Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
Глава 7. Изгиб плит средней толщины (теория Рейсснера‐Миндлина) 7.1. Теория изгиба плит средней толщины Теория Кирхгоффа-Лява применима к тонким пластинам. Это хорошо ил- люстрирует график на рис. 6.7-4. При увеличении толщины пластин гипотеза прямых нормалей уже неприменима. Теория Рейсснера-Миндлина позволяет рассчитывать как тонкие, так и средней толщины пластины. Рассмотрим плиту толщиной h, изображенную на рис. 6.1-1, у которой плоскость XOY совпадает со срединной плоскостью. На нее действует пер- пендикулярная ее поверхности нагрузка интенсивности q(x,y). Будем считать, что напряжения линейно изменяются по толщине пласти- ны, а на срединной поверхности равны нулю. Тогда из (6.1.7) следует: 3 3 3 12 12 12 , , y xy x M M M h h h x y xy z z z . (7.1.1) Из краевых условий (6.1.6) и уравнений (6.1.9): 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 1 3 4 2 3 4 2 3 4 2 ( ), ( ), ( ). p h h h Q h h Q h h z x xz y yz z z z z (7.1.2) Очевидно, что выполнено уравнение равновесия (6.1.11). В теории Рейсснера-Миндлина углы поворота нормали θ x и θ y принима- ются в качестве независимых кинематических параметров, не связанных уравнениями (6.1.1) с перемещением w. При этом роль кривизн в (6.1.4) иг- рают их производные: 1 2 , y y x x x y xy , x y y x (7.1.3) Учитывая (6.1.1): , w w xz y yz x x y (7.1.4) При этом выражения (7.1.4) не зависят от z. Поэтому будем считать их усредненными по высоте деформациями сдвига. Рассмотрим часть функционала Лагранжа, соответствующую поперечным силам, при выполнении соответствующих равенств закона Гука: Глава 7. Изгиб плит средней толщины 199 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 1 1 2 2 9 4 1 6 2 10 4 / / / / / / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). h h h h h h dz d G G Q Q Q Q h z d G G h G G h yz xz xz xz yz yz xz yz y y x x xz yz xz yz z z (7.1.5) Поставим усредненным деформациям сдвига в соответствие усредненные касательные напряжения 1 1 5 6 , , h h xz xz xz yz yz yz G G k k k (7.1.6) Получаем уравнения, выражающие перерезывающие силы через дефор- мации (7.1.4): , y Q Q x xz xz yz yz G G k k (7.1.7) В матричной форме: , , Q Q w M M M u σ ε x y x x y y xy xy xz yz x y (7.1.8) Физические и геометрические уравнения: , σ Сε ε Au (7.1.9) Дифференциальный оператор A и матрица упругости С в (7.1.9): 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 T xz yz x y y x x y G G , C A k k 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 0 0 0 0 C C C C C C C C C . (7.1.10) Для изотропного материала: 2 5 1 1 1 0 5 1 ( ) . ( ) D h C , , 3 2 12(1 ) Eh D . (7.1.11) Уравнение равновесия имеет вид: 200 Глава 7. Изгиб плит средней толщины 0 0 0 0 1 0 1 0 0 ( ) ( ), q B x x B x y y x x y = (7.1.12) Заметим, что T B A . Система дифференциальных уравнений равновесия в перемещениях без учета нагрузок в виде моментов и температуры 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 , ( ) , ( ) q w D w w y x y x x x y y x y y x y x y y x x x y x y (7.1.13) Напряжения на поверхностях пластины вычисляются по формулам (6.1.18). Преобразования систем координат Рассмотрим в нейтральной плоскости пластины систему прямоугольных координат X'Y', полученную поворотом XY на угол φ. Тогда матрица S в пре- образовании (2.10.1) имеет вид (4.1.18). После соответствующих преобразований получаем для деформаций, мо- ментов и перерезывающих сил следующие зависимости: 0 0 , ' ' T S ε S ε S S M S M = , S x x y y Q Q Q Q , (7.1.14) где S – матрица преобразования (4.1.21) плоской задачи теории упругости. Матрица связи деформаций и напряжений D в физических уравнениях (7.1.9) при переходе к новой системе координат преобразуется следующим образом: ', σ С'ε ' = ' T С S СS (7.1.15) Для изотропного материала при ортогональном преобразовании С' = С. Краевые условия Рассмотрим точку x на границе тела , где нормаль к границе области n ={n x ,n y } T . Краевые условия в точке x могут быть: кинематическими, когда заданы значения прогиба и/или значения углов поворота на контуре: w w x Γ Γ и/или , n n x Γ Γ и/или , x Γ Γ (7.1.16) Глава 7. Изгиб плит средней толщины 201 Если заданы три эти условия и 0 0 0 , , , , n w Γ Γ Γ , то говорят о же- стком защемлении пластины на краю. статическими – равенство в точках границы внешним нагрузкам, дейст- вующим по нормали к контуру: момента M n и/или перерезывающей силы: , n n M M x Γ Γ и/или , M M x Γ Γ и/или , n n x Γ Γ Q Q (7.1.17) Если на незакрепленном и ненагруженном крае пластинки отсутствуют внешние силовые факторы, то говорят о свободном крае; смешанные. Если край оболочки не является жестко защемленным или свободным, то граничные условия формулируются, исходя из отсутствия на этом участке внешних силовых факторов. Частным случаем смешан- ных краевых условий является шарнирное опирание, когда на контуре за- дано только нулевое значение прогиба w и углов поворота τ Не пересекаются участки границы, на которых заданы: и и и , , , , , , n n n w M M Γ Γ Γ Γ Γ Q В отличии от теории Кирхгоффа-Лява, на границе не два, а три ки- нематических и, соответственно, три статических краевых условия. Температурные воздействия Если нет возможности свободно изгибаться, то возникают температур- ные/тепловые напряжения, которые необходимо учесть в физических уравне- ниях (1.3.1), где при линейном изменении температуры по толщине пластины температурные деформации вычисляются по формулам (6.1.19) или (6.1.20). Подставив (6.1.19) или (6.1.20) в (1.4.11) и проинтегрировав по z, получим учет температурных деформаций в потенциальной энергии. Главные моменты и главные кривизны вычисляются по формулам (6.1.25)–(6.1.28) Функционалы Используя матричную запись (7.1.9), получим для теории изгиба тонких пластин Кирхгоффа-Лява функционалы Лагранжа (1.4.11), Кастельяно (1.4.15), Рейсснера (1.4.16) и смешанный функционал (1.4.17). Запишем работу внутренних сил для изотропного материала в функцио- нале Лагранжа без учета температурных воздействий: 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) D d D w w d u y y y x x x y x x y x y x y x y E (7.1.18) 202 Глава 7. Изгиб плит средней толщины В функционал Лагранжа входят производные первого порядка функции перемещений w, θ x и θ y . Следовательно, энергетическое пространство задачи совпадает с пространством Соболева ) 1 7.2. Степени свободы и аппроксимации Как и для решения задачи изгиба плит по теории Кирхгоффа, использу- ются, как правило, конечные элементы, имеющие геометрическую форму треугольника, прямоугольника и произвольного четырехугольника. Про- стейшие элементы имеют только узлы, совпадающие с вершинами много- гранников. В элементах с повышенной аппроксимацией добавляются узлы, лежащие на их сторонах. Будем рассматривать обобщенные «перемещения» 2 5 , , , , ( ) T w u x y xz yz R (7.2.1) В каждом узле конечных элементов определим по три степени свободы: , , w i xi yi i=1,2,…,N, (7.2.2) где N r – число узлов элемента, которые при формировании матрицы жестко- сти элемента располагаются в следующем порядке: 1 1 1 { } , , ,..., , , r r r N N N w w x y x y (7.2.3) Степеням свободы (7.2.3) соответствует система аппроксимирующих функций: 1 2 3 4 5 5 1 2 3 , , , , ( ) , , , , ( , ) , ( ) T ij ij ij ij ij ij ij r φ φ x y i j R . (7.2.4) Функции располагаются в порядке (7.2.3): 11 1 2 1 3 1 2 3 { } , , , , , , , , ,..., , , r r r N N N φ φ φ φ φ φ (7.2.5) При использовании внутренних степеней свободы будем рассматриваеть вспомогательную систему функций: 5 1 2 0 1 2 3 , , ( ) , , ( , ), , ( ),( ) ( , ) , , ,.. , , km ij km ij k k r k ij ij ij r L k L k ψ ψ μ μ μ ψ , j,m x x y i y k = R (7.2.6) Функции в (7.2.6) будем искать в следующем виде: 4 5 0 0 0 ( , ) , , , ( , ), ( , )) T k k k μ x y x y x y (7.2.7) Систему функций (7.2.4) получим из (7.2.6) конденсацией дополнитель- ных степеней свободы. 1 Возможен учет в функционале Лагранжа компонент x z и y z , которые при- водят к дополнительным нагрузкам в виде моментов [11]. 2 Рассматриваем в пятимерном пространстве вместо трехмерного для упрощения дальнейших выкладок. Глава 7. Изгиб плит средней толщины 203 Когда просто используют классические аппроксимации элементов пло- ской задачи теории упругости, то принимают: 1 2 3 1 2 3 i i i – аппроксимации КЭ плоской задачи теории упругости; 2 3 4 5 1 3 4 5 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 4 5 3 3 3 3 0 0 ; i i i i i i i i i i i i . В большинстве случаев при таком подходе возникает так называемый эффект запирании: для таких элементов при расчете тонких плит нет сходи- мости метода. Основной причиной эффекта запирания является то, что невозможно за- дать такие значения степеней свободы одного элемента, чтобы обеспечить постоянные моменты по его области при линейных и квадратичных прогибах w и линейных углах поворота. Это связано с тем, что в дифференциальных уравнениях равновесия (7.1.13) и, соответственно, в функционале (7.1.18) имеем разные порядки дифференцирования по переменным. Существует много методов ликвидации режима запирания. Наиболее час- то используют: гибридные схемы, основанные на функционале Рейсснера [133]; специальные процедуры аппроксимации поперечных сдвигов (Mixed In- terpolation of Tensorial Components, MITC, [102,103]), DSG (Discrete Shear Gap, [104]) и другие; введение внутренних степеней свободы; совместную интерполяцию перемещений и углов поворота (JOINT INTERPOLATION OF DISPLACEMENTS AND ROTATIONS, JIDR) [118]. Запишем работу внутренних сил (7.1.18) в матричном виде, используя вектор «перемещений» (7.2.1). Оператор геометрии А имеет разный вид в за- висимости от метода построения конечных элементов 1 : элементы MITCиDSG: 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y x y |