Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 8.1. Тела вращения Телом вращения называется объёмное тело, возникающее при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости. Пусть, как изображено на рис. 8.1-1a, это будет ось OZ, относительно которой симметричны также нагрузки и связи. a) б) Рис. 8.1-1. Тело вращения Введем цилиндрическую систему координат r z и рассмотрим произ- вольное сечение тела плоскостью, проходящей через ось OZ: u и w – перемещения вдоль соответствующих осей в системе координат rz (рис. 8.1-1б): , r u w x u z ; { } ( ) , , , , , T r z r rz z ε x – деформации; { } ( ) , , , , , z r rz z T r σ x – нормальные и касательные напряжения. Т.к. OZ является осью симметрии, то перемещения точек в этой плоско- сти не зависят от : ( ) ( , ), ( ) ( , ) u u r w w r x x z z . (8.1.1) Геометрические уравнения (3.1.4) принимают вид: 1 0 , , , , r z rz r z u u w r r u w r z z (8.1.2) Физические уравнения для изотропного материала следуют из (3.1.7): Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 225 2 2 0 2 0 , , , , , , r r rz rz x z z z G G G G (8.1.3) где u u w r r z – объемная деформация; λ и G – коэффициенты Ляме (3.1.8). Из уравнений равновесия (3.1.2) для изотропного материала: 2 2 2 2 1 ( , ) ( ) , r z G G G G F r r F r r r z (8.1.4) – усредненный угол поворота (3.1.16) вокруг оси, ортогональной плоскости сечения 1 2 u w r z , (8.1.5) F r и F z – радиальная и осевая нагрузки по кругу, образованному вращением точки тела вокруг оси OZ. В самом общем случае, используя (3.1.10), получим физические уравне- ния и уравнения равновесия для анизотропного материала. Краевыми условиями в точках на границе тела могут быть: кинематические, когда заданы значения перемещений. Если на части поверхности заданы обе нулевые компоненты перемещений, то говорят о жестком защемлении. Данные краевые условия являются главными при решении вариационной задачи минимизации функционала Лагранжа; статические граничные условия – равенство внутренних усилий по- верхностным нагрузкам в точках границы. Данные краевые условия яв- ляются естественными при решении вариационной задачи минимизации функционала Лагранжа; в силу симметрии на оси OZ: u(0,z)=0. Введем дифференциальный оператор геометрии A: 0 0 0 0 0 0 0 1 T r r A z z r (8.1.6) Тогда в матричной форме: , , σ Сε ε Au (8.1.7) где С – матрица упругости (3.1.9) для изотропного материала и (3.1.10) - для анизотропного. 226 Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости Функционал Лагранжа 1 2 2 ( ) , T r z T r z F F AD d d F u F w AD r AD dF r dF F u F w AD u u u u u (8.1.8) где F – плоская геометрическая фигура, образующая тело вращения. 8.2. Степени свободы и аппроксимации Осесимметричная задача теории упругости сводит трехмерную простран- ственную задачу к двумерной. Т.к. уравнения равновесия имеют второй по- рядок дифференцирования, то для построения конечных элементов исполь- зуют, как правило, аппроксимирующие функции плоской задачи теории уп- ругости, описанные в Главе 4. Использование схем численного интегрирова- ния с внутренними точками позволяет обойти особенности подинтегрального выражения в (8.1.8), которое вырождается при r=0. Элементы с двумя степенями свободы в узле Классические конечные элементы в каждом узле имеют по две степени свободы: u i , w i , i=1,2,…,N r ., где N r – число узлов элемента. Вводится система функций (р.4.4): 1 2 ( , ), ( , ) , r r φ ij z j r i , (8.2.1) а поле перемещений представляется в виде: 1 2 , , ( ) ( , ) ( ) r r r u v u φ φ i i i i i r z , (8.2.2) 1 1 2 0 0 , , , , r r φ φ i i i i i R , i=1,2,…N r (8.2.3) Конечные элементы имеют 2N r степеней свободы, которые при формиро- вании матрицы жесткости элемента располагаются в следующем порядке: 1 1 { } , ,..., , r r N N u v u v , и, соответственно, 11 1 2 1 2 { } , , , , , ,... , , r r r r r r N N φ φ φ φ (8.2.4) При построении конечных элементов с двумя степенями свободы в узле можно использовать в (8.2.3) любые системы аппроксимирующих функций, приведенные в разд. 4.4. Элементы с квазивращательными и вращательными степенями свободы Более сложными являются элементы метода перемещений с тремя степе- нями свободы в узле, когда к значениям перемещений u i , w i добавляется ус- редненный угол поворота (8.1.5), который характеризует поворот бесконеч- но малого объема, окружающего точку x [5]. Данная величина инвариантна относительно ортогональных преобразований систем координат. При построении конечных элементов воспользуемся [117]: Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 227 квазивращательными степенями свободы (разд. 4.5); совместными аппроксимациями (разд .4.7). При трех степенях свободы в узле конечные элементы имеют 3N r степе- ней свободы, которые при формировании матрицы жесткости элемента рас- полагаются в следующем порядке: 1 1 1 { } , , ..., , , r r r N N N u v u v или 1 1 1 , , ..., , , { } r r r N N N u v u v , (8.2.5) и соответствующую им систему аппроксимирующих функций: 1 2 3 ( ), ( ) , j , , r r φ ij r,z i (8.2.6) Поле перемещений для степеней свободы i / i представляется в виде: 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 , , , ,u ,u ,u ,v ,v ,v ( ) ( ) r r N r r r i i i i i i i N i i i i i i i i i i i i i v v u u x φ φ φ u u v (8.2.7) Обозначим вектора нормали к стороне элемента в плоскости rOZ: 1 1 1 , , , , , , ij r j i ij z ij ij ij z i j ij r ij ij ij n n n n a a a n τ z z r r (8.2.8) a ij – длина стороны ij. При построении матриц жесткости осесимметричных элементов в связи с наличием особенности в подинтегральном выражениии (8.1.8) на оси OZ имеет смысл использовать высокоточные схемы численного интегрирования. 8.3. Элементы с квазивращательными степенями сво‐ боды 8.3.1. Трехузловой элемент (QRDF3A) Рис. 8.3-1. Треугольный элемент Рассмотрим треугольник, изображенный на рис 8.3-1. Заменой координат (8.3.1) он преобразуется к прямоугольному треугольнику с единичными кате- тами. 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) . r r r r r r z z z z z z (8.3.1) Условиям (4.3.6) удовлетворяет следующая аппроксимация перемещений: 228 Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 1 2 3 12 12 2 1 23 32 3 2 13 13 1 3 1 2 3 12 12 2 1 23 32 3 2 13 13 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r r z z z u u u u a n a n a n v v v v a n a n a n r,z + , r,z + 1 3 1 ( ) ( ) , (8.3.2) а функции системы (8.2.6) имеют вид: φ i,j , j=1,2 – совпадают с линейными аппроксимациями (4.4.5); 13 13 12 12 13 13 13 12 12 12 12 23 32 23 12 12 23 32 23 32 13 13 33 23 32 13 13 1 2 1 1 2 1 1 2 , , , , , , , , , , , , , ( ) , ( ) ( ) ( ) r r z z r r z z r r z z a a n a a n a n a n a n a n a n a a n a n φ φ φ n n n (8.3.3) Функции (8.3.3) могут привести к геометрической изменяемости систем уравнений, если не заданы закрепления дополнительных степеней свободы. Для условий (4.3.7) получаем полиномы 3-й степени: 1 2 1 2 3 2 1 3 3 1 1 3 2 1 2 3 2 3 ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , u x μ x μ x μ x μ x μ x μ x μ x μ x μ x (8.3.4) 1 12 12 2 23 32 3 13 13 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( )( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). a a a μ x n μ x n μ x n (8.3.5) Тогда в (4.3.8): 3 , χ i i , i=1,2,3 – функции (8.3.3), 1 1 3 2 1 2 3 2 3 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ζ μ x μ x ζ μ x μ x ζ μ x μ x (8.3.6) 8.3.2. Четырехузловой изопараметрический элемент (QRDF3AIP) Рассмотрим четырехугольник, изображенный на рис 8.3-2. Заменой сис- темы координат (8.3.7) с использованием функций (4.4.13) он преобразуется к единичному квадрату. Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 229 Рис. 8.3-2. Четырехугольный элемент 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) r r N x i i i N y i i i r r r r z z z z (8.3.7) Условиям (4.3.6) удовлетворяет следующая аппроксимация перемещений: 12 12 24 42 2 1 4 2 13 13 34 43 3 4 1 3 1 1 1 2 2 1 1 1 2 ( ) ... ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). a a a a n n u x n n (8.3.8) Функции системы (8.2.6) имеют вид: , i j φ , j=1,2 – полилинейные аппроксимации (4.4.13); 13 13 13 12 12 23 12 12 24 42 33 34 43 13 13 43 24 42 34 43 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ( )( ) , ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) . a a a a a a a a φ n n φ n n φ n n φ n n (8.3.9) Иногда добавляют еще две функции (4.5.9). Если потребовать выполнения условий (4.3.7), то получаем: 1 2 1 2 4 2 3 4 3 1 3 4 ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) u x μ x μ x μ x μ x (8.3.10) 1 12 12 2 24 42 3 34 43 4 13 13 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( ) ( )( )( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )( )( ) a a a a μ x n μ x n μ x n μ x n . (8.3.11) 230 Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости Тогда в (4.3.8): 3 , i i χ ψ , i=1,2,3,4 – функции (8.3.9), 1 1 4 2 1 2 3 3 4 4 2 4 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ). ζ μ x μ x ζ μ x μ x ζ μ x μ x ζ μ x μ x (8.3.12) 8.3.3. Четырехузловой элемент с кусочно‐полиномиальной аппроксимацией (QRDF4ASA) Рассмотрим выпуклый четырехугольный конечный элемент, который изображен на рис. 8.3-2. Линейным преобразованием (2.12.1) он преобразует- ся в четырехугольник, представленный на рис. 4.4-8б. Тогда в соответствии с условиями (4.3.6) можно записать: 12 12 8 2 1 13 13 7 1 3 24 42 5 4 2 34 43 6 3 4 1 1 8 8 1 1 8 8 ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ), a a a a u x n n n n (8.3.13) где: i , i=1,2,3,4 – функции системы (4.4.23), i , i=5,6,7,8 – (4.4.24). Функции системы (8.2.6) имеют вид: φ i,j , j=1,2 – аппроксимации (4.4.23); 13 13 13 7 12 12 8 23 12 12 8 24 42 5 33 34 43 6 13 13 7 43 24 42 5 34 43 6 1 8 1 8 1 8 1 8 , , , a a a a a a a a φ n n φ n n φ n n φ n n (8.3.14) Для выполнения условий (4.3.7) в представлении (4.5.10) воспользуемся полиномами третьей степени: 1 12 8 2 42 5 3 43 6 4 13 7 1 8 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ). B A A B μ x n μ x n μ x n μ x n (8.3.15) Тогда в (4.3.8): 3 , χ ψ i i , i=1,2,3,4 – функции (8.3.14), 1 1 4 2 1 2 3 3 4 4 2 4 ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ). ζ μ x μ x ζ μ x μ x ζ μ x μ x ζ μ x μ x (8.3.16) Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 231 8.4. Элементы с вращательными степенями свободы ( DDF) 8.4.1. Треугольник с узлами в вершинах (DDF3A) Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 8.3-1, и выполним пре- образование системы координат (2.12.1) в треугольник, изображенный на рис. 2.12-3. Запишем (2.12.1) в следующем виде: 11 12 21 22 r z r r a z r r a r (8.4.1) Построение будем делать на кусочных полиномах второго порядка. Как и для элемента разд. 4.7.1, построим функции (x), i=1, 2, 3, которые на каждой из подобластей являются полиномами второго порядка, равны ну- лю на сторонах треугольника, непрерывны на и удовлетворяют условиям (2.1.7). Получаем единственное решение: 11 21 12 22 21 22 11 22 12 21 11 12 1 1 2 2 3 3 2 1 1 1 2 2 1 2 1 3 3 = 3 2 2 1 2 , , , ( , ) , , , , ( , ), ( ) ( ) ( ) r r r r p r r p r r r r r r p λ x x x x λ λ x x , p (8.4.2) Функции , i=1,2,3 имеют разрывы на границах i (стороны элемента при стыковке, отрезки медиан), но ( i (x)) непрерывны в узлах элемента. Функции, соответствующие вращательным степеням свободы, аналогич- но (4.6.12), зададим в следующем виде: 3 1 4 3 ( ) ( ) ( ) r φ x χ x ζ x r i i , 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ζ x λ x λ x λ x , (8.4.3) где i – функции (4.5.6) в системе координат . Функции, соответствующие перемещениям: φ i,j , j=1,2 – аппроксимации (4.7.3) Можно увеличить точность расчета, добавив как соответствующие внут- ренним степеням свободы, равные нулю на сторонах элемента функции (4.7.8). 8.4.2. Шестиузловой треугольник (DDF6ASA) Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 4.3-1, и выполним пре- образование системы координат (2.12.1) в треугольник, изображенный на рис. 4.6-2b. Построение будем делать на полиномах третьего порядка на каж- дой из подобластей. 232 Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости Рис. 8.4-1. Шестиузловой треугольный элемент Функции, соответствующие вращательным степеням свободы, зададим следующим образом: 3 6 3 4 ( ) ( ) ( ) ( )) ( k r i i k r φ x λ x φ x λ x k3 i L , i=1,2,3, (8.4.4) где (x)– функции (8.4.2), а 3 ( ) i r φ x 1 : 5 5 5 3 43 12 1 2 2 53 13 1 3 2 1 3 63 1 1 1 2 3 2 32 3 1 2 0 1 2 0 1 0 ( )( ), , , , ) ( )( ), , , , ) ( ), , , ) ( ( ( r r x x r r r r x x r r r r x x Y x φ x x x Y τ x Y Y x φ Y τ x Y Y x φ Y τ Y x 2 3 r r (8.4.5) Функции, соответствующие перемещениям, получим из переведенных в заданную систему координат аппроксимаций (4.4.8) элемента без вращатель- ных степеней свободы, корректируя их по (4.6.6) с помощью функций (8.4.5). Можно увеличить точность расчета, добавив как соответствующие внут- ренним степеням свободы функции (4.7.8). 8.4.3. Четырехугольник с узлами в вершинах (DDF4ASA) Рассмотрим выпуклый четырехугольник, изображенный на рис. 8.4-2 и выполним преобразование системы координат (2.12.1) в четырехугольник, изображенный на рис. 2.12-2б. Запишем (2.12.1) в виде (8.4.1). Построим функции (x), i=1,2,3,4, которые на каждой из подобластей яв- ляются полиномами второго порядка, равны нулю на сторонах четырех- угольника и непрерывны на . Получаем формулы (4.7.7), в которых r ij – ко- эффициенты преобразования (8.4.1). Как и у треугольного элемента, функции i , i=1,2,3,4 имеют разрывы z на границах i (стороны элемента при стыковке, отрезки диагоналей), но z ( (x)) непрерывна в его узлах. 1 Можно применить функции (4.6.13), что приведет к повышению степени поли- нома до 4-й. Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 233 Совместные функции, соответствующие вращательным степеням свобо- ды, сохраняющие тождества (4.3.17), зададим с учетом опыта построения треугольных элементов: 4 3 1 1 4 , =1,2,3,4, 3 1 сторона 0 диагонал ) ь ( ) ( ( ) ( , ) ( ) , ( , ) , , k r k k φ x χ x λ x i i i k i i k k (4.4.6) где i (x), i=1,2,3,4 – функции (4.5.12). Функции, соответствующие перемещениям, получим из аппроксимаций (4.4.23) элемента без вращательных степеней свободы, корректируя их по (4.6.6) с помощью функций (4.7.7). Можно увеличить точность расчета, добавив как соответствующие внут- ренним степеням свободы функции (4.7.10). 8.4.4. Восьмиузловой четырехугольник (DDF8ASA) Рис. 8.4-2. Восьмиузловой четырехугольник Рассмотрим выпуклый четырехугольник, изображенный на рис. 8.4-2 и отобразим его в четырехугольник, изображенный на рис. 12.2-2б. Запишем преобразование (2.12.1) в виде (8.4.1). Построение будем делать на полино- мах третьего порядка на каждой из подобластей. Функции, соответствующие вращательным степеням свободы в узлах, за- дадим следующим образом: 3 3 3 8 3 5 5 6 7 8 , 1 2 3 4 ( ) ( ), , , , , ( ) ( ) ( ) ( )) , , , , , ( k k r r r i i r φ x x φ x λ x φ x λ x i i i k3 i i ψ L (8.4.7) i3 (x)– функции (4.6.34), i (x) – функции (4.7.7). Функции, соответствующие перемещениям, получим из аппроксимаций (4.4.24) элемента без вращательных степеней свободы, корректируя их с по- мощью функций i3 (x), i=1, 2,…,8. Можно увеличить точность расчета, добавив как соответствующие внут- ренним степеням свободы, функции (4.7.8). 234 Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 8.5. Тесты Вычисления для полиномиальных аппроксимаций были выполнены как с точным вычислением матриц жесткости, так и с использованием высокоточ- ных схем численного интегрирования, приведенных в Приложении. Т.к. ре- зультаты тестов показали, что результаты вычислений отличаются незначи- тельно, то ниже приведены результаты с численным интегрированием. Таблица 8.5-1. Типы элементов для расчета осесимметричных конструкаций Степени 1 свободы Тип элемента Число узлов Описание u,w 61 4 прямоугольный, разд.4.4.5 62 3 треугольный, разд.4.4.1 64 4 четырехугольный, SA, разд.4.4.8 66 4-8 четырехугольный, IP, разд.4.4.10 65 3-6 треугольный, SA, разд.4.4.3 68 3-6 треугольный, IP, разд.4.4.10 70 4-8 четырехугольный, SA, разд.4.4.8 u,w, 162 3 треугольный, DDF3A, разд.8.4.1 164 4 четырехугольный, DDF4ASA, разд.8.4.3 165 3-6 треугольный, DDF3ASA, разд.8.4 170 4-8 четырехугольный, SA, разд.8.4 u,w, 562 3 треугольный, QRDF3AC, разд.8.3.1 564 4 четырехугольный, QRDF4ACSA, разд.8.3.3 566 4 четырехугольный, QRDFACIP, разд.8.3.2 Все тесты для элементов с квазивращательными степенями свободы вы- полнены при значении =0.001. Для элементов задействованы все приведенные в статье аппроксимации, соответствующие «внутренним» степеням свободы элементов. В таблице 8.5-1 приведены цифровые коды типов элементов, которые ис- пользуются в вычислительном комплексе SCAD [15]. Данные коды исполь- зуются при описании результатов числовых экспериментов. На оси OZ задаются краевые условия оси симметрии 2 : u(0,z) = 0, (0,z) = 0 или (0,z) = 0 8.5.1. Патологические (patch) тесты Прямоугольная пластина в условиях постоянных напряжений Рассматривается сечение тела вращения на рис. 8.5-1. При этом: E = 1.0·10 6 кПа – модуль упругости; 1 – квазивращательная, – вращательная. 2 Вычислительный комплекс Scad выполняет данные краевые условия автомати- чески. Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 235 ν = 0.25 – – коэффициент Пуассона. Рис. 8.5-1. Низ тела жестко закреплен. Запишем краевые условия: u(z,0)=0, u(0,r)=0, w(z,0)=0, (z,0)=0 или (z,0)=0. Зададим два нагружения: давление по верху тела интенсивностью р=100 кПа; равномерный нагрев тела до температуры 100°С при коэффициенте тем- пературного линейного расширения 1,2e-005 (1/°С). Данная задача имеет аналитическое рашение. Для всех рассмотренных в данной главе элементов результаты расчета совпадают с теоретическими с точностью до вычислительной погрешности. Таблица 8.5-1 . Теоретические значения напряжений и перемещений в теле Загружение Напряжения (kH) Перемещения(mm) r , r z w A u A 1 0 100 -0.012 0.144 2 0 0 0.144 0.288 Т.к. для всех элементов выполнены тождества критерия полноты (4.3.16) и, возможно, (4.3.17), то данные тесты являются критерием корректности программного кода. 8.5.2. Задача Ляме о замкнутой сферической оболочке, нагруженной изнутри и извне равномерно распреде‐ ленными давлениями Сферическая оболочка, изображенная на рис. 8.5-2, нагружена равномер- но распределенными внутренним p 0 и внешним p 1 давлениями. Задача имеет аналитическое решение [74]: 1 2 1 2 1 2 2 3 3 3 3 0 1 1 0 1 2 3 3 3 3 3 1 2 1 0 5 2 , . * , , ( ) , ( ) r r C C C C u rC C E Er p a p и b a p p C C b a r b a (8.5.1) Зададим: E = 1e6 кПа – модуль упругости материала; = 0.3 – коэффициент Пуассона; a = 2 m, b = 4 m, p 0 =–1000 кН, p 1 =0. 236 Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 237 Рис. 8.5-2. Сферическая оболочка На рис. 8.5-3 представлены базовые расчетные схемы с учетом осей сим- метрии с соответствующим заданием связей: w(0,z)=0, (0,z) = 0 или (0,z) = 0; w(r,0)=0, (r,0) = 0 или (r,0) = 0. По (8.5.1) получаем решения в точке (2,0): u z (2,0)=1.6 mm, r (2,0) = –1000 кПа, (2,0) = 714.286 кПа. Рис. 8.5-3. Расчетные схемы сферической оболочки В таблице 8.5-2 даны результаты расчетов. Сгущение сетки проводилось в прямоугольной системе координат rO 8.5.3. Задача Бусинеска о действии на упругое полупростран‐ ство нормальной силы (a) (b) Рис. 8.5-4. Действие на упругое полупространство нормальной силы 238 Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 239 На упругое полупространство z<=0 на рис. 8.5-4a действует в точке (0,0,0) нормальная сила p. Данная задача в пространственной постановке рассматри- валась в разд. 3.6.5. Сохраним значения модуля упругости материала полу- пространства E=30000 kПа и коэффициента Пуассона =0.3. Используя принцип Сен-Венана, как и в разд.3.6.4, 3.6.5, ограничимся об- ластью 64x64 m (см. рис. 8.5-4b). Краевые условия в осесимметричной постановке: u(0,z) = 0, (0,z) = 0 или (0,z) = 0 – условия на оси OZ; r(64,z)=0, w(r,64)=0 – запрещены перемещения по нормали на большом расстоянии от исследуемой области. Рис. 8.5-5. Базовые расчетные схемы для задачи Бусинеска На рис. 8.5-5 представлены базовые расчетные схемы. В табл. 8.5-4 даны результаты расчетов. Аналитическое решение данной задачи [103, 84] в точ- ках (0,–4) и (4, –4): u z (0, –4)= –4.13803mm, z (0, –4)= –29.8116 кПа, r (4, –4)= –4.10991кПа. 8.5.4. Tолстая круглая в плане плита, жестко защемленная по боковой поверхности, под действием равномерно рас‐ пределенной по верхнему основанию нагрузки Расчет плиты, представленный в разд. 3.6 на рис. 3.6-8, можно выполнить в осесимметричной постановке, как представлено на рис. 8.5-6. Рис. 8.5-6. Упругое полупространство находится под действием равномерно распре- деленной по его поверхности прямоугольной в плане 4х4 м поперечной на- грузки интенсивности 100 kH/m 2 (рис. 3.6-6а). Решение для данной задачи впервые было получено Ф.Лява [70]. Зададим: E = 30000 кПа – модуль упругости материала; = 0.3 – коэффициент Пуассона; 240 Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости q=100 kH/m 2 Краевые условия зададим: u(0,z) = 0, (0,z) = 0 или (0,z) = 0 – условия на оси OZ; u(R,z)= w(R,z)=0 На рис. 8.5-7. представлены варианты расчетных схем. Рис. 8.5-7. Расчетные схемы для плиты Таблица 8.5-4. Значения перемещений в толстой плите Тип сетки Тип эле- мента Степени свободы w(0,0),mm w(0,4), mm 4x4 8x8 16x16 32x32 4x4 8x8 16x16 32x32 A 61,66 r,w -4.26 -4.458 -4.517 -4.535 -4.1 -4.289 --4.348 -4.366 64,70 -4.303 -4.451 -4.521 -4.536 -4.135 -4.301 -4.352 -4.367 166 r,w, -4.26 -4.453 -4.513 -4.533 -4.09 -4.285 -4.368 -4.366 169 -4.37 -4.498 -4.532 -4.541 -4.19 -4.324 -4.361 -4.372 170 r,w, -3.92 -4.3 -4.458 -4.514 -3.75 -4.13 -4.289 -4.345 B 62,68 r,w -3.68 -4.221 -4.439 -4.511 -3.69 -4.141 -4.306 -4.354 65 -3.69 -4.223 -4.439 -4.511 -3.69 -4.149 -4.307 -4.354 168 r,w, -4.12 -4.392 -4.491 -4.525 -4.05 -4.392 -4.347 4.368 165 r,w, -3.83 -4.147 -4.364 -4.465 -3.63 -3.947 -3.957 -4.264 C 66 r,w -4.49 -4.525 -4.527 -4.541 -4.32 -4.356 -4.368 -4.373 70 -4.51 -4.532 -4.539 -4.542 -4.35 -4.363 -4.37 -4.354 170 r,w, -4.51 -4.532 -4.539 -4.542 -3.69 -4.141 -4.306 -4.354 D 65 r,w -4.5 -4.523 -4.537 -4.542 -4.34 -4.355 -4.369 -4.372 68 -4.48 -4.523 -4.356 -4.452 -4.32 -4.355 -4.368 -4.372 165 r,w, -4.44 -4.512 -4.532 -4.54 -4.26 -4.341 -4.363 -4.37 Точные значения перемещений и напряжений получены сгущением сетки как для пространственной задачи (см. разд.3.6), так и в осесимметричной по- становке: w(0,0,4) =–4.5434 mm, w(0,0,0) =–4.3748 mm, r (0,0,4) = (0,0,4)= –3369.37 кПа, r (0,0,0) = (0,0,0)= 3055.77 кПа. Глава 8. Осесимметричная задача теории упругости 241 Таблица 8.5-5. Значения напряжений в толстой плите Тип сетки Тип эле- мента Степени свободы x (0,0), kПа x (0,4), kПа 4x4 8x8 16x16 32x32 4x4 8x8 16x16 32x32 A 61,66 r,w -3222.3 -3460.1 -3451.1 -3418.5 2936.7 3152.9 3139.5 3105.7 70 -3210.9 -3418.8 -3421.3 -3401.2 2919.3 3110.7 3109.7 3088.3 166 r,w, -3145.6 -3345.2 -3379.0 -3379.7 2851.8 3039.5 3068.1 3067.0 169 -3182.9 -3344.7 -3377.9 -3379.1 2871.7 30.35.3 3066.3 3066.3 170 r,w, -2974.4 -3398.3 -3452.8 -3428.7 2683.1 3093.9 3143.2 3116.8 B 62,68 r,w -2669.1 -3322.3 -3436.0 -3424.3 1754.5 2672.1 2970.9 3040.2 65 -2754.0 -3371.5 -3465.5 -3436.3 1864.7 2743.9 3009.3 3063.9 168 r,w, -3112.0 -3324.2 -3361.6 -3365.5 2331.6 2613.8 2730.5 2787.5 165 r,w, -2835.9 -3386.7 -3467.9 -3442.5 2244.8 2858.1 3044.3 3046.9 C 66 r,w -3409.4 -3367.1 -3362.2 -3364.4 3099.4 3055.0 3049.2 3051.0 70 -3347.6 -3351.6 -3358.6 -3363.6 3037.1 3039.1 3045.4 3050.2 170 r,w, -3436.0 -3373.1 -3364.0 -3365.0 3124.6 3060.5 3050.8 3051.5 D 65 r,w -3376.4 -3370.5 -3362.8 -3371.6 2988.5 3032.7 3042.7 3046.9 68 -3412.6 -3370.5 -3364.9 -3371.8 3002.9 3032.7 3043.7 3047.2 165 r,w, -3479.7 -3405.0 3374.6 -3372.3 2869.0 2992.8 3032.1 3045.0 В табл. 8.5-4 и 8.5-5 приведены результаты вычислений в точках (0,0) и (0,4). |