Метод конечных элементов и задачи теории упругости. Карпиловский_FEM. В. С. Карпиловский Метод конечных элементов и задачи теории упругости
 Скачать 5.35 Mb.
|
|
Глава 6. Тонкие плиты (теория Кирхгоффа‐Лява) 6.1. Теория изгиба тонких пластин Кирхгоффа‐Лява Рассмотрим плиту толщиной h, изображенную на рис. 6.1-1. На нее дей- ствует перпендикулярная ее поверхности нагрузка интенсивности q(x,y). Введем правоориентированную систему координат XYZ так, чтобы плос- кость XOY совпадала со срединной поверхностью. Тогда плоскость / 2 z h будем называть верхней, а / 2 z h – нижней гранями пластины. Pис. 6.1-1 Классическая теория Кирхгоффа-Лява основана на следующих гипоте- зах [22]: прямых нормалей. Нормаль к срединной поверхности, проведенная в не- деформированном состоянии пластины, не искривляется, сохраняет свою длину и остается ортогональной срединной поверхности, в которую пере- ходит срединная плоскость при изгибе пластины; ненадавливания. Плоскости пластины, параллельные ее срединной плос- кости, не взаимодействуют по нормали к ним при деформировании, и можно пренебречь нормальным напряжением сжатия σ z , которое значи- тельно ниже изгибающих напряжений. Очевидно, что σ z должна быть равна нормальной нагрузке на гранях пластины; отсутствия поперечных сдвигов. Деформации γ xz и γ yz настолько малы, что работой касательных напряжений xz и yz можно пренебречь. Пусть θ x , θ y – углы поворота относительно осей OX и OY соответственно. Положительное направление для них определено в соответствии с правилом правого винта. Тогда, с учетом, что на срединной поверхности тангенциаль- ные смещения равны нулю: , u v y x z z (6.1.1) Перемещение w(x,y) является функцией только двух переменных, т.е. ε z (x,y) 0, и с учетом принятых гипотез: , w w x y y x (6.1.2) Рассмотрим кривизны 160 Глава 6. Тонкие плиты 2 2 2 2 2 , , w w w x y xy x y x y (6.1.3) Представим деформации (3.1.3) через кривизны: 0 2 , , , z z z x x y y z xy xy (6.1.4) Рассмотрим сначала изотропный материал, для которого справедлив за- кон Гука: 2 2 2 1 1 ( ) ( ) , , Ez Ez Gz x x y y y x xy xy ν ν ν ν (6.1.5) Напряжения σ z , τ yz , τ xz считаются малыми, а на наружных поверхностях пластины 2 2 2 2 0 x,y / / / / , ( ) z z h z h z h h q z xz yz z (6.1.6) Из уравнений равновесия (3.1.2) получаем: 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 4 3 12 2 1 4 2 1 4 2 1 ( ) , ( ( )( ), ( ( )( ), ( ) ) ) E h z h z w E h w w z E h w w z z xz yz ν ν x x y ν y x y (6.1.7) где 2 2 2 2 x y – оператор Лапласса. Погонные изгибающие моменты и перерезывающие силы в сечениях пла- стины определяются как интегральные характеристики напряжений, дейст- вующих на полоску единичной ширины: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / / / / / / / / / / , ), , , h h h h h h h h h h M dz M dz M dz Q dz Q dz x x y y xy xy x xz y yz z z z (6.1.8) Умножив на z и проинтегрировав два первых уравнений равновесия (3.1.2) по высоте получаем: , Q Q M M M M x y xy y xy x x y y x (6.1.9) Выразим моменты и перерезывающие силы через перемещение w для изотропного материала: 2 2 2 2 ) ( ), ( w w M D D x y x x y Глава 6. Тонкие плиты 161 2 2 2 2 ) ( ), ( w w M D D y x y x y 2 1 1 ( ) ( ) , w M D D xy xy x y 3 3 3 3 3 2 2 2 3 ( ), ( ) w w w w Q D Q D x y x x y x y y , (6.1.10) 3 2 12(1 ) Eh D – цилиндрическая жесткость пластины. Из последнего краевого условия (6.1.6) и (6.1.7) получаем уравнение рав- новесия, выраженное через перерезывающие силы Q Q q y x x y (6.1.11) Приведя все к перемещению w получаем уравнение Софи Жермен для изотропного материала: 2 4 4 4 4 2 2 4 2 w q w w w D x x y y (6.1.12) Введем векторы обобщенных «напряжений» и «деформаций» и диффе- ренциальный оператор геометрии A: 2 , M M M σ ε x x y y xy xy , 2 2 2 2 2 2 , , T x y x y A (6.1.13) Тогда в матричной форме: , w σ Dε ε A (6.1.14) При этом , а уравнение равновесия имеет вид: ( ) ( ) q B x x (6.1.15) Соответственно, из (3.1.11) для изотропного, ортотропного и анизотроп- ного материалов матрица закона Гука 3 1 , ij i j С С в (1.3.1): 3 2 1 0 0 1 0 1 12 1 0 2 ) ( Eh С I , 1 3 1 0 12 1 0 1 0 0 O h G С yx x x xy y y xy E E E E , 162 Глава 6. Тонкие плиты 1 3 1 12 1 1 A h G G G С yx xy,x x x x xy xy,y y y y x,xy y,xy xy xy xy E E E η E E E (6.1.16) Уравнение (6.1.11) для вычисления прогибов пластинки при анизотропии материала примет вид: 4 4 4 4 4 11 13 12 33 23 22 4 3 2 2 3 4 2 2 2 2 ( ) w w w w w С С С С С С q y y x x y x x y . (6.1.17) Из (6.1.7) следует, что на поверхностях пластины напряжения равны: 2 2 2 2 2 2 6 6 6 / / / , , y z h z h z h M M M h h h x xy y xy x (6.1.18) Преобразования систем координат Рассмотрим на нейтральной плоскости пластины систему прямоугольных координат X'Y', полученную поворотом XY на угол φ. Тогда матрица S в пре- образовании (2.10.1) имеет вид (4.1.18). Получаем, после соответствующих преобразований, для деформаций, моментов и перерезывающих сил следующие зависимости: ' ' T M M ε S ε S , S x x y y Q Q Q Q , (6.1.19) где S – матрица преобразования (4.1.21). Матрица связи деформаций и напряжений С в физических уравнениях (1.3.1) при переходе к новой системе координат преобразуется следующим образом: ', σ С'ε ' = ' T С S СS (6.1.20) Если материал тела изотропный, то для ортогонального преобразования С' = С. Краевые условия Рассмотрим точку x на границе тела . Нормаль к границе области – { , } T n n n x y . Краевые условия в точке x могут быть: кинематическими, когда заданы значения значение прогиба и/или зна- чение угла поворота вокруг оси, нормальной к контуру. Т.е. , n w w w и n x x Γ Γ Γ Γ / или (6.1.21) Если заданы оба эти условия и 0 0 , , Γ n Γ w , то говорят о жестком за- щемлении пластины на краю; Глава 6. Тонкие плиты 163 статическими – равенство в точках границы внешним нагрузкам, дейст- вующим по нормали к контуру: момента M n и/или перерезывающей силы: , , n n n n M M x x Γ Γ Γ Γ и / или Q Q (6.1.22) Если на незакрепленном и ненагруженном крае пластинки отсутствуют внешние силовые факторы, то говорят о свободном крае; смешанные. Если край оболочки не является жестко защемленным или свободным, то граничные условия формулируются исходя из отсутствия на этом участке внешних силовых факторов. Частным случаем смешан- ных краевых условий является шарнирное опирание, когда на контуре за- дано только нулевое значение прогиба w. Не пересекаются участки границы, на которых заданы: и и , , , n n n w M Γ Γ Γ Q Температурные воздействия Если нет возможности свободно изгибаться, то возникают температур- ные/тепловые напряжения, которые необходимо учесть в физических уравне- ниях (1.3.1), где при линейном изменении температуры по толщине пластины 0 , , , , , t t t z z t t h h x y xy , 0 { } ( ) , , T t z h ε x t , (6.1.23) α – коэффициент линейного расширения материала, t – разность температур на верхней и нижних поверхностях плиты. Подставив (6.1.23) в (1.4.12) и проинтегрировав по z, получим учет тем- пературных деформаций в потенциальной энергии. Особенностью температурных воздействий на плиту является то, что температурные тепловые напряжения возникают только в том случае, если t 0, и независят от значения температуры. Для ортотропного материала коэффициенты температурного расширения могут быть разными по главными осям инерции: 0 { } ( ) , , T t h ε x x y z t (6.1.24) Главные моменты Для определения главных площадок рассматривается система уравнений: 0 0 ( ) ( ) i i i i i i l m l x xy xy y M M m , i=1,2, (6.1.25) ненулевое решение которой существует при равенстве нулю определителя: 0 | | g i M T E , g T x xy xy y M M M , (6.1.26) где E – единичная матрица 2х2, T g – тензор моментов. Уравнение (6.1.26) в общем случае является уравнением второго порядка, его решения M i , i=1,2, M 1 M 2 называются главными моментами, а значение 164 Глава 6. Тонкие плиты определителя T g является инвариантом преобразований систем координат и не зависит от их выбора. Главные кривизны Для определения главных направлений кривизн рассматривается система уравнений: 0 0 ( ) ( ) i i i i i i l l x xy xy y m m , i=1,2, (6.1.27) ненулевое решение которой существует при равенстве нулю ее определителя: | 0 | i T E , T x xy xy y , (6.1.28) T ε – матрица тензора кривизн. Уравнение (6.1.28) в общем случае является уравнением второго порядка, его решения χ i , i=1,2,χ 1 χ 2 называются главными кривизнами. Функционалы Используя матричную запись (6.1.14), получим для теории изгиба тонких пластин Кирхгоффа-Лява функционалы Лагранжа (1.4.11), Кастельяно (1.4.15), Рейсснера (1.4.16) и смешанный функционал (1.4.17) Уравнения равновесия рассматриваемых задач имеет вид (6.1.15). Запишем работу внешних сил для изотропного материала в функционале Лагранжа через функцию перемещений w без учета температурных воздейст- вий: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) D w w w w w d d u x y x y x y x y E , (6.1.29) где – срединная поверхность. В функционал Лагранжа входят производные второго порядка функции перемещений w и, следовательно, энергетическое пространство задачи сов- падает с пространством Соболева ). 6.2. Степени свободы и аппроксимации Для решения задач изгиба плит используются, как правило, конечные элементы, имеющие геометрическую форму треугольника, прямоугольника и произвольного четырехугольника. Простейшие элементы имеют только узлы, совпадающие с вершинами многогранников. В элементах с повышенной ап- проксимацией добавляются узлы, лежащие на их сторонах. Классические конечные элементы в каждом узле имеют по три степени свободы: , , i i i i i xi yi w w w |