3 3
3 3
3 4
5 6
3 2
2 3
4 4
4 7
8 9
3 2
2 3
,
,
,
,
,
,
,
,



 
 

 
 
 


 
 






 
 
 
 

 
 




 
 
 
 
 
 
,
5 5
10 11 3
2 2
3
,
 
 


 
 
 
 
(6.6.38)
Условия (6.6.36) – (6.6.37) обеспечивают непрерывность вторых и третьих производных в точке А, что существенно упрощает вычисление моментов и перерезывающих сил в ней. Также сохраняется симметрия расчетных схем.
Функции (6.6.34) можно переопределить таким образом, чтобы матрица соответствующих уравнений (6.6.36) – (6.6.37) была диагональной.

192
Глава 6. Тонкие плиты
Вариант B
Поставим в соответствие функциям (6.6.34) некоторые внутренние степе- ни свободы с последующей их конденсацией.
6.7. Тесты
Все описанные в данной главе конечные элементы используют или поли- номиальные аппроксимации поля перемещений по всему телу, или кусочно- полиномиальные. При этом по построению всегда выполнены условия крите- рия полноты (2.5.7) порядка p≥2 для всех рассмотренных элементов, а для не- совместных элементов – критерии несовместности порядка 2.
Таблица 6.7-1.
Типы элементов для расчета тонких плит
Тип элемента
Число узлов
Описание
11 4 полусовметный прямоугольный, разд. 6.3.3 12, 14 3 треугольный, IC, разд.6.4 13 4 прямоугольный, IC, разд.6.3.2 15 3-6 1
треугольный, PLSA, разд.6.5.4, вариант A.
16 4-8 четырехугольный, PLSA, разд.6.6, вариант B
18 3-6 треугольный, SA, разд.6.5.4, вариант B
19 4 четырехугольный, SA, разд.6.6.1 20 4-8 четырехугольный, SA, разд. 6.6, вариант A
Все рассмотренные элементы обеспечивают, как минимум, первый поря- док сходимости по напряжениям, а по перемещениям – второй. Для совмест- ных элементов с промежуточными узлами на сторонах, которые все удовле- творяют критерию полноты порядка p=3, скорости сходимости увеличивают- ся.
Для элементов задействованы все приведенные в статье аппроксимации, соответствующие «внутренним» степеням свободы элементов.
В таблице 6.7-1 приведены цифровые коды типов элементов, которые приняты в вычислительном комплексе SCAD [15]. Данные коды используют- ся при описании результатов числовых экспериментов.
6.7.1. Патологические (patch) тесты
Для всех рассмотренных в данной главе элементов результаты расчета паталогических тестов совпадают с теоретическими с точностью до вычисли- тельной погрешности. Данные тесты являются критерием корректности про- граммного кода.
1
Кроме узлов, в вершинах допускается не более одного узла на стороне.

Глава 6. Тонкие плиты
193
Прямоугольная пластина в условиях постоянных моментов
Прямоугольная изотропная пластина постоянной толщины, изобра- женная на рис. 4.8-1, подвергается воздействию ортогональных смещений наружных кромок, обеспечивающих условия постоянных моментов по всей области
Следуя работам [122, 127], примем:
E = 1.0·10 6
кПа
– модуль упругости;
ν = 0.25
– коэффициент Пуассона;
 = 0.001m
– толщина пластины.
На рис. 4.8-2 приведены расчетные схемы для различных типов элемен- тов.
Считаем, что пластинка на сторонах жестко защемлена:
0
w





Γ
x Γ
y Γ
Рассматривались две группы кинематических загружений, для которых известны теоретические значения, приведенные в табл. 6.7-2.
Первые три загружения являются проверкой смещения прямоугольника как твердого тела, когда моменты и перерезывающие силы по всей области пластины равны нулю:
 смещение по оси ОZ: w|

=1,

x
|

,

y
|

=0;
 поворот вокруг оси ОX: w|

=y,

x
|

=1,

y
|

=0;
 поворот вокруг оси ОY: w|

=x,

y
|

=–1,

x
|

=0.
Следующие три загружения обеспечивают не равные нулю постоянные моменты и равные нулю перерезывающие силы по всей области пластины:
 w|

=x
2
,

x
|

=0,

y
|

=–2x;
 w|

=y
2
,

x
|

=2y,

y
|

=0;
 w|

=xy,

x
|

=x,

y
|

=–y.
Таблица 6.7-2.
Теоретические значения моментов в пластине
Загружение
Моменты и перерезывающие силы (kHm/m)
M
x
M
y
M
xy
Q
x
, Q
y
1-3 0
0 0
0 4
0.17(7)
0.04(4)
0 0
5 0.04(4)
0.17(7)
0 0
6 0
0 0.06(6)
0
Температурные деформации
Рассмотрим прямоугольную пластинку, изображенную на рис. 4.8-1 с двумя вариантами связей: a) перемещения в узлах пластинки:
w(0,0)= w(0.24,0)= w(0,0.12)= w(0.24,0.12)=0, которые не препятствуют температурному изгибу; b) жесткое защемление на стронах пластинки.

194
Глава 6. Тонкие плиты
Коэффициент температурного линейного расширения материала пла- стинки α К
-1
(°C
-1
).
Если нагрев выполнен до разности температур
t на верхней и нижней поверхностях пластины, то для рассматриваемых вариантов: a)
2 2
0 2
(
),
t
w
a
b
M
M
M
Q
Q
h











x
y
xy
x
y
x
y
x
y
(6.7.1)
Т.к. краевые условия не препятствуют деформации пластины, то, соот- ветственно, моменты и перерезывающие силы равны нулю. b)


1 0
0
,
,
t
w
M
M
D
M
h








x
y
xy
(6.7.2)
6.7.2. Прямоугольная свободно опертая по периметру пласти‐
на под действием поперечной равномерно распреде‐
ленной нагрузки
Рассмотрим свободно опертую по периметру прямоугольную пластину под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки (рис. 6.7-1).
Рис. 6.7-1.
Прямоугольная плита под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки
Зададим:
E = 30000 kПа, ν = 0.3, h = 0.2 m, a = 2.4 m, b = 4.8 m, p = 1.0 kПа.
По контуру плиты задано шарнирное закрепление:
0
Г
w 
,
0 0
0 0
( , )
( , )
,
( , )
( , )
a
b








x
x
y
y
y
y
x
x
Закрепление углов поворота по касательной задавать не обязательно. Это не главные краевые условия.

Глава 6. Тонкие плиты
195
Рис. 6.7-2. Расчетные схемы 2x2 прямоугольной плиты под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки
Рис. 6.7-3. Сравнение прогиба в центре прямоугольной пластинки при шарнирном опирании по теории Кирхгоффа-Лява с решением по пространственной теории
Расчетные схемы с учетом осей симметрии приведены на рис.
6.7-2
. При- чем схемы С и D являются повторением схемы патологических тестов [121] с пропорциональным изменением координат, представленных на рис. 4.8.1.
Аналитическое решение данной задачи для центра пластины в точке А:
w
A
=-15.291(mm), M
x
=0.58569(kHm/m).

196
Глава 6. Тонкие плиты
Для иллюстрации, что теория Кирхгоффа-Лява – теория тонких плит, на рис. 6.7-3 приведены для данной задачи графики погрешности в сравнении с пространственной теорией.
Таблица
6.7-3. Перемещения и моменты в центре прямоугольной пластинки
Тип сетки
Тип элемента
Перемещение w
A
(
mm)
Момент М
x,A
(
kHm/m)
Сетка
Сетка
2x2 4x4 8x8 16x16 2x2 4x4 8x8 16x16
A
11
-20.208 -16.449 -15.576 -15.361 0.8668 0.651 0.6015 0.5896 13
-20.224 -16.454 -15.576 -15.361 0.8674 0.6511 0.6015 0.5896 16
-14.539 -15.081 -15.242 -15.278 0.5057 0.5546 0.578 0.5838 19,20
-13.424 -14.652 -15.138 -15.253 0.5021 0.5392 0.5742 0.5829
B
12
-8.1476 -13.545 -14.882 -15.19 0.2871 0.5531 0.5864 0.5871 15
-7.2934 -13.404 -14.882 -15.195 0.1554 0.4435 0.5631 0.584 18
-7.712 -13.574 -14.929 -15.206 0.1713 0.4533 0.5647 0.5837
C
16
-14.493 -15.194 -15.283 -15.288 0.5314 0.592 0.59 0.5868 19,20
-14.323 -14.652 -15.138 -15.253 0.4054 0.5395 0.5742 0.5828
D
12
-13.605 -14.825 -15.278 -15.26 0.5326 0.5789 0.5882 0.5864 15
-13.427 -14.779 -15.171 -15.289 0.5037 0.5558 0.5806 0.5842 18
-13.531 -14.848 -15.188 -15.262 0.5091 0.5623 0.5831 0.5849
E
16
-15.313 -15.293 -15.29 -15.29 0.5985 0.5873 0.5858 0.5857 20
-15.341 -15.292 -15.29 -15.29 0.6237 0.585 0.5857 0.5857
F
15
-15.313 -15.284 -15.29 -15.29 0.6598 0.6126 0.593 0.5875 18
-15.31 -15.284 -15.29 -15.29 0.6462 0.6096 0.5919 0.5872
G
16
-15.31 -15.292 -15.29 -15.29 0.61 0.5905 0.5869 0.586 20
-15.309 -15.293 -15.29 -15.29 0.6095 0.5907 0.5869 0.586
H
15
-15.326 -15.295 -15.29 -15.29 0.6156 0.5963 0.5881 0.5863 18
-15.324 -15.295 -15.29 -15.29 0.6144 0.5949 0.588 0.5863
Результаты расчетов приведены в табл. 6.7-3.
6.7.3. Напряженно‐деформированное состояние защемленной
шестиугольной пластины под равномерно распреде‐
ленной нагрузкой
Рассмотрим защемленную по контуру правильную шестиугольную пла- стину под действием поперечной равномерно распределенной нагрузки (рис.
6.7-4).

Глава 6. Тонкие плиты
197
Рис. 6.7-4.
Шестиугольная пластина
Зададим: E = 30000 kПа, ν = 0.3, h = 0.1 m, a = 1 m, p = 10 kПа.
Связи: жесткое закрепление узлов по контуру –
0
w





Γ
x Γ
y Γ
Решение данной задачи приведено в работе [10]. В центре пластины в точке А:
w
A
= –36.324(mm), M
x
=0.64786(kHm/m).
Рис. 6.7-5.
Расчетные схемы 1x1 шестиугольной пластины
Результаты расчетов для расчетных схем, приведенных на рис. 6.7-5, при- ведены в табл. 6.7-4.
Таблица
6.7-4. Перемещения и моменты в центре шестиугольной пластинки
Тип сетки
Тип элемента
Перемещение w
A
(
mm)
Момент М
x,A
(
kHm/m)
Сетка
Сетка
1x1 2x2 4x4 8x8 1x1 2x2 4x4 8x8
A
16
-35.009 -35.84 -36.203 -36.304 0.752 0.6503 0.6485 0.6481 19
-33.683 -35.432 -36.091 -36.276 0.7204 0.6468 0.647 0.6477 20
-33.391 -35.693 -36.185
-36.3 0.6222 0.65 0.6483 0.648
B
12
-30.555 -34.534 -35.91 -36.244 0.6743 0.6647 0.6529 0.6494 15
-31.271 -34.716 -35.951 -36.263 0.6464 0.6551 0.6506 0.6489 18
-32.869 -35.898 -35.994 -36.262 0.6569 0.6563 0.6509 0.649
C
16
-36.281 -36.315 -36.331 -36.333 0.6471 0.6476 0.648 0.6481 20
-36.091 -36.303 -36.33 -36.333 0.6421 0.6479 0.648 0.6481
D
15
-36.214 -36.293 -36.329 -36.332 0.6164 0.6477 0.648 0.648 18
-36.273 -36.297 -36.329 36.332 0.651 0.6478 0.648 0.648

198
Глава 7. Изгиб плит средней толщины