Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
Глава 9. Оболочки 9.1. Типы оболочек Оболочка – тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми (толщина h) существенно меньше двух других характерных размеров. Поверхность, делящую толщину оболочки пополам, называют срединной. В теории оболочек все физические и геометрические уравнения выводятся для точек срединной поверхности. Для характеристики поверхности оболочки часто используется понятие гауссовой кривизны: 1 2 1 G k k , где k 1 и k 2 – кривизны срединной поверхности. а) б) в) Рис. 9.1-1. Оболочки различной формы: а) – цилиндрическая оболочка кругового сечения; б) – гиперболический параболоид; в) – сферическая оболочка. В зависимости от формы поверхности оболочки классифицируются на следующие группы: G = 0 – цилиндрические и их разновидности; G > 0 – двоякой положительной кривизны; G < 0 – гиперболические параболоиды (гипары); оболочки с вертикальной осью или горизонтальной осью вращения; составные оболочки, в том числе из гиперболических треугольных сво- дов; в виде панелей оболочек и неразрезных оболочек. Составные , в том числе полигональные, оболочки составляют наиболее многочисленную и многообразную группу оболочек. Составными оболочка- ми называют покрытия, образованные совокупностью элементов поверхно- стей, пересекающихся между собой. Каждый из элементов поверхности обра- зуют составляющую оболочку, которую можно определить как тонкостенную оболочку, очерченную по единой геометрической поверхности. Комбинируя отдельные фрагменты геометрических поверхностей, получают составные пространственные покрытия зданий с различной конфигурацией плана. Глава 9. Оболочки 243 Конечные элементы для расчета оболочек можно разбить на два класса: учитывающие и не учитывающие геометрию с помощью кривизн. Если не учитываются кривизны оболочки, то конструкция заменяется многогранни- ком из плоских конечных элементов. При этом для пологих оболочек обеспе- чивается сходимость метода [26]. Для плоских конечных элементов оболочки, как правило, принимаются следующие гипотезы: тангенциальные перемещения u, v не зависят от нормального прогиба w. Они связаны физическими и геометрическими уравнениями плоско- напряженной задачи теории упругости (разд. 4.1); физические и геометрические уравнения для нормального прогиба w мо- гут быть как по теории тонких плит Киргхофа-Лява (разд. 6.1), так по теории плит средней толщины Рейсснера-Миндлина (разд. 7.1). 9.2. Степени свободы и аппроксимации Классические плоские конечные элементы оболочки в каждом из i=1,2,…,N r узлов элемента имеют по шесть степеней свободы: u i , v i , w i – линейные перемещения соответсвенно по осям X, Y и Z; xi , yi , zi – углы поворота вокруг соответственно осей X, Y и Z. При этом для zi возможны следующие варианты (см. разд. 4.3): если для учета тангенциальных перемещений u, v воспользоваться эле- ментами плоской задачи теории упругости с двумя степенями свободы узла, то получим соответствующие углу поворота z нулевые столбцы и строки матрицы жесткости (отсутствие реакции по углу поворота z ). Они необходимы для учета пространственной работы конструкции; zi = i – усредненный угол поворота; zi – вращательная/квазивращательная степень свободы. Выбранным степеням свободы для элементов тонких оболочек (Киргхо- фа-Лява) соответствует система функций (pазд. 6.2): 1 6 , , , , , ( , ) , ( ) , T ij u ij v ij w r r φ ij x j y i , (9.2.1) а поле перемещений представляется в виде: 1 2 3 4 5 6 , , , , , , , , , ( ) ( , ) ( ) r r r r r r r z u v u v w w u φ φ φ φ φ φ i i i i i i x i i y i i i i i x y (9.2.2) Элементам оболочек средней толщины (Рейсснера-Миндлина) соответст- вует система функций (pазд. 7.2): 1 6 , , , , , , , , , , , , , ( ) , , ) , ( x y xz yz T u v w r r φ ij ij ij ij ij ij ij ij x j y i .(9.2.3) а поле обобщенных перемещений представляется в виде: 244 Глава 9. Оболочки 1 2 3 4 5 6 , , , , , , , , , ( ) ( , ) ( ) r r r r r r r u v w u v w u φ φ φ φ φ φ x i i i i i i x i i y i i z i i i y xz yz x y . (9.2.4) Независимо от «содержания» i преобразование углов поворота в новую систему координат производится аналогично линейным степеням свободы: 3 3 1 1 , , , , , , , , , i i i i ij ij i i i i i j i j i i i i u u s s v v w w x x y y z z (9.2.5) где 3 1 ij i,j s – матрица преобразования. 9.3. Тесты Все рассмотренные конечные элементы используют полиномиальные, ку- сочнополиномиальные или изопараметрические аппроксимации поля пере- мещений как для плоского напряженного состояния, так и для изгиба плит. При этом по построению для всех рассмотренных элементов всегда выполне- ны условия критерия полноты (2.5.7) и несовместности (2.7.3) соответствую- щего порядка, обеспечивающие сходимость метода. Все рассмотренные элементы обеспечивают, как минимум, первый поря- док сходимости по напряжениям, а по перемещениям – второй. Для совмест- ных элементов с промежуточными узлами на сторонах скорости сходимости увеличиваются. Для элементов задействованы все аппроксимации, соответствующие «внутренним» степеням свободы элементов. Все тесты для элементов с ква- зивращательными степенями свободы выполнены при значении =0.001. В таблицах 9.3-1 и 9.3-2 приведены цифровые коды типов элементов, ко- торые приняты в вычислительном комплексе SCAD [15]. Данные коды ис- пользуются при описании результатов числовых экспериментов. Таблица 9.3-1. Типы элементов для расчета оболочек по теории Киргхофа-Лява Тип элемента Число узлов Форма Ст. свободы Аппроксимирующие функции 41 4 прямоугольный u, v полилинейные, разд.4.4.5 w, x , y полусовместные, разд.6.3.3 42 3 треугольный u, v линейные, разд.4.4.1 w, x , y IC , разд.6.4 Глава 9. Оболочки 245 Тип элемента Число узлов Форма Ст. свободы Аппроксимирующие функции 43 4 прямоугольный u, v полилинейные, разд.4.4.5 w, x , y IC , разд.6.3.2 44 4 четырехугольный u, v SA , разд.4.4.8 w, x , y SA , разд.6.6.1 45 3-6 треугольный u, v SA , разд.4.4.3 w, x , y SA , разд.6.5.1, 6.5.4, вариант A 46 4-8 четырехугольный u, v SA , разд.4.4.8 w, x , y SA , разд.6.6.1, 6.6.3, вариант B 48 3-6 треугольный u, v SA , разд.4.4.3 w, x , y SA , разд.6.5.1, 6.5.4, вариант B 50 4-8 четырехугольный u, v SA , разд.4.4.8 w, x , y SA , разд.6.6.1, 6.6.3, вариант A Элементы с вращательной степенью свободы z (DDF) 91 4 прямоугольный u, v, z DDF4RIC, разд.4.6.4 w, x , y полусовместные, разд.6.3.3 92 3 треугольный u, v, z DDF3IC, разд.4.6.2 w, x , y IC , разд.6.4 93 4 прямоугольный u, v, z DDF4RIC, разд.4.6.4 w, x , y IC , разд.6.3.2 94 4 четырехугольный u, v, z DDF4ICSA, разд.4.6.6 w, x , y SA , разд.6.6.1 95 3-6 треугольный u, v, z DDFSA, разд.4.7.1, 4.7.2 w, x , y SA , разд.6.6.1, 6.6.3 96 4-8 четырехугольный u, v, z DDFSA, разд.4.7.3, 4.7.4 w, x , y SA , разд.6.5.1, 6.5.4 97 4-8 четырехугольный u, v, z DDFICSA, разд.4.6.6, 4.6.7, w, x , y SA , разд.6.6.1, 6.6.3 Элементы с квазивращательной степенью свободы z 591 4 прямоугольный u, v, z QRDF4IP, разд.4.5.2 w, x , y полусовместные, разд.6.3.3 592 3 треугольный u, v, z QRDF3, разд.4.5.1 w, x , y IC , разд.6.4 593 4 прямоугольный u, v, z QRDF4RIC, разд.4.5.2 w, x , y IC , разд.6.3.4 594 4 четырехугольный u, v, z QRDF4SA, разд.4.5.3 w, x , y SA , разд.6.6.1 246 Глава 9. Оболочки Таблица 9.3-2. Типы элементов для расчета оболочек по теории Рейсснера-Миндлина Тип элемента Число узлов Характеристика Ст. свободы Аппроксимирующие функции 141 4 прямоугольный u, v полилинейные, разд.4.4.5 w, x , y JIDR4RIC , разд.7.7.1 142 3 треугольный u, v SA , разд.4.4.3 w, x , y JIDR3SA, разд.7.6.1 143 4 четырехугольный изопараметрич. u, v полилинейные, разд.4.4.5 w, x , y MITC4, p.7.4 144 4 четырехугольный u, v SA , разд.4.4.8 w, , JIDR4SA, разд.7.8.3, 145 3-6 треугольный u, v SA , разд. 4.4.3 w, x , y JIDRSA, разд.7.6.1, 7.6.2 146 4-8 четырехугольный изопараметрич. u, v р.р.4.4.5, 4.4.6 w, x , y JIDRIP, разд.7.8.1, 7.8.2 147 3-6 треугольный, изопараметрич. u, v IP , разд.4.4.10 w, x , y JIDRIP , разд.7.6.3 148 3 треугольный u, v линейные, разд.4.4.1 w, x , y DSG3M , разд.7.3.2 149 3 треугольный u, v линейные, разд.4.4.1 w, x , y DSG3 , разд.7.3.1 150 4-8 четырехугольный u, v SA , разд.4.4.8 w, x , y JIDR4SA, разд.7.8.3, 7.8.4. Элементы с вращательной степенью свободы z 191 4 прямоугольный u, v, z DDF4RIC, разд.4.6.4. w, x , y JIDR4R , разд.7.7.1 192 3 треугольный u, v, z DDF3SA, разд.4.7.1 w, x , y JIDR3SA, разд.7.6.1 194 4 четырехугольный u, v, z DDFSA, разд.4.7.3 w, x , y JIDR4SA , разд.7.8.3. 195 3-6 треугольный u, v, z DDFSA, разд.4.7.1, 4.7.2 w, x , y JIDRSA, разд.7.6.1, 7.6.2 196 4-8 четырехугольный u, v, z DDFSA, разд.4.7.3, 4.7.4. w, x , y JIDRSA, разд.7.8.3, 7.8.4. 197 4-8 четырехугольный u, v, z DDFISA, разд.4.6.6, 4.6.7. w, x , y JIDRSA, разд.7.8.3, 7.8.4. Элементы с квазивращательной степенью свободы z 542 3 треугольный u, v, z QRDF3IP, разд.4.5.1 w, x , y JIDRIP , разд.7.6.1 543 4 четырехугольный u, v, z QRDF4IP, разд.4.5.2 w, x , y MITC4, p.7.4 Глава 9. Оболочки 247 Тип элемента Число узлов Характеристика Ст. свободы Аппроксимирующие функции 544 4 четырехугольный u, v, z QRDF4SA, разд.4.5.3 w, x , y JIDR4SA, разд.7.8.3 546 4 четырехугольный u, v, z QRDF4IP, разд.4.5.2 w, x , y JIDR4IP, разд.7.8.1 547 4 трехугольный u, v, z QRDF3IP, разд.4.5.1 w, x , y DSG3M , разд.7.3.2 548 3 треугольный u, v, z QRDF3IP, разд.4.5.1 w, x , y DSG3 , разд.7.3.1 9.3.1. Патологические (patch) тесты Все патологические тесты, приведенные в разд. 4.8.1. и 6.7.1 выполнены с точностью до вычислительной погрешности. 9.3.2. Цилиндрический резервуар под действием внутреннего давления жидкости Цилиндрический вертикальный резервуар, изображенный на рис. 9.3-1, со стенкой постоянной толщины защемлен в плоское днище и находится под воздействием линейно изменяющегося по высоте внутреннего давления жид- кости с объемным весом γ. Рис. 9.3-1. Пусть E = 2.1·10 8 кПа – модуль упругости; ν = 0.3 – коэффициент Пуассона; h = 0.01 m – толщина стенки резервуара; a = 5.0 m – радиус срединной поверхности стенки резервуара; d = 5.0 m – высота резервуара; На рис. 9.3-2 приведены расчетные схемы. 248 Глава 9. Оболочки Рис. 9.3-2. Расчетные схемы оболочки Табл. 9.3-3. Значения перемещений и напряжений для элементов тонких оболочек Тип сетки Тип элемента Вращат. степень свободы w(0,5,0.5), mm x (0,5,0.5), MПа A A2 A4 A A2 A4 A 41 – 0.5847 0.5672 0.5615 24.792 23.795 23.575 43 – 0.5847 0.5659 0.5611 24.792 23.816 23.579 44,50 – 0.5899 0.5672 0.5615 24.645 23.795 23.575 91,93 z 0.5585 0.5594 0.5595 23.855 23.581 23.521 94,97 z 0.5575 0.5593 0.5595 23.811 23.578 23.52 96 z 0.542 0.5551 0.5584 23.462 23.475 23.492 591,593 z 0.5592 0.5591 0.5594 23.87 23.57 23.517 594 z 0.5583 0.5591 0.5594 23.829 23.569 23.517 B 42 – 0.5474 0.5545 0.5582 21.345 22.989 23.374 45 – 0.5483 0.5546 0.5582 21.349 22.992 23.374 92 z 0.5462 0.5565 0.5588 22.259 23.21 23.425 95 z 0.5289 0.554 0.5582 23.021 23.443 23.483 592 z 0.5538 0.5584 0.5592 23.269 23.466 23.49 Глава 9. Оболочки 249 Тип сетки Тип элемента Вращат. степень свободы w(0,5,0.5), mm x (0,5,0.5), MПа A A2 A4 A A2 A4 C 50 – 0.563 0.5597 0.5596 23.887 23.576 23.519 96 z 0.5654 0.5598 0.5596 23.815 23.539 23.511 97 z 0.563 0.5589 0.5596 23.792 23.545 23.511 D 45 – 0.5577 0.5593 0.5595 24.108 23.651 23.538 95 z 0.5546 0.5592 0.5595 23.848 23.593 23.524 В табл. 9.3-3 и табл. 9.3-4 приведены вычисленные значения перемеще- ний и напряжений рассматриваемой оболочки. |