Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
x x y x i=1,2,…,N r ., (6.2.1) Глава 6. Тонкие плиты 165 где N r – число узлов элемента, которые при формировании матрицы жестко- сти элемента располагаются в следующем порядке: 1 1 1 { } , , ,..., , , r r r N N N w w x y x y (6.2.2) Существуют конечные элементы плиты, у которых в узлах на сторонах элемента из трех степеней свободы w i , θ xi , θ yi только одна степень свободы – угол поворота вокруг нормали к стороне: θ ni . В узлах могут быть и другие степени свободы, кроме указанных. Степеням свободы (6.2.2) соответствует система аппроксимирующих функций: 1 1 2 3 ( ) ( , ), ( , , , ) , r r r ij ij j φ x y i φ R (6.2.3) Соответственно функции располагаются в порядке (6.2.2): 11 1 2 1 3 1 2 3 { } , , , , , , , , ,... , , , r r r r r r r r r N N N (6.2.4) Как правило, построение аппроксимаций происходит в специальных сис- темах координат ξOη, которая не обязательно ортогональная: 1 2 0 1 2 3 c c c d d d x y x y (6.2.5) В этом случае рассматривается вспомогательная система функций 1 1 2 3 ( ) ( , ) ) , , , , , ( r r r ij ij j x y i R , (6.2.6) которая соответствует степеням свободы , , i i i i i i i w w w x x i=1,2,…,N r (6.2.7) Аналогично (2.3.2) обозначим операторы степеней свободы (6.2.7) – ij L Функции (6.2.3) выражаются через (6.2.6): 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 1 1 1 , , ( ) r r r r r r r r r с d с d с d d с с d с d i i i i i3 i i3 i , i (6.2.8) Дифференциальное уравнение равновесия (6.1.15) четвертого порядка. Поэтому строятся тождества критерия полноты (2.5.7) порядка m не ниже 2: 1 1 3 1 2 2 2 1 3 1 3 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) , r r r r r r i r r r r i i i i i i r r i i i i r r r i i i i i i i i i i i i x x y y, x x x x y y x xy 166 Глава 6. Тонкие плиты 2 2 1 2 ( ) ( ) r r r i i i i i y +2y y (6.2.9) Выполнение первых трех тождеств (6.2.9) соответствует смещению ко- нечного элемента как твердого тела. Для совместных элементов выполнение тождеств (6.2.9) уже обеспечива- ет сходимость метода. Для высокоточных элементов дополнительные тождества критерия пол- ноты (2.5.7) порядка m=3: 3 2 3 1 3 2 2 2 1 3 2 2 2 2 1 3 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) , r r r r r i i i i r r r i i i i i i i i r r r i i i i i i i i i i i x x x x y x y x x y x y y x y xy 3 2 3 1 2 3 ( ) ( ) r r r i i i i i y + y y (6.2.10) Для несовместных элементов для доказательства сходимости проверяем критерий несовместности (2.7.3) или более сложные равенства кусочного тестирования (2.7.1). Для данной задачи критерий несовместности (2.7.3) принимает вид ра- венств с учетом линейности преобразования (6.2.5): 2 2 [ , ] [ , ] [ , ] r r r r r ki ki r r ki ki r r ki ki x φ y φ xy φ , или 2 2 [ , ] [ , ] [ , ] r r r r r ki ki r r ki ki r r ki ki φ φ φ , (6.2.11) где r ki – совместная система функций, соответствующая степеням свободы (6.2.1) и удовлетворяющая критерию полноты порядка m=1. 6.3. Прямоугольные конечные элементы 6.3.1. Элемент Богнера‐Фокса‐Шмидта Рис. 6.3-1. Прямоугольный элемент Глава 6. Тонкие плиты 167 Рассмотрим прямоугольный конечный элемент, изображенный на рис. 6.3-1. Пребразованием (6.3.1) он приводится к единичному квадрату: 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x y y y y y y (6.3.1) В каждом узле i элемента вводятся четыре степени свободы [105]: , , i i i i i w w w x x xi yi y x , i i w x x y (6.3.2) Система аппроксимирующих функций: 1 1 2 3 1 2 4 3 4 ( ) , j ( , ), , , , , , , , r r ij ij φ x y i = φ R , (6.3.3) 12 1 3 11 1 1 13 3 1 13 3 3 21 2 1 22 1 4 23 4 1 24 4 3 31 1 2 33 3 2 41 2 2 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), r r r r r r r r r r r bP P P P aP P abP P P P bP P aP P abP P P P aP P P P 32 2 3 34 3 4 42 2 4 43 4 2 44 4 4 ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), r r r r r bP P abP P bP P aP P abP P (6.3.4) где a=a 12 , b=a 13 , 2 3 2 3 1 2 2 2 3 4 1 3 2 3 2 1 1 ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ). P P P P Аппроксимации (6.3.4) совместны и удовлетворяют тождествам критерия полноты (6.2.9) и (6.2.10) порядка m=3: 11 21 31 41 21 41 13 23 33 43 31 41 12 22 32 42 1 ( ) ( ) r r r r r r r r r r r r r r r r a b x y 2 2 21 41 23 43 41 33 43 22 42 14 24 34 44 2 2 31 41 32 42 3 2 3 21 41 23 43 2 2 2 41 43 22 42 24 44 2 2 3 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r a a ab b a b b a a a b ab a a ab x xy, y x x y, 2 2 2 41 33 43 42 34 44 ( ) ( ) , r r r r r r b ab b xy 3 2 3 31 41 32 42 3 ( ) ( ) r r r r b b y . (6.3.5) 168 Глава 6. Тонкие плиты 6.3.2. Элемент Клафа В каждом узле элемента на рис. 6.3-1 рассматривается по три степени свободы (6.2.1) w i , θ xi , θ yi , которым соответствует система аппроксими- рующих функций [97]: 1 1 2 1 4 2 3 3 ( ) , , ( , ), , , , , , r r ij ij φ x y i = j φ R (6.3.6) Перемещения w упругой поверхности пластины аппроксимируются не- полным полиномом четвертой степени: 2 2 1 2 3 4 5 6 3 2 2 3 3 3 7 8 9 10 11 12 ( ) w C C C C C C C C C C C C x,y x+ y+ x xy+ y + x x y+ xy + y + x y+ xy (6.3.7) Тогда: 2 2 3 2 2 3 3 3 11 2 3 12 2 3 13 2 3 2 2 3 3 21 2 3 22 23 1 3 3 2 3 3 2 2 2 1 2 2 1 3 2 3 3 2 2 2 ( ) , ( ) ( )( ), ( ) ( )( ), ( ) , ( ) ( ), ( ) r r r r r r b a b x,y x,y x,y x,y x,y x,y 2 3 2 3 2 2 3 3 31 2 3 32 2 3 33 2 2 3 3 41 2 3 42 1 3 2 3 3 2 2 1 2 3 3 2 2 ( )( ), ( ) , ( ) ( )( ), ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) , r r r r r a b a b x,y x,y x,y x,y x,y 2 3 43 ( ) ( ) r a x,y (6.3.8) Подставим (6.3.8) в (6.3.5), считая что φ i4 = 0, i=1,2,3,4, и проверяем вы- полнение критерия полноты порядка m=3. Функции системы (6.3.8) несовместны. При стыковке элементов они не- прерывны, но на границах элементов нормальные производные имеют разры- вы. Непосредственной проверкой убеждаемся, что система функций (6.3.8) удовлетворяет критерию несовместности (2.7.3) в виде уравнений (6.2.11). В качестве совместной системы функций в (6.2.11) воспользуемся функциями (6.3.4) без функций , которые не входят в первые три уравнения критерия полноты (6.3.5). Следовательно, по теореме 2.7.1 аппроксимации (6.3.8) обес- печивают сходимость метода. 6.3.3. Полусовместный элемент В каждом узле элемента на рис. 6.3-1 рассматривается по три степени свободы (6.2.1) w i , θ xi , θ yi и, соответственно, имеем систему аппрокси- мирующих функций: Глава 6. Тонкие плиты 169 1 1 2 3 1 2 3 4 ( ) ( , ), , , , , , , , r r ij ij x y i = φ j R (6.3.9) При этом будем считать [32, 36], что , i=1,2,3,4, где – совме- стные функции системы (6.3.4) 1 . Т.к. эти функции удовлетворяют первому уравнению критерия полноты (6.3.5), то для определения оставшихся девяти функций, соответствующих углам поворота, получаем систему девяти тож- деств. Ее решение: 12 12 13 13 22 22 23 23 32 32 33 33 42 42 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) r r r r r r r b a b a b a b x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y x,y ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 43 43 , ( ) ( ) ( ). r a x,y x,y x,y ψ (6.3.10) где ,i=1,2,3,4, j=2,3– функции системы (6.3.4), 2 3 2 3 1 3 2 3 2 4 ( ) ( )( ) x,y (6.3.11) Т.к. функции (6.3.10) удовлетворяют тождествам критерия полноты по- рядка m=3 по построению, а функция (x,y) удовлетворяет уравнениям крите- рия несовместности (6.2.11), то по теореме 2.7.1 обеспечена сходимость ме- тода. 6.4. Несовместный треугольный элемент с 9‐ю степеня‐ ми свободы Рассмотрим треугольник, изображенный на рис 6.4-1. Рис. 6.4-1. Трехузловой элемент 1 В [35] построен также элемент, у которого i=1,2,3,4, j=2,3, где – функции системы (6.3.4), а функции , i=1,2,3,4 являются решениями тождеств критерия полноты порядка m =2. |