Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
φ L , i=1,2,3, j=1 6; трех дополнительных уравнений: нормальная производная на сторонах элемента является полиномом третьей степени. Данные условия гарантируют совместность элементов при их стыковке. Получаем функции (6.5.37): 11 21 31 3 4 5 3 12 12 1 13 2 23 23 3 3 4 5 3 13 12 1 13 2 23 23 3 2 2 14 12 12 1 1 6 8 3 4 3 15 3 12 6 8 3 4 3 3 15 12 1 1 2 5 0 5 0 5 0 5 , , , , , , , , , , , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( . ) . ( r r r r r r n n n n n n n n n n n 23 23 3 3 3 15 12 1 13 2 23 23 3 2 2 16 13 13 13 2 23 23 3 3 2 3 2 2 2 6 1 1 0 5 2 5 0 5 0 5 , , , , , , , , , , , ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( . ) . ( ) , r r n n n n n n n n n n Глава 6. Тонкие плиты 181 3 4 5 21 12 1 23 3 3 4 5 22 12 1 23 3 3 23 12 1 23 23 3 3 2 24 12 1 23 3 3 25 12 1 23 23 3 2 10 15 6 30 30 7 3 15 15 4 3 3 12 3 1 2 5 2 5 1 4 4 0 5 , , , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) , r r r r r n n n n n n n n n n n n 2 2 6 13 2 23 23 3 1 0 5 0 5 2 0 5 , , , ( ) ( . ) , r n n 3 4 5 31 13 2 23 3 3 32 13 2 23 23 3 3 4 5 33 13 2 23 3 2 2 34 12 1 23 23 3 3 35 13 2 23 10 15 6 30 30 4 3 3 3 12 7 3 12 12 1 0 5 2 0 5 1 4 4 0 5 , , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) , ( ) ( r r r r r n n n n n n n n n n n n n 23 3 3 2 36 13 2 23 3 1 2 5 2 5 0 5 , , , ) , ( ) , r n n (6.5.39) где 2 2 2 2 2 2 1 2 3 12 13 23 23 1 1 1 , , , , ( ) ( ) ( ) , , n n n n . (6.5.40) Функции системы (6.5.39) совместны и удовлетворяют критерию полно- ты 3-го порядка: 11 12 13 21 12 22 32 31 13 23 33 2 21 22 14 24 34 32 23 15 25 35 2 31 33 16 26 36 2 21 22 14 24 34 32 23 15 25 1 2 2 2 , , , ( ) , , ( ) , ( ) , r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r 35 2 31 33 16 26 36 2 , ( ) , r r r r r r r (6.5.41) Функции системы (6.5.35) получаем преобразованием: 1 1 2 2 3 2 3 2 2 4 4 5 6 5 5 6 2 6 6 2 , , , , , r r i i r r i i r r r i i i r r r r i i i i r r r i i i r r i i a b ac bc c a b a b c (6.5.42) 182 Глава 6. Тонкие плиты 6.6. Совместные четырехугольные элементы (SA) 6.6.1. Элемент c 12‐ю степенями свободы (PLSA4) а) б) Рис. 6.6-1. Четырехугольный элемент Метод подобластей, описанный в разд. 2.11 позволяет получить совмест- ные кусочно-полиномиальные аппроксимации для произвольного выпуклого четырехугольника, изображенного на рис. 6.6-1а в местной системе коорди- нат, с сохранением симметрии в элементе при ее наличии [114, 38]. Выполним преобразование (2.11-9). Произвольный четырехугольник, изображенный на рис. 6.6-1а, преобразуется в четырехугольник, представ- ленный на рис. 6.6-1б. В каждом узле в вершинах элемента рассматривается по три степени сво- боды (6.2.1) w i , θ xi , θ yi , которым соответствует система функций: 1 1 2 1 2 3 3 ( ) , ( , ), , , , , , , r r j ij ij φ x y i = φ R (6.6.1) Построим вспомогательную систему функций 1 4 1 2 3 1 2 ( ) ( , ), , , , , , , , r r j ij ij x y i = R , (6.6.2) соответствующую степеням свободы (6.2.7) w i , θ ξi , θ ηi Аппроксимирующие функции (6.6.2) будем искать в виде кусочных по- линомов 3-й степени, считая, что нормальная производная на стороне эле- мента – полином первой степени. В соответствии с (2.12.9): , ( , ) ( , ) ( ) r ij ij ij , (6.6.3) где функции ij удовлетворяют условиям МКЭ km ij ij r km L : 1 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ij ij ij ij ij a b c (6.6.4) Функции ij также удовлетворяют условиям МКЭ j km ij i km L и равны: 2 2 3 3 3 4 11 1 2 3 2 0 , r r r r B B x x , , Глава 6. Тонкие плиты 183 2 2 3 3 4 12 1 2 0 , r r r r B B x x , , 2 2 3 4 13 1 2 0 , r r r r B x x , , 2 3 1 4 21 2 3 3 2 0 , r r r r x x , , 2 1 4 22 2 3 0 , r r r r x x , , 2 3 1 4 23 2 3 0 , r r r r x x , , 2 2 3 3 2 3 31 1 4 3 2 0 , r r r r A A x x , , 2 2 2 3 32 1 4 0 , r r r r A x x , , 2 2 3 2 3 33 1 4 0 , r r r r A A x x , , 2 3 1 2 41 3 4 3 2 0 , r r r r x x , , 2 3 1 2 42 3 4 0 , r r r r x x , , 2 1 2 43 3 4 0 , r r r r x x , , (6.6.5) где 1 1 1 1 1 1 1 1 , , / , / A B A B У функций χ i значения всех степеней свободы узлов равны нулю: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1 0 ( ), , ( ), , r r r r n n A An n x x x x , , 3 3 1 1 3 1 1 0 ( ), , r r A B An Bn x x , 184 Глава 6. Тонкие плиты 4 4 1 1 4 1 1 0 ( ), r r B n Bn x x , (6.6.6) Коэффициенты a ij , b ij , c ij в (6.6.4) найдены из условия линейности нор- мальной производной на сторонах четырехугольника: 2 11 11 13 3 12 4 12 12 13 3 12 4 13 13 13 13 3 12 12 4 21 21 24 1 12 4 22 22 24 24 1 12 12 4 23 23 24 1 6 3 2 2 6 2 2 3 , , , , , , , , , , , , , , , ( ), ( ), ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) , ( B An n B An n B An Bn B n Bn n Bn n n n Bn n B 12 4 2 31 31 34 2 13 3 32 32 34 34 2 13 13 3 33 33 34 2 13 4 41 41 24 1 34 2 42 42 24 1 34 2 43 43 24 24 1 6 2 2 3 6 3 2 , , , , , , , , , , , , , , , ), ( ), ( ) ( ) , ( ), ( ), ( ), ( ) ( n A n Bn A An n A An Bn A Bn n n An n An n n 34 34 2 2 , , ) An n (6.6.7) В (6.6.3) положим: 2 11 12 13 1 2 21 22 23 2 2 31 32 33 3 4 2 41 42 43 1 1 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ij ij ij r ij ij ij r ij ij ij ij r r ij ij ij C C C A C C C A B C C C B C C C x x x x (6.6.8) Коэффициенты в (6.6.8) находим из условий равенства в точке A для всех подобластей величин 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 , , , r r r r A A A A r r r r A A A A r r r r A A A A ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij r r r r r r r r r r r r x x x x x x x x x x x x 1 2 3 4 2 2 2 2 r r r r A A A A ij ij ij ij r r r r x x x x (6.6.9) Получаем системы уравнений: Глава 6. Тонкие плиты 185 11 12 21 22 31 32 41 42 11 13 21 23 31 33 41 43 11 12 13 21 22 23 31 32 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij C C AC C AC C C C C C C C BC C BC C C C C C C C C C C q A A q AB B A 3 41 42 43 3 4 2 2 2 , ij ij ij ij ij C C C q B B q 11 21 31 41 ij ij ij ij C C C C , (6.6.10) где 2 A q k k ij ij , i, k=1,2,3,4. Их решения: 11 12 13 12 42 11 13 23 11 22 32 11 4 1 4 3 1 1 3 3 2 4 1 3 1 1 4 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 6 2 2 2 2 , , , , ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij C C C C C C C C C C C C C C C C A B q q q q B q q A q q B q q A A q q B (6.6.11) Можно упростить построение, рассмотрев вместо χ i. функции: ( , ) ( , ) ( , ) i i i (6.6.12) Функции в (6.6.12) – функции (6.6.8), коэффициенты которых являются решениями систем уравнений (6.6.10), у которых 2 A q k k i i , i=1,2,3,4. Если подставить в (6.6.7) вместо χ i. функции , то будут выполнены уравнения (6.6.9) и для функций μ ij , которые будут совпадать с ψ ij . Построенная система функций совместна и удовлетворяет критерию пол- ноты порядка m=2: 11 21 31 41 21 31 13 23 33 41 31 41 12 22 32 42 2 2 21 31 13 33 22 32 13 41 2 2 11 41 12 42 1 2 2 , , , ( ) , , ( ) r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r (6.6.13) Преобразование (6.2.8) имеет вид: |