Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости

• Название: В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Анкор: Метод конечных элементов и задачи теории упругости
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 5.35 Mb.
• Имя файла: Карпиловский_FEM.pdf
• Тип: Документы; #610414
• страница: 26 из 32

A
(7.2.8)
При этом:
1 2
3 1
2 3
i
i
i
 



– аппроксимации КЭплоской задачи теории упругости;
2 3
1 3
1 2
1 1
2 2
3 3
0
i
i
i
i
i
i
  









;
1
Приведены только рассматриваемые в работе операторы геометрии.

204
Глава 7. Изгиб плит средней толщины
4 5
,
ij
ij
 
– конструируются таким образом, чтобы с высокой степенью точности аппроксимировать перерезывающие силы;
1 1
i

не участвуют в формировании матрицы жесткости элемента.
 элементы JIDR:
0 1
1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0








































x
y
x
y
x
y
A
(7.2.9)
При этом:
, j=1,2,3 – могут быть не обязательно аппроксимациями элементов плоской задачи теории упругости;
, j,k=1
5, kj – некоторые из этих функций не равны нулю.
В уравнения равновесия (7.1.13) входят производные по w,

x
,

y
второго порядка. Поэтому для совместности аппроксимаций функции
, j,k=1,2,3 должны принадлежать пространству Соболева
 . Для элементов MITC функции
,
, j=1,2,3 могут не принадлежать пространству Соболева
 в силу особенностей составления матрицы жесткости.
7.3.
Треугольники DSG3
7.3.1. Элемент DSG3
Рассмотрим треугольный конечный элемент в местной системе коорди- нат, изображенный на рис. 7.3-1. а) б)
Рис. 7.3-1.
Треугольник и его мастер-элемент

Глава 7. Изгиб плит средней толщины
205
Заменой координат (6.4.1) он преобразуется к прямоугольному треуголь- нику с единичными катетами, изображенному на рис. 7.3-1б.
При построении системы аппроксимирующих функций (7.2.5) поле пере- мещений и углов поворота аппроксимируется по линейному закону:
1 2
3 2
3 1
3 1
2 1
2 3
1 1
2 2
3 3
1 2
3 1
0
,
,
,
,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i










  
 









 





(7.3.1)
4 5
,
ij
ij
 
конструируются таким образом, чтобы с высокой степенью точ- ности аппроксимировать перерезывающие силы.
Из (7.3.1) согласно (7.1.4) [104]:






1 2
3 1
2 3
1 2
1 2
3 1
2 3
1 2
3 1
2 1
3 1
2 3
1 1
1 1
1 1
1 1
(
)
(
)
(
)
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
w
w
w
w
w
w
a
w
w
w
w
y
b
w
w
w
w
ac
c


 

 
     

     


 

 
     

     





  


  




 

  






  


  





 
  

  

xz
y
y
y
y
y
y
y
yz
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
(7.3.2)
Используя (7.3.2), найдем:
 приращение нормального прогиба w за счет сдвига при перемещении от узла 1 к узлу 2:
1 12 0
1 2
1 2
0 0
2
(
)
a
a
w
d
a
d
w
w










  




xz
xz
y
y
x
;
(7.3.3)
 приращение нормального прогиба w за счет сдвига при перемещении от узла 1 к узлу 3:




13 1
13 0
13 0
0 0
1 0
3 1
1 3
1 3
0 2
2 2
2
cos( )
sin( )
a
w
ds a
d
b
b
c
c
b
c
d
w
w




 
 


























τz
xz
yz
xz
yz
y
y
x
x
(7.3.4)
Используя вычисленные значения приращений прогибов, аппроксимиру- ем сдвиги с их помощью:
2 12 3
13 12 13 2
12 3
13 2
12 3
13 1
1
(
)
(
),
(
) (
)(
).
w
w
w
w
a
b
w
w
w
w
ac
c

















 


 







 
 


 



xz
yz
x
y
(7.3.5)
Подставив (7.3.3) и (7.3.4) в (7.3.5), получаем:
2 1
1 2
1 2
3 2
3 1
3 1
1 2
1 1
2 2
(
)
(
),
(
)
(
).
w
w
a
b a
b
b
w
w
w
ac
ac
c
c




















xz
y
y
yz
y
y
x
x
(7.3.6)
Из (7.3.6) следует:

206
Глава 7. Изгиб плит средней толщины
 
 
 
 
 


4 4
4 13 11 12 5
5 5
11 12 13 4
4 4
23 21 22 5
5 5
21 22 23 4
31 5
31 0
0 5 1
0 5 0
0 0 5 1
0 0 5 1
,
,
,
,
,
,
/
c
b a
ac
c
b
b c
ac
a
























































































 






 
 
 
4 4
32 33 5
5 32 33 0
0 0
0 5 0 5
,
,
/
a
b c
c



























.
(7.3.7)
При этом оператор геометрии А должен иметь вид (7.2.8).
7.3.2. Элемент DSG3М
Необходимо заметить, что выражения (7.3.3) и (7.3.4) являются прибли- женными, т.к. зависят от пути интегрирования. Для того, чтобы обеспечить сохранение симметрии расчетных схем, выберем путь интегрирования по ме- дианам треугольника:










1 3
21 1
2 1
2 3
0 1 3 1
2 1
3 1
2 3
0 1
1 2
1 2
3 1
1 3 2
1 1
1 1
2 1
1 2
/
/
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
w
a b
w
w
d
a
b
c
w
w
w
w
d
ac
c
a b
w
w
d
a
b
c
w
ac
 
 



     


     


     






 



  






 


  







  





y
y
y
x
x
x
y
y
y


0 1
2 1
3 1
2 3
1 2 1 3 2
1 1
2 1
2 3
1 1
2 3
6 6
6 6
6
/
)
(
)
(
)
w
w
w
d
c
c
c
a b
a b
a
w
w



     






 

 


  











x
x
x
x
x
y
y
y
(7.3.8)










1 3
31 1
2 1
2 3
0 1 3 1
2 1
3 1
2 3
0 1 3 1
2 1
2 3
1 2 0
1 1
1 1
1 1
2 1
/
/
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
w
a b
w
w
d
a
b
c
w
w
w
w
d
ac
c
b a
w
w
d
a
b
c
w
ac
 
 



     


     


     



 

 



  






 


  







  






y
y
y
x
x
x
y
y
y


1 2
1 3
1 2
3 1
1 3 2
1 1
/
)
(
)
(
)
x
w
w
w
d
c



     



 


  



x
x
3 1
1 2
3 1
2 3
1 2
3 3
6 2
6 6
6
c
c
b a
b
b a
w
w
c
c















x
x
x
y
y
y
(7.3.9)
Подставив (7.3.8) и (7.3.9) в (7.3.5), получаем:
2 1
2 1
1 2
2 3
1 2
1 3 1
6 6
6 6
(
)
(
)
,
c
a b
a b
w
w
w
a
a
a
a
a
















xz
x
x
y
y
y

Глава 7. Изгиб плит средней толщины
207 2
2 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 1
1 1
6 3
6 6
6 2
1 1 2 6
2 6
b
b
a
b
b
b
w
w
ac
c
a
ac
ac
a
b
ab
b a
w
ac
c
c









































yz
x
y
x
y
x
y
(7.3.10)
Тогда:
 
 
 
 
4 4
4 13 11 12 2
2 5
5 5
11 12 13 4
4 4
23 21 22 2
5 5
5 21 22 23 2
1 1
1 2
6 6
3 1
1 1
6 6
(
)
,
,
,
(
)
,
,
a b c
c
с
b a
b
a
J
a
J a
b
a b c
c
c
b
a b
J
a
J b
















































































 













 
 
 
4 4
4 31 32 33 5
5 5
31 32 33 2
0 0
1 1
0 5 2
6
,
,
,
ab
c
a
b a
J
c















































.
(7.3.11)
Оператор геометрии А имеет вид (7.2.8).
7.4. Изопараметрический четырехугольник с узлами в
вершинах (MITС4)
Рассмотрим четырехугольник, изображенный на рис. 7.4-1.
Рис. 7.4-1.
Четырехугольник
Используя изопараметрическое преобразование (4.4.32) с полилинейными аппроксимациями (4.4.13), приводим его к единичному квадрату.
В каждом узле i-го элемента вводится три степени свободы (7.2.2).
Рассмотрим систему аппроксимирующих функций:


5 1
1 2 3 2 3 4
( )
, j
, ,
,
,
( , ),
, ,
r
r



φ
φ
ij
ij
x y i =
R
,
(7.4.1)
1 2
3 1
2 3
1 2
3 0
0 0
0 0
0
,
,
( , )
( , )
( , )
i
i
i
i
i
i
i
r
r
r


































































φ
φ
φ
i
i
xz
xz
xz
yz
yz
yz
i
i
i
x y
x y
x y
,
(7.4.2) где ψ
i
, i=1,2,3,4 – функции (4.4.23).
Дифференциальный оператор А в геометрических уравнениях (1.3.2) за- пишем в виде (7.2.8).

208
Глава 7. Изгиб плит средней толщины
Угол сдвига в точке на середине стороны ij определим через узловые зна- чения:
1 2
(
)
w
w
a

 




j
i
ij
i
j
ij
(7.4.3)
Проецируя на оси системы координат ξη, получаем для точек A, B, C, D в серединах сторон [102, 103]
2 1
1 2
12 4
2 2
4 2
4 24 4
3 3
4 3
4 34 3
1 1
3 1
3 13 1
2 1
2 2
1 2
2 1
2 2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
A
z
B
z
C
z
D
z
a
w
w
a
d a
e
w
w
a
d b
e c
w
w
a
b
c
w
w
a







































































y
y
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
,
,
,
.
(7.4.4)
Используя значения сдвигов в серединах сторон, определим значения сдвигов в любой точке пластинки по следующим интерполяционным форму- лам:




12 34 13 24 1
1 1
1
(
)
,
(
)
,
A
C
z
z
z
D
B
z
z
z
a
a
a
a
a
a











 



 

 

 
(7.4.5) где a

и a

– длины отрезков прямых в системе координат XOY, соединяю- щих точки на сторонах элемента, которые получены при пересечении соот- ветственно с линиями ξ=const и η=const:

 



2 2
2 2
2 2
2
(
)
(
)
,
(
)
(
)
a
a
a b d
c
e c
a
b
a b d
e c






   
  
   


.
(7.4.6)
Преобразуем теперь сдвиги из системы координат ξη в систему координат
XOY:
(
)
(
),
(
)
(
).
z
z




















xz
yz
xz
yz
cos
sin
cos
sin
(7.4.7) где


и


– углы между осью x и соответственно осями ξ и η.
1 1
1 1
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
a
a
a
a




























y
x
cos
sin
y
x
cos
sin
(7.4.8) т.к. для преобразования (4.4.28) с полилинейными аппроксимациями (4.4.10):

Глава 7. Изгиб плит средней толщины
209 2
2 2
a





















y
x
,
2 2
2
a





















y
x
,
(7.4.9) то:
12 34 1
1 24 13 1
1
(
)
(
)
A
C
z
z
z
D
B
z
z
z
a
a
a
a
a
a
 


 





 





 




 


 




 




 
 





