Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
x x , k=1,2,3. Решение системы уравнений (6.5.12): 11 21 31 2 3 1 3 2 12 32 11 3 22 12 11 13 23 11 2 33 13 11 1 2 0 5 54 1 6 6 1 6 6 . ( ) , , , , ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij C C C C C C C C C C C C C C C (6.5.13) Построенная система функций (6.5.3) удовлетворяет критерию полноты (6.2.8) порядка m=2, тождества которого для рассматриваемой системы коор- динат имеют вид: 11 21 31 11 21 13 23 33 11 31 12 22 32 2 11 21 23 11 33 22 2 11 31 32 1 2 2 , , , , , r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r (6.5.14) Для преобразования (6.4.1): 1 1 2 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 , ( ) ( ) , r r r r r r r r a b a b i i i i i3 i i3 i , i=1,2,3. (6.5.15) Система функций (6.5.3) совместна и удовлетворяет критерию полноты порядка m=2 по построению. 6.5.2. Элемент Клафа‐Точера c 12–ю степенями свободы (SA) Рассмотрим теперь треугольный элемент, у которого на каждой из сторон находится по одной дополнительной точке, в которой определена только од- на степень свободы – значение нормальной производной. 176 Глава 6. Тонкие плиты Условие линейности нормальной производной теперь является лишним, ибо уже будет обеспечена непрерывность нормальной производной при сты- ковке элементов. Строим систему функций 1 2 1 2 3 5 6 1 3 1 4 ( ) , , , , , ( , ), , , , , , r r ij ij φ j j x y i = i = φ R (6.5.16) Функции, соответствующие нормальным производным на сторонах: 1 1 ( , ) i i i r i , i=4,5,6, (6.5.17) χ i – функции (6.5.7), { , } T i i – координаты узла на стороне. 6 4 1 ( , ) ( , ) ( , ) k k r r r r n x x ij ij ij k , i=1,2,3, j=1,2,3. (6.5.18) Φ – функции (6.5.3) элемента с 9-ю степенями свободы. Построенная система функций совместна и удовлетворяет критерию пол- ноты порядка m=3 в силу того, что в аппроксимации перемещений использу- ется полный полином 3-й степени. 6.5.3. Еще один метод построения системы аппроксимирую‐ щих функций Клафа‐Точера Найдем все кусочные полиномы третьего порядка, непрерывные вместе со своими первыми производными по всей области элемента. Кроме десяти полиномов второй степени, определенных на всей области элемента, сущест- вует еще два кусочных полинома, удовлетворяющих заданным условиям: 3 1 11 2 3 2 3 3 0 3 2 , , , , r r r P x x x 3 1 3 2 3 12 2 3 2 3 0 , , , r r r P x x x (6.5.19) Соответственно, имеем 12 уравнений для определения аппроксимаций как для элемента с 9-ю степенями свободы, так и для элемента с 12-ю степе- нями свободы. 6.5.4. Шестиузловой треугольный элемент с 18‐ю степенями свободы (PLSA6) Рассмотрим треугольник, изображенный на рис 6.5-1a. Заменой коорди- нат (2.12.4) он преобразуется к треугольнику, изображенному на рис. 6.5-1b. В каждом узле в вершинах треугольника рассматривается по три степени свободы (6.2.1) w i , θ xi , θ yi , которым соответствует система функций [37]: Глава 6. Тонкие плиты 177 1 1 3 6 2 1 ( ) , , , ( , ), , r r j ij ij φ x y i = φ R (6.5.20) Построим вспомогательную систему функций: 1 1 3 6 2 1 ( ) , , , ( , ), , r r j ij ij x y i = R , (6.5.21) считая, что в вершинах треугольника определены степени свободы (6.2.7), а в узлах на сторонах элемента при i=4,5,6: , , i n w w w n x x i i i i i i (6.5.22) Функции, соответствующие значению w и нормальной производной на сторонах элемента, в (6.5.21) будем искать в следующем виде: 1 2 3 4 5 ( ) ( ) ( , ) i ij ij ij i ij ij r C C C C C ij x y , i=4,5,6, j=1,3, (6.5.23) 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 0 0 0 , , ( ) , , ( ) , , r r r r r r x x x x x x , , Функции i определены на всем элементе: 2 2 1 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) . (6.5.24) Два уравнения для определения констант , k=1 5 в (6.5.23) для каждой функции получаем из условий: k ik j r ij L , i=4,5,6, j,k=1,3. (6.5.25) Еще три уравнения получим из условия, что нормальная производная этих функций на сторонах элемента тождественно равна нулю 1 : 0 r n Γ ij , i=4,5,6, j=1,3. (6.5.26) Построим систему аппроксимирующих функций элемента Клафа-Точера с 12-ю степенями свободы: 1 1 2 3 4 5 6 2 1 1 3 ( ) , , , , ( , ), , , , , r r j ij ij i , j = , x y i R . (6.5.27) Т.к. уже определены 1 3 , r r i i , то: 1 Данное условие эквивалентно равенству нулю нормальной производной в трех произвольных точках на соответствующей стороне элемента, т.к. используются по- линомы пятой степени. Получаем, что нормальная производная на сторонах является полиномом степени не выше второй. 178 Глава 6. Тонкие плиты 6 4 1 3 ( ) k r ij k ij k ij k r r r x x ij k , (6.5.28) i,j=1,2,3, , i=4,5,6, j=2. Преобразуем теперь систему функций (6.5.21) в (6.5.20). Для функций, соответствующих степеням свободы в узлах элемента, действует преобразо- вание (6.5.15). Для функций, соответствующих степеням свободы на сторо- нах элемента: 1 1 2 2 3 3 2 3 , xi yi yi xi i i i i r r r r r r r r n n n n , . i i i i , i=4,5,6. (6.5.29) Полученная система функций (6.5.20) совместна, как и элемент с 12-ю степенями свободы, и удовлетворяет критерию полноты порядка m=3. Т.е. обеспечивается сходимость метода. Для повышения точности вычислений рассмотрим 9 дополнительных функций, являющихся кусочными полиномами 5-го порядка, у которых все рассматриваемые степени свободы узлов равны нулю: 3 3 1 2 3 2 3 1 2 2 3 2 2 3 3 1 1 6 21 6 29 6 1 6 6 21 6 228 199 , , , r r r x x x , 3 1 2 3 2 2 3 2 2 3 3 6 7 6 6 48 48 , , , r r r x x x , 2 1 3 2 2 3 0 , , ( ) , r r r x x x , 1 3 4 2 2 3 3 9 8 , , , r r r x x x , 2 3 1 2 3 3 2 5 2 2 2 3 3 8 6 24 23 , , , r r r x x x , 3 1 3 2 3 6 2 2 3 3 6 6 6 6 7 , , , r r r x x x , Глава 6. Тонкие плиты 179 1 2 7 2 2 3 0, ( ), ( ), r r r x x x , 2 3 1 2 3 8 2 2 3 2 2 3 3 6 24 16 , , , r r r x x x , 2 1 2 9 2 3 0 , ( ) , , r r r x x x (6.5.30) Допустимы два варианта использования функций (6.5.30): Вариант A Корректируем систему функций (6.5.20): 9 1 ( , ) ( , ) k ij k k r r C ij ij φ x y φ x y , (6.5.31) где величины находим из 9-ти уравнений – условий равенства следующих величин: 1 2 3 1 3 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 0 1 2 ( ) ( ) ( ) , , , , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) r r r A A A r r A A r r A A r r A A k k k r r r r r r r r r k x x x x x x x x x ij ij ij ij ij ij ij ij ij φ φ φ φ φ φ φ φ φ (6.5.32) ϒ – операторы: 2 0 1 0 1 0 2 2 2 2 3 0 4 0 2 2 2 2 , , , , , 2 2 5 0 2 2 (6.5.33) Условия (6.5.33) обеспечивают непрерывность вторых и третьих произ- водных в точке А, что существенно упрощает вычисление моментов и пере- резывающих сил в ней. Также сохраняется симметрия расчетных схем. Функции (6.5.30) можно переопределить таким образом, чтобы матрица соответствующих уравнений (6.5.32) была диагональной. 180 Глава 6. Тонкие плиты Вариант B Поставить в соответствие функциям (6.5.30) некоторые внутренние сте- пени свободы с последующей их конденсацией. 6.5.5. Трехузловой элемент Купера с 18‐ю степенями свободы Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 6.5-1. Заменой координат (6.4.1) он преобразуется к прямоугольному треугольнику с единичными кате- тами. В каждом узле элемента определим по 6 степеней свободы: 2 2 2 2 2 , , , , , i i i i i i i i i i k i w w w w w q w x x x x x y x x y x y , k=1,2,3. (6.5.34) Система функций, соответствующая степеням свободы (6.5.1): 1 1 1 6 2 ( ) ( , ), , , , , r r j ij ij φ x y i = φ R (6.5.35) Будем считать, что в узлах определены степени свободы узла в специаль- ной системе координат : 2 2 2 2 2 , , , , , i i i i i i i i i i k i w w w w w q w x x x x x , k=1,2,3, (6.5.36 ) которым соответствует система функций 1 1 6 1 2 ( ) , ( , ) , , , , r r j ij ij x y i = R (6.5.37) Упругую поверхность пластины аппроксимируем полиномом 5-й степе- ни: 2 2 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 3 2 2 3 4 9 10 11 12 13 14 15 5 4 3 2 2 3 4 5 16 17 18 19 20 21 , ( ) w C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C (6.5.38) Имеем 21 коэффициент, которые находим из: 18-ти уравнений = km km km ij ij δ |