Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
J x ,y' x x x x y y y y , (П.3.3) ( ( det( ( )) )( ) )( ) B A C A C A B A J x x y y x x y y x , y' Приложение. Численное интегрирование 259 П.4.Кубатурные формулы в трехмерном пространстве П.4.1. Параллелепипед Рассматривается параллелепипед c параллельными координатным плос- костям гранями, изображенный на рис. П.4-1а, который преобразуется в куб на рис. П.4-1б с координатами узлов (±1, ±1, ±1). а) б) Рис. П.4-1. Параллелепипед и его мастер-элемент Преобразование имеет вид: 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' ' ' A B A C A D A A B A C A D A A B A C A D A x x x x x x x x y y y y y y y y z z z z z z z z y x z y x z y x z , (П.4.1) 1 8 ( ) B A B A B A C A C A C A D A D A D A J x x x y y z z x x y y z z x x y y z z Во многих случаях можно использовать кубатурную формулу, получен- ную как произведение трех квадратурных формул при независимой аппрок- симации по X, Y и Z: 1 1 1 ( ) ( ) K K K ijk ijk i j k f d C f x x , (П.4.2) где С ij = С i С j С k и x ijk ={x i , x j , x k }, а С i и x i – коэффициенты и координаты то- чек соответствующей квадратурной формулы. Таблица П.4-1. Кубатурные формулы для куба. Число точек Порядок №№ точек С Координаты точки Комментарии x i y i z i 1 1 1 8 0 0 0 Метод среднего 6 3 1-2 4 3 1 0 0 260 Приложение. Численное интегриров ание Число точек Порядок №№ точек С Координаты точки Комментарии x i y i z i 3-4 4 3 0 1 0 5-6 4 3 0 0 1 8 3 1-8 1 3 3 3 3 3 3 Формула Гаусса 14 5 1-2 320 361 ±a 0 0 19 30 a , 19 33 b 3-4 320 361 0 ±a 0 5-6 320 361 0 0 ±a 9-14 121 361 ±b ±b ±b 34 7 1-2 1078 3645 ±a 0 0 6 7 a , 960 33 238 2726 b 960 33 238 2726 c 1 829 238 43 135 136323 d 2 829 238 43 135 136323 d 3-4 1078 3645 0 ±a 0 5-6 1078 3645 0 0 ±a 7-10 343 3645 ±a ±a 0 11-14 343 3645 ±a 0 ±a 15-18 343 3645 0 ±a ±a 19-26 d 1 ±b ±b ±b 27-34 d 2 ±c ±c ±c Если функции МКЭ являются также независимыми произведениями од- номерных аппроксимаций, то такие схемы, обеспечивающие высокую точ- ность по каждому из направлений, могут являться оптимальными по сравне- нию с лучшими трехмерными схемами. П.4.2. Тетраэдр Рассматривается тетраэдр, изображенный на рис. П.4-2а, который прео- бразуется в тетраэдр с единичными ребрами, изображенный на рис. П.4-2б. Приложение. Численное интегрирование 261 а) б) Рис. П.4-2. Тетраэдр и его мастер-элемент Преобразование имеет вид: ( ' ( ' ( ' ( ' ( ' ( ' ( ' ( ' ( ' ) ) ) ) ) ) ) ) ) a b a c a d a a b a c a d a a b a c a d a x x x x x x x y x x z y y y y x y y y y y z z z z z x z z y z z z , (П.4.3) ( ) b a c a d a b a c a d a b a c a d a J x , y',z' x x x x x x y y y y y y z z z z z z Таблица П.4-2. Кубатурные формулы для тетраэдра Число точек Порядок Весовой коэффициент Координаты точки Комментарии x i y i z i 1 1 1 6 0.25 0.25 0.25 метод среднего 4 2 1 24 Формула Гаусса 5 5 20 , 5 3 5 20 1 24 1 24 1 24 5 3 2 15 1 4 1 4 1 4 3 40 1 6 1 6 1 6 3 40 1 2 1 6 1 6 3 40 1 6 1 2 1 6 3 40 1 6 1 6 1 2 262 Приложение. Численное интегрирование Число точек Порядок Весовой коэффициент Координаты точки Комментарии x i y i z i 11 4 74 5625 1 4 1 4 1 4 14 70 56 14 70 56 343 45000 1 14 1 14 1 14 343 45000 1 14 1 14 11 14 343 45000 1 14 11 14 1 14 343 45000 11 14 1 14 1 14 56 2250 56 2250 56 2250 56 2250 56 2250 56 2250 П.4.3. Треугольная призма Рассматривается треугольная призма, изображенная на рис. П.4-3а, кото- рая преобразуется в призму, изображенную на рис. П.4-3б. а) б) Рис. П.4-3. Треугольная призма и ее мастер элемент Преобразование имеет вид (П.4.3). Приложение. Численное интегрирование 263 Как правило, кубатурные формулы для данной области рассматриваются как произведение кубатурной формулы для треугольника и квадратурной формулы: 1 2 1 1 , , ( ) ( ) K K i j i i j i j f d Q C f x x y z , (П.4.4) где K 1 , Q i , x i , y i , и K 2 , C j , z i – число узлов, их координаты и веса соответст- вующих кубатурной и квадратурной формул. 264 Литература Литература 1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин (прочность, устойчивость и колеба- ния). – М.: Наука, 1987. – 360с. 2. Баженов В.А., Перельмутер А.В., Шишов О.В. Строительная механика. Компьютер- ные технологи и моделирование. Учебник. – М.: Изд-во СКАД СОФТ; Издательский дом АСВ, 2014. – 911 с. 3. Бате К.-Ю. Методы конечных элементов. – М.: Физматлит, 2010. – 1024с. 4. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. – М.: Стройиздат, 1982. – 448 с. 5. Белкин А.Е., Гаврюшин С.С. Расчёт пластин методом конечных элементов. – М.: МГТУ, 2008. – 232с. 6. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. – М.: Наука, 1983. – 446с. 7. Бритвин Е.И., Пейсин А., Эйсенбергер М. Деформируемый в своей плоскости треугольный конечный элемент с вращательными степенями свободы. // Строитель- ная механика и расчет сооружений. – 2018, №1. – С.53–59. 8. Бритвин Е.И., Пейсин А., Эйсенбергер М. Деформируемый в своей плоскости четырехугольный конечный элемент с вращательными степенями свободы в узлах. Часть 1. Прямоугольный элемент. // Строительная механика и расчет сооружений. – 2018, №3. – С.54–62. 9. Бритвин Е.И., Пейсин А., Эйсенбергер М. Деформируемый в своей плоскости четырехугольный конечный элемент с вращательными степенями свободы в узлах. Часть 2. Произвольный четырехугольник. // Строительная механика и расчет соору- жений. – 2018, №4. – С.50–54. 10. Вайнберг Д.В, Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин. – Киев: Будiвельник, 1973. – 488 с 11. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. – M.: Мир, 1987. – 544с. 12. Веpиженко В.Е., Карпиловский В.С., Пискунов В.Г. и др. Расчет неодноpодныx пологиx оболочек и пластин методом конечныx элементов. – Киев: Вища школа, 1987. – 200с. 13. Власов В.З. Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. – М.: Гос. изд–во ф.–м литературы, 1960. – 492с. 14. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1967. – 984с. 15. Вычислительный комплекс SCAD++. – М.: Изд–во СКАД СОФТ, АСВ, 2018. – 980 с. 16. Вычислительный комплекс для прочностного анализа конструкций методом конеч- ных элементов SCAD. Верификационные примеры. Линейная статика. URL: https://scadsoft.com/tests_scad/ 17. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. – М.: Мир, 1984. – 428 с. 18. Головкин К.К. О приближении функций в произвольных нормах. //Труды МИАН СССР. – 1964, том 70. – С. 26–37 19. Городецкий А.С., Карпиловский В.С. Методические рекомендации по исследованию и констpуиpованию конечных элементов. – Киев: Из–во НИИАСС, 1981. – 48с. URL: https://scadsoft.com/download/GorKarpil1981.pdf Литература 265 20. Городецкий А.С., Карпиловский В.С. О связи метода конечных элементов с вариаци- онно–разностными методами. // Сопротивление материалов и теория сооружений, вып. 24, Киев, Будiвельник, 1974. – С.32 –42. 21. Динамический расчет зданий и сооружений. (Справочник проектировщика). – М.: Стройиздат, 1979. – 320с. 22. Доннелл Л.Г. Балки, пластины и оболочки. – М.: Гл. ред. ф.–м. наук, 1982. – 568с. 23. Евзеров И.Д. Оценки погрешности несовместных конечных элементов плиты. Деп. в УкрНИИНТИ, №1467. – Киев, 1979. – 9с. 24. Евзеров И.Д. Оценки погрешности по перемещениям при использовании несовмест- ных конечных элементов. // Численные методы механики сплошной среды, Новоси- бирск, 1983, том 14, №5. – С. 24–31. 25. Евзеров И.Д. Сходимость МКЭ в случае не принадлежащих энергетическому про- странству базисных функций. // Вычисления с разреженными матрицами. – Новоси- бирск: ВЦСО АН СССР. 1981. – С. 54–61. 26. Евзеров И.Д, Здоренко В.С. Сходимость плоских конечных элементов тонкой обо- лочки. // Строительная механика и расчет сооружений. 1984, №1. – С.35–40 27. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975. – 541с. 28. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимации. – М.: Мир, 1986. – 318с. 29. Зенкеич О.К., Ченг Ю.К. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. – М.: Недра,1974. – 238 с. 30. Ишлинский А. Ю., Ивлев Д. Д. Математическая теория пластичности. – М.: Физмат- лит, 2001. – 704с. 31. Калманок А.С. Расчет балок–стенок. – М.: Госстройиздат, 1956. – 151с. 32. Карпиловский В.С. Исследование и конструирование некоторых типов конечных элементов для задач строительной механики. Диссертация на соискание ученой сте- пени кандидата технических наук по специальности 01.02.03 – «Строительная меха- ника». – Киев: Национальный транспортный университет (КАДИ), 1982. – 179 с. 33. Карпиловский В.С., Кудашов В.И., Цветков Д.Н. Библиотека изопаpаметpическиx конечныx элементов вычислительного комплекса «ЛИРА» // Известия ВУЗов. Стpоительство и аpxитектуpа. 1987, №7. – С.28–32. 34. Карпиловский В.С., Лоза И.В. Несовместный четыpеxугольный конечный элемент балки–стенки. Деп. в УкpНИИНТИ, №2446УК–86, 1985. – 24с. 35. Карпиловский В.С. Новый совместный четырехугольный конечный элемент балки– стенки с вращательными степенями свободы. // Сборник трудов ІІ Международной научно–практической конференции «Сучасні методи і проблемно–орієнтовані ком- плекси розрахунку конструкцій і їх застосування у проектуванні і навчальному процесі» (Киев, 26–27 сентября 2018 года). Киев: 2018. – С.57–59. 36. Карпиловский В.С. Констpуиpование несовместныx конечныx элементов. Киев: Деп. в УкpНИИНТИ, 1980, №2153. 49с. URL: https://scadsoft.com/download/Karpil1980.pdf 37. Карпиловский В.С. Тpеугольный шестиузловой конечный элемент плиты. // Известия ВУЗов. Стpоительство и аpxитектуpа, 1989, №6. – C. 35–39. 38. Карпиловский В.С. Четыpеxугольный восьмиузловой конечный элемент плиты // Стpоительная меxаника и pасчет сооpужений, 1990, №2. – C. 13–17. 39. Карпиловский В.С. Четыpеxугольные конечные элементы для pешения плоской задачи теоpии упpугости. // Системы автоматизиpованного пpоектиpования объектов стpоительcтва. – Киев: Будiвельник, 1991. – C.35–43. 266 Литература 40. Киселев В.А. Строительная механика. Специальный курс. Динамика и устойчивость сооружений. – М.: Стройиздат, 1980. – 616 с. 41. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. – М.: Стройиздат, 1979. – 320с. 42. Клаф Р. Метод конечного элемента в решении плоской задачи теории упругости. – В сб.: Расчет строительных конструкций с применением ЭВМ/под ред. А.Ф.Смирнова. – М.: Стройиздат, 1967. – С. 142–170. 43. Клемперт Ю.З., Париков В.И., Сливкер В.И., О процедуре вычисления матрицы жесткости призматического стержня. // Расчет пространственных конструкций. Вып.16. – М.: Стройиздат, 1974. – C. 179–189. 44. Корноухов Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем. Упругие рамы, фермы и комбинированные системы. – М.: 1949. – 259с. 45. Крамарева И.В., Лиликин С.В., Паутов А.Н., Толкачев И.Н. Плоский треугольный оболочечный совместный конечный элемент. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности. – Горький: Изд–во Горьковского университета, 1986. – C.54– 60. 46. Крылов В.И. Приближённое вычисление интегралов. – М.: Наука, 1967. – 500с. 47. Крылов В. И, Шульгина Л. Г Справочная книга по численному интегрированию. – М.: Наука, Физмат, 1976. – 304с. 48. Лалин В. В.,Яваров А. В.,Орлова Е.С.,Гулов А. Р.Метод конечных элементов с точными функциями формы в задачах устойчивости стержня Тимошенко. // Гидро- техническое строительство. 2019, №6. – С.45–52. URL: http://www.gts.energy– journals.ru/index.php/GTS/article/view/655 49. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. – М.: Физматлит, 2003. – 264с. 50. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 416с. 51. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М. Наука, 1980. – 512с. 52. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. – М: ГИТТЛ, 1955. – 491с. 53. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965. – 520 с. 54. Ляв А. Математическая теория упругости .– М.: 1935. – 674 с. 55. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно–сеточные методы. – М.: Наука, 1981. – 416с. 56. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. –М.: Наука,1970. – 512с. 57. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов.–М.: Наука,1966. – 432с. 58. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. –М.: Наука, 1981. – 336 с. 59. Немчинов Ю.И.Расчет пространственных конструкций (метод конечных элементов). – Киев: Будівельник, 1980. – 232 с. 60. Новацкий В.Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 882с. 61. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. – М.: Гостехтеориздат, 1948. – 333с. 62. Обен Ж.–П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. – М.: Мир, 1977. – 384с. 63. Папкович П.Ф. Выражение общего интеграла основных уравнений теории упругости через гармонические функции // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделе- ние математических и естественных наук, 1932, № 10. – С. 1425–1435. 64. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – М.: Наука, 1981. – 689с. Литература 267 65. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Особенности алгоритмизации метода перемещений при учете дополнительных связей // Метод конечных элементов и строительная ме- ханика: Тр.ЛПИ, №349, 1976. – С.28–36. 66. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа. – М.: Изд-во. ДМК Пресс, 2007. – 596с. 67. Перельмутер А.В., Сливкер В.И. Устойчивость равновесия и рожственные проблемы. – М.: Изд-во СКАД СОФТ, 2010. – Том 1 – 704с., том 2 – 672с., том 3 – 388с. 68. Пискунов В.Г., Карпиловский В.С. и др. Расчет кpановыx констpукций методом конечныx элементов. – М.: Машиностpоение, 1991. – 240с. 69. Подгорный А. Н., Марченко Г. А., Пустынников В. И. Основы и методы прикладной теории упругости. – Киев: Вища школа, 1981. – 328с. 70. Погорелов И.И. Строительная механика тонкостенных конструкций. – СПб.: БХВ- Петербург, 2007. – 518с 71. Постнов В.А. Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конст- рукций. – Л.: Судостроенгие, 1974. – 344с. 72. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. / Под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. – М.: Машиностроение, том 1, 1968. – 832с. 73. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твёрдого тела. – М.: Наука, 1979. – 744с. 74. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости. – М.: Высшая школа, 1977. – 216с. 75. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. – М.: Мир, 1985. – 590 с. 76. Ржаницын А.Р. Строительная механика. – М.: Высшая школа, 1982. – 400с. 77. Розин Л. А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. – СПб.: Изд–во. СПбГТУ, 1998. – 530с. 78. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. – СПб.: Изд–во. СПбГТУ, 1978. – 222с. 79. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов – Л.: Изд–во ЛГУ, 1975. – 237 с. 80. Самарский А.А. Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. – М.: Наука, 1973. – 415с. 81. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высш. школа, 1982. – 264с. 82. Свойский Ф.М. Граничные условия для конечных элементов с вращательными степенями свободы. – СПб.: НОУ Экспресс, 2005. – 106с. 83. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. – M.: АСВ, 2005. – 708с. 84. Смирнов А.Ф. Статическая и динамическая устойчивость сооружений. – М.: Транс- желдориздат, 1947. – 308с. 85. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – М.: Наука, 1988. – 333с. 86. Соляник–Красса К.В. Осесимметричная задача теории упругости. – М.: Стройиздат, 1987. – 338с. 87. Справочник по динамике сооружений. / Под ред. Б.Г.Корнеева и И.М.Рабиновича. – М.: Стройиздат, 1972. – 512с. 88. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. – М.: Мир, 1977. – 349с. 268 Литература 89. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.: Мир, 1980. – 512с. 90. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.:Наука, 1975. – 576с. 91. Тимошенко С.П., Войновский–Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Наука, 1966. – 636с. 92. Тимошенко С.П. – Курс теории упругости. – Киев: Наукова думка, 1972. – 508с. 93. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. – М.: Гостехиздат, 1948. – 388с. 94. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. – М.: Наука, 1971. – 880с. 95. Тер-Мартиросян, Механика грунтов, Москва. – М.: ИАСВ, 2009. – 552с. 96. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – М.: Наука, 1975. – 592с. 97. Adini A., Clough R.W. Analysis of plate bending bythe finite element Method. – NSF Report, G7337, 1961. 98. Allman D J. A compatible triangular element including vertex rotations forplane elasticity analysis // Computers and structures, 1984, Vol. 19, pp. l–8. URL: https://doi.org/10.1016/0045-7949(84)90197-4 99. Allman D.J. A quadrilateral finite element including vertex rotations for plane elasticity analysis // International journal for numerical methods in engineering, 1988, Vol. 26, pp. 717–730. URL: https://doi.org/10.1002/nme.1620260314 100. Allman D.J. Evaluation of the constant strain triangle with drilling rotations // International journal for numerical methods in engineering. 1988. V.26. P. 2645–2655. DOI: 10.1002 /NME.1620261205 101. Baseley G.P., Cheung Y.K., Irons B.M., Zienkiewicz O.C. Triangular elements in plate bending. – Conforming and noncorforming solutions//Proc. Conf. on Matrix Methods in Structural Mechanics (Nov. 1966), pp. 547–576, Wright Patterson AFB, Oct. 1965 102. Bathe K.J. Finite Element Procedures. New Jersey, Prentice Hall, 1996, 1038p. 103. Bathe K.J. Dvorkin, E.N. A four–node plate bending element based on Mindlin/Reissner plate theory and a mixed interpolation. //Int. J. Num. Meth. Engrg., 1985, Vol. 21, pp. 367– 383. URL: https://doi.org/10.1002/nme.1620210213 104. Bletzinger K.U, Bischoff M, Ramm E: A unified approach for shear–locking–free triangu- lar and rectangular shell finite elements. // Computers & Structures, 2000, Vol. 75, pp. 321– 334. DOI:10.1016/S0045–7949(99)00140–6 105. Bogner F.K., Fox R.L., Schmit L.A. The Generation of Interelement Compatible Stiffness and Mass Matrices by the Use of Interpolation Formulas// Proceedings of the Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, Wright–Patterson Air Force Base, Ohio, Octo- ber 1965, pp. 397–444. 106. Chapelle D., Bathe K.J. The Finite Element Analysis of Shells Funamentals. – Springer– Verlag Berlin Ytidelberg New York, 2003. –330p. 107. Cazzani A, Atluri S.N. Four–nodes mixed finite elements, using unsymmetric stressed, for linear analysis of membranes// Computational Mechanics, 1993, 11, pp.229–251 108. Chen X.M., Cen S., Sun J.Y., Li Y.G. Four–Node Generalized Conforming Membrane Elements with Drilling DOFs Using Quadrilateral Area Coordinate Methods. //Mathematical Problems in Engineering, 2015, Vol. 3–4, pp. 1–13. DOI: 10.1155/2015/328612 109. Choo Y.S., Choi N., Lee B.C. Choo Y.S., Choi N., Lee B.C. Quadrilateral and triangular 22plate elements with rota–tional degrees of freedom based on the hybrid Trefftz method. // Литература 269 Finite Elements in Analysis and Design, 2006, Vol. 42(11), pp. 1002–1008. DOI: 10.1016/j.finel.2006.03.006 110. Clough R.M., Tocher J. Finite elements stiffness matrices for the analysis of plate bending// Proc. Conf. Matrix Meth. Struct. Mech. – Ohio, 1965 111. Cook R. A plane hybrid element with rotational d.o.f. and adjustable stiffness. // Interna- tional Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987, Vol. 24(8), pp. 1499–1508. DOI: 10.1002/nme.1620240807 112. Cook R.D. On the Allman triangle and a related quadrilateral element // Computeis andstructures. 1986, Vol. 22(6), pp. 1065–1067. DOI: 10.1016/0045–7949(86)90167–7 113. Fellipa C.A. A study of optimal membrane triangles with drilling freedoms. // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2003, Vol. 192(16–18), pp. 2125–2168. DOI: 10.1016/S0045–7825(03)00253–6 114. Fraeijs de Veubeke B. A conforming finite element for plate bending. // International Journal of Solids and Structures, 1968, Vol. 4, pp. 95–108. DOI:10.1016/0020- 7683(68)90035-8 115. Irons B.M., Razzaque A. Experience with the path test. // In: The Matematical Foundations of the Finite Element Method with Application to Partial Differential Equations, Academic Press, 1972, pp. 557–587. 116. Iura M. Atluri S.N. Formalation of a membrane finite element with drilling degrees of freedom// Computational Mechanics, 9, 1992, pp.417–428. DOI:10.1007/BF00364007 117. Karpilovskyi V.S. Finite Elements of the Plane Problem of the Theory of Elasticity with Drilling Degrees of Freedom. // International Journal for Computational Civil and Structur- al Engineering, 2020, Vol. 16(1), pp. 48–72. DOI:10.22337/2587–9618 118. Karpilovskyi V.S. Finite Elements for the Analysis of Reissner–Mindlin Plates With Joint Interpolation of Displacements and Rotations (JIDR). // International Journal for Computa- tional Civil and Structural Engineering, 2021, Vol. 17(3), pp. 49–63, DOI:10.22337/2587– 9618–2021–17–3–49–63 119. Luo Y., An Efficient 3D Timoshenko Beam Element with Consistent Shape Functions // Adv. Theor. Appl. Mech. 2008. Vol. 1(3). pp. 95–106. 120. Macneal R.H., Harder, R.L. A proposed standard set of problems to test finite element accuracy. // Finite elements in analysis and design, 1985, Vol. 1, pp. 3–20. DOI: 10.1016/0168–874X(85)90003–4 121. MacNeal R.H., Harder R.L. A proposed standart set of problems to test finite element accuracy. Finite Element Anal. Des., 1987, Vol. 1, pp.1793-1799. DOI:10.1016/016- 874x(85)90003-4 122. MacNeal R.H., Harder R.L. A refined four-noded membrane element with rotational degrees of freedom // Computers and structures. 1988. V.28. JSbl. pp.75-84. URL:https://doi.org/10.1016/0045-7949(88)90094-6 123. MacNeal R.H., Harder R.L. A refined four–noded membrane element with rotational degrees of freedom. // Computers and structures, 1988, Vol. 28(1), pp. 75–84. DOI:10.1016/0045–7949(88)90094–6 124. Makiett R.N., Marcal P.V. Finite Element Analysis of Nonlinear Structures // Journal Structural Division. – Proc./ASCE, 1968, Vol. 94(9), pp.2081–2105. URL:https://doi.org/10.1061/JSDEAG.0002066 125. Oden J.T. Finite Elements of Nonlinear Continua.– New York: McGraw Hill Book Com- pany, 1972. – 432p. 126. Oden J.T. Finite Elements of Nonlinear Continua. – Dover Publications, 2006. – 456p. 270 Литература 127. Robinson J: An evaluation of lower order membranes as contained in the MSC/NASTRAN, ASAS and PAFEC systems. Report to the Royal Aircraft Establish- ment, Farnborough (MOD Contract No. A93b/494), September 1979 128. Wilson E.L, Ibrahimbegovic A. Thick shell and solid elements with independent rotation fields //International journal for numerical methods in engineering, 1991, Vol. 31(7), pp. 1393–1414. DOI: 10.1002/nme.1620310711 129. White D W, Abel J F 1989 Testing of shell finite element accuracy and robustness. Finite Elements // Finite Elements in Analysis and Design, 1989, Vol.6(2), pp. 129-151. URL: https://doi.org/10.1016/0168-874X(89)90040-1 130. Xiao–Ming Chen,Song Cen, Jian–Yun Sun,Yun–Gui L. Four–Node Generalized Conform- ing Membrane Elements with Drilling DOFs Using Quadrilateral Area Coordinate Methods //Mathematical Problems in Engineering, Vol. 2015, Article ID 328612, 13p. URL:https://doi.org/10.1155/2015/328612 131. Yunus .M., Saigal S., Cook R.D. On improved hybrid finite elements with rotational degrees of freedom// Interntional journal for numerical methods in ingineering, 1989, Vol. 28, pp.785–800. DOI: 10.1002/nme.1620280405 132. Zhang H., Kuong J.S. Eight–node membrane element with drilling degrees of freedom for analysis of in–plane stiffness of thick floor plates// International journal for numerical methods in engineering, 2008, Vol. 76(13), pp. 2117–2136. DOI: 10.1002/nme.2395 133. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method. 3 volumes. Planta Tree, Butterworth–Heinemann, 2000, Vol. 1, 690p., Vol. 2, 459p., Vol. 3, 334p. |