Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
Таблица 9.3-4. Значения перемещений и напряжений для элементов оболочек средней толщины Тип сетки Тип элемента Вращат. степень свободы w(0,5,0.5), mm x (0,5,0.5), MПа A A2 A4 A A2 A4 A 141,146 – 0.6081 0.5696 0.5618 25.923 23.976 23.609 143 – 0.6055 0.5646 0.5633 25.796 23.757 23.246 144,150 – 0.6137 0.5709 0.5622 25.564 23.948 23.604 191 z 0.5731 0.5624 0.5602 24.709 23.718 23.549 194,196 z 0.548 0.5576 0.5591 24.083 23.594 23.519 197 z 0.5711 0.5623 0.5602 24.622 23.714 23.548 543 z 0.5704 0.5581 0.552 24.567 23.521 23.201 544 z 0.5701 0.562 0.5601 24.576 23.701 23.545 546 z 0.5719 0.562 0.5601 24.656 23.703 23.545 B 142,145,147 – 0.5568 0.5557 0.5585 21.318 23.019 23.386 148 – 0.5567 0.5557 0.5585 21.318 23.019 23.386 149 – 0.5569 0.5557 0.5585 21.32 23.019 23.386 192,195 z 0.5308 0.555 0.5585 23.27 23.489 23.495 542 z 0.5571 0.5596 0.5595 23.439 23.51 23.502 592 z 0.5538 0.5584 0.5592 23.269 23.466 23.49 C 146 – 0.5609 0.5595 0.5595 23.802 23.54 23.508 150 – 0.5604 0.5595 0.5595 23.86 23.573 23.516 196 z 0.5631 0.5595 0.5595 23.861 23.54 23.508 197 z 0.5604 0.5595 0.5595 23.66 23.533 23.508 D 145 – 0.5578 0.5593 0.5595 24.104 23.649 23.535 147 – 0.559 0.5591 0.5595 24.075 23.65 23.535 195 z 0.5564 0.5593 0.5595 23.833 23.591 23.521 9.3.3. Пространственная Z‐образная пластинчатая конструк‐ ция Пространственная Z-образная пластинчатая конструкция, работающая на кручение и изгиб, представлена на рис. 9.3.3 [103]. Она защемлена по левому торцу, а на правом торце действует вертикальная распределенная загрузка. 250 Глава 9. Оболочки Рис. 9.3-3. Пространственная Z-образная пластинчатая конструкция Зададим: E = 2.1·10 8 кПа – модуль упругости; ν = 0.3 – коэффициент Пуассона; h = 0.1 m – толщина пластин; a = 1 m – ширина вертикальных пластин; b = 2 m – ширина горизонтальной пластины; L = 10 m – длина конструкции. p = 600 кПа – вертикальная распределенная нагрузка по правым кромкам. Определяются напряжения xx в точках А(2.5,-1,-1) и В(2.5,0,0). Таблица 9.3-5. Значения напряжений в Z-образной конструкции для элементов тонких оболочек Тип сетки Тип элемента Вращат. степень свободы xx (-2.5,-1,-1), МПа xx (-2.5,0,0), МПа A A2 A4 A A2 A4 A 41,43 – -98.87 -108.2 -110.0 31.75 35.47 36.6 44,50 – -95.38 -104.7 -107.7 34.03 36.13 36.78 91,93 z -115.0 -112.68 -111.2 36.79 36.94 36.99 94,97 z -114.5 -112.6 -111.2 36.63 36.9 36.98 96 z -96.61 -106.1 -108.7 32.49 35.85 36.73 591,593 z -114.9 -112.5 -111.1 36.88 36.91 36.97 594 z -114.8 -112.5 -111.1 36.85 36.9 36.97 B 42 – -30.42 -67.26 -102.2 17.38 29.97 34.78 45 – -58.0 -87.42 -102.16 20.66 29.97 34.78 92 z -123.5 -122.6 -116.6 34.59 36.33 36.83 95 z -85.67 -101.9 -107.6 28.09 34.36 36.31 592 z -94.47 -109.2 -110.6 31.85 35.39 36.55 C 50 – -109.5 -109.5 -109.5 37.05 37.0 37.0 96 z -109.4 -109.5 -109.5 37.34 37.04 37.02 97 z -110.1 -109.9 -109.8 37.05 37.04 37.02 D 45 – -109.5 -109.5 -109.5 36.94 36.98 36.99 95 z -109.5 -109.5 -109.5 36.9 36.96 37.0 Глава 9. Оболочки 251 Рис. 9.3-4. Расчетные схемы Z-образной конструкции В табл. 9.3-5 и табл. 9.3-6 приведены вычисленные значения напряжений в точках A и B рассматриваемой оболочки. Таблица 9.3-6. Значения напряжений в Z-образной конструкции для элементов оболочек средней толщины Тип сетки Тип элемента Вращат. степень свободы xx (-2.5,-1,-1), МПа xx (-2.5,0,0), МПа A A2 A4 A A2 A4 A 141,146 – -98.67 -108.4 -110.7 31.43 35.53 36.81 143 – -98.74 -109.0 -114.8 31.62 35.72 38.12 144,150 – -95.27 -104.9 -108.39 33.82 36.22 37.0 191 z -114.5 -112.9 -111.7 36.51 36.98 37.13 194,196 z -96.16 -106.27 -109.1 32.31 35.88 36.82 197 z -114.2 -112.8 -111.7 36.37 36.97 37.12 543 z -114.6 -113.3 -115.48 36.72 37.19 38.39 544,546 z -114.4 -112.7 -111.8 36.5 37.0 37.19 B 142,145,147 – -57.59 -87.48 -102.6 20.26 30.01 34.93 149 – -58.22 -88.39 -103.2 20.5 30.34 36.13 192,195 z -85.35 -102.0 -107.9 27.95 34.34 36.37 542 z -92.31 -109.2 -107.9 31.05 35.32 36.37 592 z -94.47 -109.2 -110.6 31.85 35.39 36.55 C 146 – -110.0 -110.3 -110.7 37.28 37.24 37.4 150 – -109.4 -110.3 -110.7 37.19 37.26 37.4 196 z -109.7 -110.0 -110.2 37.36 37.15 37.2 197 z -110.2 -110.4 -110.52 37.06 37.16 37.21 D 145 – -109.8 -110.2 -110.6 36.89 37.22 37.37 147 – -110.1 -110.3 -110.7 37.15 36.26 37.41 195 z -109.8 -109.9 -110.25 36.96 37.09 37.21 252 Глава 9. Оболочки Высокоточные вычисления со сгущением сетки с использованием разных типов элементов дают с точностью до 4-x цифр следующие значения 1 : по теории Кирхгофа‐Лява: xx (-2.5,-1,-1)=109.5 МПа, xx (-2.5,0,0)=37.0 МПа. по теории Рейсснера‐Миндлина: xx (-2.5,-1,-1)=111.1 МПа, xx (-2.5,0,0)=37.5 МПа. 1 В [103] приведены приближенные контрольные значения: xx (-2.5,-1,-1)=108МПа, xx (-2.5,0,0)=36МПа. Приложение. Численное интегрирование 253 Приложение. Численное интегрирование П.1. Квадратурные и кубатурные формулы При построении матриц МКЭ и вычислении местных нагрузок на конеч- ные элементы вывод соответствующих формул, как правило, уже давно не выполняется. Использование формул численного интегрирования обеспечи- вает значительное упрощение соответствующих алгоритмов. А для полино- миальных аппроксимаций можно обеспечить даже точное вычисление всех требуемых выражений. Если необходимо вычислитьопределенный интеграл по области Ω R n от функции f(x), обеспечивающей существование данного интеграла, то приме- няют приближенную кубатурную формулу 1 ( ) ( ) K i i i f d C f x x (П.1.1) Сумма в ее правой части называется кубатурной суммой, точки x i R n – узлами кубатурной формулы, а числа C i – коэффициентами (весами). При n=1 формула и сумма в правой ее части называются квадратурными. При сложной геометрии область интегрирования представляется как объ- едение простых, для которых известны формулы численного интегрирования (отрезок, треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и др.). Если в (П.1.1) имеет место равенство для произвольной функции f(x), яв- ляющейся полиномом степени не выше p, то говорят, что порядок интегри- рования кубатурной формулы равен p. Выбирая для конечных элементов соответствующие кубатурные форму- лы с требуемым порядком интегрирования, можно обеспечить, во многих случаях, или абсолютную точность вычислений, или такую точность, что превышает погрешность метода. Высокую точность получаем, соответствен- но, для полиномиальных аппроксимаций. В Приложении приведены коэффициенты и координаты узлов кубатур- ных формул, которые были использованы при реализации конечных элемен- тов, описанных в данной книге. Схемы более высокого порядка используются для решения нелинейных задач. Более точные схемы можно найти, например, в [46, 47, 58] и других работах . П.2. Квадратурные формулы Преобразуем произвольный отрезок [ x a ,x b ], лежащий на оси ОХ к мастер- элементу [-1,1] на оси ОХ': 0 5 1 . ( )( ' ) a b a x x x x x . 254 Приложение. Численное интегрирование 0 5 ( ) . ( ) b a J x x x – его Якобиан в (2.10.3). Таблица П.2-1. Квадратурные формулы на отрезке [-1,1]. Число точек Порядок №№ точек Весовой коэффициент Координата точки x i Комментарии 1 1 1 2 0 Ф-ла прямоугольников 2 1 1-2 1 ±1 Формула трапеций 2 3 1-2 1 3 3 Формула Гаусса 3 2 1,3 1 3 ±1 Формула Симпсона 2 4 3 0 3 5 1,3 5 9 3 5 Формула Гаусса 2 8 9 0 4 7 1,4 1 5 0.5 6 6 3 2 6 7 7 5 Формула Гаусса 2,3 1 5 0.5 6 6 3 2 6 7 7 5 5 9 1,5 161 13 0.7 450 90 1 10 5 2 3 7 Формула Гаусса 2,4 161 13 0.7 450 90 1 10 5 2 3 7 3 128 450 0 П.3. Кубатурные формулы на плоскости П.3.1. Прямоугольник Рассматривается прямоугольник, лежащий в плоскости XOY, изображен- ный на рис. П.3-1а, который преобразуется в квадрат, изображенный на рис. П.3-1б с координатами узлов (±1, ±1). а) б) Рис. П.3-1. Прямоугольник и его мастер-элемент Приложение. Численное интегрирование 255 Преобразование имеет вид: 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' A B A C A A B A C A x x x x x x y y y y y y y x y x , 1 2 ( ) B A C A B A C A J x ,y' x x x x y y y y , (П.3.1). 0 25 det( ( )) . |( )( ) ( )( )| B A C A C A B A J x x y y x x y y x , y' Таблица П.3-1. Кубатурные формулы для квадрата (±1, ±1). Число точек Порядок №№ точек Весовой коэффициент Координаты точки Комментарии x i y i 1 1 1 4 0 0 Метод среднего 4 3 1-4 1 3 3 3 3 Формула Гаусса 8 5 1-2 40 49 7 15 0 3-4 40 49 0 7 15 5-8 9 49 1 7 3 1 7 3 9 5 1 64 81 0 0 Формула Гаусса 2-3 25 81 3 5 0 4-5 40 81 0 3 5 6-9 25 81 3 5 3 5 12 7 1-2 98 405 6 7 0 114 3 583 287 114 3 583 287 3-4 98 405 0 6 7 5-8 307 923 810 270 583 9-12 307 923 810 270 583 Во многих случаях можно использовать кубатурную формулу, получен- ную как произведение двух квадратурных формул при независимой аппрок- симации по X и Y: 256 Приложение. Численное интегрирование 1 1 ( ) ( ) K K ij ij i j f d C f x x , (П.3.2) где С ij = С i С j и x ij =(x i , x j ), а С i и x i – коэффициенты и координаты точек со- ответствующей квадратурной формулы. Если функции МКЭ являются также независимыми произведениями од- номерных аппроксимаций, то такие схемы, обеспечивающие высокую точ- ность по каждому из направлений, могут являться оптимальными по сравне- нию с лучшими двумерными схемами. П.3.2. Трехугольник а) б) Рис. П.3-2. Треугольник и его мастер-элемент Таблица П.3-2. Кубатурные формулы для треугольника. Число точек Порядок Весовой коэффициент Координаты точки Комментарии x i y i 1 1 0.5 1 3 1 3 Метод среднего 3 2 1 6 1 6 1 6 Формула Гаусса 1 6 1 6 2 3 1 6 2 3 1 6 4 3 9 32 1 3 1 3 Формула Гаусса 25 96 1 5 1 5 25 96 1 5 3 5 Приложение. Численное интегрирование 257 Число точек Порядок Весовой коэффициент Координаты точки Комментарии x i y i 25 96 3 5 1 5 7 3 9 40 1 3 1 3 Формула Ньютона-Котеса 1 15 0.5 0 1 15 0.5 0.5 1 15 0 0.5 1 40 1 0 1 40 0 1 1 40 0 0 7 5 9 80 1 3 1 3 Формула Радона: 1 155 15 2400 С 1 6 15 21 2 155 15 2400 С 2 6 15 21 С 1 1 1 С 1 1 1–2 1 С 1 1–2 1 1 С 2 2 2 С 2 2 1–2 2 С 2 1–2 2 2 12 6 С 1 1 1 1 0.050844906370207 С .873821971016996 0 1 .063089014491502 0 1 2 .116786275726379 0 С .249286745170910 0 2 .5014265096 7 2 581 9 3 .082851075618374 0 С 3 .636502499121399 0 3 .310352451033785 0 С 1 1 1 С 1 1 1 С 2 2 2 С 2 2 2 С 2 2 2 С 3 3 3 С 3 3 1– 3 – 3 С 3 3 3 С 3 3 1– 3 – 3 С 3 1– 3 – 3 3 258 Приложение. Численное интегриров ание Число точек Порядок Весовой коэффициент Координаты точки Комментарии x i y i С 3 1– 3 – 3 3 16 8 1 C 1 3 1 3 1 C 0.1443156076777870 = 2 1032173705347183 0. C 2 0.1705693077517602 2 0.6588613844964796 3 0.0324584976231981 C 3 0.0505472283170310 3 0.8989055433659380 4 0.0950916342672846 C 4 0.4592925882927232 4 0.0814148234145537 5 0.0272303141744350 С 5 0.2631128296346381 5 0.0083947774099576 2 C 2 2 2 C 2 2 2 C 2 2 3 C 3 3 3 C 3 3 3 C 3 3 4 C 4 4 4 C 4 4 4 C 4 4 5 C 5 5 5 C 5 1– 5 – 5 5 C 5 5 5 C 5 1– 5 – 5 5 C 1– 5 – 5 5 5 C 1– 5 – 5 5 Рассматривается треугольник, лежащий в плоскости XOY, изображенный на рис. П.3-2а, который преобразуется в прямоугольный треугольник с еди- ничными катетами, изображенный на рис. П.3-2б. Преобразование имеет вид: ( ) ' ( ) ' ( ) ' ( ) ' A B A С A A B A С A x x x x x x x y y y y y x y y y и ( ) B A C A B A C A |