Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
n n n В каждом узле элемента рассматривается по три степени свободы (6.2.1) w i , θ xi , θ yi и, соответственно, система аппроксимирующих функций: 1 1 2 1 2 3 3 ( ) , j , , , ( , ), , , r r ij ij φ x y i = φ R (6.4.2) Функции (6.4.2) определим на множестве полиномов четвертой степени. Построим вспомогательную систему функций 1 1 2 3 1 2 3 ( ) ( , ), , , , , , , r r ij ij = j x y i R , (6.4.3) соответствующую степеням свободы (6.2.7) w i , θ ξi , θ ηi Из (6.4.1) и (6.2.8): 1 1 2 2 3 3 2 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) r r r r r r r c a b i i i i i i i x y x y x y x y x y x y x y , i=1,2,3. (6.4.4) Запишем тождества критерия полноты (6.2.8) порядка m=2 для системы функций (6.4.3): 11 21 31 21 13 23 33 31 12 22 32 2 21 23 33 22 2 31 32 1 2 2 , , , , , r r r r r r r r r r r r r r r r r (6.4.5) Представим функции системы (6.4.3) в следующем виде: 3 1 ( , ) ( , ) r r k ij k k p ij ij x y x y , (6.4.6) где – полиномы третьей степени, удовлетворяющие условиям (2.1.7) 1 : 1 Возможно и другое задание функций r ij в силу того, что 0 ij L , i,j=1,2,3. Глава 6. Тонкие плиты 171 2 2 3 3 11 2 3 21 2 3 31 2 2 12 2 22 2 3 2 2 2 13 1 3 3 2 2 3 2 3 2 1 0 5 0 5 1 3 0 5 , , , ( ) , , , ( ) , r r r r r r r 3 2 3 23 2 33 0 5 , , r r (6.4.7) 1 ( ) . Функции (6.4.7) несовместны: при стыковке элементов непрерывны, но имеют разрывы нормальных производных. Для определения коэффициентов в (6.4.6) воспользуемся теперь критерием несоместности (6.2.11), взяв в качестве совместной системы соответствующие функции конечного элемента Купера, приведенные в разд. 6.4.4. Система уравнений критерия несовместности (6.2.11) эквивалентна девя- ти уравнениям: 2 2 2 2 2 r r r ij ij ij ij ij iji d d d d d d φ φ φ , i, j=1,2,3. (6.4.8) Решив системы уравнений (6.4.8) получим [32]: 2 2 3 3 11 2 1 2 1 3 1 2 1 3 3 2 2 6 2 1 1 1 1 12 ( ) ( ) ( ) , r 2 2 12 2 1 2 3 2 2 13 1 1 2 3 2 3 21 3 2 3 3 1 2 22 3 1 2 2 1 1 1 3 3 3 2 3 23 3 2 3 1 4 6 1 2 4 6 3 2 12 6 4 6 2 2 6 1 3 2 1 3 1 1 1 1 3 1 6 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )( r r r r r 3 1 2 3 31 3 3 3 1 2 2 3 2 3 3 3 3 2 2 1 2 2 33 3 1 2 3 6 3 3 2 12 6 12 6 3 6 2 2 3 2 6 ), ( )( ), ( )( ), ( )( ) ( ) . r r r 3 (6.4.9) где 1 2 1 3 1 1 2 3 2 2 2 2 ( ) , , , , ( ) , a b a b ab a b c c a b 172 Глава 6. Тонкие плиты Полученные аппроксимации (6.4.9) обеспечивают сходимость метода, т.к. удовлетворяют критериям полноты (6.2.8) и несовместности (6.2.11) порядка m=2 по построению. При этом они сохраняют симметрию расчетной схемы. 6.5. Совместные треугольные элементы 6.5.1. Трехузловой элемет Клафа‐Точера с 9‐ю степенями сво‐ боды (PLSA3) B работе [110] были построены методом подобластей 1 cовместные тре- угольные конечные элементы плиты с 9-ю и 12-ю степенями свободы. Рассмотрим треугольник, изображенный на рис 6.5-1a в местной системе координат. Заменой координат (2.12.1) он преобразуется к треугольнику, изображенному на рис. 6.5-1b [37]. a) б) Рис. 6.5-1. Треугольный элемент Нормали к сторонам: 12 23 13 12 23 13 12 23 13 23 13 0 1 1 1 , , , , , , , , x x x y y y n n n c c n n n a b b a a n n n . (6.5.1) В каждом узле в вершинах треугольника рассматривается по три степени свободы (6.2.1) w i , θ xi , θ yi ,которым соответствует система функций 1 1 2 3 1 2 3 ( ) ( , ), , , , , , , r r ij ij φ x y i = j φ R (6.5.2) Разобьем треугольник медианами на три треугольника, на каждом из ко- торых будем использовать полиномы третьей степени. Так как двумерный полином третьей степени имеет 10 одночленов, то 30 коэффициентов одно- значно определяются из: из условий МКЭ (2.1.7): km i j ij r km φ L ; условий совместности на границах подобластей; нормальная производная на сторонах элемента – полином первой сте- пени. 1 См. разд.2.12. Глава 6. Тонкие плиты 173 Построим вспомогательную систему функций, соответствующую степе- ням свободы узла (6.2.7): 1 1 2 3 1 2 3 ( ) ( , ), , , , , , , r r ij ij = i j R (6.5.3) В соответствии с (2.12.9) функции системы (6.5.3) будем искать в сле- дующем виде: ( , ) ( , ) ( , ) r ij ij ij , (6.5.4) где функции μ ij удовлетворяют условиям МКЭ km ij ij r km L : 1 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ij ij ij ij ij a b c (6.5.5) Функции ij удовлетворяют условиям МКЭ j km ij i km L и равны: 1 2 3 11 2 2 3 3 0 3 2 3 2 , , , r r r x x x , 1 2 12 2 2 3 0 3 1 1 , ( ), ( ), r r r x x x , 1 2 13 2 2 3 0 1 1 , ( ), ( ), r r r x x x , 2 3 1 21 2 2 3 3 3 2 0 3 2 , , ( ) ( ) , r r r x x x , 2 1 22 2 2 3 3 0 , , ( ) , r r r x x x , 2 3 1 23 2 2 3 0 1 , , ( ) ( ), r r r x x x , 2 3 1 2 3 31 2 3 3 2 3 2 0 , ( ) ( ) , , r r r x x x , 3 2 1 2 32 2 3 1 0 , ( ) ( ), , r r r x x x , 2 1 2 33 2 3 0 , ( ) , , r r r x x x (6.5.6) Функции i , i=1,2,3: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 1 0 1 2 1 0 2 1 2 1 0 2 ( ), , ( )( ), , ( )( ) r r r r r r n n n n n n x x x x x x , , , (6.5.7) Тогда: 174 Глава 6. Тонкие плиты 11 11 2 2 3 3 12 12 2 2 2 3 3 13 13 2 2 3 3 3 21 21 1 1 3 3 3 22 22 1 1 1 3 3 3 23 23 1 1 3 3 3 31 31 1 1 2 2 2 32 6 6 4 3 4 6 6 4 6 6 3 2 2 3 5 , ) , ) , ) , ) ) , ) , ) , ( ( ( ( ( ( ( n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 32 1 1 2 2 2 33 33 1 1 1 2 2 2 5 2 2 3 4 ) , ) ) ( ( ( n n n n n n n (6.5.8) 1 1 23 23 2 2 13 13 3 3 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 ( )( ) ( )( ) , , ( ) ( ) , , , a b a b a b a b c c n n a a ac a a ac b a b b a b c c n n a a ac a a ac a b a b n n ac ac (6.5.9) Коэффициенты a ij , b ij , c ij в (6.5.8) найдены из условия линейности нор- мальной производной на сторонах треугольника. В представлении (2.12.10) функций λ ij ограничимся полиномами третьей степени: 2 11 12 13 1 2 21 22 23 2 2 31 32 33 3 1 1 2 1 2 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), r r r C C C C C C C C C x x x ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij (6.5.10) Коэффициенты в (6.5.10) определим из условий равенства в точке А, центре пересечения медиан, следующих величин: 1 2 3 , r r r A A A ij ij ij r r r x x x 1 2 3 , r r r A A A ij ij ij r r r x x x 1 2 3 1 2 3 2 2 2 , , r r r A A A r r r A A A ij ij ij ij ij ij r r r r r r x x x x x x 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 r r A A ij ij r r x x (6.5.11) Условия (6.5.11) обеспечивают непрерывность функций (6.5.3) и их пер- вых производных по всей области элемента. При этом сохраняется симмет- рия расчетных схем. Глава 6. Тонкие плиты 175 Из условий (6.5.11) получаем системы девяти уравнений для определения коэффициентов , i,j=1,2,3: 11 21 31 11 12 21 22 31 32 11 13 21 23 31 33 11 12 13 1 21 22 23 2 31 32 23 3 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4 4 4 2 , , , , ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 21 22 23 2 31 32 33 3 6 8 4 6 4 8 ij ij ij ij ij ij ij ij C C C C C C , (6.5.12) где 2 2 2 2 2 , r r A k A k k k ij ij ij ij r r |